dsp第三章习题解

3.9习题1.计算下列各有限长序列的N 点离散傅立叶变换。

（1）0()11N x n n ≤≤-=（2）)()(n n x δ=（3）)()(0n n n x -=δ 100-≤≤N n （4）)()(n R a n x N n= （5）)()(0n R en x N n j ω=（6）)()cos()(0n R n n x N ω= （7）)()(2n R en x N mnN j π= 10-≤≤N m（8）)()2sin()(n R mn Nn x N π= 10-≤≤N m解 （1） 2100()[()]010N jknN n k X k D F T x n ek N Nk π--=≠⎧===≤≤-⎨=⎩∑（2）210[()]()101N jknNn D F T x n n ek N πδ--===≤≤-∑（3）02210[()]()01N jknjkn NNn D F T x n n neek N ππδ---==-=≤≤-∑（4）21201[()]()011N N jknnNN jkn Na D F T x n aR n ek N a eππ---=-==≤≤--∑（5）000212()1[()]()011j NN jknj nNN j k n Ne D F T x n eR n ek N a eπωωπω---=-==≤≤--∑（6）2100[()]co s ()N jknNN n D F T x n n R n eπω--==∑0000002122()()1()2110111N jknj nj nN n j Nj Nj k j k NNeeee e k N aeaeπωωωωππωω---=--+=+--=+≤≤---∑（7）2210[()]()01N jm njknNNN n k m D F T x n eR n ek N Nk mππ--=≠⎧==≤≤-⎨=⎩∑（8）212[()]sin()N jknNN n D F T x n m n R n eNππ--==∑22211()20,,01,,2N jm njm nj knNNNn eeejk m k N m k N Nk m k N mj πππ---==-≠≠-⎧⎪=≤≤-⎨==-⎪⎩∑2.有限长序列)(n x 如题图3.1所示，画出序列)(1n x 和)(2n x 的波形。

)())3(()(661n R n x n x -= )())(()(552n R n x n x -=题图3.1解n3.已知⎩⎨⎧=,0,1)(k X km N m k 其他-=,，10-≤≤N k ，2/0N m <<，求)]([k X IDFT 。

解 2221()011[()]()[]N j knjm njN m nN NNk ID F T X k X k e eeN Nπππ--===+∑22co s()01m n n N NNπ=≤≤-4.已知序列)(1n x 和)(2n x 分别为)1(2)()(1-+=n n n x δδ，)()(42n R n x =，求)(1n x 和)(2n x 的6点圆周卷积。

解 解法一：112120()()()()(())()N N N m x n x n x n x m x n m R n -==⊗=-∑54660[()2(1)](())()m m m Rn m R n δδ==+--∑(0)1(1)3(2)3(3)3(4)2(5)0x x x x x x ======解法二：211()[()]1201jkNX k D F T x n ek N π-==+≤≤-23220()[()]01jknNn X k D F T x n ek N π-===≤≤-∑12122221300222313()()()[()()]1[(12)]1(12)[()2(1)]01N jkjkmjknNNNk m N jkjkmjknN NNm k m x n x n x n ID F T X k X k eeeN eeeNn m n m n N ππππππδδ---==---====⊗==+=+=-+--≤≤-∑∑∑∑∑以上表达式中N=6。

5.设)]([)(n x DFT k X =,)]([)(n y DFT k Y =,10-≤≤N k .若)())(()(n R m n x n y N N -=,证明: )()(2k X ek Y kmN jπ-=。

证明：()[()][(())()]N N Y k D F T y n D F T x n m R n ==-21021(())()(())N jknNN N n N jknN N n x n m R n ex n m eππ--=--==-=-∑∑令,n m l -=221()(())N mjkljkmNNN l mY k x l eeππ----==∑2212()()N jkljkmNNl jkmN x l eeX k eπππ---=-==∑6.设)(n x 的长度为N ，其离散傅立叶变换为)]([)(n x DFT k X =,10-≤≤N k 。

若⎩⎨⎧=0)()(n x n y 110-≤≤-≤≤rN n N N n ，)]([)(n y DFT k Y =,10-≤≤rN k 。

推导)(k Y 与)(k X 的关系。

解 21()[()]()rN jknrNn Y k D F T y n y n e π--===∑2211()()k N N jknjnrNN rn n x n ex n eππ----====∑∑(),k k X rr=为整数 10-≤≤rN k7.已知序列),()(n u a n x n= 10≤≤a ，对)(n x 作Z 变换并在单位圆上]2,0[π范围内等间隔采样N 点，采样值,)()(2kN j ez z X k X π==10-≤≤N k 。

求有限长序列)]([k X IDFT 。

解：0()[()]()nn X z Z T x n x n z∞-===∑2220()()()()jkNj kN jknnNz en n z eX k X z x n zx n eπππ∞∞--=======∑∑211()[()]()01N jknNN k x n ID F T X k X k en N Nπ-===≤≤-∑22211()000011()()()()()()1N N j kmj knj k m n NNNk m m k m r r n rNnrNr r nNx m eex m eNNx m m n rN x n rN au n rN aaaaπππδ-∞∞----====∞∞∞==-∞=∞∞+=====--=+=+==-∑∑∑∑∑∑∑∑∑()()1n N N Nax n R n a=-8.若)()(4n R n x =，求)(n x 的Z 变换)(z X ，频率函数)(ωj eX 和8点离散傅里叶变换)(k X ，并画出频率函数)(ωj eX 和离散傅里叶变换)(k X 的幅频特性图。

解 43411()()()1nnnn n n z X z x n zR n zzz-∞∞----=-∞=-∞=-====-∑∑∑33240sin 2()()()sin /2j j j nj nj nn n n X ex n eR n eeeωωωωωωω∞∞----=-∞=-∞=====∑∑∑2223773888840sin 2()()()07sin8jknjknjknjkn n n kX k x n eR n eeek kππππππ----=======≤≤∑∑∑ 9.已知)()()(n jy n x n f +=，)(n x 和)(n y 是长为N 的实序列，若j n f DFT k F 5.01)]([)(+==，试求)]([)(n x DFT k X =和()[()]k D F T y n Y =。

解 1()[()]()[()*()]12ep X k D F T x n F k F k F N k ===+-= 1()[()]()[()*()]0.52o p Y k D F T y n F k F k F N k ===--=10.用DFT 对实信号进行谱分析，要求频率分辨率Hz F 50≤，信号最高频率为Hz f 1000max =，试确定以下参数：（1）最小记录时间；（2）最大取样间隔；（3）最少采样点数；（4）若要求频率分辨率提高一倍，求最少采样点数。

解 （1）m in m ax10.02p T s F ==（2）m ax m ax10.52T m s f ==（3）m in m ax m in m ax m ax 240p T f N F T ===（4）m ax m in m ax220008025f N F ===。