数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n (n ＋1)

，则S 5等于( )

A ．1 B.5

6 C.16

D.130

B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

，

∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5

6.]

3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )

A ．9

B ．18

C ．36

D ．72

B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]

已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝

1

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪

⎧

2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9

2d ＝10a 1＋45d ＝100，

解得⎩⎨⎧

a 1＝1，

d ＝2，

3分

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝

1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2n －1－12n ＋1，8分

所以T n ＝12⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n

2n ＋1

.12分

已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.

(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝

2n

n

a a ，求数列{

b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

3a 1＋1

2×3×(3－1)d ＝6，

5a 1＋12×5×(5－1)d ＝15，即⎩⎨⎧

a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，

解得⎩⎨⎧

a 1＝1，d ＝1.

3分

∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n

＝n

2n ，6分

∴T n ＝12＋222＋3

23＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①

①式两边同乘1

2， 得

12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n

2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1

＝12⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋

1＝1－12n －n 2n ＋1，10分 ∴T n ＝2－12

n －1－n

2n .12分

一、选择题

1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1

2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )

【导学号：31222189】

A ．n 2＋1－1

2n B ．2n 2－n ＋1－1

2n C ．n 2＋1－1

2

n －1

D ．n 2－n ＋1－1

2n

A [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1

2n ， 则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1

22＋ (12)

＝n 2＋1－1

2

n .]

2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )

A ．100

B ．110

C ．120

D ．130

C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]

3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A ．192里

B ．96里

C ．48里

D ．24里

B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为1

2的等比数列，则a 1⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－1261－12

＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π

2，n ∈N *，则S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π

2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.