高考数学：吃透这18个必考题型,基础再差也能考130
高考数学必考知识点总结_数学知识点总结
高考数学必考知识点总结_数学知识点总结2022高考数学必考知识点第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二、平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三、数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五、概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六、解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七、押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
高考数学必考知识点书籍
高考数学必考知识点书籍高考是每个学生求学生涯中的重要节点，决定了他们能否进入理想的高校进一步深造。
数学作为高考的必考科目之一，无疑是考生们最头疼的一科。
为了应对高考数学，掌握必考知识点是至关重要的。
在备考过程中，选择适合自己的数学参考书籍是一个非常重要的决策。
下面，我将推荐几本高考数学必考知识点的书籍，希望对广大考生有所帮助。
一、《高分必背30讲》这本书由教育专家编写，得益于他们多年的教学经验和对高考命题规律的研究。
在这本书中，作者精选了高考数学必考知识点，通过简洁明了的讲解和大量的例题，使学生能够迅速理解和掌握这些知识点。
此外，该书还提供了一些应试技巧和备考方法，有助于考生在考试中取得更好的成绩。
二、《数学参考书（高中）》这本书是由多位知名数学教育专家合著的，是一本权威的高中数学参考书。
该书分为基础篇和提高篇两部分，基础篇详细介绍了高中数学的基本概念和常用公式，提高篇则进一步拓展了数学的知识面，涵盖了高考必考知识点以外的内容。
这本书为学生提供了广泛的数学题目和答案，有助于学生的巩固和拓展。
三、《高考数学应试指南》这本书由一位资深数学教师撰写，紧贴高考内容，以考试的形式展现高考数学必考知识点，帮助学生全面、深入地理解和掌握知识。
该书通过归纳总结高频考点和题型，针对不同类别的题目提供了具体的解题方法和技巧。
此外，书中还包含了大量的练习题和模拟试题，供学生进行自测和模拟考试。
四、《高考数学精讲精练》这本书是经过数位高考数学命题专家审核的，以高考数学必考知识点为主线，结合了历年高考真题，对每个知识点进行了深入浅出的精讲。
在每个知识点后，还附有典型例题和解题思路，帮助学生更好地理解和掌握知识点。
该书通过讲解和练习相结合，既能提高学生的解题能力，又能加深对知识点的理解。
以上推荐的几本书籍都是在备考高考数学过程中非常有价值的参考资料。
考生可以根据自身情况选择适合自己的一本或多本进行学习。
在备考过程中，最重要的是要注重理解和掌握知识点，同时也要进行大量的练习和巩固。
高考数学黄金100题系列第18题几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等)理(2021学年)
２0１８年高考数学黄金１００题系列第１8题几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等)理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２018年高考数学黄金１00题系列第１８题几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等）理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2０18年高考数学黄金100题系列第18题几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等)理的全部内容。
第18题 几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等）I.理论基础·解题原理 （Ｉ）对勾函数一、对勾函数的定义形如)0,0(>>+=b a xb ax y 的函数,叫做对勾函数．二、对勾函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的图象与性质 1.定义域 0}{≠∈x R x 2.值域当0>x 时,ab xbax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =,即a b x =时取等号）. 当0<x 时,ab xbax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+(当且仅当x b ax -=-,即a b x -=时取等号）．函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+.3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(xbax x b ax x f +-=--=-)(x f -=,则对勾函数为奇函数. 4.单调性由于2)(x b a x f -=',令0)(>'x f ,解得a bx -<或a b x >,令0)(>'x f ,解得0<<-x ab或ab x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a b-上为减函数,在),0(a b 上为减函数,在),(+∞ab上为增函数． 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ,当0<x 时,0<+xbax ，说明函数的的图象在第一、第三象限.当0>x 时，xbx b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方,当0<x 时,ax xbax x f <+=)(,说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线． 特别1,1==b a 时,xx x f 1)(+=,函数图象如下图所示：(II)绝对值函数一、绝对值函数的定义:形如b ax y +=的函数,叫做绝对值函数.含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类:１．形如()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像，可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到；2.形如()f x 的函数，此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况，0x <的情况可以根据对称性得到；３．函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再结合图像进行研究．二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质1.定义域：R;2.值域:),0[+∞;3.单调性:函数)(x f 在）（a b-∞-,上为减函数，在),(+∞-ab上为增函数． 特别0,1==b a 时,x x f =)(，图象如下图所示（III ）取整函数 取整函数的定义若x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数．举例如下：,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等.IV.题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上,可以是选择题或填空题,也可以是解答题,难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系,主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域,在定义域内研究函数的相关性质.最好先画出函数的图象,利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】注意定义域先行原则,必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题. V.举一反三·触类旁通考向1 对勾函数【例1】【２018河北唐山模拟】已知1()1f x x x=+-,()2f a =,则()f a -=（ ) A ．4- B ．2- C.1- D.3- 【答案】A【解析】∵1()1f x x x=+-,∴xx x f 11)(+=+，令1)()(+=x f x F ，则)(x F 为奇函数，则)()(x F x F -=-，所以1)(1)(--=+-x f x f ，有4222)()(-=--=--=-a f a f ，故选Ａ.考点：函数值、函数的奇偶性．【例２】【2０１８云南省师大附中模拟】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值范围是（ ） A.51(,]8-∞ B.(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞ 【答案】C考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性．【例３】【2017山西四校联考】若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（１,2)上有零点,则)(x f 在下列区间上单调递增的是A ．(]1,-∞- Ｂ． ()0,1- C.()1,0 D ．()+∞,2 【解析】01)(2=-='xb x f ,b x =2，显然0>b ,函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间(1，2）上有零点,41<<b ，)(x f 为增函数，只需b x xbx x b x f ≥≥-=-='2222,01)(,故选D ．【名师点睛】１.要结合图象,理解对勾函数的各种性质,单调性，对称性,奇偶性等. 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件.3.对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧.【例4】【２01８吉林百校联盟高三九月联考】已知函数()12,1,2{12,1,2x x xx x f x x ->=-≤函数()()g x f x m =-,则下列说法错误的是( )Ａ.若32m ≤-,则函数()g x 无零点 B ．若32m >-，则函数()g x 有零点 C.若3322m -<≤，则函数()g x 有一个零点 D ．若32m >,则函数()g x 有两个零点 【答案】Ａ【解析】作出函数()f x 的图象如图所示:观察可知:当32m =-时，函数()g x 有一个零点,故Ａ错误.故选A. 【跟踪练习】1.若函数()4f x x x=+,则下列结论正确的是( ）()()()()4(0,2),(2,)4(0,2),(2.)...,A f x B f x C f x D f x +∞+∞的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减2．关于函数()21lg ||f x x x +=有下列命题:(1)其图象关于y 轴对称;(２)函数f (ｘ)在(0,)+∞上单调递增,在(,0)-∞上单调递减； (3）函数ｆ(x )的最小值为lg 2；(4)函数f (x ）在(1,0),(2,)-+∞上单调递增； （5)函数f (x )无最大值,也无最小值 其中所有正确结论的序号是( ) 【解析】注意函数的定义域为0x ≠．如图:所以在(0,)+∞上，g (x ）在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增．所以由复合函数单调性可知,f （x ) 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．由函数对称性,f （x ） 在(1,0)-上递增,在(,1)-∞-上递减，所以(２)不正确，(4)正确．又因为,函数g (ｘ）的最小值为２,所以f （x )的最小值为ｌｇ2，所以（3)正确，(5）不正确． ３.函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______ 【答案】54.求函数3()f x xx=+在下列条件下的值域：（1)()(,0)0,x∈-∞+∞；（2)(2,3]x∈【解析】(１）当ｘ〉0时，由均值不等式，有33223 x xx x+≥⋅=当3xx=时，即3x=时,取到等号;当x<0时,有33[()]23 x xx x+=--+≤--所以函数的值域为:(23][23,)-∞-⋃+∞，5．已知函数()af x xx=+其中常数ａ〉０．(1)证明:函数f （x)在(0,]a 上是减函数,在[,)a +∞ 上是增函数； (2）利用(1)的结论，求函数20y x x=+(x ∈[4，６]）的值域; （３)借助（1）的结论，试指出函数27()1xg x x x -=++ 的单调区间，不必证明．（3)55(1)111y x x x x =+=-++--，所以值域为:[251,)++∞． 考向2 绝对值函数【例５】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞ Ｂ.()0,1 C ．()1,+∞ D.()0,+∞ 【答案】C【例６】已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是( ） A.(1,)-+∞ Ｂ.(]1,1- C ．(,1)-∞ Ｄ.[)1,1- 【答案】B【例７】【2０18上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数()2,1{ 2,1x x f x x x x+<=+≥,设a R ∈,若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是＿＿__＿____＿. 【答案】[]2,2-【例8】【２０15高考湖北卷】a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a . 当a = 时，()g a 的值最小． 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-.①当0a <时，函数()f x 的图像如图所示.函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-．aO yx②当0a =时,2()f x x =，()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-． ③当0a >时，函数()f x 的图像如图所示.xyO a【例9】函数x x g 2log )(= )21(>x ，关于x 的方程2()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为 . 【答案】3423m -<≤-【例1０】【2０1８广东广州模拟】已知函数()()11f x x x x R =-++∈ (1)证明:函数()f x 是偶函数;(2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像(草图),并写出函数的值域；（3)在同一坐标系中画出直线2y x =+,观察图像写出不等式()2f x x >+的解集． 【答案】(1）见解析；(2）见解析;（3){|02}x x x 或．【解析】试题分析： 判断函数的奇偶性,首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据ｆ(－x ）与ｆ(x)的关系,判断函数f(x)为奇偶性;再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号,化为分段函数,画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想． 试题解析：（１)依题可得： ()f x 的定义域为R()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-=∴ ()f x 是偶函数(2)()()2(1){2112(1)x x f x x x x -<-=-≤≤> 由函数图象知,函数的值域为[)2,+∞ （3）由函数图象知，不等式的解集为{|02}x x x 或 【跟踪练习】1.【2018浙江台州模拟】函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩,若动直线y m=与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ,则123x x x ⋅⋅的最大值为（ ）A ．4ﻩＢ．3ﻩ C.２ﻩD ．１ 【答案】D由m x x =-=-2222,得m x -=22，02>-m 由m x x =-=-2233，得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=,即2=m 时取到等号,故答案为D.考点:１、函数图象的应用;2、基本不等式的应用．2.【2０18北京西城区模拟】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤(1)如果(1)3f =,那么实数a =___；(2)如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点,那么实数a 的取值范围是___． 【答案】2-或4;(1,3]-【解析】由题意()113,f a =-= ,解得2a =-或4a =; 第二问如图:考点:１．分段函数值；2．函数的零点． 3.设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数) (1)a ＝２时,讨论函数)(x f 的单调性；（2)若a ＞－2，函数)(x f 的最小值为2，求ａ的值.(2）2222)(22ax a x a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=，12,2->∴->a a ,结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2,解得ａ＝3符合题意；当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24)2(2==a a f ,无解； 综上,a =３.考向3 取整函数与程序框图【例11】【2０1８山西四校联考】执行图中的程序框图(其中[]x表示不超过x的最大整数）,则输出的S值为A.5 B．7 C．９ D.12考向4 取整函数与函数的周期性【例１2】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，[]x表示不超过x的最大整数,则函数=-在R上为（）f x x x()[]A．奇函数 B.偶函数 C．增函数Ｄ．周期函数【答案】D【解析】因为f（x）＝x－[x］，所以ｆ（x+1）=（x＋１)，-［x+1]＝x+1—［x]—１=x－[x］=f(ｘ）,∴f(x）=x-［x]在Ｒ上为周期是1的函数.所以选D.考点:函数的周期性．【例13】【２０17重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达11０个,设，用表示不超过的最大整数,并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数,已知数列满足：,则__＿___＿___．【答案】考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．【跟踪练习】１．【２0１8重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料,然后解答问题：对于任意实数,符号表示“不超过的最大整数”,在数轴上,当是整数, 就是,当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Ｇａｕss)函数．如．求的值为（）Ａ.０ B．-２ C．-1 D．1【答案】Ｃ【解析】=−2,−２<<−1,=−1,=0,=1,1〈＜2,＝2，由“取整函数"的定义可得,=−2−2−１+０+1＋１+2=−1.故选:Ｃ．点睛:正确理解高斯(Gauss）函数的概念是解题的关键,表示“不超过的最大整数”,首先小于等于此实数,并且其为最大的整数，条件想全面.２.【2018江苏南京模拟】函数[]x x是不超y x=称为高斯函数，又称取整函数,对任意实数,[]过x的最大整数,则函数[]1(0.5 2.5)=+-<<的值域为．y x x【答案】}{0,1,2,33．【2018福建三明模拟】对于任意x ∈R ,令[]x 为不大于x 的最大整数,则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数.若数列{}n a 满足()4n na f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4n S 等于 . 【答案】22n n - 【解析】由定义知41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n ==========,244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-．考向5 取整函数与函数的零点【例14】【２01８天津南开中学第三次月考】已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ．【答案】34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由f(x ）=0得a x x =][,令g （ｘ）=xx ][(x 〉0)，作出g(ｘ）的图象，利用数形结合即可得到a 的取值范围.由f （x)=0得a x x =][;令g （x)=xx ][,(ｘ〉0),则当0＜ｘ＜1，[x]=0,此时g(ｘ)=0,当1≤ｘ＜2,［x ］＝1,此时ｇ（x ）=x1,此时1)(21≤<x g ；当２≤x＜3,[x]=2,此时g(x ）＝x2，此时1)(32≤<x g ;当3≤x＜4,[x]＝3,此时g （x ）＝x3，此时1)(43≤<x g ;当4≤x<5,[x]＝4,此时g （ｘ)=x4，此时1)(54≤<x g ；作出g （ｘ)的函数的图象,要使函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点,即函数ｇ(ｘ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点，由图象可知：5443≤<a ．故答案为：5443≤<a ． 考点:函数的零点与方程根的关系．【例15】【2018杭州重点中学联考】已知x R ∈,符号[]x 表示不超过ｘ的最大整数,若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＞０，此时［x]≥0；若[x]＝0，则[]0x x=,若[ｘ］≥1,因为[ｘ]≤x <[ｘ]+1，故[][][]1a 1[]11[]1x x x x x x ＜，＜,且[][]1x x 随着[x ］的增大而增大.若x<0,此时［ｘ]<0；若﹣1≤x＜0，则[]1x x≥,若x<-1,因为［ｘ]≤x<－１;[x ］≤x＜［ｘ］+1,故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜,且[][]1x x 随着[ｘ]的增大而增大.又因为［x]一定是不同的ｘ对应不同的a 值.所以为使函数[x]f x a x （）有且仅有3个零点，只能使[x ］=1,2，3；或[x ］=-1，—2,-3.若[x]=１,有121≤<a 若［x]＝2,有132≤<a 若[ｘ］＝３,有143≤<a 若[x ］＝4，有154≤<a 若[ｘ］＝-1，有a>１;若［x ］=-2,有１≤a ＜2;若［x]=-3,有231<≤a 若［x]=-４，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a ．故选:B. 考点：函数零点的判定定理. 【跟踪练习】1.【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也称高斯函数)，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如:[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-.设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 ( )Ａ.{}0 B.{}1,0- Ｃ．{}1,0,1- D.{}2,0- 【答案】Ｂ2.某学校要招开学生代表大会，规定各班每１0人推选一名代表，当各班人数除以１0的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为( ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C.310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D.10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】根据题意，当16x =时1y =,所以选项,A B 不正确，当17x =时2y =,所以D 不正确,故选C.3.【20１8浙江浙大附中模拟】对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数．例如：2]3.2[=．直角坐标平面内,若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ,则 22y x +的取值范围是 .【答案】(1,5)[10,20)以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
高考数学必考题型
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2020高考数学17个必考题型+各类题型解题技巧
2020高考数学17个必考题型各类题型解题技巧高考数学难度比例为7：2：1，也就是说80%都是基础题。
然而数学却是高考中最拉分的。
90%的学生都缺少一套科学，高效的提分方法,特为大家整理了高考数学17个必考题型+各类题型解题技巧，附带真题解析，希望能给大家带来帮助。
17个必考题型01题型一运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
02题型二运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
03题型三解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。
04题型四数列的通项公式求法05题型五数列的前n项求和的求法。
06题型六利用导数研究函数的极值、最值。
07题型七利用导数几何意义求切线方程08题型八利用导数研究函数的单调性，极值、最值09题型九利用导数研究函数的图像。
10题型十求参数取值范围、恒成立及存在性问题。
11题型十一数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系。
12题型十二焦点三角函数、焦半径、焦点弦问题。
13题型十三动点轨迹方程问题。
14题型十四共线问题。
15题型十五定点问题。
16题型十六存在性问题。
存在直线y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆17题型十七最值问题。
2选择填空答题技巧选择题01.排除法、代入法当从正面解答不能很快得出答案或者确定答案是否正确时，可以通过排除法，排除其他选项，得到正确答案。
排除法可以与代入法相互结合，将4个选项的答案，逐一带入到题目中验证答案。
例题已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0，则a的取值范围为（）A、（2，+∞）B、（-∞，-2）C、（1，+∞）D、（-∞，-1）解析：取a=3,f(x)=3x3-3x2+1，不合题意，可以排除A与C；取a=-4/3,f(x)=-4x3/3-3x2+1，不合题意，可以排除D；故只能选B（2014年高考全国卷Ⅰ理数第11题）02.特例法有些选择题涉及的数学问题具有一般性，这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题转化到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解。
高考数学突破90分的提分技巧(六篇)
高考数学突破90分的提分技巧（六篇）高考数学突破90分的提分技巧 11、简单题确保得高分得满分，不出现低级失误许多人对数学都有这种体会，“大题不会做，小题不愿做”。
大家做题都有这种想法，如果做一道题要三十分钟，大家很可能愿意做一道十二分的`大题，也不愿做一道选择题。
诚然，高考，分数就是最好的证明，能在有限的时间，做到得分的最大化，就是一次成功的高考。
但是大题都带有一定的区分性，这样，对于大多数同学来说，答题拿满分并不是很容易。
那么，怎样能让你在考试中“超常发挥”呢?其实只要你拿全自己能力之内的分，你就已经“超常发挥”了!简单题、基础题很多人都能掌握。
但是，学霸之所以能比你优秀，除了平时掌握更多，还在于他们在做题策略上的不同。
简单题保证拿全分，这在平时是训练的要求，但是因为考试时间有限，百分百的正确无误可能极为少见，重视简单题，也需要一种勇气，毕竟这将意味着，你要舍弃难题，可是，经验告诉我们这也是聪明的决定。
2、同类题练熟练透，会做的题保证不丢分高三是同学们孤注一掷，备战高考的最后一站，许多人都为此恨不能将__小时翻一倍用，每天的时间都被作业填满，除了老师要求的作业之外，自觉的同学，还要额外再为自己买多种资料，并自我要求每天必须要做完多少题，但是作业一多，大家都想着按时按点完成，所以忽略做题总结，即使遇到同一题型，做题还是在凭感觉，毫无章法可言。
这时，同学们可以这样做，准备一本题集，同一类型题总结在一起，并对照作答，区分异同所在，这对高考数学的提升效果显著，通过同一类题多次重复变换，可以加深记忆，同时刺激思考，从多角度切入解题，试图寻找最优解。
等到再遇到该类题时，我们就会有自己的解题思路，并能快速找到优化解题步骤的方法，会做的题不丢分，精简答案拿全分，会为之后的题目省下大量时间。
3、典型错题反复研究高考数学复习到最后，大多数人都要计算自己在考场上能答多少分。
这样的计算包括，基础题要拿多少分，最多错几道题;中等难度题要得多少分，最多可得多少分;难题能争取到多少分，必须舍弃哪些题。
高考数学必考题型以及题型分析
高考数学必考题型以及题型分析很多学生都觉得数学相当难，尤其是文科生。
数学对于文科生来说是拉开分数的关键。
数学学得好的同学能得130分以上，数学差的学生可能就只有几十分。
这次小编给大家整理了高考数学必考题型以及题型分析，供大家阅读参考。
高考数学必考题型以及题型分析第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
一、高考各章节占比情况1.集合(必修1)与简易逻辑，复数(选修)。
分值在10分左右(一两道选择题，有时达到三道)，考查的重点是计算能力，集合多考察交并补运算，简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别，复数一般考察模及分式运算。
2.函数(必修1指数函数、对数函数)与导数(选修)，一般在高考中，至少三个小题一个大压轴题，分值在30分左右。
以指数函数、对数函数、及扩展函数函数为载体结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)以选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
2023高考数学必考题型及答题技巧
2023高考数学必考题型及答题技巧高考数学万能解题方法1、思路思想提炼法催生解题灵感。
“没有解题思想，就没有解题灵感”。
但“解题思想”对很多学生来说是既熟悉又陌生的。
熟悉是因为教师每天挂在嘴边，陌生就是说不请它究竟是什么。
建议同学们在老师的指导下，多做典型的数学题目，则可以快速掌握。
2、典型题型精熟法抓准重点考点管理学的“二八法则”说：20%的重要工作产生80%的效果，而80%的琐碎工作只产生20%的效果。
数学学习上也有同样现象：20%的题目(重点、考点集中的题目)对于考试成绩起到了80%的贡献。
因此，提高数学成绩，必须优先抓住那20%的题目。
针对许多学生“题目解答多，研究得不透”的现象，应当通过科学用脑，达到每个章节的典型题型都胸有成竹时，解题时就会得心应手。
3、逐步深入纠错法巩固薄弱环节管理学上的“木桶理论”说：一只水桶盛水多少由最短板决定，而不是由最长板决定。
学数学也是这样，数学考试成绩往往会因为某些薄弱环节大受影响。
因此，巩固某个薄弱环节，比做对一百道题更重要。
高考数学答题技巧高考数学万能解题法——熟悉基本的解题步骤和解题方法解题的过程，是一个思维的过程。
对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到习题的答案。
高考数学万能解题法——审题要认真仔细对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。
所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。
高考数学万能解题法——常见函数值域或最值的经典求法函数值域是函数概念中三要素之一，是高考中必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
60天高考数学逆袭快速提分法
60天高考数学逆袭快速提分法（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学必考题型及答题技巧锦集
高考数学必考题型及答题技巧锦集【篇1】高考数学必考题型及答题技巧①单项选择考试范围。
集合的基本运算、复数的基本运算、统计与概率-排列组合、立体几何、概率事件、指数与对数函数、平面向量与平面几何、函数的与导数。
②多项选择考试范围。
解析几何(双曲线)、三角函数、不等式应用、对数运算及不等式基本性质。
③填空题考试范围。
解析几何(抛物线)、数列(等差或等比)、三角函数、立体几何轨迹计算。
④解答题考试范围。
三角函数(正弦余弦定理)、等比数列及其求和、统计与概率、立体几何、解析几何、函数与导数。
高考数学不及格影响院校录取吗?高考有科目不及格，不会影响太大，只要总分足够高，还是能上好的大学，只是在同等分数下，你的分数不及格，学校可能会优先选择及格的学生。
【篇2】高考数学必考题型及答题技巧高考数学必考题型是什么题型一运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
题型二运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
题型三解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。
题型四数列的通向公式的求法。
高考数学答题技巧有哪些1、函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3、面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4、选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5、求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6、恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;【篇3】高考数学必考题型及答题技巧无论是全国卷，还是各个省的自命题卷，虽然对知识的考察重点不同，但是，题型却有很多共性。
高考数学必考题型及答题技巧整理
高考数学必考题型及答题技巧整理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学18个必考题型
高考数学18个必考题型我们在做作业或者考试的时候最重要的就是审题。
你对题型、题目条件和考点没有一种敏感度，不擅长从看似复杂繁琐的题干中提取出关键有用的信息，非常容易受到干扰条件的误导。
做题的时候，如果你连题目都判断错了，那还能得分吗？这一次无偿放送的福利是高考数学一些必考题型。
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首先要弄清楚题目的内容、已知条件、求什么、需要联系哪些知识点等；其次是考虑好解题思路、方法、步骤，要善于把一道题拆分成几个部分，化大为小，化繁为简，化难为易，仔细理清其中的已知条件和位置条件，弄清楚各个部分之间的联系，想好整个解题步骤，一定要让自己做到：不明白题意不做提，不清楚方法步骤不下笔。
另外这里再强调一下草稿纸的重要性。
有的同学的草稿纸非常乱，东写一下西画一笔，这样是非常不可取的。
草稿纸可以把它分为几个板块，每一道题都写在固定的板块上，理清自己的思维，这样可以大大的减少因为看错或者计算错误而出现的失分。
如果想要提升审题的敏感度，那么这部分学生首先需要坚实到足够多的题目，重质重量的完成习题，并且在此基础上学会归纳和总结，通过这些题目建立题干到考点的联系，从而能够从繁琐复杂的题干中挖掘出有用的信息和对解题有帮助的条件。
把一道题变为一类题，形成一种看见这一道题就知道是具体考察什么知识点的一种反射，要通过题目对知识体系和考试题型有一个全面的梳理和清晰的了解。
然后在这个基础上，自己总结出一套行之有效的解题经验和套路，会渐渐发现高考数学中的绝大多数难题的考察方式和考点都是相对固定的，将不同的题目对应不同的解题方法，能够很大程度上环节学生在考场上面对问题时的窘迫，也让解题能够更加有目的性和方向性。
所以，我们在做题上的整体安排要做到：1.按照顺序做题，先做容易的再做难题。
2.做题时稍稍慢一点，计算一定不要出现差错；做中档题的时候稳中求胜，绕开哪些一看就没有思路的难题。
高考数学考130分不是梦...
高考数学考130分不是梦数学是高考拉开分数的最主要学科。
高分的同学130、140，低分的同学40、50，又由于数学讲究逻辑性和推理性，讲究层层推导，一个地方卡住，就做不下去，因此很多同学在数学上饮恨考场。
是不是数学基础差就没得救呢？其实不是的。
数学其实并不复杂，只要方法得当，你会发现数学其实并没有想象中的那么难。
一、知己知彼提升数学的第一步，找出自己的薄弱点。
我们要知道，高中数学教科书那么多，加上习题册就更是恐怖，可高考数学卷只有21题，怎么可能面面俱到？我们在剩下的时间所要练的，就是在高考必考点中，找出自己不过关的，各个击破！我们把高考卷子分解开来看，选择题，填空题，解答题，就这三种类型。
选择题答题技巧：（1）、不择手段。
（2）对照选支，该算不算，巧判过关。
（3）特值代入法。
(4）辅助画图法。
填空题答题技巧：(1)细心计算，合情推理。
(2)辅助图形，给力求答。
解答题答题技巧：（1）读一句，思考一句，翻译一句，写一句，得一点分数。
（2）善于行进在：联想---联通---移动（3）联想：识别模式，寻找关系（4）联通：获取信号，形成思路（5）移动：优化思维，规范作答（6）浅题别忘得分点，求全，解决“会而不全”（7）难题排除障碍点，寻求开窍点，转化点，力求多得分。
陕西卷有固定的六大题，我们先来分析考点：（1）三角函数题：正弦、余弦、正切。
三角公式，恒等变形。
函数图象（5点法）与性质（单调性、周期性、最值，有界性，特别注意定义域）。
三角形的问题：边与角的转化（2）数列题：等差数列，等比数列，基本量（首项，公差比）；通项；前n项和；数列性质：单调性，周期性，最大与最小值，恒成立不等式。
（3）立体几何：基本几何体：正方体，正四棱锥，正四面体，球体组合几何体：球内接长方体，正方体外接球线线、线面、面面位置关系：平行、垂直。
几何体的有关计算：距离、面积、体积（4）向量方法解立体几何题：建立坐标系，设点坐标，待定法向量，列出关系，内积公式利用求解，最后不忘回头反思检验。
高考数学必考知识点归纳_高考数学常考题型有哪些
高考数学必考知识点归纳_高考数学常考题型有哪些高考数学必考知识点归纳1、平面向量与三角函数、三角变换及其应用，这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
2、概率和统计，这部分和生活联系比较大，属应用题。
3、考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。
4、考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
5、证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
高考数学常考题型有哪些一、三角函数或数列数列是高考必考的内容之一。
高考对这个知识点的考查非常全面。
每年都会有等差数列，等比数列的考题，而且经常以综合题出现，也就是说把数列知识和指数函数、对数函数和不等式等其他知识点综合起来。
近几年来，关于数列方面的考题题主要包含以下几个方面：(1)数列基本知识考查，主要包括基本的等差数列和等比数列概念以及通项公式和求和公式。
(2)把数列知识和其他知识点相结合，主要包括数列知识和函数、方程、不等式、三角、几何等其他知识相结合。
(3)应用题中的数列问题，一般是以增长率问题出现。
二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
高考后的注意事项高考完后，考生心理压力容易和考前形成落差，表现出不一样的状态：有的考生感觉良好，认为答题还不错，表现出放纵状态;有的考生对自己的期望值过高，答题又失常，心里难过，烦躁、焦虑，心里内疚，认为愧对父母。
对于孩子表现出来不同的情绪反应，家长要留意观察，做好心理疏导。
高考数学17个必考题型详解-全
高考数学17个必考题型详解-全012题型一运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
题型二运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
题型三解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。
042题型四数列的通向公式得求法。
052题型五数列的前n项求和的求法。
062题型六利用导数研究函数的极值、最值。
07题型七利用导数几何意义求切线方程。
087题型八利用导数研究函数的单调性，极值、最值097题型九利用导数研究函数的图像。
107题型十求参数取值范围、恒成立及存在性问题。
7题型十一数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系。
12题型十二焦点三角函数、焦半径、焦点弦问题。
13题型十三动点轨迹方程问题。
14题型十四共线问题。
15题型十五定点问题。
16题型十六存在性问题。
存在直线y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆17题型十七最值问题。
选择填空答题技巧选择题01排除法、代入法当从正面解答不能很快得出答案或者确定答案是否正确时，可以通过排除法，排除其他选项，得到正确答案。
排除法可以与代入法相互结合，将4个选项的答案，逐一带入到题目中验证答案。
例题已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0，则a的取值范围为（）A、（2，+∞）B、（-∞，-2）C、（1，+∞）D、（-∞，-1）解析：取a=3,f(x)=3x3-3x2+1，不合题意，可以排除A与C；取a=-4/3,f(x)=-4x3/3-3x2+1，不合题意，可以排除D；故只能选B（2014年高考全国卷Ⅰ理数第11题）02特例法有些选择题涉及的数学问题具有一般性，这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题转化到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解。
高考数学必考题型及答题技巧有哪些
高考数学必考题型及答题技巧有哪些高考数学必考题型及答题技巧有哪些2023对于高考数学基础比较薄弱的同学,重在保简易题。
那么高考数学有没有什么答题技巧呢?以下是小编整理的一些高考数学必考题型及答题技巧有哪些，欢迎阅读参考。
高考数学选择题秒杀技巧有哪些1.正难则反法：从数学选择题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从数学选择题四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
5.递推归纳法：通过数学选择题题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
6.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
高考数学万能答题模版整理1、数学三角变换与三角函数的性质问题一、解题路线图①不同角化同角;②降幂扩角;③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h;④结合性质求解。
二、构建答题模板①化简：高考数学三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sinx，y=cosx的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
高考数学：一轮二轮复习如何做,这24个易错点一定要牢记!
高考数学：一轮二轮复习如何做，这24个易错点一定要牢记！高三数学第一轮复习，牢记这6大方法，高分带回家!一、抄笔记别丢了“西瓜”高考数学试卷中大部分都是基础题，只要把这些基础题做好，分数便不会太低。
要想做好基础题，平时上课时的听课效率便格外重要。
带高考毕业班的都是有着丰富经验的老师，他们上课时的内容可谓是精华，因此认真听讲45分钟比自己在家复习两个小时更有效。
听课时可以适当地做些笔记，但前提是不影响听课的效果。
有些同学光顾着抄笔记却忽略了老师解题的思路，这样就是“捡了芝麻丢了西瓜”，反而得不偿失。
二、重视订正，理性刷题一张试卷上的错题、难题数量是很有限的，而且通常属于“高风险低回报”，而如果能利用好它们，并认真总结、修正，最终的成绩也不会让大家失望。
卓小越今天福利大赠送，送上错题订正的正确方法：1、仔细分析错误答案中的错误环节，分析原因，注意不要把“粗心”作为借口。
任何一个错误都是事出有因的，即使是计算错误也是由于不够熟练导致的，因此分析的原因一定是具体的、有针对性的原因。
2、遮住答案，留出题干，在没有任何外界辅助的情况下自己演算一遍。
注意不要跳步，既然错过一次第二遍就要仔仔细细、踏踏实实地重来。
特别是第一次做的时候感觉不确定的地方，订正的时候要放慢速度。
3、核对答案，没有问题后闭上眼睛把刚刚的演算过程在脑中再过一遍，体会推导过程是否合理、自然，下次再遇到类似的问题能否顺理成章地想到。
如果第二次做还是有错误，那就必须重看自己的错误，分析错误环节，并用有颜色的笔着重标出。
4、过了两三天再把错题拿出来看，可以不笔算，只要脑海中能回忆出完整过程，这题就算过关。
如果在不借助外界帮助的情况下还是有问题，那么这道题就是复习时的重点了，过几天还要拿出来再看一遍。
这个过程虽然枯燥而又痛苦，但却是很必要的。
许多同学刷了不少题目但成绩总是不见起色，很大程度上是因为他们并没有真正理解做过的每一道题，因此再一次遇到类似的题型还是会犯错。