工业机器人工业机器人课件第二章 数学基础

用旋转矩阵BAR 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系：
A pBAR Bp
上式为坐标旋转方程。
zB
zA
Bp
xA
xB
可以类似用
B A
R
描述{A} 相对于{B}的方位。
yB
B A
R
和
A B
R
都是正交矩阵，两者互逆。根据正交
矩阵的性质有：
yA
B A
R

BAR
1

BART
§ 2.2 坐标变换
三、复合变换
yB yA
Ap
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既
不重合，两者的方位又不同时，用位
yC
置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对
于{A}
的位置，用旋转矩阵
B A
R
描述
Bp xB {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如
t22 t32 t42
t23 t33 t43
t24 t34 t44


T11 T21
T12
T22

在机器人系统的运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式
T

R33 O13
P31
I11


旋转矩阵33

O13
位置矢量31
1

若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 3旋转矩阵可扩展成4 4 齐次变换矩阵
0
04
4


1
1
1 1
1
1
0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 4 4
0 0 0 1 1 1
1
11
1

1
1
1
11
1

§ 2.4 物体的变换及逆变换
(a) 变换前的坐标系
(b) 变换后的坐标系
图2.8 对楔形物体的变换
§ 2.4 物体的变换及逆变换
物体位置描述
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 0 1 4 1 1 1 1 1 1 4 4 6 6 4 4
1 0 0 0 0 0
• 齐次变换的逆变换
B p CBT Cp A p ABT Bp ABT CBT Cp
CAT ABT CBT
§ 2.4 物体的变换及逆变换
• 齐次变换的逆变换
定义复合变换 ：
CAT ABT CBT


A B
R
0
A
pBo 1


B C
R
0
B
pCo 1



AxB•
Ay B
= AyB • AzB = AzB • AxB =0
可见，旋转矩阵
A B
R
是正交的，并且满足条件
R A 1
B

BART
,
A B
R
1
上标T表示转置 ，• 为行列式符号 。 对应于轴x，y或z作转角为θ的旋转变换，其旋转矩阵分别为
1 0 0
c 0 s
c s 0
A B
R
=I(单位矩阵）；
当表示方位时，上式中的位置矢量ApB。 =0 。
§ 2.2 坐标变换
空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不同的。为了阐明从一个
坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论变换问题。
一、坐标平移
设坐标系{A} 与{B}具有相同的方位，但 {B}坐标系的原点与 {A}
的原点不重合。 用位置矢量ApB。描述它相对于{A} 的位置，称ApB。为
对于直角坐标系{A},空间任一点p的位置可用3×1的列矢量Ap（位置 矢量）表示：
px
pA


py

pz
其中px，py，pz是点p 在坐标系{A}中的三个坐标 分量。 Ap的上标A代表参考 坐标系{A} 。
§ 2.1 刚体位姿描述
二、方位的描述（旋转矩阵）
为了规定空间某刚体B的方位，设置一直角坐标系{B}与此刚体固接
nx ox ax 0c s 0 0nx ny nz 0
CRot(z, )C 1 ny oy ay 0s c 0 0ox oy oz 0
n0z
oz 0
az 0
0 0 1 0
0 0
0 0
0 1
a0x
ay 0
az 0
0 1
xC 下变换关系
xA ApB。zC
zB
A pBAR Bp ApB。
zA
§ 2.3 齐次坐标变换
齐次坐标是用n +1维坐标来描述n维空间中的位置，其第n +1个分量
(元素)称为比例因子。引入齐次坐标不仅对坐标变换的数学表达带来方
便，而且具有坐标值缩放功能；对三维空间位置矢量P＝(px，py，pz)，
A B
R
CBR
0
A B
R
B
pCo 1

ApBo

§ 2.4 物体的变换及逆变换
变换方程初步 必须建立机器人各连杆之间，机器人与周围环境之间的
运动关系，用于描述机器人的操作。要规定各种坐标系来描 述机器人与环境的相对位姿关系。在下图 (a)中，位姿关系 可用相应的齐次变换来描述，机器人控制和规划的目标与其 他变换之间的关系可用空间尺寸链（有向变换图）来表示， 如图 (b)所示 。
其齐次坐标可以表示为P＝(ω px， ω py， ω pz) T，实际坐标和齐次坐标
的关系如下
px

px
,
py

p y
,
pz

pz
可以看出，直角坐标系Oxyz原点的齐次坐标为(0，0，0，α)。 α为 非零实数。齐次坐标(1，0，0，0)T表示Ox轴的无穷远点，同理齐次坐标 (0，1，0，())T和(0，0，1，0) T分别指向Oy轴和0z轴的无穷远点，三维 空间的位置矢量的齐次坐标表达并不是惟一的。但若将ω取为1，则位置
§ 2.3 齐次坐标变换
(a)
图a表示u绕z轴旋转90°至v，再绕 y轴旋转90°至w
(b)
图b表示u绕y轴旋转90°至v，再绕 z轴旋转90°至w1
§ 2.3 齐次坐标变换
把旋转变换与平移变换结合起来，变换结果如下图所示 。
上图表示u绕z轴旋转90°至v，再绕y轴旋转90°至w，再进行 平移变换4i-3j+7k的结果
bx by bz
§ 2.3 齐次坐标变换
1 0
0 0
cos 0 sin 0
cos sin 0 0
Tx,

0 0
cos sin
sin cos
0, 0Ty,Fra bibliotek
0
sin
1 0
0 c os
0, 0
Tz ,

sin 0
矢量变换后的齐次坐标和矢量的实际坐标就相同了。在机器人学的应用 中ω总是取为1。
§ 2.3 齐次坐标变换
齐次变换矩阵是4 4矩阵，它能把一个以齐次坐标表示的位置矢量 由一个坐标系映射到另一个坐标系。齐次变换矩阵T写成以下形式
t11 t12 t13 t14
T t21 tt3411
某一坐标系{B}相固接。 {B}的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如
质心或对称中心等。相对参考系 {A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴
的方位，分别由位置矢量ApB。和旋转矩阵BAR 描述 ，这样刚体B的位姿
可由坐标系{B}来描述，即：
B A R B
A pB。
当表示位置时，上式中的旋转矩阵
4 4齐次变换矩阵把在O uvw 坐标系中用齐次坐标表示的矢量映 射到Oxyz参考坐标系中去，即
Pˆxyz TPˆuvw
nx ox ax px
T ny

nz 0
oy oz 0
ay az 0
py pz 1


n 0
o 0
a 0
p
1

§ 2.4 物体的变换及逆变换
基本齐次变换阵可以相乘以求得合成齐次变换阵，可是矩阵乘法是不 可交换的，必须注意这些矩阵的相乘次序。也就是说：若动坐标系O uvw绕 (或沿)Oxyz系（固定坐标系）主轴转动(或平移)则用相应的基本齐次阵左乘 齐次变换矩阵；若动坐标系O uvw绕(或沿)它自己的主轴（运动坐标系）转 动(或平移)，则用相应的基本齐次旋转(或平移)矩阵右乘齐次变换矩阵。
变量空间之间的关系
n
o
a
i
刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿，其描述方法较多 ，如齐次变换法、矢量法、旋量法等等。本章采用齐次变换法，其优点在 于它将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来。
§ 2.1 刚体位姿描述
为了描述机器人本身的各个连杆之间、机器人和环境（操作对象和障 碍物）之间的运动关系，通常将它们都看成刚体，研究各刚体之间的运 动关系。 一、位置的描述（位置矢量）
fx fxvers c


fx
fxvers
f z s

fx
fzvers 0
fz s
f y fxvers fz s f y f yvers c f y fzvers fxs