四川省成都市成都市第七中学2020-2021学年上学期高三期中数学(文)试题
2020-2021成都七中初中学校高三数学上期中一模试卷含答案
2020-2021成都七中初中学校高三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．23．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．在ABC V 中，4ABCπ∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）ABCD 5．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A．10 kmBkmC ．D ．6．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1407．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或372D ．34或3729．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()22234S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8112．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.15．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 16．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 17．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 18．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.19．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．22．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =，求ABC ∆的面积；（2）若25sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 23．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 24．在ABC V 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．25．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.5．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．6．B解析：B 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得29272a a =+-⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)2223S b a c =+-，得13sin 2cos 2ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
四川省成都市第七中学2020届高三上学期期中考试数学(文)
以坐标原点 O 为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C1 经过点 P 2 3, ,曲线 C2 的极坐标方程 6
为 2 2 cos2
6．
(1) 求曲线 C1 的极坐标方程；
(2) 若 A 1,
,B 2, 6
1
3
是曲线 C2 上两点，求
2
OA
1
2 的值．
OB
四川省成都市第七中学 2020 届高三上学期期中考试 数学（文）
0
8
（
）
A. 27
B. 27
1
C.
27
1
D.
27
1
1
7.已知 a ln2 3 , b ln3 3 , c log2 0.7 ,则 a, b, c 的大小关系是（
）
A. a b c
B. c a b
C. b a c
D. c b a
8.函数 f ( x) Asin( x ),( A, 0, π) 的部分图象如右图，
(2)若 bn an log 2 an ，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn ．
18.( 本小题满分 12 分) 自由购是一种通过自助结算购物的形式． 某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，
随机抽取了 100 人，调查结果整理如下：
20 以下 20,30
30, 40
40,50
50,60
60,70 70 以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
(1) 现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 30,50 且未使用自由购的概率； (2) 从被抽取的年龄在 50,70 使用的自由购顾客中 ,随机抽取 2 人进一步了解情况 ,求这 2 人年龄都在
四川省成都七中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题试题含答案
成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线y 2＝-8x 的准线方程是（ ）A ．y ＝2B ．x ＝4C ．x ＝-2D ．x ＝22．椭圆2212516x y +=的短轴长为（ ）A ．B ．10C ．8D ．63．双曲线22:149y x C -=的渐近线方程为（ ）A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±4．以下直线中，将圆x 2＋y 2-4x -2y ＋1＝0平分的是（ ）A ．x -y -1＝0B ．x -y ＋1＝0C ．2x -y ＝0D ．2x -y ＋3＝05．双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上且|PF 1|＝20，则|PF 2|等于（ ）A ．12或28B ．14或26C ．16或24D ．17或236．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2为等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2 D7．圆：x 2＋y 2＝4与圆：（x -3）2＋（y -4）2＝9的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 8．已知m ∈R ，则“m ＞3”是“方程22113x y m m -=--表示双曲线”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．F 为椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为第一象限内C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若C 的离心率为13，则直线AB 的斜率为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．4310．A ，B 是抛物线x 2＝2y 上的两点，O 为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB 的面积为，则∠AOB ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 11．如果实数x ，y 满足x 2＋y 2-6x ＋4＝0，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C D12．A 为椭圆22:184x y C +=的下顶点，B 为y 轴右侧椭圆C 上的点．若直线AB 与以M （0，13-）为圆心的圆相切于点P ，且14AP AB =，则直线AB 的斜率是（ ）A B ．12C D二、填空题（本大题共4小题）13．命题“若a ＝-1，则a 2＝1”的逆命题是________．14．抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________． 15．双曲线22:122x y C -=的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线C 于A ，B 两点，O为坐标原点，则OA OB ⋅＝________．16．已知点A （3，0），B （0，4），点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．三、解答题（本大题共6道小题，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知p ：∀x ∈R ，|x|＋1≥m ． q ：∃x ∈[0，π3]，tanx≥m ． （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若⌝p 为真命题，p ∨q 也为真命题，求实数m 的取值范围． 18．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F （2，0）． （1）求p ；（2）斜率为1的直线过点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 19．圆M 经过三点：A （-2，2），B （0，-2），C （4，0）． （1）求圆M 的方程； （2）求圆M 与圆N ：（x -3）2＋y 2＝25的公共弦的长．20．已知A （-2，0），B （2，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点N （1，1）作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，若点N 是线段PQ 的中点，求直线m 的方程．21．已知抛物线x 2＝2py （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求该抛物线的方程；（2）过点Q （-2，6）作动直线l 与该抛物线交于A ，B 两点（都与P 不重合），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．22．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0，且经过点（0，1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点． ①求|AB|（用实数k ，m 表示）； ②O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，且230AB =，求k 的值．2020—2021学年度上期高2022届半期考试 成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试数学（文） 参考答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．B 二、填空题13．若a 2＝1，则a ＝-1． 14．5 15．2 16．17 三、解答题 17．解：（1）∵∀x ∈R ，m≤|x|＋1，∴m≤（|x|＋1）min ．又∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴x ＝0时，（|x|＋1）min ＝1．∴m≤1，即p 为真命题时，m 的取值范围是（-∞，1]． （2）∵⌝p 是真命题，∴p 为假命题，∴由（1）得m ＞1．又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题．由∃x ∈[0，π3]，m≤tanx ，∴max π(tan )tan 3m x ≤=．综上，1m <≤m 的取值范围是（1．18．解：（1）∵22p=，∴p ＝4．（2）直线方程为y ＝x -2，联立y 2＝8x ，得（x -2）2＝8x ，∴x 2-12x ＋4＝0．∴Δ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x 1＋x 2＝12．∴焦点弦弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16． 解2：焦点弦弦长222816sin sin 45p AB θ===︒． 19．解：（1）设圆M 方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．∵圆M 过A （-2，2），B （0，-2），C （4，0），∴442204201640D E F E F D F +-++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得D ＝-2，E ＝-2，F ＝-8， ∴圆M 方程为：x 2＋y 2-2x -2y -8＝0．（2）圆N 的一般方程为：x 2＋y 2-6x -16＝0，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：4x -2y ＋8＝0．∴N （3，0）到直线距离d ==，∴相交弦长== 20．解：（1）设M （x ，y ），∴2AM y k x =+，2BM yk x =-，其中x≠±2，∴2212242AM BMy y y k k x x x =⋅==-+--，整理得轨迹C 的方程为：22142x y +=（x ≠±2）． （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴2211142x y +=，2222142x y +=，作差得22221212042x x y y --+=， ∴12121212()()()()24y y y y x x x x -+-+=-，∴121212122()2214()422PQ y y x x k x x y y -+⨯==-=-=--+⨯． ∴直线m 方程为：11(1)2y x -=--，即1322y x =-+，即x ＋2y -3＝0．∵N （1，1）在轨迹C 内部，且直线m 不经过A ，B ，∴满足条件， ∴直线m 方程为：x ＋2y -3＝0．解2：由题，直线m 斜率存在，设m 方程y -1＝k （x -1），联立y ＝kx ＋1-k 与x 2＋2y 2＝4，得x 2＋2（kx ＋1-k ）2＝4，整理得（2k 2＋1）x 2＋4k （1-k ）x ＋2（1-k ）2-4＝0．∵N （1，1）在轨迹C 内部，∴Δ＝[4k （1-k ）]2-4（2k 2＋1）[2（1-k ）2-4]＞0必成立． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则1224(1)221k k x x k -+==+，解得12k =-． ∴直线m 方程为：1322y x =-+，即x ＋2y -3＝0．21．解：（1）∵抛物线过P （2，4），∴22＝2p ×4，∴12p =，∴抛物线方程为x 2＝y ． （2）由题，l 斜率存在，设l 方程为y -6＝k （x ＋2），联立x 2＝y ，得x 2＝kx ＋6＋2k ， ∴x 2-kx -2k -6＝0，Δ＝k 2-4（-2k -6）＝（k ＋4）2＋8＞0成立． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝-2k -6．∴2211121212121211114444(2)(2)2()42222y y x x k k x x x x x x x x x x ----⋅=⋅=⋅=++=+++---- ＝-2k -6＋2k ＋4＝-2，∴k 1·k 2为定值-2，得证． 22．解：（1）∵C 过（0，1），∴b ＝1．又c e a ==a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， ∴C 的方程为：2214x y +=（2）①联立y ＝kx ＋m 与x 2＋4y 2＝4，得x 2＋4（kx ＋m ）2＝4，∴（4k 2＋1）x 2＋8kmx ＋4m 2-4＝0．∴Δ＝（8km ）2-4（4k 2＋1）（4m 2-4）＝16（4k 2＋1-m 2）＞0，∴4k 2＋1＞m 2． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+．∴AB ==．②∵12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴x 1x 2＋（kx 1＋m ）(kx 2＋m)＝0， 即（k 2＋1）x1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2＝0．∴22222448(1)04141m km kkm m k k --+⋅+⋅+=++，∴2222222222(1)(44)8(41)54404141k m k m m k m k k k +--++--==++，∴224(1)5k m +=．∴AB ==∴2（1＋k 2）(16k 2＋1)＝3（4k 2＋1）2，∴16k 4-10k 2＋1＝0，∴（2k 2-1）(8k 2-1)＝0．∴212k =或218k =．此时222224(1)1616(41)16[41](161)055k k m k k +∆=+-=+-=+>均成立，∴2k =或4．。
2020-2021成都七中育才学校学道分校高三数学上期中试卷含答案
2020-2021成都七中育才学校学道分校高三数学上期中试卷含答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）4．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1405．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．83236．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 410．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-111．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．设0,0,25x y x y >>+=______.15．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 16．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 17．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．18．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S 32，求sin C 的值． 23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围． 24．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在等比数列{}n a 中,()*10a n N>∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.26．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021成都七中嘉祥外国语学校高三数学上期中一模试题含答案
2020-2021成都七中嘉祥外国语学校高三数学上期中一模试题含答案一、选择题1．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABCV 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．212．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-33．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372 B ．34 C ．32或372D ．34或3724．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720205．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km6．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．237．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 411．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 14．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 16．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 17．在无穷等比数列{}n a中，121a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 18．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________19．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．20．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题21．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S ++⋯+． 22．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 23．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．24．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n nS n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.26．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．2．D解析：D【解析】作出不等式对应的平面区域，由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z，由图象可知当直线y=−x+z经过点A时，直线y=−x+z的截距最大，此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=−x+z的截距最小，此时z最小．由6{x yx y+=-=得A(3,3)，∵直线y=k过A，∴k=3.由3{20y kx y==+=,解得B(−6,3).此时z的最小值为z=−6+3=−3，本题选择D选项.点睛：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【详解】解：数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，即有n≥2时，a n-a n-1=n，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+…+n=12n（n+1），1n=也满足上式1na=()21n n+=2（1n-11n+），则122019111a a a++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020）=2（1-12020）=20191010．故选:B．【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．5．D解析：D【解析】【分析】先判断三角形DAB为直角三角形,求出BD,然后推出CBD∠为直角,可得CD,进一步可得cos BDF∠,最后在三角形EDB中用余弦定理可得BF.【详解】取AB的中点E,连DE,设飞机飞行了15分钟到达F点,连BF,如图所示:则BF即为所求.因为E为AB的中点,且120AB km=,所以60AE km=,又60DAE∠=o,60AD km=,所以三角形DAE为等边三角形,所以60DE km=,60ADE∠=o,在等腰三角形EDB中,120DEB∠=o,所以30EDB EBD∠=∠=o,所以90ADB∠=o,由勾股定理得2BD22221206010800AB AD=-=-=,所以3BD km=,因为9030CBE∠=+o o120=o,30EBD∠=o,所以CBD∠90=o,所以240CD ===km ,所以cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．8．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.9．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a =4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.10．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.11．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-， 所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=，故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+解析：5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．【详解】作出实数x，y满足102010x yx yx y++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大．又x10y--=与20x y-=联立得A（2，1）此时z最大，此时z的最大值为z＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6【解析】【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.16．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 17．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出． 【详解】解：根据等比数列的性质，数列1321,,,n a a a -⋯是首项为1a ，公比为2q 的等比数列。
2020-2021成都七中实验学校高三数学上期中模拟试卷含答案
2020-2021成都七中实验学校高三数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+3．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．164．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4C ．16D ．8 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1408．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n9．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．403710．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．2 D ．411．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．212．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B ．33C ．5 D ．77二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．17．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 19．在中，若，则__________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2a b ==，求()sin 2B C -的值.22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积．23．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积；（2）若ABC V a ，c . 25．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若asinB =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021成都七中育才学校三圣分校高三数学上期中试题含答案
2020-2021成都七中育才学校三圣分校高三数学上期中试题含答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形3．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值315．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( )A ．2BC ．2D ．46．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．148．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A B ．34C ．32或D ．349．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．16．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．17．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．18．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．19．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．22．已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin BC B ==，求ABC ∆的面积. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．25．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC V 3，求ABC V 的周长．26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.6．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得292722a a =+-⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则12BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：2226(26222CD =+-⨯⨯⨯，或2223()23222CD =+-⨯⨯，∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试卷及答案
四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题一、单选题1．设集合U =R ，集合{}210A x x =->，{}02B x x =<≤，则集合()U A B =A ．()11-，B ．[]11-，C ．(]01，D ．[]12-， 2．已知i 是虚数单位，设2332iz i-=+，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则∠ABC =A ．30B ．45C ．60D ．1204．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18C ．115D ．1305．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2120n n n a a a n *+++-=∈N ．若16182024a a a ++=，则35S =（ ）．A ．140B ．280C ．70D ．4206．已知命题:p 存在 a R ∈，曲线221-=x ay 为椭圆；命题1:02x q x -≤-的解集是{}12x x <<．给出下列结论中正确的有（ ）①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且（q ⌝）”是真命题；③命题“（p ⌝）或q ”为真命题；④命题“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S 的值为（参考数据：sin150.2588sin7.50.1305︒︒=＝，）A ．2.598B ．3.106C ．3.132D ．3.1428．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，则()2f x +是偶函数.B ．若函数()32120163f x alog x blog x f =++=，（），则132016f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；C ．对于函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠都满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；D ．函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，且()f x 为增函数.9．设函数11()cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =（ ）A ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线6x π=对称B ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线6x π=对称D ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线3x π=对称10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；1311．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．函数2()sin f x x =的最小正周期为_______.14．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.15．若x ，y 满足约束条件50210,210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为________．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．三、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2sin (2)sin (2)sin a A b B c C =+. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（1）建立y 关于x 的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnxπ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，ACBD O =.（1）证明:1B C 平面1A BD ；（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积.20．设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过F 且x 轴垂直的直线与椭圆的一个交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 且与l 垂直的直线与x 轴和y 轴分别交于N 、P 两点，记FMN ∆和OPN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1210S S =，求直线l 的方程.21．已知函数()12,x xf x te t R e =--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值.参考答案：1．C解不等式得A,求得UA ，进而可求().U AB ⋂解：因为集合{}{}21011A x x x x x =->=-或，所以{}11UA x x =-≤≤，所以(){}01U A B x x ⋂=<≤. 故选C.【点睛】本小题考查集合的基本运算，全集、补集、交集等基础知识：考查运算求解能力. 2．A由复数除法法则计算出z ，再计算出2z +，可得其对应点的坐标，得所在象限．解：由已知223(23)(32)649632(32)(32)13i i i i i i z i i i i -----+====-++-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握除法运算法则和共轭复数的概念是解题基础． 3．A解：试题分析：由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知||=?a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4．C解：试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 5．B由()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，可得数列{}n a 为等差数列，再根据16182024a a a ++=，可得188a =，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.解：解：∵()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 为等差数列，由等差数列的性质得1620135182a a a a a +=+=， ∵16182024a a a ++=，∴188a =， ∴135351835353582802a a S a +=⨯==⨯=． 故选：B ． 6．B由已知命题描述，判断p 、q 的真假，再判断由或且非组合p 、q 构成的复合命题真假即可.解：当12a =-时曲线221-=x ay 为椭圆，故p 是真命题；102x x -≤-的解集是{}12x x ≤<，故q 是假命题； ∴p ⌝是假命题，q ⌝是真命题.“p 且q ”是假命题，①错误；“p 且（q ⌝）”是真命题，②正确；“（p ⌝）或q ”为假命题，③错误；“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题，④正确． 故选：B 7．C解：阅读流程图可得，输出值为：136048sin 240.1305 3.132248S =⨯⨯≈⨯= .本题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．A根据函数奇偶性、对数函数、指数函数的性质，计算可得.解：解：对于A ，因为函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，故()f x 关于2x =对称，则()2f x +关于0x =对称，即函数()2f x +是偶函数，故A 正确；对于B ，因为()()32120163f x alog x blog x f =++=，， 即()3220162016201613f alog blog =++=，32201620162alog blog ∴+=()323211112016201611201620162016f alog blog alog blog ⎛⎫∴=++=-++=- ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠，1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()12111222l ln ln 22n f x f x x x x x +==+因为()2112212x x x x +>，ln y x =在定义域上单调递增，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭ 故C 错误；对于D ，函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，但当1a >时，()f x 为增函数；当01a <<时，()f x 为减函数，故D 错误； 故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数、对数函数的应用，属于中档题. 9．B利用辅助角公式可得1()2sin()23f x x π=+，再由正弦函数的性质判断各选项的正误.解：由题设，1111()cos ]2sin()2622623f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1(,)2332x πππ+∈，可知：()y f x =在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；6x π=时，152312x ππ+=，显然不是()y f x =对称轴，3x π=时，1232x ππ+=，此时1sin(231)x π=+，3x π=是()y f x =对称轴.故选：B 10．D解：分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数， 所以中间一个矩形最该，故数据的众数为101512.52+=， 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 第一个矩形的面积为0.2，第二个矩形的面积为0.3，故将第二个矩形分成3:2即可， 所以中位数是13，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 11．C解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积． 12．A解：试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)bA a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a-⇒22221)33b b b a c e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 13．π 解：试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.14．2214x y -=解：依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.15．8解：画出可行域(如图所示)，通过平移直线y ＝－2x 分析最优解．∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由50,210x y x y +-=⎧⎪⎨⎪-+=⎩ 解得x=3,y=2 ∴z max ＝2×3＋2＝8. 16．8解：试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．17．（1）6π；（2（1）ABC 中，由正弦定理得222b c a +-=，再由余弦定理求得cos A =，6A π=；（2）ABC 中，由正弦定理得到sin B =，进而得到角B ，再由内角和为π得到角C ，由三角形面积公式即得结论．解：（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =+，整理得222b c a +-=，所以cos A =又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又2a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABCSab == 若23B π=，则6C π=，于是1sin 2ABCS ab C ==． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题 18．（1）222955y x =+；（2）7． （1）根据公式求线性回归方程即可；（2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 解：（1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==， 则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．（1）证明见解析（2【解析】（1）由已知可得11B C A D ∥，即可证明结论；（2）由（1）1B C 平面1A BD ，有111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=，根据已知条件，即可求解.解：（1）依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C平面1A BD .（2）依题意，12,AA AO ==1Rt AAO △中，11AO ， 所以三棱锥1A BCD -的体积1A BCDV 113BCD S AO =⋅△21213⎫=⨯⨯⎪⎪⎝⎭=由（1）知1B C平面1A BD ，∴111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于基础题,20．（1）22143x y +=；（2）3(1)y x =±+. （1）由椭圆得性质得出1c =，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程结合,,a b c 的关系，列出方程组求解即可得出椭圆方程；（2）设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理得出点M 的坐标，再由直线MP 方程得出点P ，N 的坐标，由三角形面积公式以及1210S S =，得出m 的值，即可得出直线l 的方程.解：（1）222219141ab a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩22143x y ⇒+=. （2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB 方程为1x my =-. 设1122(,),(,)A x y B x y联立椭圆方程可得()2234690m y my +--=221634y y m m ∴++=，()122221268234324m x x m y m m y -+=+--+==+ 2243,3434m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭21:34MP y m x m ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭234P m y m -⇒=+ 同理2134N x m -=+，12||||||M FN y S S NO OP ⋅=⋅10N F M N P x x y x y -=⋅=21193m m ⇒=⇒=± 所以直线方程为：3(1)y x =±+【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点求椭圆方程以及椭圆中和三角形相关的问题，属于中档题.21．（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1 (1)依题意4t =-可知()142xx f x e e =---,则()()12121()4x x x x xe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果.(2)当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间,()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在0,上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点.解：（1）当4t =-时，()142xxf x e e =---. 则()()12121()4x xx x xe ef x e e e +-'=-+=， 令0f x，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞， ∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x xx x x te t e te e '=--=-++，令0g x，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()g x 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点 ∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-，令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>.∴()F t 在0,上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 解：解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=， 由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.。
精品解析：四川省成都市第七中学2020届高三高中毕业班三诊模拟数学(文科)试题(解析版)
【答案】C
【解析】 【分析】
根据程序框图的运行，循环算出当 S 31 时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】由题可知，程序框图的运行结果为 31，
当 S 1时， i 9 ； 当 S 1 9 10 时， i 8； 当 S 1 9 8 18 时， i 7 ； 当 S 1 9 8 7 25 时， i 6 ； 当 S 1 9 8 7 6 31时， i 5 . 此时输出 S 31 .
4
【答案】C
11π
B.
2
C. 11π
D. 22π
【解析】 【分析】
考虑一个长方体 ABCD A1B1C1D1 ，其四个顶点就构成一个四面体 AB1CD1 恰好就是每个三角形边长为
3, 3, 2 ，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，即可得外接球的表面积.
【详解】设长方体 ABCD A1B1C1D1 的长宽高分别是 a, b, c ，其四个顶点就构成一个四面体 AB1CD1 满足
a3 2a2 4 ，
a4 2a3 8 ，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.
x 1
14.已知实数
x
，
y
满足线性约束条件
y
1
，则目标函数 z 2x y 的最大值是______.
x y 7
【答案】15
【详解】 所给数列为高阶等差数列 设该数列的第 8 项为 x
根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：
根据图象可得： y 34 12 ，解得 y 46
四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期10月阶段考试文科数学试题和答案
高2022届高三上期数学（文科）阶段性测试题本卷满分150分 ；考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{||2|3}A x x =-<，则A =RA ．(,1)(5,)-∞-+∞B ．(,1][5,)-∞-+∞C ．[]1,5- D ．(1,5)-2．已知复数43i 1i z =+-，其中i 为虚数单位，则z z += A ．i B ．7i C ．7D ．1 3．已知命题23000:(0,1),p x x x ∃∈≥，则命题p 的否定为A ．23000(0,1),x x x ∃∈≤B ．23000(0,1),x x x ∃∈<C ．23(0,1),x x x ∀∈<D ．23(0,1),x x x ∀∈≤4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，12()4log (1)x f x x -=+-，则(1)f =A ．3B ．3-C ．5D ．5-5．“22m n <”是“ln ln m n <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m = A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.6 7．已知单位向量,a b 满足||20++⋅=a b a b ，则|3|+a b 的值为A B ．7C D ．8.在ABC △中，1AB =，AC =6C =π，则B = A ．4π B ．4π或2πC ．34πD ．4π或34π9．已知4tan 23α=-，02απ<<，则sin 3cos αα+=A B ．2 C D 10.若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a λλ+-+-=∈R ，则67a a λ+的最小值为A ．2-B ．4-C ．2D ．4三、解答题：共70分。
成都七中2021届高三文科数学上期入学考试试卷答案
注：没验证 | | 4 3 要酌情扣分 3
2x,
23．【解析】
2
பைடு நூலகம்
9 ，因此 2
DF2
3 2. 2
所以 2a DF1 DF2 2 2 ，故 a 2, b2 a2 c2 1
因此，所求椭圆的标准方程为： x2 y2 1 2
（2）如图，设圆心在
y
轴上的圆 C
与椭圆
x2 2
y2
1相交， P1 x1,
y1 , P2
x2,
y2
是两个
交点， y1 0, y2 0 ， F1P1 , F2P2 是圆 C 的切线，且 F1P1 F2P2 由圆和椭圆的对称性，易
75.3 24.6 18.3 6 101.4 24.62 6
0.27 0.54
1 2
i 1
aˆ
u
bˆv
18.3
1 2
24.6
，
1
6
由 aˆ ln cˆ 得 cˆ e，
所以 y 关于 x 的回归方程为 yˆ ex0.5 .
20．【答案】（1） a 的值为 1；（2） a 的取值范围是 ( 1 , ) . 2
所求概率为 3 1 . 15 5
（2）对 y c xb 两边取自然对数得 ln y ln c b ln x
令 vi ln xi ,ui ln yi ，则 u b v a ，且 a ln c
由所给统计量及最小二乘估计公式有：
n
bˆ
v1ui nuv
i 1 n
vi2 nv 2
1 2 ，即 3x12
4x1
0，
解得
x1
4 3
或
x1
0
.
当 x1 0 时， P1, P2 重合，此时题设要求的圆不存在.
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题(九大题型)(原卷版)-高中数学
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3）（4） ()0f a =()0f b =,a b ()0f x =()x f x x e =×()xf x e x =±x ()()1122,,,A x y B x y ,A B AB (),n a n ()1,1n a n --)1();0(1=³=+³x ex e x x e x x )(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =£=-££-x x x x tan sin ,2,0<<÷øöçèæÎp 0a >噍1,0a x ¹>log a x a x =0a >1a ¹log xa a x =0 x >()ln ee ;ln ln e xx x x x x x x +=+=ln :ln lnx x x xe e e x x x x-=-=（5）（6） 再结合常用的切线不等式lnx x -1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；()22ln 2e e ;2ln ln e xx x x xx x x +=+=2ln 2ln 22,x xx x x x e e e e x x--==£ln ,e 1,e e exx x x x x £³+³ln ee ln 1xx x x x x +=³++()ln ln e e 1x x x x x x +=£-ln e e e(ln )x x xx x x +=³+()1ln ln x xx xe x x xe xe e-+=£=x xe ln x x 1ln ln ln ln log ln ln ln ln ln ln xx ax a x e a xa x e x a e x x x e x a x a e a>Þ>Þ×>=×Þ>Þ>ln ln 1ln ln ln ln x x x x x xee x x e x x x e x e x x el l l l l l l l l l >Þ>Þ×>Þ×>×Þ>Þ>()()()()ln 1ln 11ln 1ln 1x ax e ax x x e x ax x ++>+++=++Þ>+x ln ln ln ln ln ln ln x a x a x a e x x a e x e ×>Û×>×x log log log log a x x x a a a a x a x x x a x >Û+>+=+x xe ln x x x xe ln x x题型一：同构法的理解【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)； (7)； (8)．【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.2log 20kx x k -׳21e0xl l-³2ln e 0mx x x m -³()æö+³+ç÷èø1e 12ln ax a x x x ()()ln 1212e xa x x ax -+-³+ln e (1)x a x a x x x -++³>e 2ln 0x x x ---=2e ln 0x x x +=x e 2ln 2ln 2ax a x -£a ()22ln f x x ax x =-+()f x ()0,e axa f x >£a题型二：利用同构比较大小【典例2-1】已知，且，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【典例2-2】已知．且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】已知a ，b ，，且，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A ． B ． C ．D ．题型三：方程同构【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则 ．【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a ，b 满足，则ab ＝ ．【变式3-1】设x ，y 为实数，且满足，则（ ）A ．2B ．5C ．10D ．2018【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b 的方程可化为同构方程，则的值为（ ）A ．B ．eC ．D ．11,,,e a b c æöÎ+¥ç÷èøln55ln a a =-ln33ln b b =-ln 22ln c c =-b<c<a c b a <<a c b <<a b c <<,,(1,)a b c Î+¥2ln 22ln 12a a --=212ln 1eb b --=2ln π2ln 1πc c --=b a c >>b c a >>a b c >>c a b >>(0,1)c Î5ln ln 5a a -=-4ln ln 4b b -=-3ln ln 3c c -=-b<c<a a c b <<a b c <<c b a <<0.5ln 2a =()0.4ln5ln 2b =-()8ln 3ln 29c =-a b c a b c <<b a c <<c b a <<a c b <<,a b 2024a a e -=3ln 2021ln b b e -+=ab =20210a e a --=2ln ln 20190,b e b ---=()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-ìï-+-=íïîx y +=()e x f x x =+()ln ln ln e ln xf x x x x =+=+e x x +ln x x +12,x x 11e 6xx +=23522x =123x x +=a 24e e a a -=()31(ln 2),b b a b l -+-=Îe R ab 8e ln 6题型四：零点同构【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点；(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．()e x f x ax =-()ln g x ax x =-()y f x =()y g x =1x =a ()f x ()g x a y b =()y f x =()y g x =()e x f x ax =-()ln g x ax x =-a y b =()y f x =()y g x =ln (),()e x x xf xg x x==()()y f x y g x ==キ()()y f x y g x ==キ10,e a æöÎç÷èøy a =()()y f x y g x ==キ()()()123,,,x a x a x a キキ123x x x <<123x x x キキ【变式4-2】已知函数和有相同的最大值. (1)求；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型五：双元同构【典例5-1】已知函数． 当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围；若，且对任意，，，都有，求实数a 的最小值．【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．0D ．【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()e x ax f x =()ln xg x ax=b ,a b y m =()y f x =()y g x =()()21ln 112f x a x x a x =++++()11a =-()f x ()2()f x ()0,+¥()30a >1x ()20,x Î+¥12x x ¹()()12122f x f x x x ->-a b ÎR()b ab b a e be a l ---³-l e e -x y 24ln 2ln 44x y x y +³+-xy =x y +=21x y +=31x y =21()e (1)2x f x ax a x =-++12,(0,)x x Î+¥()()1212f x f x a x x -<-a (,0]-¥(0,1)(,1]-¥[1,)+¥【变式5-3】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型六：朗博同构【典例6-1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【变式6-1】不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【变式6-2】对任意，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．题型七：利用同构解决不等式恒成立问题【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2[1,)x Î+¥21x x >2211ln2()x a x x x <-a (,0]-¥(,1]-¥(,2]-¥(,3]-¥x y ()24ln 2ln 284x y x y +³+-xy =x y +=122x y +=21x y =()ln 2(0)f x a x x a =->()2e 31a xx f x -³+0x >a 0x >24e 2ln 1x x x ax ×-³+a 4e24e 2e 2ln210x x ax x ---³a 14120x >2e ln (0)x ax ax x a £+>(0,2e](1,)+¥(0,1](]0,e ()log ,(0,1)(1,)xa f x a x a =-ÎÈ+¥()f x a ()211ln e x x a x -<+()1,x Î+¥a [)1,+¥3,2éö+¥÷êëø[)2,+¥[)4,+¥()1e ln 1axf x a x +=-+()()e,,0x f x Î+¥³a 210,eæöç÷èø1,e ¥éö+÷êëø[)e,+¥21,e éö+¥÷êëø【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-4】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．题型八：利用同构求最值【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例8-2】已知函数，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-2】已知函数，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-3】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．5D ．11()1n22xf x ae ax =+-+()0f x >a 0e a <<2e a >e a >2e a >()e 1kxf x =+()11lng x x x æö=+ç÷èø()()kf x g x ³(]0,e [)e,+¥1,e ¥éö+÷êëø10,e æùçúèû22e ln ln x x l l +³()0,x Î+¥l 1,e ¥éö+÷êëø21,e éö+¥÷êëø1,2e éö+¥÷êëø2,eéö+¥÷êëøx ln e x x =()ln e0xx x =>()e xf x x =×()ln xg x x=-()()120f x g x t ==>12e t x x 21e 1e1e ()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=()2122ln -x x x t 1e-12e-21e 2e()()ln 1f x x x =+-()ln g x x x =()112ln f x t =+()22g x t =ln t 21e 1e-12e -2e()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=122ln tx x x -12e1e12e e a b 22ln ()e na b b a<n题型九：利用同构证明不等式【典例9-1】已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【典例9-2】已知函数． （1）讨论函数的零点的个数；（2）证明：．【变式9-1】已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．【变式9-2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（3）证明：当时，．2()2()1a f x lnx a R x =+-Î+()f x 2a =()0f x >(1,)+¥0x >2(1)1x x ln x e +>-21()x f x e x=-()fx 220x xe lnx x -->()1()f x ax lnx a R =--Î2a =()f x ()f x 1x =(0,)x "Î+¥()2f x bx -b 1x y e >>-(1)(1)x y ln x e ln y -+>+()2(1)sin 1f x ln x x =+++()1(g x ax blnx a =--b R Î0)ab ¹()g x 0x ()31f x x +1x >-2sin ()(22)x f x x x e <++1．若对任意的，且，则m 的最小值是（ ） A． B ． C ． D ． 2．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是 3．若，则实数a 的取值范围为4．已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 5．已知当，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 . 6．当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 7．已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 8．已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值；(2)若，恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2024·云南·模拟预测）已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.12,(,)x x m ¥Î+12211221ln ln ,2x x x x x x x x -<<-2e 1e 21e e 412,(2,)x x Î+¥12x x <2211ln 2()0x a x x x --<a e ln()x ax x ax -³-+1a >()1,x Î+¥11e 1e ln e ln 0x a a x x xæö--£ç÷èøa (]0,e x Î2eln 2x x a a +³-0x >2e ln e xx x a a ³a e x ³11e ln a x x a x x+-³a ()ln 1f x x ax =-+R a Î()f x []1,20x ">()2e 2x f x x ax £-()e ,()ln .x f x a g x x =+=()g x 1x =l ()f x a ()()f x a g x +³a10．已知函数 (1)若求曲线在点处的切线方程．(2)若证明：在上单调递增．(3)当时，恒成立，求的取值范围．11．已知函数. (1)求的最小值；(2)求证：；(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.12．（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.13．（2024·广东深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.()()e 1ln ,.x a f x x ax x a =+-ÎR 0,a =()y f x =(1,(1))f 1,a =()f x (0,)+¥1x >()ln f x a x ³a ()()e 0xf x x x>=()f x ()ln 3f x x x >-+1x ³()e ln 2x a ax ax +Ｌa ()e x f x a =()()F x f x x =+2x >()2ln2x f x a->-a ()2e 1x a f x x-=()()1,1f ()22,2e a ()f x ()21ln ax g x x-=x ()2e 1x xg x l l £-()1,+¥l14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数，其中，.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数恒成立，求的取值范围.15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．16．（2024·广东汕头·三模）设，，(1)证明：；(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.()()e ln 11x f x a ax =-+-0a >0x ³1a =()f x ()0f x ³a ()ln ln (1)2(0)f x x a a x a =++-+>()f x 2e ()x f x -³a ()e x f x =()ln g x x =()()1xf x x g x ³++y t =()xy f x =()g x y x =()1,A x t ()2,B x t ()3,C x t ()123x x x <<1x 2x 3x17．（2024·江西宜春·一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.(1)求；(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.()()ln 1f x x a x =+-a ÎR ()f x 0x >()2e ln 41x f x x x x £---a ()x f x e =ln()()n x g x =+:l y x m =+()y f x =()y g x =,m n ():01l y s s ¢=<<()y f x =l ()y g x =112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 123x x x <<123,,x x x s。
2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(文)试题(解析版)
2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学（文）试题一、单选题1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】 解：Q3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【答案】C【解析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题.3．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x=的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 【考点】正切函数的图象与性质.4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A. 【考点】1.不等式性质；2.充要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+【答案】C【解析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算． 【详解】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体， 作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积21122442424224222124022S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6．在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A ．12B ．38C ．14D ．18【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+…， 则18ab …当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18，故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．152B ．314C ．334D ．172【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题． 8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.9．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x '->，则当24a <<时，有（ ）A ．()()()222log a f f f a <<B ．()()()222log a f f f a << C ．()()()22log 2a f f a f << D ．()()()2log 22a f a f f << 【答案】C【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意R x ∈都有()()4f x f x =-，∴函数()f x 对任意R x ∈都有()()x f x f -=+22，∴函数()f x 的对称轴为2=x ，∵导函数()x f '满足()()20x f x '->，∴函数()f x 在()+∞,2上单调递增，()2,∞-上单调递减，∵42<<a ，∴1624<<a，∵函数()f x 的对称轴为2=x ，∴()()a f a f 22log 4log -=，∵42<<a ，∴2log 12<<a ∴3log 422<-<a ∴aa 2log 422<-<，∴()()()af a f f 2log 422<-<，∴()()()22log 2a f f a f <<，故选C. 【考点】（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离之和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为（ ） A ．[6,)+∞ B ．[4,6]-C ．(4,6)-D ．(,4]-∞-【答案】A【解析】由点到线的距离公式表示出点到直线1l 与2l 的距离之和，取值与x ，y 无关，即这个距离之和与P 无关，可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关，即圆夹在两直线之间，临界条件为直线2l 恰与圆相切，即可求出a 的取值范围. 【详解】解：点P 到直线1349:0l x y --=与直线2:340l x y a -+=距离之和d +=Q 取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与P 无关，如图所示：可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关， 当直线2l 1=，化简得|1|5a -=，解得6a =或4a =-（舍去），6a ∴…故选：A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题11．若a r，b r，c r满足，||||2||2a b c ===rrr ，则()()a b c b -⋅-rrrr的最大值为（ ） A ．10 B ．12C ．53D ．62【答案】B【解析】设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，表示出a b -r r，-r r c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则a b BA -=r r uu r ，c b BC -=r r u u u r()()cos a b c b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠r r r r u u u r u u u r u u u r u u u rg g||||2||2a b c ===r r rQ4BA ∴≤u u u r ，3BC ≤u u u r当且仅当BA u u u r ，BC uuur 同向时()()a b c b --r r r r g 取最大值12故()()max12a b c b--=r r r rg 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12．点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．1,2⎡⎢⎣⎦B ．4⎡⎢⎣⎦C ．342⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】 解：如下图所示：分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，连接1BC ，M Q 、N 、E 、F 为所在棱的中点，1//MN BC ∴，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， //MN ∴平面AEF ；1//AA NE Q ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， 1//A N AE ∴，又1A N ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A N MN N =I ，∴平面1//A MN 平面AEF ，P Q 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △11A B M 中，1A M =，同理，在Rt △11A B N 中，求得12A N =， ∴△1A MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于M 、N 处时1A P 最长，14AO ===，112A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32[4，5]2．故选：B ．【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．二、填空题13．命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”． 14．在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】略15．设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为__________. 【答案】【解析】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，，则，令，则,,所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.16．已知，，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式．三、解答题17．设的内角、、所对的边分别为、、,已知,且.（1）求角的大小;（2）若向量与共线, 求的值.【答案】(1);(2)。
2020-2021成都七中高三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021成都七中高三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+3．在ABC V 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．1010B ．105C ．310D ．5 4．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km B ．3 kmC ．105 kmD ．107 km 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372B ．34C ．32或37D ．3437 8．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2310．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．14．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 15．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________16．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．18．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .22．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 23．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.24．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3cos A A =+，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021成都市七中育才学校高中必修三数学上期中第一次模拟试题(含答案)
20．如图程序框图的输出结果是_________.
三、解答题
21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某
校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班 60 名同学中，对此事关注的占 1 ，他 3
们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：
（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于 80 分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的 2 2 列联表：
C． 3 55
D． 4 55
5．如图，是民航部门统计的某年春运期间12 个城市出售的往返机票的平均价格以及相比
上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高. B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降. C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州. D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百 僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映
布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 1000,1500 ）.
（1）求居民收入在 3000,3500 的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 人中按
分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在2500,3000 的这段应抽取多少人？
2 2
B．
0,
2 2
C．
四川省成都市第七中学2020届高三数学热身考试试题文含解析
四川省成都市第七中学2020届高三数学热身考试试题 文（含解析）本试题卷共4页，24题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.本次考试结束后，不用将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->，则A B =（ ）A. 33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，化简集合A 、B ，再求并集，即可得出结果.【详解】∵{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭, 所以{}1A B x x ⋃=>. 故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的并集，熟记并集的概念，以及一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2. 已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-，B. (13)-，C. (1,)+∞D.(3)-∞-，【答案】A 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R）．复数z ＝a ＋bi （a ，b∈R）平面向量OZ .3. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.4. 设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m =（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】D【解析】 【分析】 先由222a ba b +=+得到0a b ⋅=，再由向量数量积的坐标表示列出方程，即可得出结果.【详解】因为222a ba b +=+，所以22222a b a b a b ++⋅=+，因此0a b ⋅=，又向量(),1a m =，()1,2b =， 所以20a b m ⋅=+=，解得2m =-. 故选：D.【点睛】本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.5. 若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k∈Z） B. x=26k ππ+（k∈Z） C. x=212k ππ-（k∈Z） D. x=212k ππ+（k∈Z） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C.【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 8. 已知432a =，254b =，1325c =，则 A. b a c << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =， 因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <， 即b <a <c . 故选：A.9. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.310B.10 C. 10-D. 310-【答案】C 【解析】 试题分析：设22,2,5sin cos ,sin ,cos cos 255AD a AB a CD a AC a A ααββ=⇒===⇒====⇒10cos()αβ=+=-,故选C.考点：解三角形.10. 已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：2214x y +=上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<，则x 0的取值范围是（ ）A. 266,33⎛- ⎝⎭B. 232333⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C. 3333⎛- ⎝⎭D. 66,33⎛- ⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据120PF PF ⋅<以及2214x y =-，解不等式可得结果. 【详解】由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则12PF PF ⋅＝0000(,),)x y x y -⋅-2000()x x y =+22003x y =-+0<. 因为点P 在椭圆上，所以22014x y =-，所以2200(1)304x x +--<，，解得033x -<<， 即x 0的取值范围是33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了椭圆的标准方程，属于基础题. 11. 点P 是棱长为2的正四面体ABCD 的面ABC内一动点，DP =，设异面直线DP 与BC所成的角α，则sin α的最大值为（ ） A. 1D.2【答案】A 【解析】 【分析】作DO ⊥平面BAC 于O ， O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，计算出下在四面体的高是3，OP =，从而平面ABC 内，P 在以OP 运动时，DP 是圆锥的母线，BC 平移到圆锥底面圆直径位置，利用圆锥的性质，这个角的最大值是直角，由此可得结论．【详解】如图1，作DO ⊥平面BAC 于O ，∵ABCD 是正四面体，∴O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，易知DO ===，∴OP ===，所以平面ABC 内，P 在以O 为圆心，3为半径的圆上，P 运动时，DP 是圆锥的母线， 如图2，把圆锥PO 平移到四面体外部，不妨设//BC MN ，MN 是圆锥底面圆的一条直径， 母线DP 与MN 所成角的最大值2π， 所以异面直线DP 与BC 所成的角的正弦的最大值是1． 故选：A ．图1 图2【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是找到在平面ABC 内P 点的轨迹．DP 所形成的空间图形，把BC 平移到圆直径位置，母线与底面直径所成角的最大值是2π，由此可得结论．12. 定义在R 上的函数()[]22f x x x =--有（ ）个零点？（其中[]x 表示不大于实数x的最大整数） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】令()[]220f x x x =--=，得[]22x x -=，令()212f x x =-，()[]1g x x =，在同一坐标系做出两函数的图像，由两函数图像的交点个数可得选项.【详解】令()[]220f x x x =--=，得[]22x x -=，令()212f x x =-，()[]1g x x =，在同一坐标系做出两函数的图像如下图所示， 两函数图像有3个交点，所以函数()[]22f x x x =--有3个零点，即221x -=-或221x -=或222x -=， 解得1x =-或3x =或2x = 故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，将函数的零点问题转化为两函数的交点问题是处理此类问题的常用方法，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）～（24）题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x ='为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】3 【解析】 试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f =∴'='【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．14. 若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥-≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y=+的最大值为_____________．【答案】3 2【解析】试题分析：由下图可得在1(1,)2A处取得最大值，即max13122z=+=.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为a zy xb b=-+；（3）作平行线：将直线0ax by+=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（小）值.15. 在ABC中，60A∠=︒，23BC=D BC中点，则AD最长为_________.【答案】3【解析】在ABD ∆和ADC ∆中，分别利用余弦定理，求得22262b c x +=+，再在ABC ∆中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设AD x =，ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-， 在ABD ∆中，由余弦定理，可得2222cos AB BD AD BD AD θ=+-⋅， 即22323cos c x x θ=+-，①ADC ∆中，由余弦定理，可得2222cos()AC CD AD CD AD πθ=+-⋅-，即22323cos b x x θ=++，② 由①+②，可得22262b c x +=+，在ABC ∆中，由余弦定理，可得2222cos60BC AB AC AB AC =+-⋅，即22222222221(23)()322b c c b bc c b b c x +=+-≥+-=+=+，解得29x ≤，所以3x ≤，即AC 的最大值为3. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到22262b c x +=+，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 抛物线()220y px p =>上点A 与焦点F 距离为2，以AF 为直径的圆与y 轴交于点()0,1H ，则p =_________.【答案】2 【解析】法一：首先根据抛物线方程和焦半径公式表示点A 的坐标，再根据0HF HA ⋅=求解点A 的坐标和p 值；法二：利用以AF 为直径的圆与y 轴相切，利用切点为()0,1H ,求得点A 的坐标和p 值.【详解】法一：根据,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点A 与焦点F 距离为2， 所以A 点横坐标为22p -，所以A 点纵坐标222242p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①；即,12p HF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,12p HA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭根据0HF HA ⋅=，得到24104p p y --+=从而根据①解得2y =，从而带入①解得2p =.法二：设()00,A x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由焦半径公式可知022p x +=则线段AF 的中点到y 轴的距离022122px d +===， 所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，由题意可知切点为()0,1H ， 则点A 的纵坐标为2，横坐标22p -， 则2242p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：2p =. 故答案为：2【点睛】本题考查抛物线方程，几何性质，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键利用焦半径公式表示点A 的横坐标，以及点A 在抛物线上，建立方程求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()22224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）3，2，2（2）（i ）见解析（ii ）521【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．19. 如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中222AB AD==，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D AE B--.（1）求证：AD⊥平面BDE；（2）求四棱锥D ABCE-体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）先证AE BE ⊥，由面面垂直（直二面角）得BE ⊥平面ADE ，再得线线垂直BE AD ⊥，然后可得线面垂直；（2）由直二面角即面面垂直，可求得D 到平面ABCE 的距离，从而可求得体积． 【详解】（1）由题意22(2)(2)2AE BE ==+=，所以222AE BE AB +=，所以AE BE ⊥，又二面角D AE B --是直二面角，即平面DAE ⊥平面ABE ，平面DAE平面ABE AE =，BE ⊂平面ABE ，所以BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又因为AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE ；（2）以AE 中点M ，连接DM ，因为AD DE =，所以DM AE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABE ，平面DAE平面ABE AE =，DM ⊂平面ADE ，所以DM ⊥平面ABE ，直角三角形ADE 中，112DM AE ==， 11()(222)2322ABCE S AB CE BC =+⋅=+⨯=，所以1131133D ABCE ABCE V S DM -==⨯⨯=．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求棱锥的体积，掌握线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理是解题关键．20. 已知椭圆22221x y a b+=，O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =.（1）求椭圆方程；（2）若点A ，B ，C 都在椭圆上，D 为AB 中点，且 2CO OD =，求ABC 的面积？【答案】（1）22143x y +=；（2）92. 【解析】 【分析】（1）直接根据离心率和长轴长定义得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，根据向量运算和中点坐标公式得到CD 坐标，计算弦长和点到直线距离，代入面积公式得到答案. 【详解】（1）根据题意知：24a =，2a =，12c e a ==，故1c =，b =22143x y +=. （2）①若直线AB 垂直于x 轴，则AB 中点在x 轴上，不妨取点()2,0C ， 根据2CO OD =得()1,0D -，故31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，故3AB =， 11933222ABCSAB CD =⋅=⨯⨯=． ②若直线斜率存在，设直线:AB y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得到()()222438430k x kmx m +++-=，判别式()2204834k m ∆+->=，即22340k m +->，()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， AB 中点2243,4343km m D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，根据2CO OD =得到点2286,4343km m C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为点C 在椭圆上，代入椭圆2222864343143km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22344k m +=. 验证满足>0∆，则12x AB =-=3m==，又原点O到直线AB的距离d=所以1322ABOS d AB==△，所以932ABC ABOS S==△△．综上所述：ABC的面积为92.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆内的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知()()1xf x e ax a R=--∈.（1）若()0f x≥对x∈R恒成立，求实数a的范围；（2）求证：对*n N∀∈，都有111112311111n n n nnn n n n++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）{}1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()f x的导数，分0a≤和0a>两种情况讨论，利用导数分析函数()f x的单调性，求得函数()f x的最小值()minf x，由题意得出()min0f x≥，解该不等式即可得出实数a的取值范围；（2）由（1）知，当1a=时，1xx e+≤，可得出()()111n n xx e+++≤，令()11,2,3,,1kx k nn+==+，可推导出()111,2,3,,1n knk ek nn e++⎛⎫<=⎪+⎝⎭，进而可推导出() 111123112311111n n n nnnne e e en n n n e+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合等比数列求和公式可证得所证不等式成立.【详解】（1）()1xf x e ax=--，则()xf x e a'=-.①当0a≤时，()0f x'>对任意的x∈R恒成立，则()f x在(),-∞+∞上单调递增，由()1110f a e-=+-<，与题设矛盾； ②当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =. 由()0f x '<，得ln x a <；由()0f x '>，得ln x a >.∴函数()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，()()ln min ln ln 1ln 10a f x f a e a a a a a ∴==--=--≥，令()()ln 10g a a a a a =-->，()()1ln 1ln g a a a '∴=-+=-， 由()0g a '>，得01a <<；由()0g a '<，得1a >.()g a ∴在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10g a g ∴==，∴只有1a =适合题意，综上，实数a 的取值范围是{}1；（2）由（1）可知，当1a =时，()10xx e f x =--≥，则1x x e +≤，()()111n n x x e ++∴+≤，令()11,2,3,,1kx k n n +==+，则()()11n x k n +=-+，()()1111,2,3,,1n kk n n k e ek n n e+-++⎛⎫∴<== ⎪+⎝⎭，()111123112311111n n n n n n n e ee e n n n n e+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1111111111nn n n n e e e e e e e e e e +++---=⋅==---， 由12n e e +>，知111n e e-<-，则1111ne e -<-，因此，111112311111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式恒成立，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于难题.请考生在［22］、［23］题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. （二）选考题：共10分. 选修4－4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(22【解析】 【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈ ，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]2220,01x y x y +-=∈， ，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型. 选修4－5：不等式选讲23. 若0,0a b >>,且11a b+= （1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=， 并说明理由.【答案】（1）（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在．【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为；（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】基本不等式．。
2020-2021成都七中实验学校(初中部)高三数学上期中模拟试卷(含答案)
2020-2021成都七中实验学校（初中部）高三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A ．6 B ．23C ．43D ．433-4．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．222y x =+C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．3226．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．167．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．168．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310 C ．12 D ．71010．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)- 二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿15．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .16．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．19．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．20．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．B解析：B 【解析】【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.6．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．7．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.9．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45AB =o 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．10．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)2223S b a c =+-，得13sin 2cos 2ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．A解析：A 【解析】【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理解析：6 【解析】 试题分析：274sincos 222A B C +-=Q ，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =o ．2222cos c a b ab C =+-Q ，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--o，()223ca b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===．考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．14．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1015．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -【解析】 【分析】 【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.16．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+∞） 【解析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2； 要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）；故答案为[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．17．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得解析：30【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围.由题意可得,14,||11a q q =<- ， 且0q ≠14(1)a q =-108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c解析：【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析：3【解析】分析：详解：设,3AC x AD x ==，在直角ACD ∆中，得CD =，所以sin CD CAD AD ∠==， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅ 由于2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，23=23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ）10- 【解析】【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值.【详解】()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 242210c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝⎭，∴c =由sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos 5B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.22．(1)13n n a -=，;(2)()223n nn T +=-. 【解析】【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3n n n b c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ．【详解】（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13n n a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ , （Ⅱ）1232135721,33333n n n n n n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②， 由①—②得，2312111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭L 142433n n ++=+ ∴223n nn T +=-. 【点睛】 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．23．（1）详见解析；（2）15521(,22． 【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥. （2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a -<-⇔ 11232a a a -<-<-a <<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.24．（1）n a n =-；（2）1n n +. 【解析】【分析】(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-，1d =-，所以()11=---=-n a n n .（2）由n a n =-，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111n n n =-=++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．25．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=，即2sin 04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅， 则2220442c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭． 即222160c --=．解得22c =-（舍）或42c =．所以12242422S =⨯⨯⨯=．· 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.26．（1）31,2n n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得． 所以． （2）因为， 所以．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川省成都市成都市第七中学2020-2021学年上学期高三期中数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝（ ）A ．{x|－1＜x ＜3}B ．{x|－1＜x ＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|2＜x ＜3} 2．观察下列散点图，其中变量x ，y 之间有线性相关关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．命题“()0000,,sin x x x π∃∈>”的否定是（ ）A ．()0000,,sin x x x π∀∉>B ．()0000,,sin x x x π∀∈<C ．()0000,,sin x x x π∀∈≤D ．()0000,,sin x x x π∀∉≤ 4．函数 ()43log f x x x =-的零点所在区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 5．某路口的交通信号灯在绿灯亮15秒后，黄灯闪烁数秒，然后红灯亮12秒后，如此反复，已知每个交通参与者经过该路口时，遇到红灯的概率为0.4，则黄灯闪烁的时长为（ ）A ．2秒B ．3秒C ．4秒D ．5秒 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．9B ．16C ．20D ．257．设实数x ，y ，满足022x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩＞＞＜，则2x +y 的取值范围（ ）A ．（4，6）B ．（3，6）C ．（3，5）D ．（3，4） 8．已知m 是直线，α，β是两个不同平面，且m ∥α，则m ⊥β是α⊥β的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．函数()2212x f x sin sinx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小周期为π的偶函数C ．最小周期为2π的奇函数D ．最小周期为2π的偶函数11．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，设c xa yb =+（其中x ，y ∈R ），若|c |＝3，则xy 的最大值（ ）A ．2 BC ．3 D．12．若函数满足f （x ）23430620x x x x x x a ⎧+-≤≤=⎨-≤⎩，，＜，的值域为[﹣4，4]，则实数的a 的取值范围（ ）A ．[1，+∞）B．1⎡⎣ C．⎤⎦ D ．[1，2]二、填空题13．设向量a =（﹣1，3），b =（2，﹣1），则()a ab ⋅-＝_____． 14．双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线均与x 2+y 2﹣4x +1＝0相切，则该双曲线离心率等于_____．15．我国古代数学巨著《九章算术》中将“底面为矩形，且有两个侧面都与底面垂直的四棱锥”叫做“阳马”，如图是一个阳马的正视图和俯视图，则其外接球的表面积为_____16．设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知c 2＝3（a 2﹣b 2），则tanA tanB=_____．三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和21n n S =-，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求证：()121221n nS S S n a a a +++-＞． 18．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面P AD 垂直底面ABCD ，∠P AD ＝∠ABC 2π=，设2PE EB =．（1）求证：AE 垂直BC ；（2）若直线AB ∥平面PCD ，且DC ＝2AB ，求证：直线PD ∥平面ACE ．19．某中学学校对高三年级文科学生进行了一次自主学习习惯的自评满意度的调查，按系统抽样方法得到了一个自评满意度（百分制，单位：分）的样本，如图分别是该样本数据的茎叶图和频率分布直方图（都有部分缺失）．（1）完善频率分布直方图（需写出计算过程）；（2）分别根据茎叶图和频率分布直方图求出样本数据的中位数m 1和m 2，并指出选用哪一个数据来估计总体的中位数更合理（需要叙述理由）．20．如图，F 1（﹣2，0），F 2（2，0）是椭圆C ：()2222100x y a b a b+=＞，＞的两个焦点，M 是椭圆C 上的一点，当MF 1⊥F 1F 2时，有|MF 2|＝3|MF 1|．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （0，3）作直线l 与轨迹C 交于不同两点A ，B ，使△OAB 中O 为坐标原点），问同样的直线l 共有几条？并说明理由．21．设函数()1xe f x ax =+，其中a 为常数：e ≈2.71828为自然对数的底数． （1）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若∀x ＞0，不等式()1x e f x ax-＜恒成立，求a 的取值范围． 22．在平面直角坐标系xOy 中，动点P （x ，y ）的坐标满足2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l 的极坐标方程为ρsin （θ+φ）＝cosφ（其中φ为常数，且φ2k k Z ππ≠+∈，）（1）求动点P 的轨迹C 的极坐标方程；（2）设直线l 与轨迹C 的交点为A ，B ，两点，求证：当φ变化时，∠AOB 的大小恒为定值．23．已知不等式|x +1|＞|2﹣x |+1的解集为M ，且a ，b ，c ∈M ．（1）比较|a ﹣b |与|1﹣ab |的大小，并说明理由；（2）若111a b c++=a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案1．A【解析】由已知，集合A ＝（－1，2），B ＝（1，3），故A ∪B ＝（－1，3），选A考点：本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.2．D【解析】【分析】直接利用线性相关的定义得到答案。
【详解】A 选项具有确定的函数关系，根据线性相关定义：散点图在一条直线附近波动，据此判断D 满足，故选：D【点睛】本题考查了散点图，属于简单题.3．C【分析】把结论否定，同时存在改为任意．【详解】命题“()0000,,sin x x x π∃∈>”的否定是“()0000,,sin x x x π∀∈≤”故选：C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定只是否定结论，但是全称命题和特称命题一定记住“存在”改成“任意”；“任意”改成“存在”4．C【分析】函数()43log f x x x=-在()0,∞+上单调递增，计算()10f <；()20f <；()30f <；()40f >；()50f >，根据零点存在定理得到答案。
()43log f x x x=-，则()130f =-<；()210f =-<；()43log 310f =-<； ()1404f =>；()435log 505f =->； 易知函数()43log f x x x =-在()0,∞+上单调递增 根据零点存在定理知：()3,4之间有唯一零点故选：C【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，计算函数值的正负是解题的关键。
5．B【分析】 根据几何概型得到120.41215P t ==++，计算得到答案。
【详解】设黄灯闪烁的时长为t 秒，则120.431215P t t==∴=++ 故选：B【点睛】本题考查了几何概型求概率，意在考查学生的应用能力。
6．D【分析】根据程序框图依次计算得到答案。
【详解】根据程序框图依次计算： 0,1;1,3;4,5;9,7;16,9;25,11S k S k S k S k S k S k ============ 结束，输出25S =故选：D【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力。
7．B画出可行域和目标函数，根据平移得到取值范围。
【详解】如图所示：画出可行域和目标函数当过点()2,2时，即2,2x y ==时有最大值为6；当过点()1,1时，即1,1x y ==时有最大值为3；即()23,6x y +∈故选：B【点睛】本题考查了线性规划问题，画出可行域和目标函数是解题的关键。
8．A【分析】分别判断充分性和必要性得到答案。
【详解】当m β⊥时，已知m α则αβ⊥，充分性；当αβ⊥时，已知m α，可以得到{},,m mm A βββ⊆⋂=，故不必要；故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力。
9．B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
【详解】()()()()3131322111i i i z i i z i z i i i i -++-++∴===--∴=-+--+（﹣）＝﹣对应点为()2,1- 故选：B【点睛】 本题考查了复数的化简和共轭复数，意在考查学生的计算能力。
10．A【分析】化简得到()1sin 22f x x =-，再判断奇偶性和周期得到答案。
【详解】 ()212sin 1sin cos sin sin 222x f x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 函数为奇函数且最小正周期为π故选：A【点睛】本题考查了三角函数的周期和奇偶性，化简得到()1sin 22f x x =-是解题的关键。
11．C【解析】【分析】根据||3c =得到229x y xy ++=，再利用均值不等式计算得到答案。
【详解】 c xa yb =+，则()2222222229c xa yb x a y b xya b x y xy =+=++⋅=++=229233x y xy xy xy xy xy =++≥+=∴≤，当x y == 故选：C【点睛】本题考查了向量的运算和均值不等式，意在考查学生的综合应用能力。
12．D【分析】先计算30x -≤≤()[]4,0f x ∈-，再讨论1a ≤和1a >两种情况，分别计算得到答案。
【详解】当30x -≤≤时，()()22424f x x x x =+=+-()()min 24f x f =-=-；()()max 00f x f ==，即()[]4,0f x ∈-；当0x a <≤时，()()()3262'6661f x x x f x x x x =--=∴=-1a ≤时，函数在0x a <≤单调递增即()()3max 6241f x f a a a a ==-=∴=或2a =-（舍去），故1a =1a >时，函数在01x <≤单调递增，在1x a <≤单调递减故()()max 14f x f ==，()()()236241202f a a a a a a =-≥-∴+-≤∴≤综上所述：[]1,2a ∈ 故选：D 【点睛】本题考查了根据分段函数的值域求参数范围，分类讨论是常用的技巧，需要熟练掌握。