数学建模-数据的统计分析

数学建模与数学实验

课程设计

学院数理学院专业数学与应用数学班级学号

学生姓名指导教师

2015年6月

数据的统计分析

摘要

问题：某校60名学生的一次考试成绩如下：

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91

88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81

75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86

76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；（2）检验分布的正态性；

（3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数；

模型：正态分布。

方法：运用数据统计知识结合MATLAB软件

结果：符合正态分布

一． 问题重述

某校60名学生的一次考试成绩如下：

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、偏差、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性；

（3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。

二．模型假设

假设一：此组成绩没受外来因素影响。 假设二：每个学生都是独自完成考试的。 假设三：每个学生的先天条件相同。

三．分析与建立模型

像类似数据的信息量比较大，可以用MATLAB 软件决绝相关问题，将n 名学生分为x 组，每组各n\x 个学生，分别将其命为1x ，2X ……j x 由MATLAB 对随机统计量x 进行命令。此时对于直方图的命令应为 Hist(x,j) 源程序为：

x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 ] x2=[77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 ] x3=[79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 ]

x4=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 ] x5=[74 76 76 70 86 76 90 89 71 66 ] x6=[86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 ] x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 ] hist(x,6) normplot(x)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x) [h,sig,ci]=ttest(x,80.1000)

四．模型求解

平均值：∑==n i i x n 11x 标准差：21

2

1

])(11[s ∑=--=n

i i x x n 偏度：3

131)(1∑=-=n i i x x s g 峰度：4

1

4

2)

(1g ∑=-=n

i i

x x s

作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出x 1’,x 2’,...x k ’各点，分别以(x i ’,x i+1’)为底边，作高

'f i

i

x ∆为的矩形，1,,3,2,1,x ''1'-=-=∆+k i x x i i i ，即得频率直方图。此图大致描述了X 的频率分布情况，因为每个竖着的长方形面积，刚好近似地代表了X 取值落入“底边”的概率。有了直方图，就能大致描绘出分布密度曲线，让曲线大致经过每个竖着的长方形的上边，就得出分布密度曲线的大致模样。 对随机变量X ，计算其基本统计量的命令如下： 均值：mean(x) 中位数:median(x) 标准差:std(x) 方差:var(x) 偏度:skewness(x) 峰度:kurtosis(x)

运行出结果为：

x1=93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 X2=77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 X3=79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 X4=75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 X5=74 76 76 70 86 76 90 89 71 66 X6=86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 然后计算如下：均值mean(x)=80.1000

标准差std(x)=9.7106

极差range(x）=44

偏度skewness(x）=-0.4682

峰度kurtosis(x)=3.1529

结果估计学生成绩的均值为80.1，标准差为9.7106，均值的0.95的置信区间为[77.5915,82.6085]，标准差的0.95置信区间为[8.2310,11.8436]。

五．模型检验

检验结果：（1）布尔变量h=0，表示不拒绝零假设，说明提出的假设成绩均值为80.1000是合理的。（2）95%的置信区间为[77.5915 82.6085]完全包括均值。且精确度比较。（3）sig的值为1，远超过0.5，不能拒绝假设。

六．参考文献

数学建模与数学实验（第四版）第八章

MATLAB遗传算法工具箱及其应用（西安电子科技大学出版社）2005

应用数理统计（机械工程出版社）

七．附录

数据的统计即数理统计学是以概率论为基础，从实际观测资料出发，研究如何合理的搜集资料（数据）来对随机变量的分布函数、数字特征等进行估计、分析和推断。更具体地说，数理统计学是研究从一定总体中随机抽出一部分（称样本或子样）的某些性质，以此对所研究总体的性质作出推测性的判断。