第10讲 数列单调性问题-新高考数学之数列综合讲义
数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题
2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第 项． 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解： 由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425． 跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解： 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解： 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解： 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。
〖2021年整理〗《高三《数列单调性与最值》》完整版教学课件PPT
可以看作是关于 n 的二次函数，
考虑到
n∈N*，所以
2
<23，即得
λ
>－3.
问题 2： 已知数列{an}的通项 an＝(n＋1)1110n(n∈N*)，试问{an} 中有没有最大项？若有，求出最大项及其项数；若没有，说明理由．
解：解法一：∵an＋1－an＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n＝ 1110n·9－ 11n， ∴n<9 时，an＋1－an>0⇒ an＋1>an； n＝9 时，an＋1－an＝0⇒ an＋1＝an； n>9 时，an＋1－an<0⇒ an＋1<an. 所以数列{an}有最大项，值为 1011109，其项数为 9 或 10.
当 n≥3 时，不等式2n2－p 5≤p2＋n－82 可化为22nn－－15≤p＋p 8， 令 f (n)＝22nn－－15(n≥3)， 以下只需研究数列{ f (n)}中最小的三个数即可．
f (n＋1)－f (n)＝2n2－n 3－22nn－－15＝(22nn－－13(2)(n2－n－7)5) ，
问题 4 已知数列{an}是公差为 1 的等差数列，bn＝1＋anan． （2）若对任意的 n∈N*，都有 bn≤b8 成立，求 a1 的取值
范围． 解：(2)由题，得 an＝n－1＋a1，所以 bn＝1＋n－11＋a1．
考察函数 f (x)＝1＋x－11＋a1，
当 x＜1－a1 时，f (x)为减函数，且 f (x)＜1，
列{bn}，若{a3，a4，a5}∪ {b3，b4，b5}＝{1，2，3，4，5}，求使不等式2aann＋ p
≤bn＋1＋p＋8成立的正整数 bn
n
恰有
4
个的正整数
SXC088高考数学必修_数列单调性问题解析
数列单调性问题解析数列是定义在自然数集或其子集上的特殊函数，故即可从数列角度，也可从函数角度来判研究数列的单调性问题.一、判断数列的单调性例1.若数列{}n a 的通项公式为n a =()*,an n N bn c∈+,其中a 、b 、c 均为正数,判断该数列的单调性. 分析一: 可通过比较1n n a a +与的大小来研究该数列的单调性.解一: 作差比较1n n a a +与的大小.∵()()()()11011n n a n an ac a a b n c bn c b n c bn c ++-=-=>+++⎡++⎤⋅+⎣⎦, ∴1n n a a +>,故数列{}n a 单调递增.分析二: 视n a =cbn an +为函数解析式，从函数角度考察其单调性. 解法二: 应用部分分式法，将其化为()n a ac a b b bn c =-+. ∵a 、b 、c 均为正数， ∴()()a ac f nb b bnc =-+在*N 上单调增 ∴1n n a a +>,故该数列单调递增.评注: 判断数列{}n a 单调性的常用方法有: (1)从数列角度，即通过判断1n n a a +与的大小得出数列的单调性，在比较1n n a a +与的大小时，通常采用作差法；(2)从函数角度，即把数列通项n a 视为n 的函数解析式()f n ，通过判断()f n 的单调性来研究数列的单调性.二、由数列的单调性求参数范围例2.已知a n =n 2+λn(*n N ∈)，若{a n }是递增数列,求实数λ的取值范围. 分析一: 可将问题转化为“不等式1n n a a +>对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围”问题. 解一:由()()2211n n n n λλ+++>+对任意的*n N ∈恒成立，化得21n λ>--对任意的*n N ∈恒成立 又()21g n n =--在N *上的最大值为-3 ∴3λ>-. 分析二: 视a n =n 2+λn( n ∈N ）)为n 的二次函数,将原问题转化为“由函数的单调性求参数的取值范围” 问题. 解二: 二次函数a n =n 2+λn( n ∈N ）)的对称轴为直线n=2λ-，故322λ-<. ∴3λ>-. 评注: 解一将数列的单调性转化为不等式的恒成立问题，属通法，本题要使{a n }为递增数列,只需保证不等式1n n a a +>对任意的*n N ∈恒成立即可; 解二需注意“数列是定义在自然数集或其子集上的特殊函数f(n),自变量n 取自然数”，本题中a n 的图象由二次函数y =n 2+λn( n ∈N ）)上的一系列不连续的点()()*,n n a n N ∈构成,要使函数a n =n 2+λn 在*N 上单调增, 需保证其对称轴n=2λ-在32的左侧. 三、应用单调性求数列的最大（小）项例3.已知9(1)()10n n nn a n N +=∈,问数列{}n a 有没有最大项,如果有,求出这个最大项;如果没有, 说明理由.分析:可采用作商来比较1n n a a +与的大小，以确定数列的单调性，从而判断其最大项是否存在.解: ()()()()()111929210811011011091n n n n n n n n a n a n n n +++++-=⋅==++++, 当8n <时,1n n a a +>; 89a a =; 当n>8时,1n n a a +<,∴12891011a a a a a a <<<=>>>∴数列{}n a 的最大项为89a a 与，89a a ==89910⨯（）. 评注: 1. 本题采用作商法来比较1n n a a +与的大小，也可应用作差法来比较;2. 研究数列的单调性是解数列最值项问题的一类重要方法，应熟练掌握.也可以将问题转化为解不等式组,利用夹逼法求解最大项.设{}n a 中第n 项最大,则11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，解得89n ≤≤，即98,a a 最大. 四、应用数列单调性证不等式11111521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1例4.对于一切大于的自然数n,求证:1+3分析: 构造数列{}n a ，其中1111113521n a n⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭，只需证明n a >1即可. 证明: 设1111113521n a n ⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭, 则有11111113521n a n +⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪+⎭⎝⎭⎝⎭，且21a =>, 12221211n n n n n a a ++++==>= 12111111,1111135721n na a n a n +∴>⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>≥>++++≥⎪⎪⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 故当时a∴1111111135721n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭评注: 1. 在证明和自然数有关的不等式时，常可构造自然数集上的特殊函数—数列{}n a , 通过比较1n a +与n a 的大小来确定数列的单调性，从而利用其单调性来证题;2. 在由通项n a 写出1n a +时，需注意项数的变化.。
单调性问题(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
(2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
(3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号.
考点知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤
所以ℎ
+1 3
在
27
，即实数a的取值范围是
4
−∞,
27
4
1
2
上单调递减，在
，故选：A
1
2
, 2 上单调递增，
考向典题讲解
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）若函数 = + 2 − 2在区间
在单调递增区间，则实数的取值范围是（
A． −2, +∞
1
8
1
,
2
2 内存
令 = +
+1
2 +1
2 − 1
2 − 1
+ 2 ．
+ ，则对任意 1 ， 2 ∈ 0,2 ，且 1 < 2 ，都有 1 < 2 ，
所以 在 0,2 上单调递增，即 ′ =
令ℎ =
+1 3
，0
> − 1 可转化为 2 − 1 > 1 − 2 ，
∴曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程是 − 1 + = 1 − − 1 ，即 = 1 − ；
（2）令 = ′ = + 1 − > 0 ，则′ =
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：数列中的综合问题
§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦门模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32n 2＋12n ，递增的等比数列{b n }满足b 1＋b 4＝18，b 2·b 3＝32.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ∈N +，求数列{c n }的前n 项和T n .解(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2符合上式，∴a n ＝3n －1.∵b 2b 3＝b 1b 4，∴b 1，b 4是方程x 2－18x ＋32＝0的两根，又∵b 4>b 1，∴解得b 1＝2，b 4＝16，∴q 3＝b4b 1＝8，∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n .(2)∵a n ＝3n －1，b n ＝2n ，则c n ＝(3n －1)·2n ，∴T n ＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n －1)·2n ，2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n －1)·2n ＋1，将两式相减得－T n ＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1＝4＋322(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n ＋1＝(4－3n )·2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.思维升华数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．跟踪训练1(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．(1)证明由2S nn＋n ＝2a n ＋1，得2S n ＋n 2＝2a n n ＋n ，①所以2S n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，②②－①，得2a n ＋1＋2n ＋1＝2a n ＋1(n ＋1)－2a n n ＋1，化简得a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{a n }的公差为1.由a 4，a 7，a 9成等比数列，得a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12.所以S n ＝－12n ＋n (n －1)2＝n 2－25n2－6258，所以当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值为－78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n (n ∈N +)，设数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.14，＋∞C.38，＋∞答案D解析数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n ，①当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，②①－②得1na n ＝2n ，故a n ＝2n 2，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式．数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝141n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝141＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝141－1(n ＋1)2，由于T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，故141－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝n ∈N +上单调递减，故当n ＝1＝38，所以λ>38.(2)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ,2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．{a n }的通项公式；②记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.①解由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3a n ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，所以数列是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n－1，所以a n ＝11.②证明由①可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271n，a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－3<7528.综上所述，1271n≤S n <7528成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋4x ，记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，则S 2022等于()A ．－4044B ．－2022C ．2022D ．4044答案A解析因为f (－x )＝－13x 3－4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因为f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，所以f (a 1＋2)＝－f (a 2022＋2)，所以a 1＋2＋a 2022＋2＝0，所以a 1＋a 2022＝－4，所以S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝－4044.(2)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1,2]，且a 4＋λa 10＋a 16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－12解析因为a 4＋λa 10＋a 16＝15,所以a 1＋3d ＋λ(a 1＋9d )＋a 1＋15d ＝15，令λ＝f (d )＝151＋9d －2，因为d ∈[1,2]，所以令t ＝1＋9d ，t ∈[10,19]，因此λ＝f (t )＝15t －2，当t ∈[10,19]时，函数λ＝f (t )是减函数，故当t ＝10时，实数λ有最大值，最大值为f (10)＝－12.思维升华(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2(1)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2023的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4等于()A ．2023B ．1C ．－1D ．－2023答案D解析由题意a 2，a 3是x 2－x －2023＝0的两根．由根与系数的关系得a 2a 3＝－2023.又a 1a 4＝a 2a 3，所以a 1a 4＝－2023.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N +)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.①求数列{a n }，{b n }的通项公式；②设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.①解由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.所以S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，所以d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②证明因为log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，所以c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋1)＝所以T n －13＋13－15＋…＋12n －1－因为n ∈N +，所以T n <12，＝n 2n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)>0，所以数列{T n }是一个递增数列，所以T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.课时精练1．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，则a 1等于()A ．52－5B ．52＋5C ．52D ．5答案A解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，4a 3＝4a 1＋a 5，即4a 1＋a 1q 4＝4a 1q 2，即q 2－2＝0，解得q ＝2，a 1＝52－5.2．(2023·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7000万元()(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．3．在正项等比数列{a n }中，3为a 6与a 14的等比中项，则a 3＋3a 17的最小值为()A ．23B ．89C ．6D ．3答案C解析因为{a n }是正项等比数列，且3为a 6与a 14的等比中项，所以a 6a 14＝3＝a 3a 17，则a 3＋3a 17＝a 3＋3·3a 3≥2a 3·3·3a 3＝6，当且仅当a 3＝3时，等号成立，所以a 3＋3a 17的最小值为6.4．(2023·岳阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝－2a 5,1<a 3<2，则数列{a 3n }的前5项和S 5的取值范围是()－118，－－338，－答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝－12，数列{a 3n }是首项为a 3，公比为q 3＝－12的等比数列，则S 51＋12＝1116a 35．(多选)(2023·贵阳模拟)已知函数f (x )＝lg x ，则下列四个命题中，是真命题的为()A ．f (2)，f (10)，f (5)成等差数列B ．f (2)，f (4)，f (8)成等差数列C ．f (2)，f (12)，f (72)成等比数列D ．f (2)，f (4)，f (16)成等比数列答案ABD解析对于A ，f (2)＋f (5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f (10)＝2lg 10＝1，故f (2)，f (10)，f (5)成等差数列，故是真命题；对于B ，f (2)＋f (8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16,2f (4)＝2lg 4＝lg 16，故f (2)，f (4)，f (8)成等差数列，故是真命题；对于C ，f (2)·f (72)＝lg 2×lg ＝lg 212＝f 2(12)，故f (2)，f (12)，f (72)不成等比数列，故是假命题；对于D ，f (2)f (16)＝lg 2×lg 16＝4lg 22＝(2lg 2)2＝lg 24＝f 2(4)，故f (2)，f (4)，f (16)成等比数列，故是真命题．6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，不是质数．现设a n ＝log 4(F n －1)(n ＝1,2，…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析因为F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝log 4(22n＋1－1)＝log 422n＝2n －1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(1－2n )1－2＝2n －1.所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6.7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．答案120解析∵“三角形数”可写为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，…，∴“三角形数”的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴这个三角锥垛的第十五层球的个数为a 15＝15×162＝120.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，则p 的取值范围为________．答案ln 33，＋∞解析数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，故p ，设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2，令f ′(x )＝1－ln x x 2＝0，解得x ＝e ，故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)，所以函数在x ＝e 处取最大值，由于n ∈N +，所以当n ＝3时函数最大值为ln 33.所以p 的取值范围是ln 33，＋9．记关于x 的不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0(n ∈N +)的整数解的个数为a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足4T n ＝3n ＋1－a n －2.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝2b n －，若对任意n ∈N +，都有c n <c n ＋1成立，试求实数λ的取值范围．解(1)由不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0可得，n ≤x ≤3n ，∴a n ＝2n ＋1，T n ＝14×3n ＋1－12n －34，当n ＝1时，b 1＝T 1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12×3n －12，∵b 1＝1适合上式，∴b n ＝12×3n －12.(2)由(1)可得，c n ＝3n －1＋(－1)n －1，∴c n ＋1＝3n ＋1－1＋(－1)n ＋1，∵c n <c n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝2×3n ＋52(－1)n >0，∴(－1)n λ>－45×2n ，当n 为奇数时，λ<45×2n ，由于45×2n 随着n 的增大而增大，当n ＝1时，45×2n 的最小值为85，∴λ<85，当n 为偶数时，λ>－45×2n ，由于－45×2n 随着n 的增大而减小，当n ＝2时，－45×2n 的最大值为－165，∴λ>－165，综上可知，－165<λ<85.10．设n ∈N +，有三个条件：①a n 是2与S n 的等差中项；②a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)；③S n ＝2n ＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解(1)选择条件①：因为a n 是2与S n 的等差中项，所以2a n ＝2＋S n ，所以当n ≥2时，2a n －1＝2＋S n －1，两式相减得，2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，在2a n ＝2＋S n 中，令n ＝1，可得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件②：由a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)，知S n ＋1＝2(S n ＋1)，当n ＝1时，可求得a 2＝4，所以当n ≥2时，S n ＝2(S n －1＋1)，两式相减得，a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝2，a 2＝4也满足上式，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件③：在S n ＝2n ＋1－2中，令n ＝1，则a 1＝21＋1－2＝2，当n ≥2时，有S n －1＝2n －2，两式相减得，a n ＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，所以a n ＝2n .(2)因为{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，所以a n ·b n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，由(1)知，a n ＝2n ，所以b n ＝2n －12n －1，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋2n －12n －1，12T n ＝1＋3＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，两式相减得，12T n ＝1＋2＋2＋…＋2－1－2n －12n ＝1＋2×21－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n，所以T n ＝6－2n ＋32n －1.11．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析设无穷等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d .若{a n }为递增数列，则d >0，则存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，所以充分性成立；若存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，即d >d －a 1n对任意的n >N 0，n ∈N +均成立，由于n →＋∞时，d －a 1n→0，且d ≠0，所以d >0，{a n }为递增数列，必要性成立．故选C.12．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则()A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4答案B 解析因为ln x ≤x －1(x >0)，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0.又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1，所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾．因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0，所以a 1>a 3，a 2<a 4.13．函数y ＝f (x )，x ∈[1，＋∞)，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N +，①函数f (x )是增函数；②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f (x )的解析式________．写出一个满足②但不满足①的函数f (x )的解析式________．答案f (x )＝x 2f (x )(答案不唯一)解析由题意，可知在x ∈[1，＋∞)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为f (x )＝x 2.第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为f (x ).则这个函数在1，43上单调递减，在43，＋∴f (x )在[1，＋∞)上不是增函数，不满足①.而对应的数列为a n 在n ∈N +上越来越大，属于递增数列．14．设函数f (x )－4，x ≤－3，x 2＋2，x >－3，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )(n ∈N +)，若{a n }是等差数列．则a 1的取值范围是__________．答案(－∞，－3]∪{－2,1}解析画出函数f (x )的图象如图所示，当a 1≤－3时，a 2＝f (a 1)＝a 1－4≤－7，a 3＝f (a 2)＝a 2－4≤－11，…，数列{a n }是首项为a 1，公差为－4的等差数列，符合题意，当a 1>－3时，因为{a n }是等差数列，①若其公差d >0，则∃k 0∈N +，使得0k a >2，这与a n ＋1＝f (a n )＝2－a 2n ≤2矛盾，②若其公差d ＝0，则a 2＝－a 21＋2＝a 1，即a 21＋a 1－2＝0，解得a 1＝－2或a 1＝1，则当a 1＝－2时，a n ＝－2为常数列，当a 1＝1时，a n ＝1为常数列，此时{a n }为等差数列，符合题意，③若其公差d <0，则∃k 0∈N +，使得0k a >－3且01k a ＋≤－3，则等差数列的公差必为－4，因此001k k a a ＋－＝－4，所以2－002k k a a －＝－4，解得0k a ＝－3(舍去)或0k a ＝2.又当0k a ＝2时，000123k k k a a a ＋＋＋＝＝＝…＝－2，这与公差为－4矛盾．综上所述，a 1的取值范围是(－∞，－3]∪{－2,1}．15．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n >0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有()A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ≥n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n 答案D 解析∵a n >0，∴a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1，∵a n a n ＋1＝n ＋1，∴{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2，∴数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ≥2×n (n ＋3)2＝n 2＋3n .16．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b nn ∈N +)，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n <1＋n .(1)解由已知a n ＋22＝2S n (n ∈N +)，整理得S n ＝18(a n ＋2)2，所以S n ＋1＝18(a n ＋1＋2)2.所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝18[(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2]＝18(a 2n ＋1＋4a n ＋1－a 2n －4a n )，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0，由题意知a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝4，而a 1＝2，即数列{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2.(2)证明令c n ＝b n －1，则c n ＋a n a n ＋1－＝12n －1－12n ＋1.故b 1＋b 2＋…＋b n －n ＝c 1＋c 2＋…＋cn…1－12n ＋1<1.故b 1＋b 2＋…＋b n <1＋n .。
新教材高中数学第1章数列的概念第2课时数列的递推公式与数列的单调性pptx课件湘教版选择性必修第一册
解析：A，B中没有说明第一项，无法递推．
5．数列{an}的通项公式an＝
1 ，则
n+ n+1
10－3是此数列的第__9___
项．
解析：∵an＝
1 n+ n+1
＝ n + 1 − n＝ 10－3
＝ 10 − 9，
∴n＝9.
题型探究•课堂解透
题型1 根据递推公式求数列的项
例1 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋an1−1＝1(n≥2且n∈N＋) ，则
而n∈N＋，所以t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二an＝n2＋tn＝ Nhomakorabean
+
t 2
2－t2，
4
由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图像得－2t <32，
解得t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
【易错警示】
出错原因
纠错心得
用函数思想解决数列的问题时， 特别是研究数列的单调性时， 应注意数列的特征．要能够恰 当利用函数的性质，通过数形
数A列．{2ann}的通B项．公式n+n为1 nan＝(
)
C．n2＋1 D．n＋1
答案：A
解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1， 即由a累nan+乘1＝法n可+n1得，aa则n1＝aannn−1，＝所n−n以1 ，an＝aann2−−n12＝(n≥nn−−212)，，aann−−23＝nn−−23，…，aa21＝21，n≥2， 又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.
ቊaann≥≥aan−n+1，1 得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值．
第10讲 数列单调性问题(解析版)数列综合讲义
第10讲 数列单调性问题一．选择题（共3小题）1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30B ．28C ．26D ．24【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，∴叠加可得21473(16)33n n b b n -=-+，21(24)529n b n b ∴=--+，24n ∴=，n b 最小，故选：D ．2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．108【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为2929172244n =-==-⨯， n 是整数，∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-⨯+⨯+=，故选：D ．3．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)【解析】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列 ∴2130187a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：132,9a a a a >⎧⎪<⎨⎪><-⎩或，即：23a <<， 故选：B ．二．填空题（共4小题）4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 (3,)-+∞ ． 【解析】解：对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立， 221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++， {}n a 是递增数列， 10n n a a +∴->，又221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++ ∴当1n =时，1n n a a +-最小， 12130n n a a a a λ+∴->-=+>， 3λ∴>-．故答案为：(3,)-+∞．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是6λ>- ．【解析】解：{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，都有223n a n n λ=++成立， 数列{}n a 是递增数列，∴对于任意*n N ∈，1n n a a +>，222(1)(1)323n n n n λλ∴++++>++，化为：42n λ>--，恒成立．数列单调递减，6λ∴>-恒成立． 故答案为：6λ>-．6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围9(4-，3)2． 【解析】解：113(1)2n n n n b λ-+=+-， 1213(1)2n n n n b λ+++∴=+-，两式相减得：12111[3(1)2][3(1)2]n n n n n n n n b b λλ++-++-=+--+-123(1)2n n n λ+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，∴对于任意的*n N ∈，都有3(1)20n n n λ+->恒成立，13(1)()2n n λ-∴-<对于任意的*n N ∈恒成立，∴当21n k =-时，2133()22k λ-<； 当2n k =时，239()24kλ>--； 综上所述，实数λ的取值范围是：9(4-，3)2．7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是18． 【解析】解：由1232n n a a a a n a +++⋯=-，得2n n S n a =-， 取1n =，求得11a =；由2n n S n a =-，得112(1)(2)n n S n a n --=--，两式作差得12n n n a a a -=-+，即112(2)(2)2n n a a n --=-，又1210a -=-≠， ∴数列{2}n a -构成以12为公比的等比数列， 则1121()2n n a --=-⨯，则12212(2)()2222n n n n n n n b a ----=-=-=， 当1n =时，112b =-，当2n =时，20b =，当3n =时，318b =，而当3n 时，11112122(2)2n n nnn b n n b n ++--==--， {}n b ∴中的最大项的值是18．故答案为：18．三．解答题（共11小题）8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=， （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若24()n n a b n =，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ； （Ⅲ）设2()n nnna λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由已知13n n S n S n++=，且111S a ==， 当2n 时， 321121452(1)(2)11216n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋯=⋯=-， 1S 也适合，当2n 时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且1a 也适合， (1)2n n n a +∴=． （Ⅱ）224()(1)n n a b n n==+，设2(1)(1)n nn =-+，当n 为偶数时，1221(1)(1)(1)21n n n nC n n n --+=-+-+=+，12341[5(21)](3)2()()()59(21)22n n n nn n n T C C C C C n -+++=++++⋯+=++⋯+-==，当n 为奇数时，221(1)(2)34(1)22n n nn n n n T T n --+++=+=-+=-，且114T C ==-也适合． 综上得()()()234232n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 （Ⅲ）2()n nnna λ=-，使数列{}n 是单调递减数列， 则1422()021n n nC n n λ+-=--<++，对*n N ∈都成立， 则42()21max n n λ-<++， 4222221(1)(2)3n n n n n n n-==++++++， 当1n =或2时，421()213max n n -=++， 13λ∴>．9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()()2n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2a =，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由已知，得11111()02a a a S ⨯-===，2n n na S ∴=，则有11(1)2n n n a S +++=， 112()(1)n n n n S S n a na ++∴-=+-，即1(1)*n n n a na n N +-=∈， 21(1)n n na n a ++∴=+，两式相加得，122*n n n a a a n N ++=+∈， 即211*n n n n a a a a n N +++-=-∈， 故数列{}n a 是等差数列．又10a =，2a a =，(1)n a n a ∴=-．（2）若2a =，则2(1)n a n =-，(1)n S n n ∴=-．由21114m n a S -=，得2211(1)n n m -+=-，即224(1)(21)43m n ---=， (223)(221)43m n m n ∴+---=．43是质数，223221m n m n +->--，2230m n +->，∴221122343m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得12m =，11n =． （3）由n a b p +，得(1)a n b p -+． 若0a <，则1p bn a-+，不合题意，舍去； 若0a >，则1p bn a-+．不等式n a b p +成立的最大正整数解为32p -， 32131p bp p a-∴-+<-， 即2(31)3a b a p a b -<--，对任意正整数p 都成立．310a ∴-=，解得13a =， 此时，2013b b -<-，解得213b <．故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是13a =，213b <．10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设434n n na b +=，求数列{}n b 中的最大项的值． 【解析】解：（1）1(1)3n n n a a n +=++，1(1)3n n n a a n +∴-=+．∴当2n 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+123(1)323n n n n --=+-+⋯+⨯，则1233(1)323n n n a n n -=+-+⋯+⨯，2313112322333332333122n n nn n n n a n n ---∴-=⨯+++⋯+-=+-=+-，213344n n n a -∴=⨯-． 当1n =时也成立， 213344n n n a -∴=⨯-． （2）433(21)()044nn n na b n +==->， ∴113(21)()634384(21)()4n n n n n b n b n n ++++==--， 由于(63)(84)72n n n +--=-，可得1n =，2，3时，1n n b b +>；当4n 时，1n n b b +<． ∴数列{}n b 中的最大项为4b ，可得4435677()4256b =⨯=． 11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正； （Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，113a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n nb f S =，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由()()()f x f y f x y =+，令0x >，0y =，则()(0)()f x f f x =， 当0x >时，有0()1f x <<，(0)1f ∴=．⋯（2分） 当0x <时，0x ->，0()1f x ∴<-<， 由于()()()(0)1f x f x f x x f -=-== 所以1()10()f x f x =>>-，综上可知，()f x 恒正；⋯（4分） （Ⅱ）设12x x <，则210x x ->，210()1f x x ∴<-< 又由（1）可知1()0f x >所以22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-< 故()f x 在实数集R 上是减函数；⋯（8分） （Ⅲ）由题意113a =，()n a f n =，∴11(1)3a f ==，111(1)()(1)()33n n a f n f n f f n a +=+=== ∴数列{}n a 为以首项113a =，公比为13的等比数列，∴111(),(1)323n n n n a S ==-⋯（12分）由此可知，n S 随着n 的增大而增大，再根据（2）可得()n f S 随着n 的增大而减小， 所以数列{}n b 为递减数列，从而存在最大项，其为311111()()()()(1)33b f S f a f f f ======（14分） 12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++⋯+=-，(1n =，2，3，)⋯． （1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)⋯，求数列{}n b 的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +，求实数t 的取值范围．【解析】（1）证明：由题可知：123n n a a a a n a +++⋯+=-，⋯①，123111n n a a a a n a +++++⋯+=+-，⋯②，②-①可得121n n a a +-=⋯（3分）；即：111(1)2n n a a +-=-，又111..2a -=-⋯（5分），所以数列{1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列....⋯⋯（4分） （2）解：由（1）可得11()2n n a =-，故22n n n b -=，设数列{}n b 的第r 项最大，则有1121222322rr r r r r r r +---⎧⎪⎪⎨--⎪⎪⎩，∴2(2)122(3)r r r r --⎧⎨--⎩，34r ∴， 故数列{}n b 的最大项是341 (8)b b ==⋯（8分）（3）解：由（2）可知{}n b 有最大值是3418b b ==，所以，对任意*n N ∈，都有18n b ，对任意*n N ∈，都有214n b t t +，即214n b t t -成立，∴21184t t -，⋯（11分）， 解得12t或14t -∴实数t 的取值范围是(-∞，11][42-，)+∞⋯（12分）13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2*1(n n a a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ⋯，||2}i a ，{|M c =对任意*i N ∈，||2}i a ．（Ⅰ）写出2M ，3M ； （Ⅱ）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ∉； （Ⅲ）求集合M ．【解析】（Ⅰ）解：根据题意可得，2[2M =-，2]，3[2M =-，1]； （Ⅱ）证明：当14c >时，对任意*n N ∈，都有221111()0244n n n n n a a a c a a c c +-=+-=-+-->， 所以1n n a a +>，所以数列{}n a 是递增数列，因为111211111()()()()()()444n n n n n a a a a a a a a c c c ++-=-+-+⋯+-+-+-+⋯+-，所以11()4n a n c +-，令08{|}41n min t N t c =∈>-， 则010181()()24414n a n c c c +->-=-，所以01n c M +∉，所以存在正整数01n =+，使得c M ∉；()III 解：由题意得，对任意*n N ∈，都有1n n M M +⊆且n M M ⊆．由（Ⅱ）可得，当14c >时，存在正整数，使得c M ∉，所以c M ∉， 所以若c M ∈，则14c， 又因为3[2M M ⊆=-，1]， 所以若c M ∈，则2c -， 所以若c M ∈，则124c-，即1[2,]4M ⊆-． 下面证明1[2,]4M -⊆．①当104c时，对任意*n N ∈，都有0n a ． 下证对任意*n N ∈，12n a <． 假设存在正整数，使得12a ． 令集合*1{|}2S N a =∈，则非空集合S 存在最小数0s ． 因为211042a c=<，所以02s >． 因为01s S -∈/，所以01102s a -<． 所以00211142s s a a c c-=+<+，与012s a 矛盾． 所以对任意*n N ∈，102n a <． 所以当104c时，||2n a ． ②当20c -<时，220c c +． 下证对任意*n N ∈，||||n a c ．假设存在正整数，使得||||a c >．令集合*{|||||}T N a c =∈>，则非空集合T 存在最小数0t ． 因为2a c =，所以2||||a c ，所以02t >．因为01t T -∈/， 所以01||||t a c -．00221t t a a c c c c -=++-，且0021t t a a c c -=+，所以0||||t a c ，与0||||t a c >矛盾．所以当20c -<时，||||2n a c ．所以当1[2,]4c ∈-时，对任意*n N ∈，都有||2n a ．所以c M ∈，即1[2,]4M -⊆．因为1[2,]4M ⊆-，且1[2,]4M -⊆，所以1{|2}4M c c=-． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：123111134n T T T T +++⋯+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围． 【解析】（Ⅰ）解：2n n S a a =+， 当2n 时，112n n S a a --=+，两式作差得，1122n n n n n a S S a a --=-=-，12(2)n n a a n -∴=， 当1n =时，1112a S a a ==+，则10a a =-≠，∴数列{}n a 是等比数列，10a a =-≠，2q =． ∴1122n n n a a a --=-⨯=-；（Ⅱ）①证明，3n n n T a =+，若1a =，则132n n n T -=-，当2n 时，111323323n n n n n n T ---=->-=⨯， 111324T =<； 当2n 时，21123111111112232323n n T T T T -+++⋯+<+++⋯+⨯⨯⨯11(1)13133(1)1243413n n ⨯-=⨯=-<-， 综上，123111134n T T T T +++⋯+<； ②解：123n n n T a -=-⨯+，113b T a ==-，当2n 时，1121213232232n n n n n n n n n b T T a a a ------=-=-⨯-+⨯=⨯-⨯，112121(232)(232)432n n n n n n n n b b a a a -----+-=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-⨯，由1214320n n n n b b a --+-=⨯-⨯>，得12243312()(2)22n n n a n ---⨯<=⨯， 当2n 时，函数23()12()2n f n -=⨯在2n =时取得最小值为12， 又2123(3)3b b a a -=⨯---=，12a ∴<．∴数列{}n b 为递增数列时，a 的范围为(,12)-∞．15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有2(n na q q a +=为常数），则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}nb 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++⋅=．（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求{}n b 通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．【解析】解：（1）证明：因为112n n n b b ++⋅=，所以2122n n n b b +++⋅=， 所以21211222n n n n n n b b b b +++++⋅==⋅， 所以数列{}n b 是“类等比数列”．（2）由已知得2112,2b b b b =⋅=，故24b b=． 结合（1）可知，该数列的奇数项、偶数项分别构成以b ，4b 为首项，且公比皆为2的等比数例． 故12222,42,n n n b n b n b--⎧⋅⎪⎪=⎨⎪⋅⎪⎩为奇数为偶数，*()n N ∈． （3）若{}n b 是单调递增数列，则满足21221b b b -+<<， 即114222b b b --⋅<⋅<⋅，即42b b b<<， 2b <．16．已知数列{}n a 的前n 项和为22n a S n =． （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．【解析】解：（1）由已知，得112a a S ==， *1(21)(,2)22n n n a a a S S n an n N n -=-=-=-∈⋯（3分） 又*1(n n a a a n N --=∈，2)n ⋯（2分）所以，数列{}n a 为公差为a 的等差数列．⋯（1分）（2）由*1(n n a a a n N --=∈，2)n 得当0a >时，数列{}n a 为递增数列；⋯（2分） 当0a =时，数列{}n a 为常数列；⋯（2分）当0a <时，数列{}n a 为递减数列．⋯（2分）17．已知函数22()1x f x x =+，()n a f n =． （1）求证：对任意*n N ∈，1n a <； （2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？【解析】（1）证明：由题意，可知22222111()1111n n n a f n n n n +-====-+++， *n N ∈，212n ∴+，则211012n <+， 211021n ∴--<+， 则2111121n -<+， ∴对任意*n N ∈，都有1n a <恒成立，故命题得证．（2）由题意，可知1211(1)1n a n +=-++， 则122111(1)(1)11n n a a n n +-=---+++ 22111(1)1n n =-+++ 2222(1)11(1)[(1)1]n n n n ++--=+++ 2221(1)[(1)1]n n n +=+++， *n N ∈，∴22210(1)[(1)1]n n n +>+++， 即10n n a a +->，∴数列{}n a 是递增数列．18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】解：（1）因为{}n a 是递增数列，所以n n l n a a p +-=． 因为11a =，1a ，22a ，33a 成等差数列，所以21343a a a =+，则322133a a a a -=-，即230p P -=，解得13p =或0p =． 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =．（2）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->， 所以212221()()0n n n n a a a a +--+->． 因为2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-． 所以2210n n a a -->， 因此221221211(1)()22nn n n n a a -----==． 因为2{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<， 所以21221221(1)()22n n n n na a ++--=-=． 所以11(1)2n n n na a ++--=． 于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋯+-，121111()111(1)41(1)2111222233212n n n n n -------=+=+-+⋯+=++， 所以数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+． （3）11()()2n n n n c n a a n +=-=--， 所以121111()2()()222n n T n =-⨯--⨯--⋯--， 两边同乘12-可得： 23111111()2()()2222n n T n +-=-⨯--⨯--⋯--， 两式相减可以得到：221()()9922n n n T =-+-．。
数列的单调性讲义-高三数学二轮专题复习
数列的单调性所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结.一、研究数列单调性的基本方法1、 作差法：例1、已知数列{a n }满足a n =n+12n ，证明：数列{a n }单调递减. 证明：∵a n =n+12n ∴a n+1=n+22n+1.则a n+1−a n =n+22n+1−n+12n =−n 2n+1<0恒成立故数列{a n }单调递减2、 作商法：例2、已知a n =(n +1)(1011)n (n ∈N ∗)，证明：数列{a n }先递增后递减.证明：令a n a n−1≥1(n ≥2) 即(n+1)(1011)n n∙(1011)n−1≥1整理得：n+1n≥1110，得n ≤10 同理，令a n a n+1≥1 即(n+1)(1011)n (n+2)∙(1011)n+1≥1整理得：n+1n+2≥1011，得n ≥9∴{a n }从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，得证.3、 函数法(导数法)例4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.解：（1）略（29n a n =-）（2） 方法一：我们可以借助一个二次函数函数()28,0f x x x x =-≥，很明显这个函数在[)0,4上单调递减，在[)4,+∞上单调递增，那么可以得到最小值()()min 416f x f ==-，从而2=8n S n n -的最小值为416S =-.方法二：由于数列{}n a 的通项公式29n a n =-，可以借助函数()29,0f x x x =-≥.在90,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()0f x <；在9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，()0f x ≥，所以数列{}n a 的前4项均为负数，故而n S 的最小值为416S =-.变式:（1）如果一个数列的前n 项和为2=9n S n n -，那么求n S 取得最小值时序号n 是多少？很显然，4n =或5n =.(取得最值时为n =4.5，但n 只能取整数)（2）在（1）的前提下，求n nS 取得最小值时序号n 是多少？可以借助函数()329,0f x x x x =-≥，求导()'23183(6),0f x x x x x x =-=-≥.()f x 在[)0,6单调递减，在[)6,+∞上单调递增，从而()()min 6108f x f ==-.故而n nS 取得最小值时序号n 是6.例5、已知单调递增数列{}n a 的通项公式()2,4,01,6,4n n a n a a a a n a n -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且求a 的取值范围.解：这一个题我们很容易想到这样题目：设()y f x =在R 上是的一个增函数，且()()2,4,01,6,4x a x f x a a a x a x -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且 求a 的取值范围.只需要()4216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩，可以求得a 的范围是(]1,3.对于数列{}n a 就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的限制条件应该为34160a a a a >⎧⎪->⎨⎪<⎩，即()3216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪<-⋅-⎩，求得a 的范围是()1,4.变式：（1）设函数f (x )={(a −2)x ，x ≥2，(12)x −1，x <2，，a n =f(n)，若数列{}n a 是递减数列，求实数a 的取值范围.由题意()()2012a f f -<⎧⎪⎨>⎪⎩即可，可得a 的取值范围7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）已知数列{}n a 中，()()*11,,021n a n N a R a a n =+∈∈≠+-.对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，求a 的取值范围.由题意，可借助函数()()112112212f x a a x x =+=+-+-- 在2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减 再结合数列的离散性特点，可得限制条件2562a -<<，得到a 的范围为()10,8--. 总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即1n n a a +<），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势.二、课后练习1、 已知c n =(n +1)1n+1，则数列c n 的最大值为：_______.2、已知f (x )={(3−a )x −3，x ≤7，a x−6，x >7，，数列a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则a 的取值范围为：_________.1、解：令f (x )=ln x x则f’(x)=1−ln xx2当x≥3时，ln x>1，1−ln x<0，f’(x)<0在[3，+∞)内，f(x)单调递减所以当n≥2时，{ln c n}单调递减即c n是递减数列又∵c1<c2，所以c max=c2=√33.2、解：由题意得：{3−a>0f(8)>f(7)，解得a∈(2，3)。
数列的单调性课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1 > 0
1 < 0
当
或
时，数列 为递增数列，如数列1，2，4，
>1
0<<1
1
1
1
8…；-1，− ， − ， −
2
4
8
1 > 0
��1 < 0
或
时，数列 为递减数列，如数列-1，-2，0<<1
>1
1
1
1
4，-8…；1， ， ，
当1 ≤ ≤ 5, > 0,
是递增数列
5 最大
当 ≥ 6,
是递增数列
6 最小
＜0,
数列的增减性
{an }
【跟踪训练】对于任意的正整数n，�� = 2 + ,若数列
则实数的取值范围
对称轴0 = −
2
− ≤1
2
≥ −2
是递增数列，
数列的增减性
（课本P4）与函数类似，我们可以定义数列的单调性。从第2项起，每一项都大于
等差等比数列综合问题
-----数列的单调性
数列的增减性
（( ∈ + ).
（1）求证： ≥
1
2
2 −1
2
∈ , 设数列 的通项公式为
（2） an 是递增数列还是递减数列？为什么？
数列的增减性
（课本P3）以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离
{an }
散的数的函数。
函数法：利用函数的知识判断数列的单调性
数列的增减性
（课本P9）7.已知函数 =
2025新高考数学：数列新定义与综合应用(学生版)
2025新高考数学：数列新定义与综合应用目录题型一斐波那契数列 1题型二差数列及阶差数列 3题型三平方数列与类平方数列 7题型四数列的单调性 8题型五数列的凹凸性 11题型六数列的周期性 18题型七数列的新概念 26题型八数列的新性质 35好题训练 40高考真题训练 69斐波那契数列1.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列a n称为“斐波那契数列”，则a21+a22+a23+⋯+a22024a2024是斐波那契数列中的第项．2.(2024·贵州遵义·模拟预测)(多选)数列F n：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，则下列选项正确的是()A.F10=55B.F1+F3+F5+F7+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+F23=F24C.F2+F4+F6+F8+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+F2024=F2025D.F21+F22+F23+F24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+F2n=F n⋅F n+13.(23-24高三上·河北廊坊·期末)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n+2=a n+1+a n n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，设n是不等式log2(1+5)n-(1-5)n>n+6的正整数解，则n的最小值为()A.6B.7C.8D.94.(2024·河南·模拟预测)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列F n(F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1)中的奇数换成0，偶数换成1可得到0-1数列a n，若数列a n的前n项和为S n，且S k=100，则k的值可能是()A.100B.201C.302D.3995.(24-25高二上·山东青岛·阶段练习)在数学上，斐波纳契数列a n 定义为：a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +a n +1，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据a n +2=a n +a n +1可得a n =a n +2-a n +1，所以a 1+a 2+⋯+a n =a 3-a 2 +a 4-a 3 +⋯+a n +2-a n +1 =a n +2-a 2=a n +2-1，类比这一方法，可得a 21+a 22+⋯a 210=()A.714 B.1870 C.4895 D.48966.(2024·山东·模拟预测)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用F n n ∈N * 表示斐波那契数列的第n 项，则数列F n 满足：F 1 =F 2 =1，F n +2 =F n +1 +F n .则下列说法正确的是()A.F 10 =34B.3F n =F n -2 +F n +2 n ≥3C.F 1 +F 2 +⋅⋅⋅+F 2023 =F 2025 -1D.F 1 2+F 2 2+⋅⋅⋅+F 2023 2=F 2023 ⋅F 2024差数列及阶差数列7.(23-24高二上·云南昆明·期末)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列a n ，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则a n +1n +1的最小值为．8.(23-24高三下·重庆·阶段练习)定义：满足a n +2a n +1:a n +1a n=q q 为常数，n ∈N *)的数列a n 称为二阶等比数列，q 为二阶公比.已知二阶等比数列∣a n 的二阶公比为2,a 1=1,a 2=2，则使得a n >2024成立的最小正整数n 为()A.7 B.8 C.9 D.109.(2024·全国·模拟预测)给定数列a n ，称{a n -a n -1}为a n 的差数列(或一阶差数列)，称数列{a n -a n -1}的差数列为a n 的二阶差数列⋯⋯(1)求{2n }的二阶差数列；(2)用含m 的式子表示{2n }的m 阶差数列，并求其前n 项和．10.(2024·四川自贡·一模)南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3,7,13,23,39,63,97，则该数列的第8项()A.131 B.139 C.141D.14311.(2024·四川南充·三模)对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δk a n 为数列a n 的k 阶差分，其中Δk a n =Δk -1a n +1-Δk -1a n n ∈N * ．若a n =n (n -1)(2n -1)6，则Δ2a 6=()A.7 B.9 C.11 D.1312.(2024·吉林长春·模拟预测)对于数列a n ，称Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * .对正整数k k ≥2 ，称Δk a n 为数列a n 的k 阶差分数列，其中Δk a n =ΔΔk -1a n =Δk -1a n +1-Δk -1a n 已知数列a n 的首项a 1=1，且Δa n +1-a n -2n 为a n 的二阶差分数列.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =12n 2-n +2 ,x n 为数列b n 的一阶差分数列，对∀n ∈N *，是否都有n i =1x i C i n =a n 成立？并说明理由；(其中C i n 为组合数)(3)对于(2)中的数列x n ，令y n =t x n +t -x n 2，其中12<t <2.证明：ni =1y i <2n -2-n 2.平方数列与类平方数列13.(23-24高三上·四川绵阳·阶段练习)若数列c n 满足c n +1=c 2n 则称c n 为“平方递推数列”.已知数列a n 是“平方递推数列”，且a 1>0，a 1≠1，则()A.lg a n 是等差数列B.lg a n +1-lg a n 是等差数列C.a n a n +1 是“平方递推数列”D.a n +1+a n 是“平方递推数列”14.(2024·海南·模拟预测)(多选)已知数列a n 满足：①a i ∈Z ；②∀i ∈N ∗，i ≤n ，a i +i =k 2，k ∈N ∗，则称数列a n 为“类平方数列”，若数列b n 满足：①数列b n 不是“类平方数列”；②将数列b n 中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列b n 为“变换类平方数列”，则()A.已知数列a n =n 1≤n ≤7,n ∈N ∗ ，则数列a n 为“类平方数列”B.已知数列a n 为：3，5，6，11，则数列a n 为“变换类平方数列”C.已知数列a n 的前n 顶和为43n 3+32n 2+16n ，则数列a n 为“类平方数列”D.已知a n =sin n π2，n =1,2,3,4.则数列a n 为“变换类平方数列”题型四数列的单调性15.(2024·江西新余·模拟预测)我们规定：若数列k n 为递增数列且k n n也为递增数列，则k n 为“X -数列”.(1)已知：a n =32 n，b n =log 32n ，c n =n 32，数列a n ,b n ,c n 中其中只有一个X -数列，它是：；请从另外两个数列中任选一个证明其不是X -数列.(2)已知数列a n 满足：n a n +1-a n =a n +a 1，a 1=1，S n 为a n 的前n 项和，试求a n 的通项并判断数列S n n是否为X -数列并证之.(3)已知数列a n 、b n 均为X -数列，且a 1>0，b 1>0，求证：数列c n =a n ⋅b n 也为X -数列.16.(24-25高三上·河南·开学考试)若数列a n 的相邻两项或几项之间的关系由函数f x 确定，则称f x 为a n 的递归函数．设a n 的递归函数为f x =-x 2+x ．(1)若0<a 1<1，a n +1=f a n (n ∈N *)，证明：a n 为递减数列；(2)若a n +1=f a n +5a n +a 2n ，且a 1=53，a n 的前n 项和记为S n ．①求S n ；②我们称g x =x 为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x 的最大整数，例如 1.2 =1，-1.3 =-2．若T n =∑n i =13a 1S i -a 1+1，求∑2024i =1g T i ．17.(2024·广东深圳·模拟预测)已知a n 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k ∈N *，定义集合B k =i ∈N *∣a i <k ，设b k 为集合B k 中的元素个数，特别规定：若B k =∅时，b k =0．(1)若a n =2n ，写出b 1，b 2及b 10的值；(2)若数列b n 是等差数列，求数列a n 的通项公式；(3)设集合S =s s =n +a n ,n ∈N * ，T =t t =n +b n ,n ∈N * ，求证：S ∪T =N *且S ∩T =∅．数列的凹凸性18.(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k∈N*,k≥2,a k-1+a k+1≤2a k恒成立，则称数列a n为“上凸数列”．(1)若a n=n2-1，判断a n是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，a m+a n≤a m-1+a n+1．(ⅰ)若数列S n为a n的前n项和，证明：S n≥n2a1+a n；(ⅱ)对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,x i,⋯,x n(n为常数且n≥2,n∈N*)，若ni=1x2i-1≥n i=1x i-λ2-1恒成立，求λ的最小值．19.(24-25高三上·安徽亳州·开学考试)已知数列a n，对于任意的n∈N*，都有a n+a n+2>2a n+1，则称数列a n为“凹数列”．(1)判断数列a n=2n是否为“凹数列”，请说明理由；(2)已知等差数列b n，首项为4，公差为d，且b nn为“凹数列”，求d的取值范围；(3)证明：数列c n为“凹数列”的充要条件是“对于任意的k,m,n∈N*，当k<m<n时，有c m-c km-k<c n-c mn-m”．20.(24-25高二上·上海·阶段练习)已知数列a n，对于任意的正整数n，都有a n+a n+2>2a n+1则称数列{a n}是严格凹数列．(1)若数列a n，b n的通项公式分别为a n=-n2,b n=3n，判断数列{a n}，{b n}是否为严格凹数列，无需说明理由；(2)证明：“对于任意正整数的k,m,n，当k<m<n时，有c m-c km-k<c n-c mn-m”是“数列c n为严格凹数列”的充要条件；(3)函数y=f x 是定义在正实数集上的严格增函数，f1 =0且数列f(n)是严格凹数列，严格增数列x1,x2,⋯,x N(正整数N为常数且N≥2)各项均为互不相等的正整数，若Ni=1f x i<fNi=1x i-λ恒成立，求实数λ的取值范围．数列的周期性21.(2024·上海青浦·二模)若无穷数列{a n}满足：存在正整数T，使得a n+T=a n对一切正整数n成立，则称{a n}是周期为T的周期数列．(1)若a n=sinπnm +π3(其中正整数m为常数，n∈N,n≥1)，判断数列{a n}是否为周期数列，并说明理由；(2)若a n+1=a n+sin a n(n∈N,n≥1)，判断数列{a n}是否为周期数列，并说明理由；(3)设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sin a n(n∈N,n≥1)．求证：“存在a1，使得{a n}是周期数列”的充要条件是“{b n}是周期数列”．22.(2024·广东珠海·一模)对于数列a n，若存在常数T，n0T,n0∈N*，使得对任意的正整数n≥n0，恒有a n+T=a n成立，则称数列a n是从第n0项起的周期为T的周期数列．当n0=1时，称数列a n为纯周期数列；当n0≥2时，称数列a n为混周期数列．记x 为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列a n满足：a n+1=a n2,a n为偶数a n-12+2log2a n,a n为奇数 .(1)若对任意正整数n都有a n≠1，请写出三个满足条件的a1的值；(2)若数列a n是纯周期数列，请写出满足条件的a1的表达式，并说明理由；(3)证明：不论a1为何值，总存在m,n∈N*使得a n=2m-1．23.(2024·湖南长沙·一模)对于数列a n ，如果存在正整数T ，使得对任意n n ∈N * ，都有a n +T =a n ，那么数列a n 就叫做周期数列，T 叫做这个数列的周期.若周期数列b n ,c n 满足：存在正整数k ，对每一个i i ≤k ,i ∈N * ，都有b i =c i ，我们称数列b n 和c n 为“同根数列”.(1)判断数列a n =sin n π、b n =1,n =13,n =2b n -1-b n -2,n ≥3是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；(2)若a n 和b n 是“同根数列”，且周期的最小值分别是m +2和m +4m ∈N * ，求k 的最大值.24.(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)对于数列{a n }，若存在常数T ，n 0(T ,n 0∈N *)，使得对任意的正整数n ≥n 0，恒有a n +T =a n 成立，则称数列{a n }是从第n 0项起的周期为T 的周期数列．当n 0=1时，称数列{a n }为纯周期数列；当n 0≥2时，称数列{a n }为混周期数列．记x 为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列{a n }满足：a n +1=a n 2,a n 为偶数a n -12+2log 2a n ,a n 为奇数.(1)若对任意正整数n 都有a n ≠1，请写出三个满足条件的a 1的值；(2)若数列{a n }是常数列，请写出满足条件的a 1的表达式，并说明理由；(3)证明：不论a 1为何值，总存在m ,n ∈N *使得a n =2m -1．25.(23-24高三上·北京丰台·期末)对于数列{a n}，如果存在正整数T，使得对任意n(n∈N*)，都有a n+T=a n，那么数列{a n}就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{b n}，{c n}满足：存在正整数k，对每一个i(i≤k,i∈N*)，都有b i=c i，我们称数列{b n}和{c n}为“同根数列”．(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①a n=sin nπ；②b n=1,n=1,3,n=2,b n-1-b n-2,n≥3.(2)若{a n}和{b n}是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：k≤6；(3)若{a n}和{b n}是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4(m∈N*)，求k的最大值．数列的新概念26.(2024·江苏南通·模拟预测)定义：已知数列a nn∈N*的首项a1=1，前n项和为S n.设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有S 1kn+1-S1k n=λa1k n+1成立，则称此数列为“λ&k”数列.若数列a nn∈N*是“33&2”数列，则数列{a n}的通项公式a n=()A.3×4n-2B.1(n=1)3×4n-2(n≥2)C.4×3n-2D.1(n=1)4×3n-2(n≥2)27.(23-24高三下·湖南长沙·阶段练习)对于无穷数列c n，若对任意m,n∈N*，且m≠n，存在k∈N*，使得c m+c n=c k成立，则称c n为“G数列”.(1)若数列b n的通项公式为b n=2n，试判断数列b n是否为“G数列”，并说明理由；(2)已知数列a n为等差数列，①若a n是“G数列”，a1=8,a2∈N*，且a2>a1，求a2所有可能的取值；②若对任意n∈N*，存在k∈N*，使得a k=S n成立，求证：数列a n为“G数列”.28.(2024·辽宁·三模)若实数列a n满足∀n∈N*，有a n+a n+2≥2a n+1，称数列a n为“T数列”.(1)判断a n=n2,b n=ln n是否为“T数列”，并说明理由；(2)若数列a n为“T数列”，证明：对于任意正整数k,m,n，且k<m<n，都有a n-a mn-m≥a m-a km-k(3)已知数列a n为“T数列”，且2024i=1a i=0.令M=max a1 ,a2024，其中max a,b表示a,b中的较大者.证明：∀k∈1,2,3,⋯,2024，都有-20252023M≤a k≤M.29.(2024·福建泉州·模拟预测)若无穷数列a n满足：对于∀n∈N*，a2n+1-a2n=p，其中p为常数，则称数列a n为P数列．(1)若一个公比为q的等比数列x n为“P数列”，求q的值；(2)若a1=1，p=2，y n是首项为1，公比为3的等比数列，在y k与y k+1之间依次插入数列a2n中的k项构成新数列c n:y1,a21,y2,a22,a23,y3,a24,a25,a26,y4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，求数列c n中前30项的和S30．(3)若一个“P数列"a n满足a1=2,a2=22,a n>0，设数列1a n的前n项和为Tn．是否存在正整数m,k，使不等式T n>mn+k-1对一切n∈N∗都成立？若存在，求出m,k的值；若不存在，说明理由．30.(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n，如果对任意的正整数n，都存在唯一的正整数m，使得a m= a1+a2+a3+⋯+a n，那么称a n的伴随数列，则()为内和数列，并令b n=m，称b n为a nA.若a n为内和数列为等差数列，则a nB.若a n为内和数列为等比数列，则a nC.若内和数列a n为递增数列，则其伴随数列b n为递增数列D.若内和数列a n为递增数列为递增数列，则a n的伴随数列b n31.(2024·湖北荆州·三模)“H数列”定义：数列a n的前n项和为S n，如果对于任意的正整数n，总存在正整数m使S n=a m,则称数列a n是“H数列”.(1)若数列b n是“H数列”；的前n项和为T n=2n,求证：数列b n(2)已知数列c n的通项公是首项为1，公差小于0的等差数列，求数列c n是“H数列”，且数列c n式；(3)若数列d n的前n项和D n.满足：d n=b n c n,求数列d n32.(2024·黑龙江·二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G型数列”．(1)若数列a n满足2a n=S n+1，判断a n是否为“G型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列a n为“G型数列”，a1=1，数列b n满足b n=a n+2，n∈N*，b n是等比数列，公比为正整数，且不是“G型数列”，求数列a n的通项公式．33.(2024·全国·模拟预测)定义：若对于任意的n∈N*，数列a n满足a n+1-a n>1，则称这个数列是“T数列”．(1)已知首项为1的等差数列a n是“T数列”，且a1+a2+⋅⋅⋅+a n<n2+n恒成立，求a2的取值范围．(2)已知各项均为正整数的等比数列a n是“T数列”，数列a n2不是“T数列”．记bn=a n+1n，若数列b n是“T数列”．①求数列b n的通项公式．②是否存在正整数r,s,t r<s<t，使1b r,1b s,1b t成等差数列？若存在，求出r,s,t的所有值；若不存在，请说明理由．数列的新性质34.(2024·山东青岛·三模)(多选)若有穷整数数列A n:a1,a2,⋯a n n≥3满足：a i+1-a i∈-1,2i=1,2,⋯,n-1，且a1=a n=0，则称A n具有性质T.则()A.存在具有性质T的A4B.存在具有性质T的A5C.若A10具有性质T，则a1,a2,⋯,a9中至少有两项相同D.存在正整数k，使得对任意具有性质T的A k，有a1,a2,⋯,a k-1中任意两项均不相同35.(2024·河南·三模)已知数列a n的前n项和为S n，若存在常数λ(λ>0)，使得λa n≥S n+1对任意n∈N*都成立，则称数列a n具有性质P(λ)．(1)若数列a n具有性质P(3)；为等差数列，且S3=-9,S5=-25，求证：数列a n(2)设数列a n具有性质P(λ)．的各项均为正数，且a n①若数列a n是公比为q的等比数列，且λ=4，求q的值；②求λ的最小值．36.(23-24高二下·安徽六安·期末)如果无穷数列a n 满足“对任意正整数i ,j i ≠j ，都存在正整数k ，使得a k =a i ⋅a j ”，则称数列a n 具有“性质P ”.(1)若等比数列a n 的前n 项和为S n ，且公比q >1,S 2=12,S 4=120，求证：数列a n 具有“性质P ”；(2)若等差数列b n 的首项b 1=1，公差d ∈Z ，求证：数列b n 具有“性质P ”，当且仅当d ∈N ；(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列c n 具有“性质P ”，且213,512,415,1012四个数中恰有两个出现在数列c n 中，求c 1的所有可能取值之和.37.(2024·湖北·模拟预测)若项数为m m ≥3 的数列a n 满足两个性质：①a 1=1,a i ∈N *i =2,3,⋯,m ；②存在n ∈2,3,⋯,m -1 ，使得a k +1a k ∈1,2 ,1≤k ≤n -11,12 ,n ≤k ≤m -1，并记M =max i a i 是数列a k 的最大项，1≤k ≤n ．则称数列a n 具有性质Ω．(1)若m =4,a 4=2，写出所有具有性质Ω的数列a n ；(2)数列a n 具有性质Ω,若m =2025,a 2025=16，求a n 的最大项的最大值；(3)数列a n 具有性质Ω,若a M =22025,a m =1，且a n 还满足以下两条性质：(ⅰ)对于满足1≤s <t ≤M 的项a s 和a t ，在a n 的余下的项中，总存在满足1≤p <q ≤M 的项a p 和a q ，使得a s ⋅a t =a p ⋅a q ；(ⅱ)对于满足M ≤s <t ≤m 的项a s 和a t ，在a n 的余下的项中，总存在满足M ≤p <q ≤m 的项a p 和a q ，使得a s ⋅a t =a p ⋅a q ．求满足上述性质的m 的最小值．好题训练一、填空题1.(2023·陕西铜川·一模)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列a n 是等和数列，且a 1=-1，公和为1，那么这个数列的前2024项和S 2024=.2.(2024·北京通州·三模)若数列{b n }、{c n }均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得b m ∈[c n ,c n +1]，则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是．①存在等差数列{a n }，使得{a n }是{S n }的“M 数列”②存在等比数列{a n }，使得{a n }是{S n }的“M 数列”③存在等差数列{a n }，使得{S n }是{a n }的“M 数列”④存在等比数列{a n }，使得{S n }是{a n }的“M 数列”3.(2024·全国·模拟预测)将正整数n 分解为两个正整数k 1，k 2的积，即n =k 1k 2，当k 1，k 2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12的最优分解，当k 1，k 2是n 的最优分解时，定义f n =k 1-k 2 ，则数列f 2n 的前2024项的和为()A.21011-1 B.21011 C.21012-1 D.210124.(2024·江苏镇江·三模)若对项数为n 的数列a n 中的任意一项a i ，1a i也是该数列中的一项，则称这样的数列为“R (n )可倒数数列”.已知正项等比数列b n 是“R (5)可倒数数列”，其公比为q ，所有项和为314，写出一个符合题意的q 的值.5.(2024·江苏南通·模拟预测)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M ~数列”.已知数列b n (n ∈N *)的前n 项和为S n ，且满足b 1=1，1S n =2b n -2b n +1.设m 为正整数.若存在“M ~数列”c n (n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k +1成立，则m 的最大值为.二、多选题6.(2024·江苏南通·模拟预测)在数列a n 中，若对∀n ∈N *，都有a n +2-a n +1a n +1-a n=q (q 为常数)，则称数列a n 为“等差比数列”，q 为公差比，设数列a n 的前n 项和是S n ，则下列说法一定正确的是()A.等差数列a n 是等差比数列B.若等比数列a n 是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同C.若数列S n 是等差比数列，则数列a n +1 是等比数列D.若数列an 是等比数列，则数列S n 等差比数列7.(23-24高三上·上海普陀·期末)对于无穷数列{a n }，给出如下三个性质：①a 1<0；②对于任意正整数n ,s ，都有a n +a s <a n +s ；③对于任意正整数n ，存在正整数t ，使得a n +t >a n 定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若{a n }为“s 数列”，则{a n }为“t 数列”B.若a n =-12 n ，则{a n }为“t 数列”C.若a n =2n -3，则{a n }为“s 数列”D.若等比数列{a n }为“t 数列”则{a n }为“s 数列”8.(2024·河北承德·二模)对于给定的数列a n ，如果存在实数p ,q ，使得a n +1=pa n +q 对任意n ∈N *成立，我们称数列a n 是“线性数列”，则下列说法正确的是()A.等差数列是“线性数列”B.等比数列是“线性数列”C.若p ≠1且a 1=q ，则a n =q 1-p n -1 1-pD.若p ≠1且a 1=q ，则a n 是等比数列qp n -1 的前n 项和9.(2024·湖南衡阳·模拟预测)在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称a n 为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在(不含无穷大)的数列称为收敛数列，如数列a n =1n ，显然对一切正整数n 都有a n ≤1，而1n的极限为0，即数列a n 既有界也收敛.如数列b n =(-1)n ，显然对一切正整数n 都有b n ≤1，但不存在极限，即数列b n 有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有()A.a n =sin n π+π2B.a n =cos n π+π2C.a 1=2,a 2=3,a n =a n -1a n -2 D.a n =sin n π+π2 n10.(2024·河南·一模)对于数列a n (a n ∈N +)，定义b k 为a 1，a 2，⋯，a k 中最大值(k =1,2,⋅⋅⋅,n )(n ∈N +)，把数列b n 称为数列a n 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则()A.若数列a n 是递减数列，则b n 为常数列B.若数列a n 是递增数列，则有a n =b nC.满足b n 为2，3，3，5，5的所有数列a n 的个数为8D.若a n =-2 n -1(n ∈N +)，记S n 为b n 的前n 项和，则S 100=23(2100-1)三、解答题11.(2024·内蒙古包头·二模)已知数列a n为有穷数列，且a n∈N*，若数列a n满足如下两个性质，则称数列a n为m的k增数列：①a1+a2+a3+⋯+a n=m；②对于1≤i<j≤n，使得a i<a j的正整数对i,j有k个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当n=5时，若存在m的6增数列，求m的最小值.12.(23-24高二下·广东深圳·阶段练习)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n n∈N*次得到的数列的所有项之和记为a n.(1)设第n次构造后得的数列为1,x1,x2,⋯,xλ,2，则a n=3+x1+x2+⋯+x k，请用含x1,x2,⋯,x k的代数式表达出a n+1，并推导出a n+1与a n满足的关系式；(2)求数列a n的通项公式a n；(3)证明：1a1+1a2+1a3+⋯+1a n<1313.(2024·贵州贵阳·二模)给定数列a n，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n,m∈N∗，都有a n+m=a n⋅a m，则称数列a n为“指数型数列".(1)已知数列a n满足a1=1,a n=2a n a n+1+3a n+1n∈N*，判断数列1a n+1是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;(2)若数列a n是“指数型数列”，且a1=a+2a+3a∈N*，证明:数列a n中任意三项都不能构成等差数列.14.(2024·湖北·模拟预测)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)，例如φ(4)=2，φ(5)=4．(1)求φ(6)，φ3n，φ4n；(2)设a n=φ3nφ3n+1+2⋅φ3n+2，n∈N*，求数列a n的前n项和S n；(3)设b n=12φ4n-1，n∈N*，数列b n的前n项和为T n，证明：T n<49，15.(23-24高三下·云南昆明·阶段练习)a ,b 表示正整数a ，b 的最大公约数，若|x 1,x 2,⋯x k |⊆|1,2,⋯m |(k ,m ∈N *)，且∀x ∈x 1,x 2⋯x k ，x ,m =1，则将k 的最大值记为φm ，例如：φ1 =1，φ5 =4．(1)求φ2 ，φ3 ，φ6 ；(2)设a n =φ2n ．(i )求数列a n 的通项公式，(ii )设b n =n 2+2n -1 ⋅a n ，求数列b n 的前n 项和T n ．16.(2024·全国·模拟预测)设满足以下两个条件的有穷数列a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 为n n =2,3,4,⋅⋅⋅ 阶“曼德拉数列”：①a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =0；②a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n =1.(1)若某2k k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k ，用k ,n 表示)；(2)若某2k +1k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k +1，用k ,n 表示)；(3)记n 阶“曼德拉数列”a n 的前k 项和为S k k =1,2,3,⋅⋅⋅,n ，若存在m ∈1,2,3,⋅⋅⋅,n ，使S m =12，试问：数列S i i =1,2,3,⋅⋅⋅,n 能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.17.(2024·广东梅州·二模)已知a n 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为M n ，即M n =max a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ；前n 项的最小值记为m n ，即m n =min a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ，令p n =M n -m n (n =1,2,3,⋅⋅⋅)，并将数列p n 称为a n 的“生成数列”．(1)若a n =3n ，求其生成数列p n 的前n 项和；(2)设数列p n 的“生成数列”为q n ，求证：p n =q n ；(3)若p n 是等差数列，证明：存在正整数n 0，当n ≥n 0时，a n ，a n +1，a n +2，⋅⋅⋅是等差数列．18.(2024·山东潍坊·二模)数列a n 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列a n +1-a n 称为a n 的一阶差数列，记为a 1 n ，依此类推，a 1 n 的一阶差数列称为a n 的二阶差数列，记为a 2 n ，⋯．如果一个数列a n 的p 阶差数列a p n 是等比数列，则称数列a n 为p 阶等比数列p ∈N * ．(1)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1．(ⅰ)求a 1 1，a 1 2，a 1 3；(ⅱ)证明：a n 是一阶等比数列；(2)已知数列b n 为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求b n 及满足b n 为整数的所有n 值．19.(2024·贵州·模拟预测)若给定一个数列a n ，其连续两项之差构成一个新数列：a 2-a 1，a 3-a 2，a 4-a 3，⋯，a n +1-a n ，⋯，这个数列称为原数列a n 的“一阶差数列”，记为b n ，其中b n =a n +1-a n .再由b n 的连续两项的差得到新数列b 2-b 1，b 3-b 2，b 4-b 3，⋯，b n +1-b n ，⋯，此数列称为原数列a n 的“二阶差数列”，记为c n ，其中c n =b n +1-b n .以此类推，可得到a n 的“p 阶差数列”.如果数列a n 的“p 阶差数列”是非零常数数列，则称a n 为“p 阶等差数列”.(1)证明由完全立方数13,23,33,⋯,n 3,⋯,n ∈N * 组成的数列a n 是“3阶等差数列”；(2)若a n =n k (k ≥3且k ∈Z ，n ∈N *)，证明数列a n 是“k 阶等差数列”，并且若将a n 的“k 阶差数列”记作a k n ，则a k n =k !=1×2×3×⋯×k n ∈N * .20.(2024·河南郑州·模拟预测)设任意一个无穷数列a n 的前n 项之积为T n ，若∀n ∈N ∗，T n ∈a n ，则称a n 是T 数列．(1)若a n 是首项为-2，公差为1的等差数列，请判断a n 是否为T 数列？并说明理由；(2)证明：若a n 的通项公式为a n =n ⋅2n ，则a n 不是T 数列；(3)设a n 是无穷等比数列，其首项a 1=5，公比为q (q >0)，若a n 是T 数列，求q 的值．21.(2024·广东佛山·模拟预测)定义：一个正整数n称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列a1,a2,...,a k，满足①②：①a1<a2<...<a k-1<a k=n k≥2；②1a1+1a2+...+1a k=1．(1)写出最小的“漂亮数”；(2)若n是“漂亮数”，证明：n3是“漂亮数”；(3)在全体满足k=4的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”n，求n-1是质数的概率．22.(24-25高三上·河南焦作·开学考试)对于一个正项数列a n，若存在一正实数λ，使得∀n∈N*且n≥2，有a1+a2+⋯+a n-1≥λa n，我们就称a n是λ-有限数列.(1)若数列a n满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2n≥3，证明：数列a n为1-有限数列；(2)若数列a n是λ-有限数列，∃M>0，使得∀n∈N*且n≥2，a n≤M，证明：ni=11 a2i≥1a21+λ2 M1a1-1a1+a2+⋯+a n .23.(2024·北京门头沟·一模)已知数列a n :a 1,a 2,⋯,a M ，数列b n :b 1,b 2,⋯,b M ，其中M >2，且a i ,b i ∈1,2,⋯,M ，i =1,2,⋯,M ．记a n ，b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，规定S 0=T 0=0．记S =S j -S i i =0,1,2,⋯,M ;j =1,2,⋯,M ，且i <j ，T =T j -T i i =0,1,2,⋯,M ;j =1,2,⋯,M ，且i <j .(1)若a n :2,1,3，b n :1,3,3，写出S ,T ；(2)若S =2,3,5,6,8 ，写出所有满足条件的数列a n ，并说明理由；(3)若a i ≤a i +1,b i ≤b i +1i =1,2,⋯,M -1 ,a 2>b 2，且S =T ．证明：∃i ∈2,⋯,M ，使得b i =a M -a 1．24.(2024·湖北荆州·三模)对于数列x n，如果存在一个正整数m，使得对任意n n∈N*，都有x n+m=x n成立，那么就把这样的一类数列x n称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列x n的最小正周期，简称周期.(1)判断数列x n=sin nπ和y n=2,n=13,n=2y n-1-y n-2+1,n≥3是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.(2)设(1)中数列y n前n项和为S n，试问是否存在p,q，使对任意n∈N*，都有p≤(-1)n⋅S nn≤q成立，若存在，求出p,q的取值范围，若不存在，说明理由.(3)若数列a n和b n满足b n=a n+1-a n，且b1=1,b2=ab n+2=b n+1b nn≥1,n∈N，是否存在非零常数a，使得a n是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明理由.25.(2024·安徽芜湖·三模)若数列a n的各项均为正数，且对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1a t+1≤a2t，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1+a t+1≤2a t则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列c n是一个“凸数列”，且a n=e c n，(其中e为自然常数，n∈N*)，证明：数列a n是一个“对数性凸数列”，且有a1a10≤a5a6；(2)若关于x的函数f x =b1+b2x+b3x2+b4x3有三个零点，其中b i>0i=1，2，3，4．证明：数列b1,b2, b3,b4是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列a0,a1，⋯,a n是一个“对数性凸数列”，求证：1n+1ni=0a i1n-1n-1j=1a j≥1 n n-1i=0a i1n nj=1a j26.(2024·新疆·二模)我们把满足下列条件的数列a n称为m-L数列：①数列a n的每一项都是正偶数；②存在正奇数m，使得数列a n的每一项除以m所得的商都不是正偶数．(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是3-L数列；(2)若数列b n满足对任意正整数p，q，恒有b p+q=1p+1qb p b q，且b1=8，判断数列b n n 是否是7-L数列，并证明你的结论；(3)已知各项均为正数的数列c n共有100项，且对任意1≤n≤100，恒有c1+c2+⋯+c n=c31+c32+⋯+c3nk4+kc31+kc32+⋯+kc3n+k2k∈N*，若数列c n为111-L数列，求满足条件的所有两位数k值的和．27.(2024·浙江·模拟预测)已知正整数m，设a1，a2，⋯，a2m，b1，b2，⋯，b2m是4m个非负实数，S=∑2ma i=i=1∑2mb i>0.若对于任意i=1,2,⋅⋅⋅,2m，取a2m+1=a1，a2m+2=a2，b2m+1=b1，都有a i a i+2≥b i+b i+1，则称这i=14m个数构成S,m-孪生数组.(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成8,2-孪生数组；(2)求最小的S，使得a1，a2，⋯，a6，b1，b2，⋯，b6构成S,3-孪生数组；(3)若m≥4，且a1，a2，⋯，a2m，b1，b2，⋯，b2m构成16,m的最大值.-孪生数组，求a i i=1,2,⋅⋅⋅,2m 参考公式：(i)x1+x2+x3，当且仅当x1=x2=x3时取等；(ii)当正偶数n≥4时， 2≥3x1x2+x2x3+x3x1设n=2k k∈N*；当正奇数n>4时，设x2+x4+⋅⋅⋅+x2k，有x1x2+x2x3+⋅⋅⋅+x n x1≤x1+x3+⋅⋅⋅+x2k-1n=2k+1k∈N*.，有x1x2+x2x3+⋅⋅⋅+x n x1≤x1+x3+⋅⋅⋅+x2k+1x2+x4+⋅⋅⋅+x2k28.(2024·吉林·模拟预测)对于数列x n，若∃M>0，对任意的n∈N*，有x n ≤M，则称数列x n是有界的.当正整数n无限大时，若x n无限接近于常数a，则称常数a是数列x n的极限，或称数列x n收敛于a，记为limn→+∞x n=a.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.(1)证明：对任意的x≥-1，n∈N*，1+xn≥1+nx恒成立；(2)已知数列a n，b n的通项公式为：a n=1+1 nn，b n=1+1nn+1，n∈N*.(i)判断数列a n，b n的单调性与有界性，并证明；(ii)事实上，常数e=limn→+∞a n=limn→+∞b n，以e为底的对数称为自然对数，记为ln x.证明：对任意的n∈N*，n k=11 k+1<ln n+1<nk=11k恒成立.29.(2024·广东江苏·高考真题)设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j i<j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列．(1)写出所有的i,j，1≤i<j≤6，使数列a1,a2,...,a6是i,j-可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13-可分数列；(3)从1,2,...,4m+2中任取两个数i和j i<j，记数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率为P m，证明：P m>1 8．。
高考新课标数学_数列专题讲义(教师版)
等 差数列{an}中，a1 +a5=10,a4 =7,则数列{an}的公差为 A.1 【 答案】B. 【 解析】由等差中项的性质知 a3 真 题回顾----6 等 差数列{an } 的前 n 项和为 S n ，且 S3 =6， a1 =4， 则公差 d 等于 A ．1 答 案：C 解 析：∵ S3 6 真 题回顾----7 已 知 an 是等差数列， a10 10 ，其前 10 项和 S10 70 ， 则 其公差 d ( Ａ． ) Ｂ． B B.2 C.3 D.4
2、递推关系与通项公式： （掌握，易考） 递推关系： an1 an d ； 通项公式： an a1 (n 1)d ； 推 变 广： an am (n m )d (n m )； 式： a1 an ( n 1) d ；
d
a am an a1 (n, a n ) ；d n ；根据这两个式子可以联想到点 所在直线的斜率 nm n 1
{an } 中， a3 a7 37 ，则 a2 a4 a6 a8 __________
真 题回顾----11 如 果等差数列an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 ... a7 （ （ A）14 【 答案】C 【 解析】 a3 a4 a5 3a4 12, a4 4, a1 a2 真 题回顾----12 设 数列{an },{b n}都是等差数列，若 a1 b1 7 ， a3 b3 21 ，则 a5 b5 __________。 【 答案】35 【 解 析 】 设 数 列 {an },{bn } 的 公 差 分 别 为 d , b ， 则 由 a3 b3 21 ， 得 a1 b1 2(b d ) 21 ， 即 （ B）21 （ C）28 ） （ D）35
新高考数学总复习专题七7.1数列的概念及表示课件
【注意】 利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求an时,容易忽略对“n=1”的情形进 行检验而致错. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的方向转化. 1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn、Sn-1的关系式,再求解. 2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an、an-1的关系式,再求解.
1)单调性——若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列. 2)周期性——若an+k=an(k∈N*),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期. 4.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 5.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.
an
是可求的,则可利用an=a1·a2 ·a3 ·…·an (an≠0,n≥2,n∈N*)求解.
a1 a2
an1
3.构造法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系式,把
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
原递推关系式转化为an+1-t=p(an-t),其中t= q ,然后构造 an1 t =p,即{an-t}
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
考点 数列的概念及表示 1.数列的概念:一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中 的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列与函数的关系:数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3, …,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项 an,记为an=f(n),即当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时所对 应的一列函数值就是数列{an},另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*) 有意义,那么f(1), f(2),…, f(n),…构成一个数列{f(n)}. 3.数列的性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性 质.
单调性课件
VS
图像法适用于一些较为简单的函数， 如线性函数、二次函数等。对于一些 复合函数或抽象函数，利用图像法判 断单调性可能需要先研究函数的性质 或者作出精确的图像，这可能会有一 定的困难。
复合函数单调性判定
对于复合函数的单调性判定，我们需要 先确定各个基本函数的单调性，然后根 据函数的复合规则来判断复合函数的单
03
单调性的应用
求最值
判断函数单调性
通过判断函数单调性，可以找到函数的局部最小值或最大值。例如，对于二次函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$，当$a>0$时，函数在区间$(-\infty, -\frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(\frac{b}{2a},+\infty)$上单调递增。因此，在$-\frac{b}{2a}$处取得最小值。
01
对于正实数x，函数y=log_a x（a>0且a≠1）称为对数函数。
对数函数的单调性
02
当0<a<1时，对数函数y=log_a x在（0，+∞）上单调递减；
当a>1时，对数函数y=log_a x在（0，+∞）上单调递增。
对数函数单调性的应用
03
根据对数函数的单调性，可以判断不同对数函数值的大小关系
指数函数单调性
指数函数的定义
对于实数a和正整数n，函数y=a^x（x∈R）称为指数函数。
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数y=a^x在R上单调递增；当0<a<1时，指数函 数y=a^x在R上单调递减。
指数函数单调性的应用
根据指数函数的单调性，可以判断不同指数函数值的大小关系。
对数函数单调性
对数函数的定义
新教材适用2023_2024学年高中数学第一章数列复习课课件北师大版选择性必修第二册
bn},
1
,{2 },{an·
仍是等比数列.
(4)若{an}是等比数列,则
ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)
成等比数列
6.等差(比)中项是怎样定义的?
提示:如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的
等差中项,且A=
+
复习课
第1课时 数列
内
容
索
引
01
知识梳理 构建体系
02
专题归纳 核心突破
知识梳理 构建体系
【知识网络】
【要点梳理】
1.数列的概念是什么?
提示:按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列
的项.
2.数列是如何分类的?请完成表1-1.
表1-1
分类原则
项数
项与项间的
大小关系
类型
1 2
-1
求形如 an+1=g(n)an 的递推数列的通项公式的基本方法(数列{g(n)}可求前 n
项积).
(5)构造法:形如 an+1=pan+q(p,q≠0,且 p≠1)的递推数列,可构造等比数列
{an+-1},其中该等比数列的首项是 a1+-1,公比为 p.
4
【变式训练2】 已知数列{an}满足a1=4,an+1= + 4 ,求数列{an}的通项公
(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
解:(1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以12 =1×(a1+2),即
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第10讲 数列单调性问题一．选择题（共3小题）1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30B ．28C ．26D ．24【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，∴叠加可得21473(16)33n n b b n -=-+，21(24)529n b n b ∴=--+，24n ∴=，n b 最小，故选：D ．2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．108【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为2929172244n =-==-⨯， n 是整数，∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-⨯+⨯+=，故选：D ．3．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)【解析】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列 ∴2130187a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：132,9a a a a >⎧⎪<⎨⎪><-⎩或，即：23a <<， 故选：B ．二．填空题（共4小题）4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 (3,)-+∞ ． 【解析】解：对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立， 221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++， {}n a 是递增数列， 10n n a a +∴->，又221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++∴当1n =时，1n n a a +-最小，12130n n a a a a λ+∴->-=+>，3λ∴>-．故答案为：(3,)-+∞．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是6λ>- ．【解析】解：{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，都有223n a n n λ=++成立， 数列{}n a 是递增数列，∴对于任意*n N ∈，1n n a a +>，222(1)(1)323n n n n λλ∴++++>++，化为：42n λ>--，恒成立．数列单调递减，6λ∴>-恒成立． 故答案为：6λ>-．6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围9(4-，3)2． 【解析】解：113(1)2n n n n b λ-+=+-， 1213(1)2n n n n b λ+++∴=+-，两式相减得：12111[3(1)2][3(1)2]n n n n n n n n b b λλ++-++-=+--+-123(1)2n n n λ+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，∴对于任意的*n N ∈，都有3(1)20n n n λ+->恒成立，13(1)()2n n λ-∴-<对于任意的*n N ∈恒成立，∴当21n k =-时，2133()22k λ-<； 当2n k =时，239()24kλ>--； 综上所述，实数λ的取值范围是：9(4-，3)2．7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是18． 【解析】解：由1232n n a a a a n a +++⋯=-，得2n n S n a =-， 取1n =，求得11a =；由2n n S n a =-，得112(1)(2)n n S n a n --=--，两式作差得12n n n a a a -=-+，即112(2)(2)2n n a a n --=-，又1210a -=-≠，∴数列{2}n a -构成以12为公比的等比数列， 则1121()2n n a --=-⨯，则12212(2)()2222n n n n n n n b a ----=-=-=， 当1n =时，112b =-，当2n =时，20b =，当3n =时，318b =，而当3n 时，11112122(2)2n n nnn b n n b n ++--==--， {}n b ∴中的最大项的值是18．故答案为：18．三．解答题（共11小题）8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=， （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若24()n n a b n =，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ； （Ⅲ）设2()n nnna λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由已知13n n S n S n++=，且111S a ==， 当2n 时， 321121452(1)(2)11216n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋯=⋯=-， 1S 也适合，当2n 时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且1a 也适合， (1)2n n n a +∴=． （Ⅱ）224()(1)n n a b n n==+，设2(1)(1)n nn =-+，当n 为偶数时，1221(1)(1)(1)21n n n nC n n n --+=-+-+=+，12341[5(21)](3)2()()()59(21)22n n n nn n n T C C C C C n -+++=++++⋯+=++⋯+-==，当n 为奇数时，221(1)(2)34(1)22n n nn n n n T T n --+++=+=-+=-，且114T C ==-也适合． 综上得()()()234232n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 （Ⅲ）2()n nnna λ=-，使数列{}n 是单调递减数列， 则1422()021n n nC n n λ+-=--<++，对*n N ∈都成立， 则42()21max n n λ-<++， 4222221(1)(2)3n n n n n n n-==++++++， 当1n =或2时，421()213max n n -=++， 13λ∴>．9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()()2n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2a =，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由已知，得11111()02a a a S ⨯-===，2n n na S ∴=，则有11(1)2n n n a S +++=， 112()(1)n n n n S S n a na ++∴-=+-，即1(1)*n n n a na n N +-=∈， 21(1)n n na n a ++∴=+，两式相加得，122*n n n a a a n N ++=+∈， 即211*n n n n a a a a n N +++-=-∈， 故数列{}n a 是等差数列．又10a =，2a a =，(1)n a n a ∴=-．（2）若2a =，则2(1)n a n =-，(1)n S n n ∴=-．由21114m n a S -=，得2211(1)n n m -+=-，即224(1)(21)43m n ---=， (223)(221)43m n m n ∴+---=．43是质数，223221m n m n +->--，2230m n +->， ∴221122343m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得12m =，11n =．（3）由n a b p +，得(1)a n b p -+． 若0a <，则1p bn a-+，不合题意，舍去； 若0a >，则1p bn a-+．不等式n a b p +成立的最大正整数解为32p -， 32131p bp p a-∴-+<-， 即2(31)3a b a p a b -<--，对任意正整数p 都成立． 310a ∴-=，解得13a =，此时，2013b b -<-，解得213b <．故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是13a =，213b <．10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设434n n na b +=，求数列{}n b 中的最大项的值． 【解析】解：（1）1(1)3n n n a a n +=++，1(1)3n n n a a n +∴-=+． ∴当2n 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+123(1)323n n n n --=+-+⋯+⨯，则1233(1)323n n n a n n -=+-+⋯+⨯，2313112322333332333122n n nn n n n a n n ---∴-=⨯+++⋯+-=+-=+-，213344n n n a -∴=⨯-． 当1n =时也成立， 213344n n n a -∴=⨯-． （2）433(21)()044nn n na b n +==->， ∴113(21)()634384(21)()4n n n n n b n b n n ++++==--，由于(63)(84)72n n n +--=-，可得1n =，2，3时，1n n b b +>；当4n 时，1n n b b +<． ∴数列{}n b 中的最大项为4b ，可得4435677()4256b =⨯=．11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正； （Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，113a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n nb f S =，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由()()()f x f y f x y =+，令0x >，0y =，则()(0)()f x f f x =， 当0x >时，有0()1f x <<，(0)1f ∴=．⋯（2分） 当0x <时，0x ->，0()1f x ∴<-<， 由于()()()(0)1f x f x f x x f -=-== 所以1()10()f x f x =>>-，综上可知，()f x 恒正；⋯（4分） （Ⅱ）设12x x <，则210x x ->，210()1f x x ∴<-< 又由（1）可知1()0f x >所以22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-< 故()f x 在实数集R 上是减函数；⋯（8分） （Ⅲ）由题意113a =，()n a f n =，∴11(1)3a f ==，111(1)()(1)()33n n a f n f n f f n a +=+=== ∴数列{}n a 为以首项113a =，公比为13的等比数列，∴111(),(1)323n n n n a S ==-⋯（12分）由此可知，n S 随着n 的增大而增大，再根据（2）可得()n f S 随着n 的增大而减小， 所以数列{}n b 为递减数列，从而存在最大项，其为311111()()()()(1)33b f S f a f f f =====（14分）12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++⋯+=-，(1n =，2，3，)⋯． （1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)⋯，求数列{}n b 的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +，求实数t 的取值范围．【解析】（1）证明：由题可知：123n n a a a a n a +++⋯+=-，⋯①，123111n n a a a a n a +++++⋯+=+-，⋯②，②-①可得121n n a a +-=⋯（3分）；即：111(1)2n n a a +-=-，又111..2a -=-⋯（5分），所以数列{1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列....⋯⋯（4分）（2）解：由（1）可得11()2n n a =-，故22n n n b -=，设数列{}n b 的第r 项最大，则有1121222322rr r r r r r r +---⎧⎪⎪⎨--⎪⎪⎩，∴2(2)122(3)r r r r --⎧⎨--⎩，34r ∴，故数列{}n b 的最大项是341 (8)b b ==⋯（8分）（3）解：由（2）可知{}n b 有最大值是3418b b ==，所以，对任意*n N ∈，都有18n b ，对任意*n N ∈，都有214n b t t +，即214n b t t -成立，∴21184t t -，⋯（11分）， 解得12t或14t -∴实数t 的取值范围是(-∞，11][42-，)+∞⋯（12分） 13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2*1(n na a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ⋯，||2}i a ，{|M c =对任意*i N ∈，||2}i a ．（Ⅰ）写出2M ，3M ； （Ⅱ）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ∉； （Ⅲ）求集合M ．【解析】（Ⅰ）解：根据题意可得，2[2M =-，2]，3[2M =-，1]； （Ⅱ）证明：当14c >时，对任意*n N ∈，都有221111()0244n n n n n a a a c a a c c +-=+-=-+-->， 所以1n n a a +>，所以数列{}n a 是递增数列，因为111211111()()()()()()444n n n n n a a a a a a a a c c c ++-=-+-+⋯+-+-+-+⋯+-，所以11()4n a n c +-，令08{|}41n min t N t c =∈>-， 则010181()()24414n a n c c c +->-=-，所以01n c M +∉，所以存在正整数01n =+，使得c M ∉；()III 解：由题意得，对任意*n N ∈，都有1n n M M +⊆且n M M ⊆．由（Ⅱ）可得，当14c >时，存在正整数，使得c M ∉，所以c M ∉， 所以若c M ∈，则14c， 又因为3[2M M ⊆=-，1]， 所以若c M ∈，则2c -， 所以若c M ∈，则124c-，即1[2,]4M ⊆-． 下面证明1[2,]4M -⊆．①当104c时，对任意*n N ∈，都有0n a ． 下证对任意*n N ∈，12n a <． 假设存在正整数，使得12a ． 令集合*1{|}2S N a =∈，则非空集合S 存在最小数0s ． 因为211042a c=<，所以02s >． 因为01s S -∈/，所以01102s a -<． 所以00211142s s a a c c-=+<+，与012s a 矛盾． 所以对任意*n N ∈，102n a <． 所以当104c时，||2n a ． ②当20c -<时，220c c +． 下证对任意*n N ∈，||||n a c ．假设存在正整数，使得||||a c >．令集合*{|||||}T N a c =∈>，则非空集合T 存在最小数0t ． 因为2a c =，所以2||||a c ，所以02t >．因为01t T -∈/， 所以01||||t a c -．00221t t a a c c c c -=++-，且0021t t a a c c -=+，所以0||||t a c ，与0||||t a c >矛盾．所以当20c -<时，||||2n a c ．所以当1[2,]4c ∈-时，对任意*n N ∈，都有||2n a ．所以c M ∈，即1[2,]4M -⊆．因为1[2,]4M ⊆-，且1[2,]4M -⊆，所以1{|2}4M c c=-． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：123111134n T T T T +++⋯+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围． 【解析】（Ⅰ）解：2n n S a a =+， 当2n 时，112n n S a a --=+，两式作差得，1122n n n n n a S S a a --=-=-，12(2)n n a a n -∴=， 当1n =时，1112a S a a ==+，则10a a =-≠， ∴数列{}n a 是等比数列，10a a =-≠，2q =． ∴1122n n n a a a --=-⨯=-；（Ⅱ）①证明，3n n n T a =+，若1a =，则132n n n T -=-，当2n 时，111323323n n n n n n T ---=->-=⨯，111324T =<； 当2n 时，21123111111112232323n n T T T T -+++⋯+<+++⋯+⨯⨯⨯11(1)13133(1)1243413n n ⨯-=⨯=-<-， 综上，123111134n T T T T +++⋯+<； ②解：123n n n T a -=-⨯+，113b T a ==-，当2n 时，1121213232232n n n n n n n n n b T T a a a ------=-=-⨯-+⨯=⨯-⨯，112121(232)(232)432n n n n n n n n b b a a a -----+-=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-⨯，由1214320n n n n b b a --+-=⨯-⨯>，得12243312()(2)22n n n a n ---⨯<=⨯， 当2n 时，函数23()12()2n f n -=⨯在2n =时取得最小值为12， 又2123(3)3b b a a -=⨯---=，12a ∴<．∴数列{}n b 为递增数列时，a 的范围为(,12)-∞．15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有2(n na q q a +=为常数），则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}nb 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++⋅=．（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求{}n b 通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．【解析】解：（1）证明：因为112n n n b b ++⋅=，所以2122n n n b b +++⋅=， 所以21211222n n n n n n b b b b +++++⋅==⋅， 所以数列{}n b 是“类等比数列”．（2）由已知得2112,2b b b b =⋅=，故24b b=． 结合（1）可知，该数列的奇数项、偶数项分别构成以b ，4b 为首项，且公比皆为2的等比数例． 故12222,42,n n n b n b n b--⎧⋅⎪⎪=⎨⎪⋅⎪⎩为奇数为偶数，*()n N ∈． （3）若{}n b 是单调递增数列，则满足21221b b b -+<<， 即114222b b b --⋅<⋅<⋅，即42b b b<<， 2b <<．16．已知数列{}n a 的前n 项和为22n a S n =． （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．【解析】解：（1）由已知，得112a a S ==， *1(21)(,2)22n n n a a a S S n an n N n -=-=-=-∈⋯（3分） 又*1(n n a a a n N --=∈，2)n ⋯（2分）所以，数列{}n a 为公差为a 的等差数列．⋯（1分）（2）由*1(n n a a a n N --=∈，2)n 得当0a >时，数列{}n a 为递增数列；⋯（2分）当0a =时，数列{}n a 为常数列；⋯（2分）当0a <时，数列{}n a 为递减数列．⋯（2分）17．已知函数22()1x f x x =+，()n a f n =． （1）求证：对任意*n N ∈，1n a <； （2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？【解析】（1）证明：由题意，可知22222111()1111n n n a f n n n n +-====-+++， *n N ∈，212n ∴+，则211012n <+， 211021n ∴--<+， 则2111121n -<+， ∴对任意*n N ∈，都有1n a <恒成立，故命题得证．（2）由题意，可知1211(1)1n a n +=-++， 则122111(1)(1)11n n a a n n +-=---+++ 22111(1)1n n =-+++ 2222(1)11(1)[(1)1]n n n n ++--=+++ 2221(1)[(1)1]n n n +=+++， *n N ∈，∴22210(1)[(1)1]n n n +>+++， 即10n n a a +->，∴数列{}n a 是递增数列．18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】解：（1）因为{}n a 是递增数列，所以n n l n a a p +-=． 因为11a =，1a ，22a ，33a 成等差数列，所以21343a a a =+，则322133a a a a -=-，即230p P -=，解得13p =或0p =． 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =．（2）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->， 所以212221()()0n n n n a a a a +--+->． 因为2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-． 所以2210n n a a -->， 因此221221211(1)()22nn n n n a a -----==． 因为2{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<， 所以21221221(1)()22n n n n na a ++--=-=． 所以11(1)2n n n na a ++--=． 于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋯+-，121111()111(1)41(1)2111222233212n n n n n -------=+=+-+⋯+=++， 所以数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+． （3）11()()2n n n n c n a a n +=-=--， 所以121111()2()()222n n T n =-⨯--⨯--⋯--， 两边同乘12-可得： 23111111()2()()2222n n T n +-=-⨯--⨯--⋯--， 两式相减可以得到：221()()9922n n n T =-+-．。