第10讲 数列单调性问题-新高考数学之数列综合讲义

第10讲 数列单调性问题

一．选择题（共3小题）

1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*

n N ∈，在数列{}n a 中，2

163

n n a n =-，设数列{}n b 中

的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30

B ．28

C ．26

D ．24

【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*

n N ∈，在数列{}n a 中，2

163n n a n =-，

∴叠加可得2147

3(16)33

n n b b n -=-+，

21(24)529n b n b ∴=--+，

24n ∴=，n b 最小，

故选：D ．

2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103

B ．

865

8

C ．

825

8

D ．108

【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为29291

72244

n =-

==-⨯， n 是整数，

∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-⨯+⨯+=，

故选：D ．

3．设函数6(3)3,7

(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩

，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的

取值范围是( ) A ．(1,3)

B ．(2,3)

C ．9

(,3)4

D ．(1,2)

【解析】解：函数6(3)3,7

(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩

，

数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列 ∴2130187a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：1

32,9a a a a >⎧⎪<⎨⎪><-⎩

或，

即：23a <<， 故选：B ．

二．填空题（共4小题）

4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 (3,)-+∞ ． 【解析】解：对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立， 221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++， {}n a 是递增数列， 10n n a a +∴->，

又221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++

∴当1n =时，1n n a a +-最小，

12130n n a a a a λ+∴->-=+>，

3λ∴>-．

故答案为：(3,)-+∞．

5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是

6λ>- ．

【解析】解：{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，都有223n a n n λ=++成立， 数列{}n a 是递增数列，∴对于任意*n N ∈，1n n a a +>，

222(1)(1)323n n n n λλ∴++++>++，化为：42n λ>--，恒成立．

数列单调递减，6λ∴>-恒成立． 故答案为：6λ>-．

6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围

9(4-，3

)2

． 【解析】解：113(1)2n n n n b λ-+=+-， 1213(1)2n n n n b λ+++∴=+-，

两式相减得：12111[3(1)2][3(1)2]n n n n n n n n b b λλ++-++-=+--+-

123(1)2n n n λ+=+-，

对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，

∴对于任意的*n N ∈，都有3(1)20n n n λ+->恒成立，

13

(1)()2

n n λ-∴-<对于任意的*n N ∈恒成立，

∴当21n k =-时，21

33()22

k λ-<； 当2n k =时，23

9()2

4

k

λ>--

； 综上所述，实数λ的取值范围是：9(4-，3

)2

．

7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2

n n n

b a -=-，则{}n b 中的最大项的值是

1

8

． 【解析】解：由1232n n a a a a n a +++⋯=-，得2n n S n a =-， 取1n =，求得11a =；

由2n n S n a =-，得112(1)(2)n n S n a n --=--，

两式作差得12n n n a a a -=-+，即11

2(2)(2)2

n n a a n --=-，

又1210a -=-≠，

∴数列{2}n a -构成以

1

2

为公比的等比数列， 则11

21()2n n a --=-⨯，

则12212

(2)()2222

n n n n n n n b a ----=

-=-=， 当1n =时，112b =-，当2n =时，20b =，当3n =时，31

8b =，

而当3n 时，111

12122(2)2n n n

n

n b n n b n ++--==--， {}n b ∴中的最大项的值是1

8．

故答案为：1

8

．

三．解答题（共11小题）