线性代数试题及答案3培训讲学
线性代数试题及答案3详解
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。
A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A 的属于特征值 入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A 的特征值C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A 的3个互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A 的属于入1,入2,入3的特征向量，贝y a 1, a 2, a 3有可能线性相关A. m+n a 11 a 12=m, a13a11a 21 a 22a23 a21 1.设行列式 =n ，C. n- m0 ' 03丿B. P 0 -(m+n) 0 2 0则行列式D. m- 2.设矩阵A = a11 a21a12 a 22 +313+a23等于（<1 0 0f冷i L 0 0310 01 [12113[ J 1I 0 2 0 B 0 2 0C 0 1 0D I 03 0 0 0 1 LI 010 0 1 10 0 1丿3丿 K2丿 1丿A. 、单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求的, 错选或未选均无分。
3.设矩阵 广3 1 、三B. -1 02-1 , 4丿C.A *是A 的伴随矩阵,中位于（ 2）的元素是（ B ） A. -6 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式 A. A = 0 B. B HC 时 A = 0D.— AB =AC ,则必有( C. A HO 时 B =C D ）D. | A I H 0 时 B =C 5.已知3X 4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（ A T）等于（C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组 a 1, a 2, , a s 和 3 1, 3 , ',3S 均线性 .相关，则 (D )A.有不全为 0 的数入1, 入2, ■ …，入S 使入1 a 什入 2 a • • + 入 a S =0 和入1 3 1+ > 3 2+…s 3 S =0 B.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1+3 1) +入2 (a 2+ 3 2）+…+入 S ( a S + 3 s ) =0C.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1- 3 +入2 (a2- 3 2） +…+入 S ( aS - 3 s ) =0 D.有不全为 0 的数入1, 入2 , …，入S 和不全为 0的数 1 1 , 1 2,…， 1S 使入1 a 1+ 入 2 a 2+- …+ 入 s a s =0 和 1 3 1+ 2 3 2+ …+ 1 S 3 S =07. 设矩阵A 的秩为r,则A 中（C A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r 阶子式不等于0 8. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组， A. n 什n 2是Ax=0的一个解 B.所有D.所有 2是其任意 1 1B. 1n 1+r- r 阶子式都不为 2个解，则下列结论错误的是 1阶子式全为n 2是Ax=b 的一个解 D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解 C. n 1-n 2是Ax=0的一个解 9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n - 110. 设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）AC.A=0）D.方程组Ax=0只有零解）11. 设入0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于入0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必 有（A ） A. k < 3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ A.| A|2 必为 1 B.|A 必为 1 C. A -1=A T13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵， A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ B.|A 必为1 B ） D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组B =C T AC .则（D ） C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 0 2,） 0,5非选择题 （共72分） 第二部分 二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
2019考研线性代数基础讲义(含答案)
2019考研线性代数基础讲义参考答案目录第一章行列式 (1)考试内容 (1)考试要求 (1)§1．行列式的定义 (1)§2．行列式的性质 (2)§3．行列式的展开式定理 (3)§4、常见行列式计算 (6)第二章矩阵 (8)考试内容 (8)考试要求 (8)§1．矩阵及其运算 (8)§2．逆矩阵 (12)§3．初等变换与初等矩阵 (15)§4．矩阵的秩 (17)§5.分块矩阵 (19)第三章向量 (23)考试内容 (23)考试要求 (23)§1．n维向量的概念及其运算 (23)§2．向量组的线性相关性 (24)§3．向量组的秩和极大无关组 (27)§4．向量的内积与施密特正交化 (30)第四章线性方程组 (32)考试内容 (32)考试要求 (32)§1．线性方程组有解的判定 (32)§2.向量组的线性相关性与方程组的关系 (39)第五章矩阵的特征值与特征向量 (42)考试内容 (42)考试要求 (42)§1．特征值与特征向量 (42)§2．矩阵的相似对角化 (45)§3．实对称矩阵的相似对角化 (48)第六章二次型 (51)考试内容 (51)考试要求 (51)§1．二次型的概念 (51)§2.二次型的标准型与规范型 (53)§3．正定二次型 (57)附录向量空间（数一） (58)。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。
（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。
（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。
（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。
线性代数(数学系辅导)参考答案
28道复习题参考答案1、五阶行列式有5！项，其中一项为：j i a a a a a 34221531，该项为负，则i ＝ 4 ；j ＝ 5 。
提示：先把j i a a a a a 34221531写为53423211a a a a a j i ，因为该项为负，则项列标排列必为奇排列，即：（i ，1，j ，2，3）的逆序数为奇，则i ＝4、j ＝5。
2、A 为五阶方阵，且|A|=－3，则 | |A| A |＝ 729 。
提示：公式：A k kA n =3、),,(321a a a A =，A 为三阶方阵，且|A|＝5，),2,3(3122a a a a B +=，求|B|＝ －30 。
提示：对矩阵B 的行列式进行若干次列变化，就可以找出和A 的行列式的关系。
4、若有：0111221252552842232=xxx ，则x ＝ 1， 2，5 。
提示：把2提出来，再转置，原行列式就变为范得蒙行列式，则有： 2（1－2）（1－5）（1－x ）（x －2）（x －5）（5－2）＝0。
5、=---1111132211n na a a a a a a ∏=+ni i a n 1)1(。
提示：做变换：i i C C ++1，n 21 ，=i6、=a b b b b a b b bb a b bbba1)]()1[(--+-n b a a b n 。
7、=na ba ba b bb b a321∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ni i ni i a a b a 2221。
提示：该题应该有一个条件：01≠∏=ni i a 。
该题为“箭头矩阵”。
做变换：i iC a bC )(1-+，n 2 =i 。
8、2514112301321241--=D ，求：4232221252A A A A ++-＝0 。
提示：把D 的第三列的4个元素分别乘第3列4个元素对应的代数余子式，显然即为所求：4232221252A A A A ++-，根据定理有：该值为0。
线性代数试题(试题与答案)
线性代数试题(试题与答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，则 \( A^2 \) 的特征值是（）A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组，则下列向量组线性无关的是（）A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式等于（）A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( A \) 的秩为\( n \)，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( |A| = 0 \)，则称 \( A \) 为________矩阵。
线性代数第3章习题解答
Cauchy 中值定理
F(x)x
洛必达法则
型
f g1g1 f 1g1 f
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange f(a)f(b)
中值定理
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
泰勒公式
导数的应用
,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于
连接曲线端点的弦。
.
线性代数第3章习题解答
柯西中值定理：
若 f(x若 )和 F 1f((x x)):: (1)在 闭 区[a间 ,b]上 连 续 ；
(2在 ) 开区 (a,间 b)内可导；
(F 3 (x ) 0 x ( a ,b ).
.
则 至 少 存在 (一 a,b)， 点使 得
定 理2 如 果 f(x)在 (x0,x0)内 存 在 二 阶 导 数,则点x0,f(x0)是拐点的必要条件是
f"(x0)0.
线性代数第3章习题解答
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0, (1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; (2 )x 0 两f( 近 x ) 不 旁 ,点 变 (x 0 ,f(x 0 ) 号 不 ) .是
线性代数第3章习题解答
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 ,且 在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
(研究生入学考试)线性代数习题册答案3
03 第三章：向量
习题答案3-
总结词
理解向量的加 法
总结词
掌握向量的数 乘
理解向量的模
总结词
总结词
掌握向量的点 乘
习题答案3-
01
总结词
理解向量的减法
总结词
理解向量的模
03
02
总结词
掌握向量的数乘
总结词
掌握向量的点乘
04
习题答案3-
总结词
理解向量的数乘
总结词
理解向量的点乘
总结词
掌握向量的模
总结词
01
$y+z=7$
02
$z+x=8$
03
解得：$x=3, y=2, z=5$
第四章：线性方程组 习题答案4-
第四章：Байду номын сангаас性方程组 习题答案4-
• $\Rightarrow x-y=0$
第四章：线性方程组 习题答案4-
01 02 03
$y-z=5$ $z-x=-5$ 解得：$x=-5, y=-5, z=0$
$Rightarrow begin{bmatrix} x y z end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 0 & 1 & -2 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}^{-1} begin{bmatrix} -1 0 2 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
begin{bmatrix} 1 -1 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
$Rightarrow begin{bmatrix} x y end{bmatrix} = begin{bmatrix} 5 -3 end{bmatrix}$
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数试卷及答案3套
线性代数试卷及答案3套线性代数A卷一、填空题（共6小题，满分18分）1.设α=(1,0,-1,2),β=(0,1,0,1)，令A＝αTβ，则A4 = .2.设矩阵且BA=B+E，则B-1= .3.设α1,α2是2维的列向量,令A=(2α1+α2,α1-α2),B=(α1,α2),若|A|=－6, 则|B|= .4.设A为n阶方阵，且A2=A，则R(A)+ R(A- E) = .5.设α1=(1,1,1),α2=(a,0,b),α3=(1,2,3)线性相关，则a与b应满足的关系式为.6. 设α+2β=(2,1,t,-1),2α-β=(-1,2,0,1),且α与β正交，则t= .二、单项选择题（共6小题，满分18分）1. 设A为n阶方阵，且AA T= E，|A|＜0,则A+ E为[ ].(A) 非奇异矩阵，(B) 奇异矩阵，(C)正交矩阵，(D)正定矩阵.2.设A是4×3矩阵，且R(A)=2，若则R(AB)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 0.3. 设A为n阶可逆矩阵，k≠0为常数，则(k A)*为[ ].(A) k A*，(B) k n-1 A*，(C) k n A*，(D) k n A.4. 设向量组α1,α2,α3线性无关，则下面向量组线性相关的是[ ].(A) α1－α2,α2－α3,α3－α1，(B) α1+α2,α2+α3,α3+α1，(C)α1－2α2,α2－2α3,α3－2α1，(D) α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.5.设矩阵A n×m，B m×n，且n＜m，若AB＝E，则下面结论正确的是[ ].(A) A的行向量组线性相关，(B) A的列向量组线性无关，(C) 线性方程组Bx＝0仅有零解，(D) 线性方程组Bx＝0必有非零解.6.设3阶方阵A与B相似，且A的特征值为，则tr(B-1- E)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 6.三、解答题（共6小题，满分42分）1.设A为4阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|＝0，而A*≠O.α1,α2,α3是线性方程组Ax＝b的三个解向量，其中，求线性方程组Ax＝b的通解.2.设向量组，问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，并求此时的极大无关组.3.求一组非零向量α1,α2与已知向量α3＝(1,1,1)T正交，并把它们化成R3的一个标准正交基.4.设矩阵，且A*相似于B，其中A*是A的伴随矩阵，求x，y.5.设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12，求a，b.6.设V是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常矩阵的加法与数乘运算所构成的实数域R上的线性空间.且是V的一个基，试证也是V的一个基.并求V中的向量在该组基下的坐标.四、（本题满分11分）已知齐次线性方程组(Ⅰ)(Ⅱ)同解，求a，b，c的值.五、（本题满分11分）设矩阵3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，且R(A)＝1.①求A的特征值与特征向量；②求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ；③求A及.线性代数B卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设4阶矩阵A的行列式|A| =3，则行列式．2．设A为3阶正交矩阵，且A T= -A*，其中A*是A的伴随矩阵，则|A| = ．3．设α1,α2是n(n3)元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则R(A)= ．4．设线性空间R2的两个基A：α1=(1,0)T,α2=(1,1)T；B：β1=(1,1)T，β2=(-1,1)T，则A组基到B组基的过渡矩阵为．5．设3阶矩阵A的特征值为1、3、5，则A的迹tr A= ．6．若二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3正定，则t满足．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为m×n矩阵.B为n×m矩阵，则[ ]．(A)当时，必有|AB|≠0；(B)当时，必有|AB|=0；(C)当时，必有|AB|≠0；(D)当时，必有|AB|=0．2．设α1,α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为[ ].(A)α1-α2,α2-α3，α3-α1；(B)与α1,α2，α3等秩的一个向量组；(C)α1,α1+α2，α1+α2+α3；(D)与α1,α2，α3等价的一个向量组.3．设A为n阶非奇异阵(n2)，A*是A的伴随阵，则[ ]．(A) (A*)*= |A|n -2A；(B) (A*)*=|A|n+2A；(C) (A*)*= |A|n -1A； (D) (A*)*=|A|n+1A.4．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC 的秩为r1，则[ ]．(A) r >r1； (B) r<r1；< p="">(C) r与r1关系依赖与矩阵C； (D) r=r1.5．设A，B为n阶矩阵，若[ ]，则A与B合同．(A) 存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B；(B) 存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP= B；(C) 存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ= B；(D) 存在n阶方阵C、U，且CAU= B.6．n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的[ ]．(A) 充分必要条件；(B) 充分而非必要条件；(C) 必要而非充分条件；(D) 既非充分也非必要条件.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1. 计算4阶行列式.2．设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用这个极大无关组线性表示.3. 设向量α1=(1,2,1)T和α2=(1,1,2)T都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．4．设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.5. 已知线性空间R[x]3={a0+a1x+a2x2| a0,a1,a2 R}，(1) 证明1，1＋x，(1＋x)2是R[x]3的一个基；(2) 求由基1，x，x2到基1，1＋x，(1＋x)2的过渡矩阵.四、（本题满分9分）设线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)x1+3x2+3x3=a-3有公共解，求a的值和所有的公共解.五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.线性代数C卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为3阶方阵，|A|=1，则| -2A|=__________.2．设A是n阶方阵，x1，x2均为线性方程组Ax=b的解，且x1≠x2，则|A|=____ ____ .3．设A为n阶可逆阵，且A2=|A|E，则A*= . 4．若n阶方阵A 与单位阵E相似，则A= .5．设4阶方阵A，R(A)=2，则R(A*)= .6. 若二次型是正定的,则t应满足.二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设A为实对称矩阵,Ax1=λ1x1,Ax2=λ2x2,且λ1≠λ2，则(x1,x2) =[ ].(A) 1；(B) -1；(C) 0；(D) 2. 2．设A、B均为n阶可逆阵，则[ ].(A) ((AB)2)-1=(B2)-1(A2)-1；(B) 存在可逆阵P、Q，使PAQ=B；(C) 存在可逆阵P, 使A=P-1BP；(D) 存在可逆阵P,使P T AP=B.，则3．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1 [ ].(A)r>r1；(B)r< p="">4．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为 [ ].(A)α1，α1+α2，α1+α2+α3；(B) 与α1，α2，α3等价的一个向量组；(C) α1-α2，α2-α3，α3-α1；(D) 与α1，α2，α3等秩的一个向组.5．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是[ ].(A) α1，α2，…，αs都不是零向量；(B) α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关；(C) α1，α2，…，αs中任一向量都不能用其余向量线性表出；(D) α1，α2，…，αs中任意s-1个向量都线性无关.6. 如果[ ]，则A与B相似.(A) |A|=|B|； (B) R(A)=R(B)；(C) A与B有相同的特征多项式；(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1.计算行列式.2.设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.3. 设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示.4．设矩阵，求（1）A2；（2）A n.5. 已知是矩阵的一个特征向量.(1) 试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2) 问A能否相似于对角阵？说明理由．四、（本题满分9分）设3维向量组试问：(1) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法唯一；(2) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一；(3) 当λ取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示．五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.<></r1；<>。
线性代数第3章习题答案PPT课件
k11 k22 knn .
成立.
(2) 设 1 = (1, 0, 0, 1),2 = (1, 2, 0, 2 ),3 (1,2,3,3),
4 (2,1,5,4 ),其中 1, 2 , 3, 4是任意实数, 则有( C ).
(A) 向量组 1,2,3 总线性相关; (B) 向量组 1,2,3,4 总线性相关; (C) 向量组 1,2,3 总线性无关;
问:向量 可以由向量 1,2,3 线性表示?若可以，
写出其表达式.
解： 设 k11 k22 k33, 则有:
8,3,1 k1 1,2,3 k2 3,1,0 k3 1,1,1
即 k1 3k2 k3 8 2k1 k2 k3 3 3k1 k3 1
1 3 1 D 2 1 1 1 0
,r线性表示.选项(A)正确. 此外,显然 1可由1,2 , ,r线性表示, 选项(C)正确. n可由r1 ,r2 , ,n线性表示.选项(D)也正确.
由排除法知选项(B)错误. 故应选(B).
2、 若向量组1,2, ,s 的秩r s ，则 （ B ） A 向量组 1,2, ,s 线性无关；
B 向量组 1,2, ,s 线性相关； C 存在一个向量i 1 i r 可以由其余向量 线性表示； D 任一向量都不能由其余向量线性
经济数学《线性代数》习题参考答案[终稿]
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经管类《微积分（下）与线性代数》习题参考答案第六章 多元函数微积分学习题一 一、1、y x 32-；2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥；3、1，2；4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1．D ； 2．D ；3．A ；4．B三、1．（1）y x x z ln 1+=∂∂，)ln (1y x y y z +=∂∂；（2）xy e y x y x y x x z 22232)(2++-=∂∂， xye y x y xy x y z 22223)(2+-+=∂∂2.12222222222222222223.z xy z xyx x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+（）（）（）4．（1）dy xy x xy dx xy y y x dz )]cos(2[)]cos(2[2++++=（2）)(1zdz ydy xdx udu ++=（3）xdzyx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5．dydx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、211f y f '+'，22f y x '-；3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x yx -+；5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、C ； 5、A三、1、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂)ln(112222222y x x y x x y x z ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∂∂)ln(222222y x y x y x y y z2、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu'+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂4、dy dx dz --=5、（1）极小值：2)1,1(=f ；（2）0>a 时，有极大值：273,33a a a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛；0<a 时，有极小值：273,33aa a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛6、极大值：1)1,1(=f7、（1）25.1,75.0==y x ； （2）5.1,0==y x习题三一、1.()2ab a b +； 2．⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10； 3．)1(214--e ； 4．⎰⎰θππθsec 2034)(rdr r f d ；5．π3二、1、D ；2、B ；3、D ；4、C三、1、556； 2、121+e ； 3、21532； 4、49； 5、2643π； 6、31； 7、π3第八章 无穷级数 习题一 一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、×二、填空题1、0；2、1>p 且p 为常数；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ）四、1、收敛； 2、发散；、收敛； 、收敛；、收敛； 、收敛五、1、发散； 2、条件收敛 3、绝对收敛； 4、条件收敛六、当10≤<a 时，发散；当1>a 时，收敛． 习题二 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、0=R ；2、),(,+∞-∞+∞=R ；3、)1,1(-，)1ln(x --；4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n；5、60,)3(31)1(01<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=+x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（A ）；5、（B ）；6、（C ）四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[-五、1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,)]1ln()1[ln(21)(-∈--+=x x x x s ；3ln 21六、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n第九章 微分方程初步习题一 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、×二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =； 2、x cxe y -=； 3、x y 2=； 4、x x x y 91ln 31-=；5、Ct x +=)(ln ϕ三、1、C y x =⋅tan tan ； 2、C e e y x =-⋅+)1()1(四、22sec )1(=⋅+y e x五、1、)ln(2122Cx xy =⋅； 2、15325=-y x y六、1、)(sin C x ey x+=-； 2、)cos 1(1x y --=ππ； 3、322Cy y x +=七、xx e e x f 2323)(-=八、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（A ）； 6、（C ）二、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、xx e e y -+-=4三、x e x x L 273)(-+-=四、（1）20005.0-=W dt dW；（2）t e W 05.010004000+=五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ六、1)(21)(++=-x x e e x s七、uu f ln )(=八、)14()(242+=t e t f t ππ《线性代数》习题参考答案习题一一、填空题1． 8k ； 2．8； 3．12 ； 4．)1)(1(++cd ab ．二、计算题1． 55b a +； 2．1211)1(-+-n n a a na 3．1)]()1([---+n a x a n x ；4．1)2]()2([---+n a x a n x ； 5．6习题二一、填空题1．21； 2．E ； 3．)(21E A -，)3(41E A --； 4．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011A B ；5．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----8500320000520021； 6．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121； 7．4．二、选择题1．③；2．③；3．②；4．③；5．②；6．①；7．③；8．②．三、计算题1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201030102； 2．-16； 3．3)(=A R ； 4．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011101110；5．（1）1=k ；（2）2-=k ；（3）1≠k 且2-≠k ．习题三一．填空题1．)()(.b A R A R =； 2．0=A ； 3．1.≠λ且2-≠λ； 4．0.4321=+++a a a a ．二、选择题 1．④； 2．①； 3．④；4．④三、1-=k 时，有非零解；c c x x x ,111321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛不为零的任意实数．四、（1）2,1-≠λ ； （2）2-=λ； （3）1=λ．五、当1≠a 且0≠b 时，有唯一解；当1=a 且2/1≠b 或0=b 时，无解；当1=a 且21=b 时，有无穷多解，其解为：⎪⎩⎪⎨⎧==-=c x x cx 32122 （c 为任意常数）习题四一、填空题1．5=t ； 2．至少有一个向量； 3321,,.ααα ；42.≤r ；5ts r -=.二、选择题1．④； 2．③； 3．③； 4．③； 5．②三、321,,ααα为极大无关组，323214,3ααααααα+-=-+=四、（1）3-=λ；（2）0≠λ且3-≠λ；（3）0=λ，3221121)(αααβc c c c +++-=五、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543c x ；（c 为任意常数）六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛608301214321c x x x x （c 为任意常数）习题五一、填空题1．1或-1 ；2．E ；3．18 ；4．121==λλ，213-=λ；5．125 ； 6．4=λ二、选择题1．②； 2．③； 3．④； 4．②； 5．②三、6||=A四、0,3,1=-=-=b a λ五、2,0-==y x ；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012100P六、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=412212111A七、当3=x 时，A 可对角化．。
线性代数复习题带参考答案
线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ） A.20 B.24 C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
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线性代数试题及答案3线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ D ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（B ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ B 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21000100031D 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ） A. –6 B. 6 C. 2 D. –24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ D ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ D ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ C ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解 9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A ）A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ A ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ D ）A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15.11135692536= 6 . 16.设A =111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A +2B = 337137--⎛⎝⎫⎭⎪.17.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= -10 .19.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 n-1 .21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= -5 .22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 -2 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 1 .24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为z z z z 12223242++- .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T ；（2）|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；（2）η0，η1，η2线性无关。
答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 616. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++-三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.（2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·（-2）=-128 26.解31125134201115335111111310010553------=-----=511111155----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而（A -2E ）-1=2231101211431531641--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一 ----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000,0000110010102001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解（2，1，1）T ，组合系数为（2，1，1）.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100010008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪，因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆，故此线性变换满秩。