k的几何意义

的面积为2，则k的值为 2
分析：
由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD= ， 由S正方形OCED= S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD
y2
C AE
得，k k 2 4 k ，
解得2，k2=2
2
o 图④
B Dx
探究2：如图，在x轴的正半轴上依次截
取 A反 P⊿ ⊿ 为 求于由=S⊿⊿1A32OO，1OA比OSSO，是，41PP11AA3PA3S，+P35例SPA5=7AA1214S=，241A3，A，S35A函2A+，，之+可112SS4A，1，13PS数，⊿间AA5分2233与=+O⊿S+4，2的y⊿别A，=S143S⊿P=，A2A关P34得4OAA2AA++421/P系S34，15A出PSx4S5=P，，24(52A3，A4，Sx5AP=+的A32≠分25AA，2S，S，05，值4，535别)，A得的⊿。并4作=直图A设Ax2角轴象4P其A3三的A相5面，3S垂角交，2积过线形于分点12与点别AS13，分可由 S析 知13n此=： ：S1nS=====可由41SSSS⊿O得⊿⊿⊿⊿性POOOO141PPPP出质AS23451AAAA5⑴：2345 15
y
0
x
y
0
x
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
(1)过P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B ,
则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k |(如图所示).
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
=4+ 1 (2 8) 3－4=15 2
y
A(1，8 )
B (4，2 ) oC D x
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，n)， x
求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
⑵解法1：设直线y=－2x+10 与x轴、y轴分别交于点C，D
EA
3 F SS11
B
SS33 SS22
oC D x
图②
3
（1）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作
AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这
个反比例函数的解析式为
y4
．
xy
B A(m,n)
Po
x
点评：将△ABO通过“等 积变换”同底等高变为 △ABP
⑶ 图象如上图关③于，原A、点BO是对函称数的y任 意4x 的
60
3P…将情3如，，当形图nP，堂：4，，分检在…别反测，过比P第这n例，3些函小它点数题们作y的的=x2横轴结/x坐与(论x标y>由轴0依)的的特次垂图殊为线象推1，，上广2图有，到中点3一所P，1般构，4，成的P2，
的阴影部分的面积，从左到右依次为S1，S2，S3，…，
Sn，则S1+S2+ … + S n 的值为
3．如图，已知双曲线
y

k x
(k

0)
经过直角三角形OAB
斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的
坐标为（-6，4），则△AOC的面积为 ( B )
A．12 B．9 C．6 D．4
分析：∵A(-6,4),由D为
A
O∴A双的曲中线点的可解知析，式D为（：-y3,2） 6
x
y6 x
SOAP

1 2
OA
AP

1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
小结：（1）反比例函数 y= k (k≠0)图象上一点 P（x，y）向 x 轴作垂线，垂足x 为A ，则构成△POA的面
S 1
积为 |k| ，即当k一定时，
2
ΔPO A也为定值。
P O Ax
y2 x
k y
S△ABC=
A
C
O
↑y
D（-3，2）
由性质1可知，S △OBC=3
C
于是有，
B
O →x
S△AOC +3=S △AOB= 12
∴ S△AOC =9
1、在 y 1 的图象中，阴影部分面积不为1的是（ B ） x
想一想
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
论成立吗?
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
⑷ 你体会到哪些解题的思想和方法？ 数形结合法，转化的数学思想方法
3．如图，已知双曲线
y

k x
(k

0)
经过直角三角形OБайду номын сангаасB
斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的
坐标为（-6，4），则△AOC的面积为 ( B )
A．12 B．9 C．6 D．4
分析：∵A(-6,4),由D为
A
O∴A双的曲中线点的可解知析，式D为（：-y3,2） 6
(2)过P作x轴的垂线 , 垂足为 A,则
SOAP

1 2
OA
AP

1 2
|
m
|•
|
n
|
1 2
|
k
|
以上两条性质 在课本内没有 提及，但在这 几年的中考中 都有出现，所 以在这里要把 它总结出来。
y
P(m,n)
oA
x
y P(m,n)
oA
x
⑶如图③，设P(m，n)关于原点的对称点 P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的
垂线交于A点，则S⊿PAP′= 2 | k |
图③
如图：点A在双曲线
y

k x
上，AB⊥x轴于B，
且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k= -4
分析：由性质1可知，
S⊿AOB= | k | 2 2
∴k=±4, ∵k<0， ∴k=-4
y k (k 0)
⑵如图②，点P是反比例函数
x
图象上的
通过这节课的学习，你有什么收获？
⑴ 反比例函数图象上任意一点“对应的直角三角形” 面积S1与k值有什么关系？
⑵ 反比例函数图象上任意一点“对应的矩形”面积S2 与k值有什么关系？（总结为K的几何意义）
⑶ 若反比例函数与正比例函数y=kx ( k≠0) 存在两 个交点P(x1，y1)，Q（x2，y2），则点P与点Q有什么关 系？
y
(0，10 ) D A(1，8 )
则 C (5,0)，D(0,10)， 于是
S⊿OAB=25 － 5 －5 =15
B (4，2 )
o
C(5,0) x
探上，究且1.AB如∥图x，轴点，AC在、双D在曲x线轴上y ， 若1x 四上边，形点ABB在C双D的曲面y线积 3x
为矩形，则它的面积为 2
.
y=－2x+10
的方法，叫做待定系数法。
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，2)， x 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
⑵解法2： 如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点 作BD⊥x轴于D 由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD
两点，AC∥y轴，BC ∥ x轴， ⊿ABC的面积为S，则（ ）
A．CS=4 B．4<S<8
C．S=8 D．S>8
y
A o
x
BC
图③
请你模仿上题，在双曲线上做出 面积为4的几何图形
探究1．如图④，已知双曲线
y k (k 0) x
经过正方形
OCED的边ED的中点B，交CE于点A，若四边形OAEB
D x
B y=-2x
y2 x
2 k y
S四边形ACBD=
A
C
O
D x
B y=-2x
y2 x
2 k y
S△ABE=
A
C
O
E
D x
B y=-2x
y2 x
4 k y S矩形AEBF=
A
C
O
E
F D
x B
y=-2x
（用n的代数式
表示）
2n
2
S1 2 2
n 1
2
S1 S 2 2 3
(1, 2 )
2
1
S1 S 2 S3 2 4
……………
2
(2, ) 2
S2
2
(3, ) 3
(4, 2)
S1 S 2 S3 Sn
S3
4
Sn
2 2 2n n1 n1
中得：m=1×8=8， 故所求函数解析式为
y

8
x
∴B(4,n)
x
将A(1，8 ) 和B (4，2)代入
y
A
B
o
x
y=kx+b
k b 8 中得：4k b 2
解得：bk

2 10
先设出函数解析式，再根据 条件确定解析式中未知的系
故所求的一次函数的解析式为：数，从而具体写出这个式子
一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,阴
影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是
y3 x
图②
2．如图②，点A、B是双曲线
y

3 x
上的点，分别经过
A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S2= 4
y
分析： 由性质2得， S1+S3=S2+S3=3 将S3=1代入得， 得，S1=S2=2 ∴S1+S2=4
x
y6 x
↑y
D（-3，2）
由性质1可知，S △OBC=3
C
于是有，
B
O →x
S△AOC +3=S △AOB= 12
∴ S△AOC =9
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，n)， x
求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
解：⑴ 将A(1，8 )代入 y m