高考必做20道几何证明答案

几何证明专题

一、解答题

1 ．如图,∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E,延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆

于点F.

(Ⅰ)求证:EA ED EF 2∙=;

(Ⅱ)若3EF ,6AE ==,求AC AF ∙的值.

2

3 ．如图,已知0和M 相交于A、B两点,AD 为M 的直径,直线BD 交O 于点C,点G 为弧BD 中点,连结 AG

分别交0、BD 于点E 、F,连结CE.

22

CE

EF =

4．如图,已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点,且CF=CB,过C作CD⊥AF交AF的延长线与点D.

(1)证明:CD为圆O的切线;

(2)若AD=3,AB=4,求AC的长.

=, 5．如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P.E为⊙O上一点,AC AE DE交AB于点F.

(I)证明:DF·EF=OF·FP;

(II)当AB=2BP时,证明:OF=BF.

6．如图,⊙O1与⊙O2相交于点A,B,⊙O1的切线AC交⊙O2于另一点C,⊙O2的切线AD交⊙O1于另一点D,DB的延长线交⊙O2于点E.

(Ⅰ)求证:AB2=BC·BD;

(Ⅱ)若AB =1,AC =2,AD=2,求BE.

7．已知PA 与圆O 相切于点A ,经过点O 的割线PBC 交圆O 于点C B 、,APC ∠的平分线

分别交AC AB 、于点E D 、.

(1)证明:ADE AED ∠=∠; (2)若AP AC =,求PC PA

的值

.

8．如图,半圆O 的直径AB 的长为4,点C 平分弧AE ,过C 作AB 的垂线交AB 于D ,交AE 于F .

(1)求证:AF AE CE ⋅=2;

(2)若AE 是CAB ∠的角平分线,求CD 的长.

9．如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于B 、C 两点,弦CD ∥AP ,AD 、

BC 相交于点E ,F 为CE 上一点,且DE 2 = EF ·EC .

(1)求证:CE ·EB = EF ·EP ;

(2)若CE :BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求PA 的长.

10．如图,已知⊙O的半径为1,MN是⊙O的直径,过M点作⊙O的切线AM,C是AM的中点,AN 交⊙O于B点,若四边形BCON是平行四边形;

(Ⅰ)求AM的长; (Ⅱ)求sin∠ANC.

11．如图,A,B,C,D四点在同一圆O上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.

(Ⅰ)若=,=,求的值;

(Ⅱ)若EF2=FA·FB,证明:EF∥CD.

12．如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作直线交圆 O 于点 Q ,交圆 B 干点 M , N .

(1)求证: QM= QN ;

(2)设圆O的半径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当

10

3

AM 时,求 MN 的长.

13．如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.

(Ⅰ)求证:AC·BC=AD·AE;

(Ⅱ)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.

14．如图,在△ABC中,∠C为钝角,点E、H是边AB上的点,点K、M分别是边AC和BC上的点,且AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.

(I)求证:E、H、M、K四点共圆;

(Ⅱ)若KE - EH,CE=3,求线段KM的长.

15．在△ABC中,BC边上的点D满足BD=2DC,以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A,过点B 作BE⊥CA于点E,BE交圆D于点F.

(1)求∠ABC的度数;

(2)求证:BD=4EF

16．在∆ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心.

(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆;

(Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.

17．如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两

圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.

(1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

∠M,交圆0于点D, 过D作18．如图,直线MN交圆O于A,B两点,AC是直径,AD平分CAM

DE上MN于E.

(I)求证: DE是圆O的切线:

(II)若DE=6,AE=3,求ΔABC的面积

19．如图所示,AC 为O 的直径,D 为BC 的中点,E 为BC 的中点.

(Ⅰ)求证://DE AB ;

(Ⅱ)求证:AC BC AD CD =2.

20． 如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交

于Q 点,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F,点M 在E F 上,且BMF BAD ∠=∠:

(I)求证:PA·PB=PM·PQ

(II)求证:BOD BMD ∠=∠

参考答案

一、解答题

1.

解:(Ⅰ)如图,连接CE,DF. ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC

在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE . ∴∠EAF=∠EFD

又∠AEF=∠FED, ∴ΔAEF∽ΔFED, ∴EF

AE ED EF =, ∴EA ED EF ∙=2

要证明角度相等,找中间角度作为桥梁. 要证明2

EF ED EA =,可以把乘法变为除法,变为:EF EA EF ED ED EF EA EF

==或者,于是得到“分子三角形和分母三角形”:EFA EFD EFD EFA ∆∆∆∆或者.这样就转化为三角形的相似,帮助找相似三角形.这样就可以做出辅助线,构造相似三角形.

另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确.从求证出发,向已知进行靠拢.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知2

EF ED EA =∵EF=3,AE=6, ∴ED=3/2,AD=9/2 ∴AC AF=AD AE=692⨯÷=27

2.