流体主要计算公式

主要的流体力学事件有：

•1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。

•1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。

•1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。

•1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。

•1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。

•1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。

•19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。

•1904年普朗特提出了边界层理论。

•20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。流体力学内涵不断地得到了充实与提高。

理想势流伯努利方程

（3-14）

或（3-15）

物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。

（应用条件：“”所示）

符号说明

物理意义几何意义

单位重流体的位能（比位能）位置水头

单位重流体的压能（比压能）压强水头

单位重流体的动能（比动能）流速水头

单位重流体总势能（比势能）测压管水头

总比能总水头

二、沿流线的积分

1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有

2.恒定流中流线与迹线重合：

沿流线（或元流）的能量方程：

（3-16）

注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。

（应用条件：“”所示，可以是有旋流）

流速势函数（势函数）观看录像>>

•存在条件：不可压缩无旋流，即或

必要条件存在全微分d

直角坐标

（3-19）式中： ——无旋运动的流速势函数，简称势函数。

•势函数的拉普拉斯方程形式

对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有：

或（3-20）

适用条件：不可压缩流体的有势流动。

点击这里练习一下

极坐标

（3-21）

流函数

1.流函数

存在条件：不可压缩流体平面流动。

直角坐标

连续性微分方程：

必要条件存在全微分d y

（3-22）式中：y——不可压缩流体平面流动的流函数。

适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。

流函数的拉普拉斯方程形式

对平面势流，有，则

或（3-23）

适用条件：不可压缩流体的平面有势流动。

极坐标

（3-24）

2.流函数的物理意义

（1）流函数等值线就是流线。

得平面流线方程（3-1）：，得证。

（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差d y等于这两条流线间所通过的单位宽度流量d q。

AB断面所通过流量：

图3-26

粘性流体的运动微分方程

1.粘性流体的特点

（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。

切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：

（2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即p xx≠ p yy≠ p zz。任一点动压强由式（2-5）为：

（3-11）

第三节流体动力学基本方程式

一、连续性微分方程

在流场内取一微元六面体（如图3-23），边长为d x,d y,d z，中心点O流速为（u x,u y,u z）

以x轴方向为例：

图3-23

左表面流速

右表面流速

所以单位时间内x方向流出流进的质量流量

差：

x方向：

同理可得：

y方向：

z方向：

质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：

（3-6）

（1）流体的连续性微分方程的一般形式

由（3-6）式可得

（3-7）适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。

（2）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程

当为恒定流时，有，则（3-7）式为

(3-8) 适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。

（3）不可压缩流体的连续性微分方程

当为不可压缩流时，有，则（3-7）式为

（3-9）

物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。

适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。

二、理想流体运动微分方程

理想流体的动水压强特性与静水压强特性相同：

从理想流体中任取一(x ,y ,z )为中心的微元六面体为控制体，边长为d x ,d y ,d z ，中心点压强为p (x ,y ,z ) ，如图3-24。

图3-24

受力分析(x 方向为例)： 1.表面力

因为理想流体，所以t =0

左表面

右表面

2.质量力

单位质量力在各坐标轴上分量为X ,Y ,Z ，所以x 方向的质量力为X d x d y d z

由牛顿第二运动定律，x 方向有：

理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）

（3-10）

适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。