中考数学专题训练圆的证明与计算

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2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)

圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。

（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。

（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。

5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。

7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。

圆的有关计算与证明问题(真题10道+模拟30道)中考数学重难题型押题培优导练案【解析版】

专题15圆的有关计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率圆的有关计算与证明问题（大题） 2013.2014.2015.2016.2017十年10考2018.2019.2020.2021.2022圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在北京市的2013-2022年10年中考中出现了10次，常见的圆的基础知识和解题技巧如下：1、圆中的重要定理:(1)圆的定义: 主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题.(2)垂径定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推论 : 主要用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理: 主要用来证明垂直关系 .(6)切线的判断定理: 主要用来证明直线是圆的切线 .(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等 .2.圆中几个要点元素之间的相互转变 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变 . 这在圆中的证明和计算中常常用到 .3.判断切线的方法：（ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、勾股定理证垂直；（ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；4、考题形式剖析：主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要判断切线、证明角或线段相等；第2 问主要与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（本质仍是求线段比）【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD=∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．【答案】（1）见详解；（2）GC=6，OF=2511【解析】【分析】（1）由题意易得BD⌢=CD⌢，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE//CG，进而可得△AOF∽△CGF，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∵BD⌢=CD⌢，∵∠BAD=∠CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∵OE=12CG,OE//CG，∵△AOF∽△CGF，∵OA CG =OFGF，∵OE=3，∵CG=6，∵⊙O的半径为5，∵OA=OG=5，∵5 6=OFGF，∵OF=511OG=2511．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．【例2】（2022·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD.(1)求证：∠BOD=2∠A;(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）设AB交CD于点H，连接OC，证明RtΔCOH≅RtΔDOH，故可得∠COH=∠DOH，于是BC⌢=BD⌢，即可得到∠BOD=2∠A；（2）连接，解出∠COB=60°，根据AB为直径得到∠ADB=90°，进而得到∠ABD=60°，即可证明OC//DB，故可证明直线CE为⊙O的切线．(1)证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，∴OC=OD，∠OHC=∠OHD=90°，∵OH=OH，∴RtΔCOH≅RtΔDOH(HL)，∴∠COH=∠DOH，∴BC⌢=BD⌢，∴∠COB=∠BOD，∵∠COB=2∠A，∴∠BOD=2∠A；(2)证明：连接AD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC，∵∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180°，∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COB=2∠CAO=2×30°=60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90−∠DAO=90°−30°=60°，∴∠ABD=∠COB=60°，∴OC//DE，∵CE⊥BE，∴CE⊥OC，∴直线CE为⊙O的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）如图，AB是∵O的直径，PA，PC分别与∵O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE∵PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∵EPD=∵EDO（2）若PC=6，tan∵PDA=，求OE的长．【答案】（1）见解析（2）√5【解析】【详解】试题分析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∵EPD=∵EDO；（2）连接OC，利用tan∵PDA=34，可求出CD=4，再证明∵OED∵∵DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．试题解析：（1）证明：PA，PC与∵O分别相切于点A，C，∵∵APO=∵EPD且PA∵AO，∵∵PAO=90°，∵∵AOP=∵EOD，∵PAO=∵E=90°，∵∵APO=∵EDO，∵∵EPD=∵EDO；（2）解：连接OC，∵PA=PC=6，∵tan∵PDA=34，∵在Rt∵PAD中，AD=8，PD=10，∵CD=4，∵tan∵PDA=34，∵在Rt∵OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∵EPD=∵ODE，∵∵OED∵∵DEP，∵PD DO =PEDE=EDOE=2，∵DE=2OE在Rt∵OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，∵OE=√5．考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．⌢的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是2．（2014·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是ABOB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长.【答案】(1)证明见解析(2)BH=4√55【解析】【分析】⌢的中点，可知OC∵AB，又BD是切(1)连接OC，若要证明C为AD的中点，只需证OC//BD，已知C是AB线，可知BD∵AB，问题得证(2)由（1）及E为OB中点可知∵COE∵∵FBE，从而可知BF=CO=BO=2，由勾股定理可得AF的长，由面积法即可求出BH的长【详解】（1）连接OC⌢的中点，AB是∵O的直径∵C是AB∵OC∵AB∵BD是∵O的切线∵BD∵AB∵OC//BD∵AO=BO∵AC=CD（2）∵E是OB的中点∵OE=BE在∵COE和∵FBE中{∠CEO=∠FEB OE=BE ∠COE=∠FBE∵∵COE∵∵FBE（ASA)∵BF=CO∵OB=2∵BF=2∵AF=√AB2+BF2=2√5∵AB是直径∵BH∵AFBH=AB⋅BFAF=2√5=4√55考点：1、平行线分线段成比例定理；2、切线的性质；3勾股定理；4、全等三角形3．（2015·北京·中考真题）如图，AB是∵O的直径，过点B作∵O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DA⌢=DC⌢，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（l）求证：∵ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【答案】（1）见解析；（2）2√7【解析】【分析】（1）根据切线的定义可知AB∵BM，又∵BM//CD，∵AB∵CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得∵ACD是等边三角形；（2）∵ACD为等边三角形，AB∵CD，由三线合一可得∵DAB=30°，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得∵∵EBD＝∵DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得BD=2√3，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得，AB=4√3，OB=2√3，在Rt∵OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．【详解】解：（1）∵BM是∵O切线，AB为∵O直径，∵AB∵BM，∵BM//CD，∵AB∵CD，∵AD＝AC，∵AD＝AC，∵DA＝DC，∵DC＝AD，∵AD＝CD＝AC，∵∵ACD为等边三角形.（2）∵ACD为等边三角形，AB∵CD，∵∵DAB＝30°，连结BD，∵BD∵AD.∵EBD＝∵DAB＝30°，∵DE＝2，∵BE＝4，BD=2√3，AB=4√3，OB=2√3，在Rt∵OBE中，OE=√OB2+BE2=√12+16=2√7．【点睛】本题考查圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．4．（2016·北京·中考真题）如图，AB为∵O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC⌢于点D，过点D作∵O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∵DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【答案】（1）证明见解析；（2）32a2.【解析】【详解】试题分析：（1）欲证明AC∵DE，只要证明AC∵OD，ED∵OD即可．（2）作DM∵OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．试题解析：（1）∵ED与∵O相切于D，∵OD∵DE，∵F为弦AC中点，∵OD∵AC，∵AC∵DE．（2）作DM∵OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．∵AC∵DE，AE=AO，∵OF=DF，∵AF∵DO，∵AD=AO，∵AD=AO=OD，∵∵ADO是等边三角形，同理∵CDO 也是等边三角形，∵∵CDO=∵DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，∵AO∵CD，又AE=CD，∵四边形ACDE是平行四边形，易知DM=√32a，∵平行四边形ACDE面积=√32a2．考点：切线的性质．5．（2017·北京·中考真题）如图，AB是∵O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC∵OA于点C，过点B 作∵O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE;（2）若AB=12，BD=5，求∵O的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）152【解析】【详解】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∵4=∵5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∵DEF和sin∵AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）∵DC∵OA，∵∵1+∵3=90°，∵BD为切线，∵OB∵BD，∵∵2+∵5=90°，∵OA=OB，∵∵1=∵2，∵∵3=∵4，∵∵4=∵5，在∵DEB中，∵4=∵5，∵DE=DB.(2)作DF∵AB于F，连接OE，∵DB=DE，∵EF=12BE=3，在RT∵DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ，∵DF=√52−32=4∵sin∵DEF=DFDE = 45，∵∵AOE=∵DEF，∵在RT∵AOE中，sin∵AOE=AEAO =45，∵AE=6，∵AO=152.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.6．（2018·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4√33.【解析】【分析】（1）根据切线的性质定理得到PC=PD，OP平分∠CPD．根据等腰三角形的性质即可得到PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．（2）连接OC、OD．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°．进而得到∠DOQ=12∠COD=30°．在Rt△ODP中，解直角三角形即可.【详解】（1）证明：∵PC、PD与⊙O相切于C、D．∵PC=PD，OP平分∠CPD．在等腰△PCD中，PC=PD，PQ平分∠CPD．∵PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．（2）解：连接OC、OD．∵OA=OD∵∠OAD=∠ODA=50°∵∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=80°同理：∠BOC=40°∵∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°．在等腰△COD中，OC=OD．OQ⊥CD∵∠DOQ=12∠COD=30°．∵PD与⊙O相切于D．∵OD⊥DP．∵∠ODP=90°．在Rt△ODP中，∠ODP=90°，∠POD=30°∵OP=ODcos∠POD=OAcos30°=√32=43√3．【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．7．（2019·北京·中考真题）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C 的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【答案】依题意画出图形G为∵O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为∵O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得⌢=CD⌢；从而得出弦相等即可．出AD（2）先根据HL得出△CDF∵∵CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∵ABC=∵COD，再证得DE为∵O的切线即可【详解】如图所示，依题意画出图形G为∵O，如图所示（1）证明：∵BD平分∵ABC，∵∵ABD=∵CBD，⌢=CD⌢，∵AD=CD∵AD（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∵CD=CM.∵DF∵BC，∵∵DFC=∵CFM=90°在Rt△CDF和Rt△CMF中{CD=CMCF=CF，∵Rt△CDF∵Rt△CMF（HL），∵DF=MF，∵BC为弦DM的垂直平分线∵BC为∵O的直径，连接OD∵∵COD=2∵CBD，∵ABC=2∵CBD，∵∵ABC=∵COD，∵OD∵BE.又∵DE∵BA，∵∵DEB=90°，∵∵ODE=90°，即OD∵DE，∵DE为∵O的切线.∵直线DE与图形G的公共点个数为1个.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．8．（2020·北京·中考真题）如图，AB为∵O的直径，C为BA延长线上一点，CD是∵O的切线，D为切点，OF∵AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∵ADC=∵AOF；（2）若sinC=13，BD=8，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）连接OD，根据CD是∵O的切线，可推出∵ADC+∵ODA=90°，根据OF∵AD，∵AOF+∵DAO=90°，根据OD=OA，可得∵ODA=∵DAO，即可证明；（2）设半径为r，根据在Rt∵OCD中，sinC=13，可得OD=r，OC=3r，AC=2r，由AB为∵O的直径，得出∵ADB=90°，再根据推出OF∵AD，OF∵BD，然后由平行线分线段成比例定理可得OEBD =OAAB=12，求出OE，OFBD =OCBC=34，求出OF，即可求出EF．【详解】（1）证明：连接OD，∵CD是∵O的切线，∵OD∵CD，∵∵ADC+∵ODA=90°，∵OF∵AD，∵∵AOF+∵DAO=90°，∵OD=OA，∵∵ODA=∵DAO，∵∵ADC=∵AOF；（2）设半径为r，在Rt∵OCD中，sinC=13，∵OD OC =13，∵OD=r，OC=3r，∵OA=r，∵AC=OC-OA=2r，∵AB为∵O的直径，∵∵ADB=90°，又∵OF∵AD，∵OF∵BD，∵OE BD =OAAB=12，∵OE=4，∵OF BD =OCBC=34，∵OF=6，∵EF=OF−OE=2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为BC⌢上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC,AB的延长线于点F，G连接AE，交CD于点P．(1)求证：EF=FP；(2)连接AD，若AD∥FG,CD=8,cosF=45，求⊙O半径．【答案】(1)见解析(2)256【解析】【分析】（1）连接OE，要使EF=FP，需要∵FEP=∵FPE，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得∵FEP=∵FPE，结论可得．（2）设圆的半径为r，在Rt∵ODH中，利用勾股定理可以求得半径r．(1)证明：连接OE，∵EF是圆的切线，∵OE∵EF．∵∵OEF=90°．∵∵OEA+∵AEF=90°．∵CD∵AB，∵∵AHC=90°．∵∵OAE+∵APH=90°．∵OA=OE，∵∵OAE=∵OEA．∵∵AEF=∵APH．∵∵APH=∵EPF，∵∵EPF=∵AEF．∵EF=PF．(2)连接OD，设圆的半径为r，∵直径AB∵CD于H，CD=8，∵CH=DH=4．∵AD∵FG，∵∵ADH=∵F．∵cos∵ADH=cos F=45∴AD=CHcos∠ADH=5∴AH=√AD2−DH2=3∵OH=OA-AH=r-3．在Rt∵ODH中，∵OH2+DH2=OD2,∵（r-3）2+42=r2．∴OE=r=25 6【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理和解直角三角形的知识．使用添加圆中常添加的辅助线是解题的关键．2．（2022·北京房山·二模）如图，已知AB是半⊙O的直径，点H在⊙O上，E是HB⌢的中点，连接AE，过点E作EC⊥AH交AH的延长线于点C．过点E作EF⊥AB于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若FB=2,EFAF =√22，求OF的长．【答案】(1)见解析(2)OF=1【解析】【分析】（1）连接OE，由于E为HB⌢的中点，根据圆周角定理可知∵1=∵2，而AO=EO，则∵3=∵2，于是∵1=∵3，根据平行线的判定知OE∥AC，而AC∵CE，根据平行线的性质知∵OEC=90°，即OE∵CE，根据切线的判定可知CE是∵O的切线；（2）由于AB是直径，故∵AED=90°，而EF∵AB，易知∵2=∵4=∵1，那么tan∵1=tan∵2=tan∵4=EFAF =√22，在Rt∵EFB中，利用正切可求出EF，同理在Rt∵AEF中，可求出AF，得半径OB=3，进而可求出OF．(1)证明：连结OE，∵点E为HB⌢的中点，∵ ∵1=∵2，∵OE=OA，∵∵3=∵2，∵∵3=∵1，∵OE∵AC，∵AC∵CE，∵OE∵CE，∵点E在∵O上，∵CE是∵O的切线．(2)连结EB，∵AB是∵O的直径，∵∵AEB=90°，∵EF∵AB于点F，∵∵AFE=∵EFB=90°，∵∵2+∵AEF=∵4+∵AEF=90°，∵∵2=∵4=∵1，∵EF AF =√22，∵tan∠1=√22，∵tan∵4 =√22，在Rt∵EFB中，∵EFB=90°，FB=2，tan∵4 =√22，∵EF=2√2，设OE=x，则OB= x．∵FB=2，∵OF=x-2，∵在Rt∵OEF中，∵EFO=90°，∵x2=(x-2)2+(2√2)2，∵x=3，∵OF=1．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练掌握圆的切线判定方法，是解题的关键．3．（2022·北京朝阳·二模）如图，AB为∵O的直径，C为∵O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE=DC．(1)求证：DC是∵O的切线；(2)若OA=4，OE=2，求cos D．【答案】(1)见解析(2)35【解析】【分析】（1）连接OC．证∵OCD=90°，即可得出结论；（2）先求出OC=4．再同由勾股定理求出DC=3，OD=5，最后由余弦定义cosD=DC求解．OD(1)证明：如图，连接OC．∵OD⊥AB交AC于点E，∵∠AOD=90∘,∵∠A+∠AEO=90∘．∵∠AEO=∠DEC，∵∠A+∠DEC=90∘．∵DE=DC，∵∠DEC=∠DCE,∵OA=OC，∵∠A=∠ACO，∵∵OCD=∠ACO+∠DCE=90∘，∵DC⊥OC，∵DC是∵O的切线，(2)解：∵∠OCD=90∘，∵DC2+OC2=OD2，∵OA=4，∵OC=4．设DC=x，∵OE=2，∵x2+42=(x+2)2．解得x=3，∵DC=3，OD=5．∵在Rt∵OCD中，cosD=DCOD =35．【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，掌握切线的判定定理是解题的关键．4．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB>AC，∠BAC=90°，在CB上截取CD=CA，过点D作DE⊥AB 于点E，连接AD，以点A为圆心、AE的长为半径作⊙A．(1)求证：BC是∵A的切线；(2)若AC=5，BD=3，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)158【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥BC于F，根据同旁内角互补证得DE//AC，可证得∠DAC=∠ADE，利用AAS可证得△ADE≅△ADF，则可证得AF=AE，根据切线的判定即可求证结论．（2）根据角相等即可得△BDE∼△BCA，利用相似三角形的性质即可求解．(1)过点A作AF⊥BC于F，如图所示，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AED+∠BAC=180°，∴DE//AC，∴∠DAC=∠ADE，∵CD=AC，∴∠DAC=∠ADC，∴∠ADE=∠ADC，在△ADE和△ADF中，{∠AED=∠AFD ∠ADE=∠ADFAD=AD，∴△ADE≅△ADF(AAS)，∴AF=AE，且AE为⊙A的半径，∴AF是⊙A的半径，∴BC是⊙A的切线．(2)∵AC=5，∴CD=AC=5，∴BC=BD+CD=3+5=8，∵∠DEB=∠BAC=90°，∠B=∠B，∴△BDE∼△BCA，∴DEAC =BDBC，∴DE5=38，解得DE=158，∴DE的长为158．【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键．5．（2022·北京平谷·二模）如图，AB是∵O的直径，过B作∵O的切线，与弦AD的延长线交于点C，AD=DC，E是直径AB上一点，连接DE并延长与直线BC交于点F，连接AF．(1)求证：AD⌢=BD⌢；(2)若tan∠BAF=14，∵O的半径长为6，求EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)√13【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理、切线性质以及题中AD=DC可得∠BAD=∠ABD=∠CBD=∠C=45°，从而得出结论；（2）连接OD，由（1）知DO⊥AB，得出ΔDOE∼ΔFBE，得出DOBF =OEBE，在RtΔABF中，tan∠BAF=14，∵O的半径长为6，解得BF=3，从而63=OEBE，设BE=x,OE=2x，则BE+OE=OB=6，解得x=2，即BE=2，在RtΔEBF中，利用勾股定理得结论．(1)证明：连接BD，如图所示：∵AB是∵O的直径，∴∠ABD=90°，即BD⊥AC，∵过B作∵O的切线，∴AB⊥BC，∵AD=DC，∴∠BAD=∠ABD=∠CBD=∠C=45°，∴BD=AD，∴AD⌢=BD⌢；(2)解：连接OD，如图所示：在等腰RtΔABD中，∠ADB=90°，∴DO⊥AB，∵∠DEO=∠BEF,∠DOE=∠FBE=90°，∴ΔDOE∼ΔFBE，∴DOBF =OEBE，在RtΔABF中，tan∠BAF=14，∵O的半径长为6，则tan∠BAF=14=BFAB=BF12，解得BF=3，∴63=OEBE，设BE=x,OE=2x，则BE+OE=x+2x=OB=6，解得x=2，在RtΔEBF中，∠EBF=90°，BE=2,BF=3，则利用勾股定理得EF=√BE2+BF2=√22+32=√13．【点睛】本题考查圆综合，涉及到圆周角定理、直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、正切函数求线段长、勾股定理等知识点，根据题意准确作出辅助线是解决问题的关键．6．（2022·北京北京·二模）如图，AB为⊙O的直径，BD⌢=CD⌢，过点A作⊙O的切线，交DO的延长线于点E．(1)求证：AC∥DE；(2)若AC=2，t an E=1，求OE的长．2【答案】(1)见解析(2)5【解析】【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得∠BAD=∠CAD，再利用等边对等角及等量代换即可证得∠CAD=∠D从而证得结论．（2）连接BC，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得∠B=∠E，从而得到tanB=tanE，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案．(1)⌢=CD⌢，证明：∵BD∵∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∵∠D=∠BAD，∵∠CAD=∠D，∵AC∥DE．(2)如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∵∠C=90°，∵AC∥DE，∵∠BAC=∠AOE，∵AE是⊙O的切线，∵OA⊥AE，∵∠C=∠OAE=90°，∵∠B=∠E，∵tanB=tanE=12，在Rt△OAE中，tanB=12，AC=2，∵tanB=ACBC =2BC=12，解得BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√22+C2=2√5，∵OA=√5，∵在Rt△OAE中，tanE=12，∵tanE=AOAE =√5AE=12，解得AE=2√5，∵OE=√OA2+AE2=√(√5)2+(2√5)2=5．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键．7．（2022·北京丰台·二模）如图，AB是∵O的直径，C为BA延长线上一点，过点C作∵O的切线，切点为D，过点B作BE∵CD于点E，连接AD，BD．(1)求证：∠ABD=∠DBE；(2)如果CA＝AB，BD＝4，求BE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)43√6．【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由CD切∵O于点A得OD⊥CD，从而得OD∥BE，进而得∠ODB=∠DBE，另外由∠ODB=∠ABD即可得出结论；（2）解：设OA=x，则CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，先证明△COD∽△CBE，得ODBE =COCB=3x4x从而有x=34BE，另外由△ABD∽△DBE得ABBD =DBBE，即可求得BE=43√6．(1)证明：如图，连接OD，∵CD切∵O于点A，∴OD⊥CD，∵BE∵CD，∴OD∥BE，∴∠ODB=∠DBE，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBE；(2)解：如图，设OA=x，则CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，∵OD∥BE，∴∠CDO=∠E,∠COD=∠CBE，∴△COD∽△CBE，∴ODBE =COCB=3x4x即xBE=34，∴x=34BE，∵AB是∵O的直径，∴∠ADB=90°，∵BE∵CD，∴∠E=∠ADB=90°，∵∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =DBBE，∵BD＝4，∴2×34BE4=4BE，解得BE=43√6．【点睛】本题主要考查了圆的切线、勾股定理、相似三角形的判定及性质以及平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．8．（2022·北京密云·二模）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径的∵O与AC交于点D，DE是∵O的切线．(1)计算∠AED的度数；(2)若tanA=12，BC=2√5，求线段DE的长．【答案】(1)90°(2)4√55【解析】【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对圆周角等于90度得∵BDO+∵ODC=∵BDC=90°，再由切线的性质得∵BDE+∵BDO=∵ODE=90°，所以∵BDE=∵ODC，∵ADE=∵BDO，然后由OB-OC，则∵C=∵ODC，BA=BC，则∵C=∵A，所以∵A+∵ADE=90°，最后由三角形内角和定理即可求解；（2）由（1）知：∵AED=∵ADB=90°，则tan∵A=DEAE =BDAD=12，所以AD=2BD，AE=2DE，又因为AB=BC=2√5，在Rt△ADB中，由勾股定理，可求出BD=2，AD=4，再在Rt△ADE中，由勾股定理可求出DE长．(1)解：如图，连接OD，BD，∵BC是∵O的直径，∵∵BDO+∵ODC=∵BDC=90°，∵∵BDE+∵ADE=∵BDA=90°，∵DE是∵O的切线，∵∵BDE+∵BDO=∵ODE=90°，∵∵BDE=∵ODC，∵ADE=∵BDO，∵OD=OC，∵∵C=∵ODC，∵∵C+∵ADE=∵C+∵BDO=90°，∵BA=BC，∵∵C=∵A，∵∵A+∵ADE=90°，∵∵AED=180°-（∵A+∵ADE）=90°；(2)解：由（1）知：∵AED=∵ADB=90°，∵tan∵A=DEAE =BDAD=12，∵AD=2BD，AE=2DE，∵AB=BC=2√5，∵在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，∵（2BD）2+BD2=（2√5）2，∵BD=2，∵AD=4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，（2DE）2+DE2=42，∵DE=4√5．5【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，正切的定义，熟练掌握切线的性质、圆周角定理的推论、正切的定义是解题的关键．9．（2022·北京大兴·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA 为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD=5,DC=3，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）要证BC是∵O的切线，只要连接OD，再证OD∵BC即可．（2）过点D作DE∵AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∵∵BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．(1)连接OD；∵AD是∵BAC的平分线，∵∵1=∵3．∵OA=OD，∵∵1=∵2．∵∵2=∵3．∵OD∵AC．∵∵ODB=∵ACB=90°．∵OD∵BC．∵OD是∵O的半径，∵BC是∵O切线．(2)过点D作DE∵AB，∵AD是∵BAC的平分线，∵CD=DE=3．在Rt△BDE中，∵BED=90°，由勾股定理得：BE=√BD2−DE2=√52−32=4,∵∵BED=∵ACB=90°，∵B=∵B，∵∵BDE∵∵BAC．∵BE BC =DEAC．∵4 8=3AC．∵AC=6．【点睛】^$本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．10．（2022·北京西城·二模）如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E 在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．(1)求证：FA∥CO；(2)若FA=FE，CD=4，BE=2，求F A的长．【答案】(1)见解析(2)3√5【解析】【分析】（1）连接OD，证明△CDO∵△CBO（SSS），得∵COD=∵COB，即∵BOD=2∵COB，又因为OD=OA，得∵OAD=∵ODA，所以∵BOD=∵OAD+∵ODA=2∵OAD，即可证得∵COB=∵OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；（2）由F A=FE，得∵F AE=∵FEA，又由（1）知：∵COB=∵OAD，所以∵COE=∵CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB∵CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得CF=√CB2+BE2=√42+22=2√5，最后证△EOC∵△EAF，得OEAE =CEFE，即46=2√5FE，可求得FE=3√5，即可由F A=FE得出答案．(1)证明：如图，连接OD，∵CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，∵CD=CB，∵OD=OB，OC=OC，∵∵CDO∵△CBO（SSS），∵∵COD=∵COB，即∵BOD=2∵COB，∵OD=OA，∵∵OAD=∵ODA，∵∵BOD=∵OAD+∵ODA=2∵OAD，∵2∵COB=2∵OAD，即∵COB=∵OAD，∵F A∥OC；(2)解：∵F A=FE，∵∵F AE=∵FEA，由（1）知：∵COB=∵OAD，∵∵COE=∵CEO，∵CO=CE，∵CB是∵O的切线，∵OB∵CB，∵OB=BE=2，∵OA=OB=2，∵AE=6，OE=4，∵CB、CD是∵O的切线，∵CB=CD=4，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE=√CB2+BE2=√42+22=2√5，∵F A∥OC，∵∵EOC∵∵EAF，∵OE AE =CEFE，即46=2√5FE，∵FE=3√5，∵F A=FE=3√5．【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．11．（2022·北京顺义·二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A，点E为AC的中点，连接OE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD=4，tanA=12，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由OA=OC得∠A=∠ACO，结合已知条件，根据可得∠BCD+∠OCB=90°，即可得证；（2）证明△DCB∽△DAC，得出CDAD =DBDC=CBAC，根据tanA=12，可得CBAC=12，从而求得DB的长，进而求得OD的长，由点E为AC的中点，根据垂径定理以及∠ACB=90°，证明OF∥BC，根据平行线分线段成比例即可求解．(1)证明：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD=∠ACO∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，∴△DCB∽△DAC，∴CDAD =DBDC=CBAC，∵tanA=12，可得CBAC=12，∴4AD =DB4=12，∴AD=8,DB=2，∴OB=12AB=12(AD−BD)=3，∵点E为AC的中点，∴OF⊥AC，又∵∠ACB=90°，∴OF∥BC，∴DCCF =BDOB，即4CF=23，∴CF=6．【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，正切，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．12．（2022·北京房山·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE 的垂线于交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，若CD=2，求HF的长度．【答案】(1)见详解(2)2【解析】【分析】（1）连接OE，先证明BF是圆的直径，OE是圆的半径，再证明OE∥BC在，则有∵OEA=∵C=90°，结论得证；（2）连接ED，根据角平分线的性质证明EH=EC，再证∵EHF∵∵ECD，则HF可求．(1)连接OE，如图，∵EF∵BE，∵∵BEF=90°，∵∵O是∵BEF的外接圆，∵BF是∵O的直径，OE是∵O的半径，∵∵OEB=∵OBE，∵BE是∵ABC的角平分线，∵∵OBE=∵CBE，∵∵OEB=∵CBE，∵OE∥BC，∵∵OEA=∵C=90°，即OE∵AC，∵OE是半径，∵AC是∵O的切线；(2)连接ED，如图，∵BE平分∵ABC，且EH∵BA，EC∵BC，∵EH=EC，∵四边形BDEF是∵O的内接四边形，∵∵EFH=∵EDC，∵∵EHF=∵C=90°，∵∵EHF∵∵ECD，∵HF=CD=2，即HF的值为2．【点睛】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确的作出所需辅助线．13．（2022·北京昌平·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC，AC与⊙O交于点F，D，BE为⊙O直径，点E在AB上，连接BD，DE，∠ADE=∠DBE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinA=35，⊙O的半径为3，求BC的长．【答案】(1)过程见详解(2)245【解析】【分析】（1）连接OD，OD=OB=OE，即有∵OBD=∵ODB，∵ODE=∵OED，再根据BE是直径，得到∵BDE=90°=∵DBE+∵DEB=∵ODB+∵ODE，即有∵DBE+∵ODE=90°，再根据∵ADE=∵DBE，有∵ADE+∵ODE=90°，即有OD∵AC，则结论得证；（2）先证OD∥BC，则有BCOD =ABOA，利用sinA=ODOA=35可求出OA，即可求出BC的值．(1)连接OD，如图，∵OD=OB=OE，∵∵OBD=∵ODB，∵ODE=∵OED，∵BE是直径，∵∵BDE=90°=∵DBE+∵DEB=∵ODB+∵ODE，∵∵DBE+∵ODE=90°，∵∵ADE=∵DBE，∵∵ADE+∵ODE=90°，∵OD∵AC，∵OD为半径，∵AC是∵O的切线；(2)根据（1）的结论，有OD∵AC，∵∵C=90°，∵BC∵AC，∵OD∥BC，∵BC OD =ABOA，∵在Rt△ADO中，sinA=ODOA =35，又∵OD=OB=3，∵OA=5，∵AB=OA+OB=8，∵BC OD =ABOA，∵BC=ABOA ×OD=85×3=245．即BC为245．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、直径作对圆周角为90°、平行的性质、勾股定理、三角函数等知识，证明切线是解答本题的关键．14．（2022·北京海淀·二模）如图，AB为∵O的直径，CD为弦，CD∵AB于点E，连接DO并延长交∵O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC．(1)求证：AC∵DF；(2)若AB = 12，求AC和GD的长．【答案】(1)见解析(2)AC =6，DG=4√3【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∵C=∵F，由GA=GC推出∵CAF=∵C，得到∵CAF=∵F，即可得到结论AC∵DF．∠2，进而证得△AOD是等边三角形，（2）连接AD，利用AC∵DF推出∵C=∵1，根据圆周角定理得到∠C=12AB=6．利用垂径定理求出AC=AD=6，利用三角函数求出AG．得到AD=AO=12(1)证明：∵ C，F都在∵O上，∵ ∵C=∵F．∵ GA=GC，∵ ∵CAF=∵C．∵ ∵CAF=∵F．∵ AC∵DF．(2)解：连接AD．∵ AC∵DF，∵ ∵C=∵1，⌢=AD⌢，∵AD∠2．∵∠C=12∠2．∵∵∠1=12∵ AB∵CD于E，∵ ∵BED=90°．∵∠1+∠2=90°．∵∵由∵，∵得∵1=30°，∵2=60°．∵ OA=OD，∵ ∵AOD是等边三角形．AB=6．∵AD=AO=12∵直径AB∵CD于E，∵AC⌢=AD⌢．∵ AC=AD=6．∵ ∵AOD是等边三角形，∵ ∵ADO=60°，∵1=30°．∵ ∵3=∵AOD-∵1=30°∵ DF是∵O的直径，∵ ∵F AD=90°．=4√3．∵ 在Rt∵GAD中，DG=ADcos∠3【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键．15．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，AB 是⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，过点C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于点D ，连接BO 并延长，与⊙O 交于点E ，连接EC ，CD 是⊙O 的切线．(1)求证：∠ABE =2∠E ；(2)若tanE =13，AB =8，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质易得AD ∥CO ，由平行线的性质得到∠ABE =∠BOC ，再结合等腰三角形的性质得到∠OCE =∠OEC ，由三角形外角性质易得∠BOC =∠OCE +∠OEC =2∠BCE 即可求解；（2）连接BC 和AC ，CO ，根据BE 是⊙O 的直径和切线的性质易得∠BCD =∠E ，由圆周角定理得到∠A =∠E ，结合tanE =13得到BD CD =DC AD =13，进而可得CD =3BD ，将AB =8，AD =AB +BD =8+BD 代入即可求解．（1）证明：连接OC ，如下图．∵CD 是⊙O 的切线，过点C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于点D ，∵∠CDA =∠DCO =90°，∵AD ∥CO ，∵∠ABE =∠BOC ．∵OC =OE ，∵∠OCE =∠OEC ，∵∠BOC =∠OCE +∠OEC =2∠BCE，∵∠ABE=2∠E；（2）解：连接BC和AC，CO，如下图．∵BE是⊙O的直径，∵∠BCE=90°，∵∠OCE+∠OCB=90°．∵CD是⊙O的切线，∵∠OCB+∠BCD=90°，∵∠BCD=∠OCE，∵∠BCD=∠E，∵∠A=∠E，tanE=13，∵BDCD=DC AD =13，∵CD=3BD．∵AB=8，AD=AB+BD=8+BD，∵3BD8+BD=13，∵BD=1．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，锐角三角函数值的求法，作出辅助线是解答关键．16．（2022·北京东城·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：∠A=∠BOF；(2)若AB=4，DF=1，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=83【解析】【分析】(1)首先根据等边对等角可证得∠C=∠ODB，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得∠AEB=∠OBF，即可证得△ABE∽△OFB，再根据相似三角形的性质即可求得．(1)证明：∵AB=AC∴∠C=∠ABC∵OB=OD∴∠ODB=∠OBD∴∠C=∠ODB∴AC∥OD∴∠A=∠BOF(2)解：如图：连接BE∵AB是⊙O的直径，AB=4AB=2∴∠AEB=90°，OB=OD=12∵BF是⊙O的切线∴∠OBF=90°。

中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)

专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)，解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3，即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425，设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ，在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ，解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12，又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ，在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°，又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°，又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ，在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径，此时四边形APBC 的面积最大，又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二与切线有关的证明与计算一、与三角函数结合针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154，即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8，在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切，理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°，又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ，又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2，解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ，由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )，化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ，解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ，又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8，在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )．解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°，又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6，在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3，在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1，易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ，而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ，整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3，即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ，在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值．理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ，又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°，又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ，在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°，又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3，即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ，在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ，如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ，又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32，在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示：则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

中考数学圆的证明与计算题型专项训练(基础篇)

中考数学圆的证明与计算题型专项训练（基础篇）1．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC2＝AB•AD．2．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE＝．（1）求EM的长；（2）求sin∠EOB的值．3．如图，AC是圆O的直径，AC＝10厘米，P A，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A 作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．（1）求证：△ABC∽△ADB；（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长．4．如图，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连接AD、BD、CD和BC．（1）求证：∠CBN＝∠CDB；（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB＝15°，求DC的长．5．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E．（1）求证：AD2＝DE•DB；（2）若BC＝，CD＝，求DE的长．7．如图，AB为⊙O的直径，D为弦BE的中点，连接OD并延长交⊙O于点F，与过B点的切线相交于点C．若点E为的中点，连接AE．求证：△ABE≌△OCB．8．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2＝AP•AD．（1）求证：AB＝AC；（2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．9．如图所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E．（1）求证：△DEC∽△AEB；（2）当∠AED＝60°时，求△DEC与△AEB的面积比．10．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．11．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．12．课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．（1）△A1OB1的面积是；A1点的坐标为（）；B1点的坐标为（）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，﹣1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积；（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于．13．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．14．如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r的一种方案：①你选用的已知数是；②写出求解过程．（结果用字母表示）15．如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．16．如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为（2，3），⊙A的半径为1，过A作直线l平行于x轴，点P在l上运动．（1）当点P运动到圆上时，求线段OP的长．（2）当点P的坐标为（4，3）时，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．17．如图，A、B、C三点在⊙O上，＝，∠1＝∠2．（1）判断OA与BC的位置关系，并说明理由；（2）求证：四边形OABC是菱形；（3）过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，且OA＝4，求△APB的周长．18．已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B＝30°，OH＝．请求出：（1）∠AOC的度数；（2）劣弧的长（结果保留π）；（3）线段AD的长（结果保留根号）．19．如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HK＝HG；（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．20．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，（Ⅰ）求∠AOD的度数；（Ⅱ）若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的长．22．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若∠P＝30°，求∠B的度数．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．①求⊙O的半径；②求sin∠BOC的值．24．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，E 为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．25．如图，B，C在⊙O上，△OBC是等边三角形，BA⊥OC于点D，交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC的延长线，直径BG的延长线分别为点E、F，（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）若＝，求线段AE的长．26．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数．27．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得P A＝5cm，求铁环的半径．。

初三圆的计算与证明练习题

初三圆的计算与证明练习题圆是几何学中的一个重要概念，初三学生需要掌握如何计算圆的各种属性，并能够运用所学知识进行相关证明。

本篇文章将为你提供一系列初三阶段的圆的计算与证明练习题，帮助你巩固知识并提升解题能力。

题目一：圆的周长计算已知一个圆的半径 r = 5 cm，请计算其周长。

解析：圆的周长（C）可以通过公式C = 2πr 计算，其中π 是一个常数，近似取 3.14。

将给定的半径代入公式，可得 C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4 cm。

题目二：圆的面积计算已知一个圆的直径 d = 8 cm，请计算其面积。

解析：圆的面积（A）可以通过公式A = πr² 计算，其中 r 为半径，可通过直径除以 2 得到。

将给定的直径代入公式，可得 r = 8 ÷ 2 = 4 cm。

将半径代入公式，可得 A = 3.14 × (4)² = 50.24 cm²。

题目三：证明圆的直径是其任意两点间的最短距离已知在坐标平面上，有圆心为 O 的圆，以 A、B 两点分别作为圆上的两个点，请证明直径 AB 是线段 AB 上所有线段中最短的。

解析：证明思路：设直径 AB 的中点为 M，连接 OA、OB，利用三角形距离的性质进行证明。

证明过程：1. 因为 AM = MB，所以△OAM 和△OBM 是等腰三角形。

2. 根据等腰三角形的定理，OA = OM，OB = OM。

3. 由于 OA = OB，根据等量代换的原理，可以得出△OAM ≌△OBM。

4. 根据三角形全等的定义，可以得出∠OAM = ∠OBM。

5. 因为直线 AB 是线段 AB 上所有线段中长度最长的，所以自然比△OAM 和△OBM 的底边长。

6. 根据同弧所对的圆周角相等的性质，可以得出∠OAM 和∠OBM 所对的弧的圆心角相等。

7. 综上所述，自然有∠OAM 的圆心角和∠OBM 的圆心角相等，即直径 AB 上的圆心角相等。

专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。

弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。

专题25 圆的有关计算与证明(共50题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（50题）一、单选题1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形ABCD 内接于O ，分别以AB BC CD AD 、、、为直径向外作半圆．若4,5==AB BC ，则阴影部分的面积是（）A ．41204π-B ．41202π-C ．20πD ．203．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AC ），点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为 AC 上一点，OB AC ⊥于D ．若3003m AC =，150m BD =，则 AC 的长为（）A ．300m πB ．200m πC ．150m πD ．1003mπA ．21cm 4πB 5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形段90︒的圆心角的圆心为为A BCD 、、、循环，则A ．40452πB ．20236．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角心，AC 为半径画弧，交AB 于点积是（）A ．π2-B ．2π2-7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点,C D 在半圆上， CDDB =，连接,,OC CA OD ，过点B 作EB AB ⊥，交OD 的延长线于点E ．设OAC 的面积为1,S OBE △的面积为2S ，若1223S S =，则tan ACO ∠的值为（）A ．2B ．223C ．75D ．32二、填空题8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为________（2）若点D在圆上，AB与CD为等边三角形，并简要说明点15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在H AH=．以点A为圆心，,3一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r r-=________________的半径为2r，则1216．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100︒的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________2cm ．三、解答题17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 与O 相切于点A ，半径OC AB ∥，BC 与O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：OCA ADC ∠∠=；(2)若12,tan 3AD B ==，求OC 的长．18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以ABC 的边AC 为直径作O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE AB ∥交O 于点E ，连接AD DE ，，B ADE ∠=∠．(1)求证：AC BC =；(2)若tan 23B CD ==，，求AB 和DE 的长．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG 235,4AD DE ==，求DG 的长．21．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点射线BE 与射线CD 交于点F ．(1)若13ED =，求DF 的长．(2)求证：1AE CF ⋅=．(3)以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG ED =，求ED 的长．22．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，50cm AB =，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN GH ∥．计算：在图1中，已知48cm MN =，作OC MN ⊥于点C ．（1）求OC 的长．操作：将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当30ANM ∠=︒时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中(1)求证：2AOB ∠=∠(2)若4,5AB BC ==径，45ABD ∠=︒，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足45CFE ∠=︒．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB DG =；①求证：ABC GDE △≌△；②若312R CE ==，，求四边形ABCD 的周长．25．（2023·天津·统考中考真题）在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，60AOC ∠=︒，E 为弦AB 所对的优弧上一点．(1)如图①，求AOB ∠和CEB ∠的大小；(2)如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB =，过点E 作O 的切线，与CO 的延长线相交于点G ，若3OA =，求EG 的长．26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，5,25AC BC ==，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交O 于点D ，连接BD ，作BE CD ⊥，垂足为E ．(1)求证：DBE ABC △∽△；(2)若2AF =，求ED 的长．27．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，ABC ABD 、内接于O AB BC P = ，，是OB 延长线上的一点，PAB ACB ∠=∠，AC BD 、相交于点E ．(1)求证：AP 是O 的切线；(2)若24BE DE ==，，30P ∠=︒，求AP 的长．28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =．(2)若55,sin 25AF ABD =∠=，求O 的半径．29．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，点C 为O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．(1)求证：PC 为O 的切线；(2)延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ⋅=⋅；(3)若308CAB OD ∠=︒=，，求阴影部分的面积．30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点E ．AE 平分BAC ∠，过点E 作ED AC ⊥于点D ，延长DE 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：PE 是O 的切线；(2)若1sin ,43P BP ∠==，求CD 的长．31．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形(1)如图1，连接,OA CA ，若OA BD ⊥，求证；CA 平分BCD ∠；(2)如图2，E 为O 内一点，满足,AE BC CE AB ⊥⊥，若BD =32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，210AB =，O 的弦CD AB ⊥于点E ，6CD =．过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点F ，连接BC ．∠；(1)求证：BC平分DCF(2)G为 AD上一点，连接CG交AB于点H，若34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，行弦，弦AB交MC于点H．点A在¼MC上，点⋅=⋅．(1)求证：MH CH AH BH(2)求证：AC BC=．(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND NG的长．35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>BD于点E，连接CA'．(1)求证：AA CA '⊥'；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，O 与CD 相切，求证：3AA CA '='；②如图3，O 与CA '相切，1AD =，求O 的面积．36．（2023·山东·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC 的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．(1)求证：BC DE =；(2)P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；(3)在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB 是O 的直径，CD CB =，BE 切O 于点B ，过点C 作CF OE ⊥交BE 于点F ，若2EF BF =．(1)如图1，连接BD ，求证：ADB OBE △≌△；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使60MCN ∠=︒，连接MN ．请问：三条线段MN BM DN ，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．38．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接,,AC AD BC ，作CF AD ⊥于点F ，交线段OB 于点G （不与点,O B 重合），连接OF ．(1)若1BE =，求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG =，猜想CAD ∠的度数，并证明你的结论．39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知AB 是O 的直径，PB 是O 的切线，PA 交O 于点C ，43AB PB ==，．(1)填空：PBA ∠的度数是_________，PA 的长为_________；(2)求ABC 的面积；(3)如图2，CD AB ⊥，垂足为D ．E 是 AC 上一点，5AE EC =．延长AE ，与DC ，BP 的延长线分别交于点,F G ，求EF FG的值．40．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线与边BC 相交于点F ，与ABC 的外接圆相交于点D ．(1)求证：::ABF ACF S S AB AC =△△；(2)求证：::AB AC BF CF =；(3)求证：2AF AB AC BF CF =⋅-⋅；(4)猜想：线段,,DF DE DA 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB 是O 的直径，直线l 是O 的切线，B 为切点．P ，Q 是圆上两点（不与点A 重合，且在直径AB 的同侧），分别作射线AP ，AQ 交直线l 于点C ，点D ．(1)如图1，当6AB =，BP的长为π时，求BC 的长．(2)如图2，当34AQ AB =， BP PQ =时，求BC CD的值．(3)如图3，当6sin 4BAQ ∠=，BC CD =时，连接BP ，PQ ，直接写出(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH PN <，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当1534NQ x =-时，求43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点接AF ，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点D 交AC 于点H ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若tan 34E =，4BE =，求FH 的长．44．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上异于B C 、的点．O 外的点E 在射线CB 上，直线EA 与CD 垂直，垂足为D ，且DA AC DC AB ⋅=⋅．设ABE 的面积为1,S ACD 的面积为2S ．(1)判断直线EA 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若21,BC BE S mS ==，求常数m 的值．45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角ABC 内接于O ，D 为BC 的中点，连接AD 并延长交O 于点E ，连接,BE CE ，过C 作AC 的垂线交AE 于点F ，点G 在AD 上，连接,BG CG ，若BC 平分EBG ∠且BCG AFC ∠=∠．(1)求BGC ∠的度数．(2)①求证：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值，(3)如图2，当点O 恰好在BG 上且1OG =时，求AC 46．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形D 的直线l 交BA 的延长线于点M ，交BC 的延长线于点(1)求证：MN 是O 的切线；(2)求证：2AD AB CN =⋅；(3)当6AB =，3sin 3DCA ∠=时，求AM 的长．47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt ABC △E 是BC 的中点，连接OE DE 、．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若4sin ,55C DE ==，求AD 的长．(3)求证：22DE CD OE =⋅．48．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，AB 是半径为1的O 的弦，O 的另一条弦CD 满足CD AB =，且CD AB ⊥于点H （其中点H 在圆内，且AH BH CH DH >>，）．(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD ，猜想，当弦AB 的长度发生变化时，线段AD 的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD 的长度；(3)如图2，延长AH 至点F ，使得HF AH =，连结CF ，HCF ∠的平分线CP 交AD 的延长线于点P ，点M 为AP 的中点，连结HM ，若12PD AD =．求证：MH CP ⊥．49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在O 中，AB 是一条不过圆心O 的弦，点,C D 是 AB 的三等分点，直径CE 交AB 于点F ，连结AD 交CF 于点G ，连结AC ，过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．(1)求证：AD HC ∥；(2)若2OG GC=，求tan FAG ∠的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若O ①若52OF =，求BC 的长；②若10AH =，求ANB 的周长；③若88HF AB ⋅=，求BHC △的面积．50．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，以CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ，交点N ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：EM EN =；(3)如果N 是CM 的中点，且AB =。

2025年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算练习

2025年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算练习例1．如图①，Rt △ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，经过顶点B ，C 作⊙O ，分别交边AB ，AC 于点D ，E ，连接DE ，DC ．（1）求证：AD ＝ED ．（2）当AE ＝4，CE ＝2时，求⊙O 的半径．（3）设AE EC =x ，tan ∠DCB ＝y ．①求y 关于x 的函数表达式；②如图②，连接OE ，OD ，若S △ODE S △ABC =1564，求y 的值．例2.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且DE ＝OE ．（1）求证：∠BAC ＝3∠ACD ；（2）点F 在弧BD 上，且∠CDF =12∠AEC ，连接CF 交AB 于点G ，求证：CF ＝CD ；（3）①在（2）的条件下，若OG ＝4，设OE ＝x ，FG ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； ②求出使得y 有意义的x 的最小整数值，并求出此时⊙O 的半径．例3.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠ABC +∠OAB ＝90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交OB 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若DE ＝2，CE ＝6，求BC 的长；（3）①若四边形ADEO 的面积等于△BEC 的面积，求sin ∠BAC 的值；②记tan ∠BAC ＝x ，△AOB 与△CDB 的面积之比为y ，请用含有x 的代数式表示y ．例4.如图，⊙O 是等腰△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，点D 为AĈ上一点，连结AD ，CD ，作BF ∥AD 交AC 的延长线于点F ．（1）求证：∠BCF ＝∠ADC ；（2）若AD ＝2，BF ＝8，求AC •CF 的值．（3）连结BD 交AF 于点E ，若BD ⊥AC ．①当AE ＝2时，求CF 的长；②若AC CF =k ，用含有k 的代数式表示tan ∠BAC ．例5．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y 轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连接DE交OM于点K．（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；②求ME的长．（2）若OKMK=3，求∠OBA的度数．（3）设tan∠OBA＝x（0＜x＜1），OKMK=y，直接写出y关于x的函数解析式．例6．如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，连结OC ，过点B 作AC 的垂线，交⊙O 于点D ，交OC 于点M ，交AC 于点E ，连结AD ．（1）若∠D ＝α，请用含α的代数式表示∠OCA ；（2）如图1．求证：CE 2＝EM •EB ；（3）如图1证明：OC ∥AD（4）①如图1连结CD ，求证：DM=CD②连接AO 并延长交BD 于N ，连接CN ，求证：△AEN ≌△AED③若BM ＝3，DM ＝2，求tan ∠BAC 的值．（5）如图2，连结CD ，若x =DM BM ，①求DM BM 与AC CE 的值（用x 表示）②令y =S 四边形ABCD S △BMC ，求y 关于x 的函数表达式．例7．已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB 的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．例8.如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．̂的中点；（1）如图1．①求证：点P为BAC②求sin∠BAC的值；̂的中点，求CE的长；（2）如图2，若点A为PC（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．例9.如图1，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，直径CF 交线段BE 于点G ，且AĈ=AF ̂，BG ＝xAE （1＜x ＜2）．（1）求证：AB ＝CD ；（2）当点E 是AG 的中点时，求BĈ的度数和x 的值；（3）设FGCG =y ．①求y 关于x 的函数表达式；②如图2，连结BF ，若△CEG 的面积是△BGF 面积的3倍，求tan ∠BFG 的值．课后练习1.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，取BC中点E，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）如果，求tan A．2.已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH＝2，CH＝4．（1）如图1，①求⊙O的半径；②求sin∠CMD的值．（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求HE•FH的值．3.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧AC上动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥AB交⊙O于F，连结CF．（1）如图①，当点D为的中点时，求证：DF＝BC；（2）如图②，若CF＝CA，∠ABC＝α，请用含有α的代数式表示∠E；（3）在（2）的条件下，若BC＝CE，①求证：AC+AD＝DE；②求tan∠E的值．。

中考数学专题复习演练：圆的有关计算与证明(含答案)

中考数学习题精选：圆的有关计算与证明解答题1.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE的长？2.如图，在4×4 的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．3.如图,直线y=与x轴、y 轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P 与y轴相切于点O.若将圆P沿x 轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.4.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF 的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．5.如图，△在ABC中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点D 在AB边上，以DB为直径的半圆O 经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积6.如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．（1）求证：．（2）已知，若△是外接圆的直径，，求的长．7.已知：如图，△在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，△求DPE的面积．8.如图，AB是半圆O的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O 的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD 的长．9.如图1，在正方形ABCD 中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD 于点E，连接OA、OE．（1）求证：AO⊥EO；（2）如图2，连接DF 并延长交BC于点M，求的值．10.如图，AD 是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD 于点D．连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．11.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP 交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；12.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC 于E，连接AD．（1）求证△：CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC 交⊙O 于点E，连接BE 交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x 轴相切于点B.图①图②（1）当x＞0，y=5时，求x的值；（2）当x =6 时，求⊙P的半径；（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.15.如图△，OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA 的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．16.如图，△在ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB 于点F，⊙O△是BEF 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF 及AF长．17.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB 的长；（2）求⊙O的半径．18.如图，△在ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA 为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE 的长．19.如图，AB 为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.20.如图，在 △R t ABC 中，∠C=90°，点 D ，E ，F 分别在 AC ，BC ，AB 边上，以 AF 为直径的⊙O 恰好经过 D ， E ，且 DE=EF ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数；（3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长．21.如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、，一次函数的图像经过点，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点.（1）求（2）求的值及点长及的坐标；的大小；（3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离.参考答案解答题1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC ，CA ，AB 分别相切于点 D 、E 、F ， ∴AF=AE ，BF=BD ，CD=CE ．设 AF=AE=x ，则 BF=BD=11﹣x ，EC=DC=15﹣x ．根据题意得 11﹣x+15﹣x=16．解得；x=5cm ．∴AF=5cm ．BD=11﹣x=11﹣5=6cm ，EC=15﹣x=10cm ．∴AF=5cm ，BD=6cm ，EC=10cm ．2.解：由图形可知，∠AOB=90°，∴OA=OB==2，∴= =，扇形 OAB 的面积= =2π．弧 AB 的长是：= π∴周长=弧 AB 的长+2OA=π+4综上所述，扇形 OAB 的弧长是．π，周长是π+4，面积是 2π．3.解:∵直线 y=与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0,),∴AB=2.如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C 时,连结 P C ,则 P C =1,易 △知AP C ∽△ABO,∴=,∴AP =2,∴P 的坐标为(-1,0),同理可得 P 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 31 1 1 1 1 1 1 1 1 24.证明：连接OA，交BF 于点E，∵A是弧BF 的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD△与OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF5. （1）证明：连结OE，[MISSING IMAGE:,]∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠AOE，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+∠AOE=90°，∵∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O 的切线.，（2）解：连结 OF ， ∵sinA= ,∴∠A=30°，由（1）知 OE ⊥AC ，∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3，∴OD=OE=OF=OB=BF=3，∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S= 扇形在 △R t AOE 中，，∴AO=6，AE=3在 △R tACB 中，，∴AB=9，BC= ， AC=∴CE=AC-AE=-3，， CF=BC-BF= -3= ，∴S= ==梯形，∴S =S-S=阴梯形扇形6.（1）解：∵四边形 ∴∵-.内接于圆，，，∴∵△是，的外角平分线，∴∴又∵∴，，，，（2）解：由（）得，OEFOFCEOFCE OEF又∵，∴△∴∽△，，∴，∴又∵∴∵，，，是直径，，∴，∴BD=又∵∠D=∠D，∴△DBF∽△DAC，，∴∴，CD=24，解得：CD=.7.（1）解：∵AB 是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O 中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD 所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在 △R tABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴ ，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴ ∴BP=，，∴DP=BD-BP=，∴ ： =DP ：BP=13：32，∵ △S BCD= × ×3 =15，：=BE ：BC=4：5，∴ △S BDE=12，∴ △S DPE=．8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径∴∠D=90°∴∠A+∠DBA=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠DBA=90°∴BC ⊥AB∴BC 是半圆 O 的切线（2）解：∠BEC=∠D=90∘，∵BD ⊥AD ，BD=6，∴BE=DE=3， △S DPE △S BPE△S BDE △S BCD∵∠DBC=∠A，∴△BCE∽△BAD，∴，即∴AD=4.59.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，∴AB和CD 为⊙O的切线，∵AE切半圆于点F，∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，而AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC=180°，∴∠OAE+∠OEA=90°，∴∠AOE=90°，∴OA⊥OE（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，则AF=AB=4a，OB=OC=2a，∵∠AOE=90°，∴∠AOB+∠COE=90°，∵∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EOC，∴△R tABO∽△R t OCE，∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，∴EF=EC=a，∴EA=5a，ED=3a，∵FH∥AD，∴△EFH∽△EAD，∴==，即==，∴FH=a，EH=a，∴DH=3a﹣∴CH=4a﹣∵FH∥CM，a=a，a=a，∴==．10.（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在△R tAMC 中，AM==6，设⊙O 的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在△R t OCM中，2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，OM2+CM2=OC∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴△R t PCM∽△R t CEB，∴=，即=，∴PC=．11.（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O 上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在△R t OCB中，OB=∴∠COB=60°，==6，tan∠COB==，∴△SOPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影△=SOPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②若点E 是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE=．3﹣3或3 +312.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O 的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在△R t AOC 中，AC=2∴OC=，=3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即=．∴CE=∴AE=AC﹣CE=2﹣==，．13.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE//BC，∴OE⊥AC，∴=，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC（2）解：∵BD 是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2，OB=，∵OD2=OB2+BD．∴OD=2，14.（1）解: 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB，∵圆P与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=5，由AP=PB，由勾股定理得，x=2+=2+4=6，∴x=6（2）解: 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB，∵圆P 与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=5，则圆P的半径为5（3）解:同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得：=，即图象为抛物线，画出函数图象，如图②所示；15.（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=∴∠AOB=120°，AB=2r ，r ，∴S 阴影部分 △=S OAB﹣S 扇形 ODE •OC •AB ﹣=﹣ ， ∴•r •2 r ﹣ r 2=﹣ ， ∴r=1，即⊙O 的半径 r 为 116. （1）证明：如图，连接OE ． ∵BE ⊥EF ，∴∠BEF=90°，∴BF 是圆 O 的直径．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ，∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；（2）证明：如图，连结 DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于 C ，EH ⊥AB 于 H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ． =在△CDE△与HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在△R t HFE 中，EF=∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，=，∴=，即=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，∴△R tOHE中，cos∠EOA=∴△R t EOA 中，cos∠EOA=，=，∴∴OA=∴AF==，，﹣5=17.（1）解：∵∴，在中∴∴∵,∴∵是∴∴（2）解：∵∴∵,∴∵的直径，是,.，的半径，,∴又∵∴∴即的半径是18.（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在△R tBDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=∴∠C=∠CDE，BC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD 为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB 的中点，∴OE△是ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE（3）解：∵cos∠BAD=∴sin∠BAC==，，又∵BE=∴AC=，E是BC的中点，即BC=．，又∵AC=2OE，∴OE=AC=19.（1）解：连接OC，∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°；（2）解：∵CF ⊥直径 AB ，CF=4∴CE=2∴在 △R t OCE 中，tan ∠COE=，OE=∴OC=2OE=4=2，∴S =扇形， △S EOC ×2×2 =2 ∴S =S 阴影扇形 BOC △-S EOC-2 ．20.（1）证明：连接 OD 、OE 、DF ，如图，∵AF 为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF ∥BC ，∵DE=EF ，∴=∴OE ⊥DF ，∴OE ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，BOC = =∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O 的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在△R tOHD中，（r﹣2）2，解得r=5，2+42=r∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE=21.（1）解：如图1中，连接AC、AB．∵⊙A 与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），∵点A在y=上，∴m2=3，∵m＞0，∴点A坐标（，），∴OC=，∴点C坐标（0，），∵一次函数y=x+b的图象经过点C，∴b=，∴一次函数的解析式为y=，令y=0得x=-3，∴D（-3，0），b=（2）解：如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在△R t DOC 中，∵tan∠CDO=，∴∠CDO=30°，∵AC∥BD，∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，∵AM⊥CE，∴∠CAM=∠EAM=60°，∴∠CAE=120°，在△R tAMC 中，CM=AC•cos30°=（3）解：如图3中，，∴CE=2CM=3，∴∠CBE=∠CAE=60°①当⊙A″与直线y=∵AB∥OC，相切于点E，AB与直线CD交于点K，∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在△R tA″EK中，A″E= AK=CA•tan30°=1，∴AA″=A″K+AK=1+2=3，∴⊙A 向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y=，A″K=A″E÷cos30°=2，在△R tCKA中，均相切．②同理可得⊙A 向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y=均相切。

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。

中考数学压轴题提升训练圆中证明及计算问题含解析

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=，即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（）A. 2πB. π C 。

圆的有关计算与证明(共50题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(1)

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编（1）1．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O 于点D，连接OD交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝2√35，DE＝4，求DG的长．2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．（1）求点P的坐标；（2）求cos∠ACB的值．3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：，图中与△ACD全等的三角形是；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．5．如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．（1）求证：CF是⊙O切线；（2）若AF＝10，sin F=23，求CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．（1）求证：△ACD∽△DCB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若tanE=35，AC＝10，求⊙O的半径．8．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求BC的长．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD̂的中点，过点C作CE ⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．10．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AĈ上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．11．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．̂的中点，过点C作CD⊥AE，交12．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EBAE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cos B=35，求FD的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2√3．求BD的长．15．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC＝°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP．16．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，BC=√5．求⊙O的半径．̂的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．17．如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC（1）求证：BC＝DE；̂上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（2）P是AE（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．̂=BD̂，DE⊥AC于点E，DE交BF 18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）判断△DGB的形状，并说明理由；（3）当BD＝2时，求FG的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，tan∠ADB=√3．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）20．如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC 于点H．点A在MĈ上，点B在NĈ上，∠OND+∠AHM＝90°．（1）求证：MH•CH＝AH•BH；（2）求证：AĈ=BĈ；（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND̂的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=35，求NG的长．21．【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接P A、PB、PC．求证：PB＝P A+PC．小明发现，延长P A至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长P A至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接P A、PB、PC，若PB=2√2PA，则PBPC的值为．22．如图，作CF⊥OE，交BE于点F，若EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．24．如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB ⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．26．综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=√3CA′；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．27．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2√3，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．28．如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．（1）求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．29．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN 于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？̂的长度，并比较大小．（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ30．（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．。

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。

2023年中考专题训练——圆的计算和证明(含答案)

2023年中考专题训练——圆的计算和证明1．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点D．(1)判断△CBD的形状，并说明理由；(2)若CD＝3OD，AD＝8，求⊙O的半径．2．如图，Rt ABC中，90∠=︒，点O为AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径，作OACB交AB于点E，边BC与O相切于点D．过点C作CF//AB交AD延长线于点F．(1)求证：AC CF=；(2)若4AC=，求O的半径．AE BE=，103．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点G．点F是CG的中点，连接AF并延长交O于点E，连接AD，DE．(1)求证：2=⋅；AD AE AF(2)若2AF=，求DEF的面积．CF=，34．如图，⊙O是ABC的外接圆，AB是O的直径，过点A作O的切线，交BC的延长线与点D，点E是劣弧BC上的一点，连接AE，CE．(1)求证：DAC AEC ∠=∠；(2)若4sin 5AEC ∠=，10AD =，求O 的半径． 5．如图，以ABC 的边AB 为直径作O ，交边AC 于点D ，BC 为O 的切线，弦DE AB ⊥于点F ，连结BE ．(1)求证：ABE C ∠=∠．(2)若点F 为OB 中点，且1OF =，求线段BC 的长．6．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，过点C 作O 切线CD 交BA 的延长线于点D ，过点O 作OE AC ∥交切线DC 于点E ，交BC 于点F ．(1)求证：B E ∠=∠；(2)若10AB =，4cos 5B =，求EF 的长．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．(1)求证：△CBE∽△CPB；(2)当3AB=34CFCP=时，求扇形COB的面积．8．如图，ABC内接于⊙O，10AB AC==，12BC=，点E为AC上一点，点F为CE的中点，连结BF并延长与AE交于点G，连结AF，CF．(1)求证：AFC AFG∠=∠．(2)当BG经过圆心O时，求FG的长．9．如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连接EC、BC、AC，且EC是⊙O的切线，C为切点．(1)求证：∠BCE＝∠A；(2)过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，点C是以O为圆心，AB为直径的半圆上一动点（不与A，B重合），8AB=，连接AC 并延长至点D，使CD AC=，过点D作AB的垂线DH，分别交ACB，CB，AB于点E，F，H，连接OC．记ABCθ∠=，θ随点C的移动而变化．(1)当45θ︒⋅=⋅；<时，求证：BH AH DH FH(2)连接OD，当2ADOθ=∠时，求OH的长．11．如图，AB是O的直径，BC是O的弦，直线MN与O相切于点C，过点B作BD MN⊥于点D．(1)求证：ABC CBD∠=∠；(2)若BC=4CD=，求O的半径．12．如图，O的直径18AB=，点E是AB上的动点，CD是经过点E的弦，过点B作O的切线交AC的延长线于点F，且CD//BF．(1)若AC=BC，分别求AE，CD的长；(2)当点E位于OB的什么位置时，以,,,O C B D为顶点的四边形是菱形？请说明理由．13．如图，AB是O的直径，过点B作AB的垂线BC，连接AC，交O于点D，O的切线DE 交BC于E．(1)求证：点E 为BC 的中点；(2)若O 的直径为3，2DE =，求AD 的长．14．如图，□OABC 的对角线相交于点D ，O 经过A 、D 两点，与BO 的延长线相交于点E ，点F 为AE 上一点，且=AF AD ．连接AE 、DF 相交于点G ，若3AG =，6EG =．(1)求□OABC 对角线AC 的长；(2)求证：□OABC 为矩形．15．读下面材料，并完成相应的任务切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．下面是不完整的证明过程，请补充完整．已知：P 为O 外一点，P A 与O 交于A ，B 两点，PM 与O 相切于点M ．求证：2PM PB PA =⋅．证明：如图，连接AM ，BM ，连接MO 并延长交O 于点C ，连接BC ．∵PM 为O 的切线，∴_______90=︒，∴90CMB BMP ∠+∠=︒，∵CM 为O 的直径，∴_______90=︒，∴90CMB MCB ∠+∠=︒，∴MCB ∠=_______，∵MAB MCB ∠=∠，∴BMP MAB ∠=∠．∵P P ∠=∠，∴PBM ∽△_______．∴PM PB PA PM =，∴2PM PB PA =⋅．学习任务：如图，若线段AB 与O 相交于C ，D 两点，且AC BD =，射线AB ，BF 为O 的两条切线，切点分别为E ，F ，连接CF ．(1)求证：AE BF =；(2)若6BF =，2CD BD =，60FBC ∠=︒，求BCF △的面积．16．如图，在O 中，B ，C 是AD 的三等分点，弦AC ，BD 相交于点E ．(1)求证：AC BD =；(2)连接CD ，若25BDC ∠=︒，求BEC ∠的度数．17．已知点C 是△ABD 的边AB 上一点，且12BC AC =，AC 为O 的直径，BD 切O 于点D ，连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点M ．(1)求证：BAD ABD ∠=∠；(2)若O 的半径为1，求线段EM 的长．18．如图，在AOB 中，AO BO =，AB 与O 相切于点C ，延长BO 交O 于点P 、Q ．连接CP ，CQ ．(1)若30A ∠=︒，求CPQ ∠的大小．(2)若1tan 2CPQ ∠=，O 的半径为35AB 的长度．19．如图，AC 是⊙O 的直径，OD AB ⊥，点E 是射线DO 上一点且OE BC =，过点E 作FE DE ⊥交射线AC 于点F ．(1)求证：2OE OD =；(2)求证：ABC FEO ≌△△；(3)当EF 与⊙O 相切时，若⊙O 的半径为2，求弧BC 的长．20．如图，P A 和PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，点D 在AB 上，点E 和点F 分别在PB 和P A 上，且AD BE =．(1)求证：PA PB=(2)若40∠=︒，当EDFP∠是多少度时，BD AF=？请说明理由．(3)若APBα∠=，当α=__________时，四边形DEPF为菱形．参考答案：1．(1)△CBD 是等腰三角形，理由见解析 (2)14【分析】（1）由点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，根据等角的余角相等，易证得∠CBD =∠CDB ，即可证得△CBD 是等腰三角形；（2）设OD =x ，则BC =DC =3x ，由勾股定理求出7OB x =，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得222(7)8x x +=，求出x 的值即可得解．【解析】（1）△CBD 是等腰三角形，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠A +∠ADO =90°，∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠OBC =90°，∴∠OBA +∠CBD =90°，∵OA =OB ，∴∠A =∠OBA ，∴∠ADO =∠CBD ，∵∠ADO =∠CDB ，∴∠CDB =∠CBD ，∴CD =CB ；∴△CBD 是等腰三角形；（2）∵CD ＝3OD ，AD ＝8，∴设OD x =，则34CD x OC x ==，，∴BC =3x ，在Rt OBC △中，227OB OC BC x -， ∴7OA x =，在Rt AOD △中，222AD AO DO =+， ∴222(7)8x x +=，解得，2x =22x =-， ∴2714AO ==【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，正确识图是解答本题的关键．2．(1)见解析；(2)⊙O 的半径为6【分析】（1）连结OD ，BC 与⊙O 相切于点D ，90ODB ∠=︒，由90ACB ∠=︒，得到OD AC ，13∠=∠，由OD OA =，进一步得23∠∠=，由CF AB ∥得2F ∠=∠，则3F ∠=∠，得到结论；（2）设⊙O 的半径为r ，则2AE r =．由4AE BE =可以得到32OB r =，52AB r =，由OD AC 得到BOD BAC ∽，得到OB OD AB AC=，进一步即可得解．（1）证明：连结OD ，∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，∴90ODB ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ODB ACB ∠=∠=︒，∴OD AC ，∴13∠=∠，又∵OD OA =，∴12∠=∠，∴23∠∠=，又∵CF AB ∥，∴2F ∠=∠，∴3F ∠=∠，∴△ACF 是等腰三角形，∴AC CF =．（2）解：设⊙O 的半径为r ，则2AE r =．∵4AE BE =， ∴12BE r =， ∴32OB r =，52AB r =，由（1）知：OD AC ，∴∠BOD ＝∠BAC ，∵∠B ＝∠B ，∴BOD BAC ∽， ∴OB OD AB AC=， ∵10AC =， ∴325102r r r =， ∴6r =，即⊙O 的半径为6．【点评】此题考查了切线的性质定理，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明BOD BAC ∽是求O 的半径的关键．3．(1)见解析 (2)5【分析】（1）证明ADF AED △△∽即可；（2）先求出ADF S △，再利用相似求出AED S，最后根据DEF AED ADF S S S =-计算即可．(1)∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，∴AD AC =，DG CG =，∴ADF AED ∠=∠，∵FAD DAE ∠=∠（公共角），∴ADF AED △△∽，∴AD AF AE AD=， ∴2AD AE AF =⋅；(2)∵点F 是CG 的中点，2CF =，∴2FG =，AG∵CD AB ⊥于点G ，∴4CG DG ==，∴6FD =，AD =∴11622ADF S DF AG =⨯⋅=⨯△ ∵ADF AED △△∽， ∴2ADF AED S AF SAD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，37AED =，∴AED S=， ∴45DEF AED ADF S S S =-=【点评】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质，由垂径定理得到G 是CD 的中点是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．4．(1)见解析(2)154【分析】（1）AD 与⊙O 相切于点E ，90DAC BAC ∠+∠=︒，AB 是O 的直径，则∠ABC ＋∠BAC ＝90°，DAC ABC ∠=∠，又ABC AEC ∠=∠，结论得证；（2）在ABD △，90BAD ∠=︒，10AD =，4sin sin 5ABD AEC ∠=∠=，求得BD ，由勾股定理得到AB ，即得O 的半径．(1)证明：∵AD 与⊙O 相切于点E ，∴AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝90°，∴90DAC BAC ∠+∠=︒∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ABC BAC ∠+∠=︒，∴DAC ABC ∠=∠∵ABC AEC ∠=∠，∴DAC AEC ∠=∠．(2)解：在ABD △，90BAD ∠=︒，10AD =，4sin sin 5ABD AEC ∠=∠=， ∴52510sin 42AD BD ABD ==⨯=∠，由勾股定理得，222225151022AB BD AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴O 的半径为154．【点评】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握定理的应用是解题的关键．5．(1)见解析； 43【分析】（1）根据切线的性质以及DE AB ⊥，可得BC DE ∥，可得ADE C ∠=∠，根据同弧所对的圆周角相等，可得ADE ABE ∠=∠，进而即可得证；（2）连接OE ，垂径定理求得EF ，进而证明AFD ∆∽ABC ∆，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入数值即可求解．（1）证明 ∵AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE //BC ，∴ADE C ∠=∠，∵弧AE 所对圆周角是ABE ∠和ADE ∠，∴ABE ADE ∠=∠，∴ABE C ∠=∠；（2）连接OE ，∵点F 为OB 中点，AB ⊥BC ，∴OF =12OE ， 1OF =，∴2OE =，∴EF =FD∴ AF =AO OF OE OF +=+=3，ED FD ∥ ，∴AFD ∆∽ABC ∆，∴AF FD AB BC =，即34=，得，BC =．【点评】本题考查了切线的性质、等弧所对的圆周角相等、垂径定理、相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．6．(1)见解析 (2)163【分析】（1）证明：连接OC ，利用圆周角定理及切线的性质定理求出OCB ACD ∠=∠，由圆的半径相等求出B OCB ∠=∠，利用平行线的性质求出ACD E ∠=∠，即可得到结论B E ∠=∠；（2）由4cos 5BC B AB ==求出8BC =，AC =6，证明ACB OCE ∽△△求出OE ，根据三角形中位线的性质求出OF ，即可得到EF ．（1）证明：连接OC ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ACO OCB ∠=∠+∠=︒．∵DE 是⊙O 的切线，∴90OCD ACO ACD ∠=∠+∠=︒，∴OCB ACD ∠=∠，∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB OC =，∴B OCB ∠=∠，∵OE AC ∥，∴ACD E ∠=∠，∴B E ∠=∠；（2）解：在Rt ACB 中，4cos 5BC B AB ==，10AB =， ∴8BC =，∵OC OA OB ==， ∴1110522OC AB ==⨯=， ∴22221086AC AB BC --，∵90ACB OCE ∠=∠=︒，B E ∠=∠，∴ACB OCE ∽△△， ∴AC AB OC OE=，即6105OE =， ∴253OE =， ∵OF AC ∥，O 为AB 中点， ∴132OF AC ==， ∴2516333EF OE OF =-=-=．【点评】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．7．(1)见解析(2)2π【分析】（1）先证明∠CEB=∠CBP＝90°，再由∠D+∠P=90°，∠CAB＋∠CBE＝90°，∠CAB=∠D，推出∠CBE=∠P，即可证明结论；（2）设CF=3k，CP=4k，先证明∠F AC=∠CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2＝CE•CP；从而求出sin∠CBE=∠CBE=60°，即可证明△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，据此求解即可．（1）解：∵CE⊥OB，CD为圆O的直径，∴∠CEB=∠DBC＝90°，∴∠CEB=∠CBP＝90°，∵PF是切线，∴∠DCP=90°，∴∠D+∠P=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∴∠CAB＋∠CBE＝90°，∵∠CAB=∠D，∴∠CBE=∠P，∴△CBE∽△CPB；（2）解：∵34 CFCP=，∴设CF=3k，CP=4k，∵PF是切线，∴OC ⊥PF ，∵AF ⊥PF ，∴AF ∥OC ．∴∠F AC =∠ACO ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠ACO ，∴∠F AC =∠CAB ，∴CE =CF =3k ，∵△CBE ∽△CPB ， ∴CB CE CP CB=， ∴BC 2＝CE •CP ；∴BC =23k∴sin ∠CBE 323k= ∴∠CBE =60°，∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°， ∵43AB =∴扇形COB 的面积260232360ππ⨯=（）【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．8．(1)见解析； (2)72【分析】(1)根据等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，补角的性质证明即可；(2) 利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形全等性质计算即可．（1）证明：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵ACB AFB ∠=∠，∴ABC AFB ∠=∠，∵180ABC AFC ∠+∠=︒，180AFG AFB ∠+∠=︒，∴AFC AFG ∠=∠；（2）连结AO 并延长AO 交于点H ，∵AB AC =，∴AH BC ⊥，6BH CH ==，∴8AH =，连结OC ，设OH x =，则8OA OC x ==-，在Rt OCH 中，()22268x x +=-，解得74x =， ∵OH 是Rt BCF 的中位线， ∴722CF OH ==，∵点F 为CE 的中点，∴EAF CAF ∠=∠，∵AFC AFG ∠=∠，AF AF =，∴()ACF AGF ASA ≌△△， ∴72FG CF ==．【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键．9．(1)见解析(2)⊙O 的半径为158【分析】（1）连结OC ，根据圆周角定理由AB 是⊙O 的直径得∠1+∠2=90°，根据切线的性质即可得到∠BCE +∠2=90°，所以∠BCE =∠1，而∠1=∠A ，即∠A =∠BCE（2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADE 中利用勾股定理计算出AE =5，则OE =5-r ，OC =r ，证明△EOC ∽△EAD ，利用相似比得到EO OC EA AD =，即553r r -=，然后解方程即可得到圆的半径．（1）如图，连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即∠1＋∠2＝90°又∵EC 是⊙O 的切线∴OC ⊥EC即∠BCE ＋∠2＝90°∴∠BCE ＝∠1∵OC ＝OA∴∠1＝∠A∴∠A ＝∠BCE（2）∵OC ⊥EC又AD ⊥EC∴OC ∥AD∴EOC EAD ∠=∠，ECO EDA=∠∠∴△EOC ∽△EAD ∴EOOCEA AD =设⊙O 的半径为r在Rt △ADE 中AD ＝3，ED ＝4则AE 22AD DE +∴OE ＝5－r ；OC ＝r ∴553r r -= ∴158r =即⊙O 的半径为158【点评】本题考察了圆的切线性质及相似三角形的判定与性质，利用圆的切线性质是解决本题的关键点．10．(1)见解析(2)3【分析】（1）证△BHF ∽△DHA ，根据线段比例关系即可证；（2）过点O 作OG AD ⊥于点G ，可得OH OG =，设OH OG x ==，AG y =，由正弦定义，4sin 4x yθ+=，sin 4y θ=，则444x y y +=，即2120x x +-=，由勾股定理，得2224x y +=，解得OH 的长为3．（1） AB 是直径，90ACB DCB ︒∴∠=∠=．DH AB ⊥，CFD BFH ∠=∠，CDH ABC θ∴∠=∠=．90DCB DHB ACB ︒∠=∠=∠=，BHF DHA ∴∆∆∽．::BH DH FH AH ∴=．BH AH DH FH ∴⋅=⋅．（2）解：如图，过点O 作OG AD ⊥于点G ．由（2）知，CDH ABC θ∠=∠=．2ADO θ=∠，OD ∴平分CDH ∠．OH OG ∴=．设OH OG x ==，AG y =，则4AH x =+，2AC y =，24AD AC y ==．在Rt AGO ∆中，由勾股定理，得2224x y +=．①在Rt AHD ∆中，sin AH ADH AD ∠=，即4sin 4x y θ+=．② 在Rt ABC ∆中，sin AC ABC AB∠=，即sin 4y θ=．③ 由②③，得444x y y +=， 24y x ∴=+．代入①中，得2120x x +-=，解得3x =或4x =-（舍去）．故OH 的长为3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，运用相似三角形的判定和性质解题是关键．11．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可得OC MN ⊥，即可证得OC BD ⊥，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得CBD BCO ABC ∠=∠=∠，即可证得结论；（2）连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得C ABC BD ∽△△，求得直径AB ，从而求得半径．（1）证明：连接OC ，∵MN 为O 的切线，∴OC MN ⊥，∵BD MN ⊥，∴//OC BD ，∴CBD BCO ∠=∠，又∵OC OB =，∴BCO ABC ∠=∠，∴CBD ABC ∠=∠．（2）解：连接AC ，∵BD MN ⊥，∴BCD △是直角三角形，∵BC =4CD =，∴8BD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ACB CDB ∠=∠=︒，∵ABC CBD ∠=∠，∴C ABC BD ∽△△，∴AB CBBC BD == ∴10AB =，∴O 的半径是5．【点评】本题考查了切线的性质和圆的基本性质、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形.通过作辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．12．(1)16AE =；CD =(2)当点E 位于OB 的中点位置时，以,,,O C B D 为顶点的四边形为菱形，理由见解析【分析】（1）利用勾股定理得出BC 的长，再证明AEC ACB △△得出AE 的长，由勾股定理得CE 的长，再由垂径定理即可得出答案；（2）利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形求出即可．(1)解：∵O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵O 的直径12218,AB AC == ∴226BC AB AC -∵过点B 的O 的切线交AC 的延长线于点F ，且CD FB ∥.∴90AEC ABF ∠=∠=︒，∴AEC ACB ∠=∠∵A A ∠=∠，∴AEC ACB △△， ∴AC AE AB AC =， ∴12218122∴16AE = ∴2242CE AC AE =-=∵OE CD ⊥，∴CE DE = ∴282CD CE ==(2)解：当点E 位于OB 的中点位置时，以,,,O C B D 为顶点的四边形为菱形．如图，理由：由（1）得CE DE =，当EO BE =时，四边形OCBD 为平行四边形，又∵OB CD ⊥，∴以点,,,O C B D 为顶点的四边形为菱形. 【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以、菱形的的判定、勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．13．(1)见解析 (2)95【分析】（1）连接OD ，BD ，分别证明BE DE =和DE EC =，从而可得结论；（2）根据勾股定理求出5AC =，再证明Rt ADB Rt ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得结论．（1）连接OD ，BD ，∵DE 是圆的切线，∴90ODE ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒又90ABC ∠=︒∴90ABC ODE ADB ︒∠=∠=∠=，∵OA OD =，OB OD =∴A ODA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠，∵90A ABD ABD DBE ADO ODB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，DBE A ODA BDE ∴∠=∠=∠=∠，BE DE ∴=，∵90DBC C BDE CDE ∠+∠=∠+∠=︒，又C OBD ODB EDC ∠=∠=∠=∠，DE EC ∴=，12BE BC ∴=， ∴点E 为BC 的中点；（2）2DE =，24BC DE ∴==，在Rt ABC ∆中，5AC ==．BAD CAB ∠=∠，ADB ABC ∠=∠·Rt ADB Rt ABC ∴∆∆∽，AD AB AB AC∴=， 295AB AD AC ∴== 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．14．(1)63(2)见解析【分析】（1）利用弧相等，由圆周角定理推论推出ADE AGD △∽△，由相似三角形的性质可求AD 的长度，再利用平行四边形的性质可求出AC 的长度；（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得证．(1)解：∵DE 是直径，3AG =，6EG =，∴90EAD ∠=︒，9AE AG EG =+=，∵=AF AD ，∴ADF AFD AED ∠=∠=∠，又∵90DAE GAD ∠=∠=︒，∴ADE AGD △∽△， ∴AD AG AE AD=， ∴23927AD AG AE =⨯=⨯=， ∴33AD =∵四边形OABC 是平行四边形， ∴263AC AD ==(2)由（1）可知：90EAD ∠=︒，∴AED △是直角三角形， ∴()222293363DE AE AD ++∵四边形OABC 是平行四边形，∴263OB OD DE ===∴AC OB =，∴□OABC 为矩形．【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理．理解和掌握圆周角定理的推论及相似三角形判定及性质并能进行灵活应用是解决本题的关键．15．(1)∠CMP ；∠CBM ；∠BMP ；△PMA ；见解析(2)27【分析】阅读材料：连接AM ，BM ，连接MO 并延长交O 于点C ，连接BC ，证PBM ∽△△PMA 即可得出结论；（1）由阅读材料得2AE AC AD =⋅，2BF BD BC =⋅，再由AC =BD ，证AD =BC ，即可得出结论；（2）由阅读材料得2BF BD BC =⋅，从而求出BC =F 作FG BC ⊥于点G ，解Rt BFG △求出6FG ==，最后利用12BCF S BC FG =⋅△计算即可求解．（1）阅读材料证明：如图，连接AM ，BM ，连接MO 并延长交O 于点C ，连接BC ．∵PM 为O 的切线，∴∠CMP 90=︒，∴90CMB BMP ∠+∠=︒，∵CM 为O 的直径，∴∠CBM 90=︒，∴90CMB MCB ∠+∠=︒，∴MCB ∠=∠BMP ，∵MAB MCB ∠=∠，∴BMP MAB ∠=∠．∵P P ∠=∠，∴PBM ∽△△PMA ． ∴PM PB PA PM=， ∴2PM PB PA =⋅．故答案为：∠CMP ，∠CBM ，∠BMP ，△PMA ．（1）证明：∵AE ，BF 为O 的两条切线，∴2AE AC AD =⋅，2BF BD BC =⋅．∵AC BD =，∴AC CD BD CD +=+，即AD BC =．∴22AE BF =，∴AE BF =．（2）解：∵2CD BD =，设BD m =，则2CD m =，3BC m =，由由阅读材料得，2BF BD BC =⋅，即2236m =，解得3m = ∴3BC =如图1，过点F 作FG BC ⊥于点G ，在Rt BFG △中，sin FG FB B =，即3633FG == ∴12BCF S BC FG =⋅△16333272=⨯=．【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，本题属阅读材料题，通过阅读，探究出一个结论，再运用结论解决其他问题，属中考试常用考类型．16．(1)见解析(2)130°【分析】（1）根据B ，C 是AD 的三等分点，求出ABC BCD =，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；（2）根据圆周角定理得出∠CAD =∠BDA =∠BDC =25°，根据三角形内角和定理求出∠AED ，再求出答案即可．【解析】（1）证明：B ，C 是AD 的三等分点，AB BC CD ∴==AB BC BC CD ∴+=+∴ABC BCD =∴AC =BD ；（2）连接AD ，∵∠BDC =25°，AB BC CD ==∴∠CAD =∠BDA =∠BDC =25°，∵∠AED +∠CAD +∠BDA =180°，∴∠AED =180°-∠CAD -∠BDA =180°-25°-25°=130°，∴∠BEC =∠AED =130°，故答案为：130°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．17．(1)见解析(2)EM【分析】（1）连接CD ，根据题意可得出BC =OA ，CD =OD ，∠AOD =∠BCD ，利用SAS 证明△AOD ≌△BCD 即可得出结论；（2）由△AOD ≌△BCD 知AD =BD ，运用勾股定理可得出BD AD ==BE =，连接DM ，证明BDM BED ∆∆得BD BM BE BD=，即2BD BM BE =，设EM =x ，BM x =，代入相关数据得方程7(7)3x -=，求出x 的值即可．(1)连接CD ，如图，∵BD 是切线，DE 是圆的直径，∴DE BD ⊥，∴BDO ∆是直角三角形. ∵12BC AC =， ∴=BC OC OA =，∴点C 为OB 的中点，CD 为OB 边上的中线，∴CD OC OD ==，∴DCO DOC ∠=∠，∴DOA DCB ∠=∠，在DOA ∆和BCD ∆中，AO BC AOD BCD CD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DOA DCB ∆≅∆，∴BAD ABD ∠=∠．(2)∵AC 是圆的直径，∴=90ADC ∠︒，∴ADC ∆是直角三角形，∵1AO OC CD ===，∴2AC =，由勾股定理得，2222213AD AC CD --由（1）知DOA DCB ∆≅∆， ∴3BD AD ==在Rt BDE ∆中，2,3DE BD == ∴22222(3)7BE DE BD =++连接DM ，∵DE 是圆的直径，∴90BMD EMD ∠=∠=︒，∵90EDB ∠=︒，∴BMD EDB ∠=∠，又MBD DBE ∠=∠，∴BDM BED ∆∆，∴BD BM BE BD=，即2BD BM BE =，设EM =x ，则BM x =，(7)3x -=，解得，x =∴EM = 【点评】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确证明BDMBED ∆∆是解答本题的关键． 18．(1)30°(2)【分析】（1）根据切线的性质求出60COB ∠=︒，再根据圆周角定理求CPQ ∠的大小即可；（2）证明BQC BCP △∽△结合1tan 2CPQ ∠=即可求出BQ 的长度，再由相似得到的比例即可求出BC 的长度，最后根据AB =2BC 求值即可．（1）如图，连接CO ．∵AB 与O 相切于点C ，∴CO AB ⊥．∵,30AO BO A =∠=︒，∴30,60B A COB ∠=∠=︒∠=︒，∴1302CPQ COB ∠=∠=︒．（2）∵PQ 是O 的直径，∴90PCQ ∠=︒．∵1tan 2CPQ ∠=， ∴12CQ CP =∵90PCQ OCB ∠=∠=︒， OC OP =，∴OPC OCP BCQ ∠=∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BQC BCP △∽△， ∴12BQ BC CQ BC BP CO ===， ∴2,2BP BC BC BQ ==， ∴45BP BQ BQ ==+25BQ = ∴45BC = ∴85AB =【点评】本题综合考查切线的性质、圆周角定理、正切、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，考查的知识点比较多，但是都比较简单，正确的作出辅助线是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析 (3)23π【分析】（1）由垂径定理及三角形中位线定理即可求解；（2）先证明AB EF ∥，再根据平行线的性质得出OAB F ∠=∠，即可证明()ABC FEO AAS ≌△△；（3）连接OB ，先证明OBC △为等边三角形，再利用弧长公式计算即可．(1)证明：∵OD AB ⊥，∴点D 是AB 的中点，∵点O 是AC 的中点，∴2BC OD =，∵OE BC =，∴2OE OD =，(2)证明∵OD AB ⊥，EF DE ⊥，∴90EDB ∠=︒，90DEF ∠=︒，∴180EDB DEF ∠+∠=︒，∴AB EF ∥，∴OAB F ∠=∠，∵AC 是⊙O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∴ABC E ∠=∠，∵OE BC =，∴()AAS ABC FEO ≌△△，(3)解：连接OB ，∵EF 与⊙O 相切时，∴2OE =，∴2BC OE ==，∵在OBC △中，OC OB BC ==，∴OBC △为等边三角形，∴60BOC ∠=︒， ∴60221803BC L ππ⨯⨯==．【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、平行线的性质、切线的性质、全等额三角形的判定、等边三角形的判定与性质及弧长公式，熟练掌握知识点是解题的关键．20．(1)见解析(2)70°，理由见解析(3)60°【分析】（1）连接AO 、BO 、OP ，根据切线的性质及全等三角形的判定证明△APO ≌△BPO ，即可求解；（2）由（1）得到AP =BP ，根据三角形内角和定理得到∠P AB ＝∠PBA ＝70°，证明△AFD ≌△BDE ，根据全等三角形的性质得到∠AFD ＝∠BDE ，根据三角形的内角和，得到答案；（3）根据菱形的性质与直角三角形的性质证明BD =BE =DE ，得到△BDE 是等边三角形，根据三角形内角和即可求解．（1）连接AO 、BO 、OP ，∵P A 和PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP =∠OBP =90°，又∵AO =BO ，OP =OP ，∴△APO ≌△BPO （HL ），∴AP =BP ；（2）当EDF ∠是70度时，BD AF =，证明如下：由（1）可得P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12（180°−40°）＝70°，在△AFD 和△BDE 中， AD BE FAD DBE AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△BDE （SAS ）∴∠AFD ＝∠BDE ，∴∠EDF ＝180°−∠BDE −∠ADF ＝180°−∠AFD −∠ADF ＝∠F AD ＝70°，故EDF ∠是70度时，BD AF =．（3）如图，当四边形DEPF为菱形时，∠APD=∠BPD，EP=DE=DF=PF，∵AP=BP，DP=DP，∴△APD≌△BPD（SAS），∴AD=BD，∴DP⊥AB，△BDP是直角三角形，∵DE=EP，∴∠DPE=∠PDE，∴∠DPB+∠DBP=∠PDE+∠BDE=90°，∴∠DBP=∠BDE，∴DE=BE，∵AD BE，∴BD=BE=DE，∴△BDE是等边三角形，∴∠DBE=60°=∠P AD，∴∠APB=180°-∠DBE-∠P AD =60°，故答案为：60°．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.。