2017中考真题分类-一元二次方程及应用
2017年中考数学真题分类解析 二次函数代数方面的应用
一、选择题1. （2017青海西宁，10，3分）如图3，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC - CB 以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （c m 2A ．B ．D ．A ．B ．C ．D ．答案：A ，解析：当M 在AB 上移动，N 在DC 上时，△AMN 的面积为y =x x 23321=⋅⋅（0≤x ≤23）．当M 在AB 上，N 在BC 上时，y =x x x x 3)26(212+-=-⨯⨯（x >23），故选A三、解答题1. （2017浙江温州，22， 10分）如图，过抛物线y ＝上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2． （1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标.（2）在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D. ①连结BD ，求BD 的最小值.②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式.思路分析：考点二次函数与一次函数的综合应用，（1）知道抛物线的解析式，求对称轴：直线＝＝4，用待定系数法求出A（－2，5），B（10，5）（2）利用三角形三边关系可知当且仅当点O、D、B三点共线时，BD取得最小值；分类讨论点D的位置，利用待定系数法求出直线PD的函数表达式．解：（1）由抛物线的解析式y＝，得对称轴：直线＝＝4由题意知点A的横坐标为－2，代入解析式求得y＝，当时，x1＝10，x2＝－2A（－2，5），B（10，5）（2）①连结OD、OB、BD，利用三角形三边关系可得BD≥OB－OD，所以当且仅当点O、D、B三点共线时，BD取得最小值．由题意知OC＝OD＝5OB＝＝5，BD＝OB－OD＝5－5②(i) 点P在对称轴左侧时，连结OD在Rt△ODN中，DN＝＝3，D(4，3)，DM＝2;设P(，5) 在Rt△PMD中，，得＝，P(，5)设直线PD的函数表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法3＝4得，5＝∴直线PD的函数表达式为y＝(ii)点P在对称轴右侧时，如图所示，点D在轴下方，不符合要求，舍去.综上所述，直线PD的函数表达式为y＝2. 25．(2017天津)（本小题10分）已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A(-1，0)．(Ⅰ) 求该抛物线的解析式和顶点坐标；(Ⅱ) P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值.解：(1)∵抛物线y=x2+bx-3经过点A(-1，0)，∴0=1-b-3，解得b=-2.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点的坐标为（1，-4）.(2)①由点P(m，t)在抛物线y=x2-2x-3上，有t=m2-2m-3.∵P 关于原点的对称点为P '，有P ’（-m ，-t ）. ∴-t=(-m)2-2(-m)-3，即t =-m 2-2m +3 ∴m 2-2m -3=-m 2-2m +3. 解得m 1=3，m 2=-3②由题意知，P '(-m ,-t )在第二象限， ∴-m ＜0，-t ＞0，即m ＞0，t ＜0.又∵抛物线y =x 2-2x -3的顶点坐标为(1,-4)，得-4≤t ＜0. 过点P '作P 'H ⊥x 轴于H ,则H (-m ,0) 又A (-1,0)，t = m 2-2m -3则P 'H 2=t 2，AH 2= (-m +1)2=m 2-2m +1=t +4当点A 和H 不重合时，在Rt △P ’AH 中，P 'A 2= P 'H 2+AH 2 当点A 和H 重合时，AH =0，P 'A 2= P 'H 2，符合上式. ∴P 'A 2= P 'H 2+AH 2，即P 'A 2= t 2+t +4(-4≤t ≤0) 记y '=t 2+t +4(-4≤t ≤0)，则y '=(t +12)2+154， ∴当t =-12时，y '取得最小值. 把t =-12代入t =m 2-2m -3，得-12=m 2-2m -3 解得m 1=2142-，m 2=2142+. 由m >0，可知m =2142-不符合题意. ∴m =2142+.3. （2017·湖南株洲，24，8分）如图，Rt △P AB 的直角顶点P (3，4)在函数y ＝xk（x ＞0）的图像上，顶点A 、B 在函数xty =（x ＞0，0＜t ＜k ）的图像上，PB ∥x 轴，连接OP 、OA ，记△OP A 的面积为S △OP A ，Rt △P AB 的面积为S △P AB ，设W ＝S △OP A －S △P AB ， （1）求k 的值及W 关于t 的表达式；（2）若用W max 和W min 表示函数W 的最大值和最小值．令T ＝W max ＋a 2－a ，其中a 为实数，求T min ．解：（1）∵y ＝xk经过点P （3，4），∴k ＝12， ∵点P （3，4），PB ∥x 轴，∠BP A ＝90°，∴A （3，3t ），B （4t，4），∴P A ＝（4－3t ），PB ＝（3－4t），∴S △P AB ＝21P A ·PB ＝21（4－3t ）（3－4t ）＝242t －t ＋6，∵S △OP A ＝6－21t ，∴W ＝S △P AB －S △OP A ＝（6－21t ）－（242t －t ＋6）＝－242t ＋t 21；（2）∵W ＝－242t ＋t 21当t ＝－ab 2时，W 取最值，即t ＝21×12＝6时，W 取最大值，Wmax ＝23．∴T ＝23＋a 2－a ＝a 2－a ＋23当a ＝21时，T 取最小值，T min ＝45．4. 23．（2017湖北天门，23， 10分）已知关于x 的一元二次方程221(1)(1)02x m x m -+++=有实数根．（1）求m 的值；（2）先作221(1)(1)2y x m x m =-+++的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y ＝2x ＋n （n ≥m ）与变化后的图象有公共点时，求n 2-4n 的最大值和最小值．思路分析：（1）有实数根即∆≥0，（2）根据顶点和x 轴交点确定抛物线关于x 轴对称的解析式，再根据平移的规则得到解析式；（3）抛物线与直线交点个数问题，本质就是联立解析式得到二元一次方程，判断方程根的情况，得到n 的取值P AByxO第24题图范围，从而确定最值．解：（1）∵方程221(1)(1)02x m x m -+++=有实数根∴∆1＝221[(1)]4(1)02m m -+-⨯+≥，即(m ﹣1)2≤0，∴m ＝1（2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣2（3）当y ＝﹣x 2﹣4x ﹣2与y ＝2x ＋n 有公共点时，5. A （（（3，又此抛物线经过点B （2，－2），所以－2＝4a ＋2b ＋2，即b ＝－2a －1．故答案为：－2a －1．②由于抛物线与x 轴相交于点E ，F ， ∴Δ＞0，即（－2a －1）2－4a ×23＞0，∴4a 2－2a ＋1＞0，又∵EF 2＝（x E －x F ）2＝（x E ＋x F ）2－4 x E ·x F ＝22124aa a +-＝3)11(2+-a ∴当a ＝1时有最小值，此时b ＝－3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋23； （2）当x ＝1时，抛物线的解析式为y ＝1x 2＋bx ＋3，6. ，∴∠EDC ＝∠DAB ∴△ABD ∽△DCE(2)解：∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，容易得出：BC ＝23，则DC ＝23－x ，EC ＝2－y ∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝DC CE . ∴2x ＝23－x 2－y .化简得：y ＝12x 2－3x ＋2（0＜x ＜23）(3)当AD ＝DE时，由(1)可知，此时△ABD ≌△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ∴x ＝23－2，代入y ＝12x 2－3x ＋2解得：y ＝4－2 3.即AE ＝－4－2 3 当AE ＝ED 时，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°， 则ED ＝12EC ，即y ＝12 (2－y )解得：y ＝23，即AE ＝23.当AD ＝AE 时,∠AED ＝∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120°.此时点D 与点B 重合，与题目不符，此情况不存在. ∴当△ADE 是等腰三角形时，AE ＝4－23或23.7. （2017江苏省南通市，28，13分） 已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ． （1）若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值．（2）若∠AOB ＝90°，点A 的横坐标为－4，AC ＝4BC ，求点B 的坐标． （3）延长AD ，BO 相交于点E ，求证：DE ＝CO ．思路分析：（1）由对称性可证OA ＝OB ，进一步可证明△OAB 是等边三角形；（2）分别过点A 、点B 作x 轴的垂线段，构造K 形相似基本图形解决问题；（2）由于DE ∥OC ，要证明DE ＝CO ，可先考虑证明四边形DEOC 是平行四边形，即证明CD ∥BE ．解：（1）如图1，∵AB ∥x 轴，∴点A ，B 关于y 轴对称．∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1．∵∠AOB ＝60°，∴OC ＝3AC ＝3．又∵点A 在第二象限，∴点A 的坐标是（－1， 3 ）． ∴ 3 ＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3 ．（2）如图2，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，则AD ∥CO ∥BF ．∴DO OF ＝ACCB＝4．∵点A 的横坐标为－4，∴DO ＝4，AD ＝16a ． ∴OF ＝1，∴点B 的横坐标为1．∴BF ＝a ．∵∠ADO ＝90°，∴∠DAO ＋∠AOD ＝90°． ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOF ＝90°．（第28题图1）AOCx y B∴∠DAO ＝∠BOF ．∵∠ADO ＝∠BFO =90°．∴△ADO ∽△OFB ，∴AD OF ＝ODBF．即AD ·BF ＝OF ·OD ．∴16a 2＝4．∴a ＝±12 ．∵a ＞0，∴a ＝12 ．∴点B 的坐标是（1，12）．（3）法一：如图3，连接DC ，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，（1）若这个二次函数的图象与x 轴交于点)0,1(A ，点)0,3(B ，求实数n m ,的值；（2）若ABC ∆是有一个内角为030的直角三角形，C ∠为直角，B A cos ,sin 是方程02=++n mx x 的两个根，求实数n m ,的值.思路分析：（1）待定系数法，（2）利用特殊角三角函数值和判别式计算 解：（1）y=x 2+m x+n 过点A (1，0)，点B （3，0）∴⎩⎨⎧=++=++03901n m n m ，解得：⎩⎨⎧=-=34n m（2）当A =30°，B =60°时，sin A =sin30°=21，cos B =cos60°=21，∴sin A =cos B 则⎪⎨⎧=++n m 021412，解得⎪⎨⎧=-=11n m9.(1)(2)(3)【解析】(2)将n =1，x =120代入()22293x n kn k =-++，得120=2-2k +9k +27.解得k =13.将n =2，x =100代入2226144x n n =-+也符合.∴k =13.由题意，得18=6+600x，求得x =50. ∴50=2226144n n -+，即213470n n -+=.∵()21341470∆=--⨯⨯<，∴方程无实数根.∴不存在.考点：待定系数法，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用.10. (2017云南，21,8分）已知二次函数c bx x y ++-=22图像的顶点坐标为（3，8），该二次函数图像的对称轴与x 轴的交点为A ，M 是这个二次函数图像上的点，O 是原点．（1）不等式082≥++c b 是否成立？请说明理由；（2）设S 是AMO ∆的面积，求满足S=9的所有点M 的坐标．思路分析：（1）根据抛物线顶点坐标公式可求得b 、c 的值，代入不等式082≥++c b 即可检验不等式是否成立；（∵∴（∴∵11. (2017广西柳州，26，12分)如图，抛物线2y=--424x x +与x 轴交于A 、C 两点(点A 在点C 的左边)．直线y ＝kx+b(k≠0)分别交x 轴，y 轴与A ，B 两点，且除了点A 之外，改直线与抛物线没有其他任何交点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求k ，b 的值；(3)设点P 是抛物线上的动点，过点P 作直线y ＝kx+b(k≠0)的垂线，垂足为H ，交抛物线的对称轴于点D ，求PH+DH 的最小值，并求此时点P 的坐标．【解析】(1) 21130=--424x x +，解得x 1＝－3，x 2＝1，所以A(－3，0)，C(1，0); (2)把A(－3，0)代入y ＝kx+b 得0＝－3k+b ，∴b ＝3k;由2113424y x x y kx b⎧=--+⎪⎨⎪=+⎩得2113--424x x kx b +=+，即2(24k)340x x b ++-+=， ∵直线y ＝kx+b 和抛物线有唯一公共点，∴224+4b-3b ac -=-（24k ）（4）=0 把b ＝3k 代入2+4b-3-（24k ）（4）=0得 2+412k-3-（24k ）（）=0 解得k ＝1，∴b ＝3∴直线AB 表达式为y ＝x+3;(3) 作HG ⊥对称轴于点G ，HF ⊥对称轴于点F ．由抛物线表达式知对称轴为x ＝－1，由直线y ＝x+3知∠EAO ＝∠EHG ＝∠AEM ＝∠PFD ＝∠PDF ＝45°．当x ＝－1时，y ＝x+3＝2，即H(－1，2)．设P(x ， 2113--424x x +)，则PF ＝FD ＝－1－x ，ED ＝EM+MF+FD ＝2－(2113--424x x +)+(－1－x)＝ 2111-424x x +，PD 2FD 2-（1-x ） ∴DH ＝HE 222111-)424x x +， ∴DH+PH ＝DH+DH －PD ＝2DH －PD 21112(-)2-424x x +（x-1）＝22252424x x ++，当x ＝12b a-=-时，PH+DH 取得最小值，最小值是22522x -+=。
【精品】全国2017年中考数学真题分类汇编 9 一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用考点一、 一元二次方程的解法 （10分） 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式 （3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 考点三、一元二次方程根与系数的关系 （3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2017年全国中考数学真题《一元一次方程及其应用》分类汇编解析
一元一次方程及其应用考点一、一元一次方程的概念（6分）1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程0≠=ax叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
x+b）为未知数，（0a一.选择题1.（2017·广西桂林·3分）如图，直线y＝ax＋b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax＋b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x＝﹣32．（2017广西南宁3分）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（）A．0.8x﹣10＝90 B．0.08x﹣10＝90C．90﹣0.8x＝10 D．x﹣0.8x﹣10＝903．（2017海南3分）若代数式x＋2的值为1，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣34.（2017·湖北荆州·3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（）A．120元B．100元C．80元D．60元5.（2017·内蒙古包头·3分）若2（a＋3）的值与4互为相反数，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣5 D．二.填空题1. （2017·浙江省绍兴市·5分）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是元．2．（2017·黑龙江龙东·3分）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是180元．3．（2017·湖北荆门·3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有台．三、解答题1. （2017·湖北武汉·8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2) ．2. （2017·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．3.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？4．（2017海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．答案一元一次方程及其应用一.选择题1.（2017·广西桂林·3分）如图，直线y＝ax＋b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax＋b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x＝﹣3【考点】一次函数与一元一次方程．【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax＋b＝0的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax＋b过B（﹣3，0），∴方程ax＋b＝0的解是x＝﹣3，故选D2．（2017广西南宁3分）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（）A．0.8x﹣10＝90 B．0.08x﹣10＝90C．90﹣0.8x＝10 D．x﹣0.8x﹣10＝90【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得：0.8x﹣10＝90，故选A【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．3．（2017海南3分）若代数式x＋2的值为1，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：x＋2＝1，解得：x＝﹣1，故选B【点评】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．4.（2017·湖北荆州·3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（）A．120元B．100元C．80元D．60元【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价＝（进价＋利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设该商品的进价为x元/件，依题意得：（x＋20）÷＝200，解得：x＝80．∴该商品的进价为80元/件．故选C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x＋20）÷＝200．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．5.（2017·内蒙古包头·3分）若2（a＋3）的值与4互为相反数，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣5 D．【考点】解一元一次方程；相反数．【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可．【解答】解：∵2（a＋3）的值与4互为相反数，∴2（a＋3）＋4＝0，∴a＝﹣5，故选C．二.填空题1. （2017·浙江省绍兴市·5分）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是248或296元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设第一次购书的原价为x 元，则第二次购书的原价为3x 元．根据x 的取值范围分段考虑，根据“付款金额＝第一次付款金额＋第二次付款金额”即可列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设第一次购书的原价为x 元，则第二次购书的原价为3x 元，依题意得：①当0＜x ≤时，x ＋3x ＝229.4，解得：x ＝57.35（舍去）；②当＜x ≤时，x ＋×3x ＝229.4， 解得：x ＝62，此时两次购书原价总和为：4x ＝4×62＝248；③当＜x ≤100时，x ＋×3x ＝229.4，解得：x ＝74，此时两次购书原价总和为：4x ＝4×74＝296． 综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．故答案为：248或296．2．（2017·黑龙江龙东·3分）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 180 元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设该件服装的成本价是x 元．根据“利润＝标价×折扣﹣进价”即可得出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设该件服装的成本价是x 元，依题意得：300×﹣x ＝60，解得：x ＝180．∴该件服装的成本价是180元．故答案为：180．3．（2017·湖北荆门·3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有 16 台．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设购置的笔记本电脑有x 台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，可列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设购置的笔记本电脑有x 台，则购置的台式电脑为台，依题意得：x ＝﹣5，即20﹣x ＝0，解得：x＝16．∴购置的笔记本电脑有16台．故答案为：16．三、解答题1. （2017·湖北武汉·8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2) ．【考点】解一元一次方程【答案】x＝2【解析】解：去括号得5x＋2＝3x＋6，移项合并得2x＝4，∴x＝2．2. （2017·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）根据“第n节套管的长度＝第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度＝每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）＝34（cm）．（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）＝14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50＋46＋42＋…＋14）﹣9x＝311，即：320﹣9x＝311，解得：x＝1．答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm ．3.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x 元，则每件甲种物品的价格是（x ＋10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同列出方程，求解即可；（2）设甲种物品件数为m 件，则乙种物品件数为3m 件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x 元，则每件甲种物品的价格是（x ＋10）元，根据题意得， xx 30010350=+ 解得：x ＝60．经检验，x ＝60是原方程的解．答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；（2）设甲种物品件数为m 件，则乙种物品件数为3m 件，根据题意得，m ＋3m ＝2000，解得m ＝500，即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500＋60×1500＝125000（元）．答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．4．（2017海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x 元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x ）元．根据“购书价格＝《汉语成语大词典》的标价×折率＋《中华上下五千年》的标价×折率”可列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设《汉语成语大词典》的标价为x 元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x ）元，依题意得：50%x ＋60%（150﹣x ）＝80，解得：x＝100，150﹣100＝50（元）．答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x＋60%（150﹣x）＝80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．。
利用一元二次方程解决实际问题(2017年)
1. (2017 山东省潍坊市) 2017山东潍坊，23，9分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?答案：思路分析：（1）矩形四角裁去的四个同样大小小正方形画成实线，内部的四个顶点用虚线顺次连接，即得裁剪示意图；设裁掉的正方形的边长为x cm，表示长方体底面的两边长，再利用面积公式构建一元二次方程求解；（2）利用长不大于宽的五倍，构建一元一次不等式确定裁掉的正方形的边长x(cm)的取值范围，然后设总费用为w(元)，根据题设条件列出w(元)与x(cm)的二次函数解析式，利用二次函数的最值解决该实际问题．解：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为x cm，由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解之得：x1＝2或x2＝6(舍去)．所以裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．（2）因为长不大于宽的五倍，所以10－2x≤5(6－2x)，所以0＜x≤2.5．设总费用为w元，由题意可知：w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24．因为对称轴为x＝6，开口向上，所以当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，所以当x＝2.5时，w min＝25元．所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元．方法：对照从平面图形到立体图形的裁剪、竖折的变化过程，理解题意，是解决问题（1）的关键．注意：容易忽略条件0＜x≤2.5，而误认为x＝6时总费用最少．20171012114505609785 4.5 利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-10-122. (2017 湖北省襄阳市) 】．（6分）（2017•襄阳, 19, 6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，20XX年利润为2亿元，20XX年利润为2.88亿元．（1）求该企业从20XX年到20XX年利润的年平均增长率；（2）若20XX年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业20XX年的利润能否超过3.4亿元？答案：】．考点AD：一元二次方程的应用．分析（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意20XX年创造利润250（1+x）万元人民币，20XX年创造利润250（1+x）2 万元人民币．根据题意得方程求解；（2）根据该企业从20XX年到20XX年利润的年平均增长率来解答．解答解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果20XX年仍保持相同的年平均增长率，那么20XX年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4答：该企业20XX年的利润能超过3.4亿元．点评此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．20171012083538000934 4.5 利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-10-123. (2017贵州省六盘水市) 三角形的两边,a b的夹角为60°且满足方程240x-+=，则第三边长的长是( )B. C. D.答案：20171011151348531515 4.5 利用一元二次方程解决实际问题选择题基础知识2017-10-114. (2017 重庆市綦江县) 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．答案：考点AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．分析（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．解答解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m 2=12.5，答：m 的值为12.5．20170919160008640271 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2017-9-195. (2017 重庆市綦江县) 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产。
(浙江地区)2017年中考数学：第7讲-一元二次方程及其应用ppt课件
1．使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时 ，必须将一元二次方程 转化为一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定a，b，c的值． 2．一元二次方程的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是
运用了转化思想，把待解决问题(一元二次方程)通过转化，归结为易解决问题(一元
一次方程)． 3．(1)解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同的式子，因为这个式
．
3．公式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式： ． 2 －b± b －4ac 2 x＝ (b －4ac≥0) 2a
4．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个 不相等 的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个 相等 的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程 实数根． 没有 (4)b2－4ac≥0⇔方程有实数根． 5．一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为 x1，x2， c b 则有 x1＋x2＝－ ____ a ． a ，x1x2＝____
[对应训练] 1．用指定的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法) (2)2x2＋1＝3x；(配方法) (3)(2016·山西)2(x－3)2＝x2－9；(因式分解法) (4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)
1± 3 解：(1)(2x－1) ＝9，2x－1＝± 3，∴x＝ 2 ，x1＝2，x2＝－1 3 1 (2)移项，得 2x2－3x＝－1，二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－2， 3 32 1 32 32 1 3 1 2 配方 x －2x＋(4) ＝－2＋(4) ，(x－4) ＝16，由此可得 x－4＝± 4， 1 ∴x1＝1，x2＝2
2017年全国中考试题分类汇编——一元二次方程和分式方程
试问去哪个商场购买足球更优惠？ (2017 烟台) 若 x1，x2 是方程 x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0 的两个根，且 x1+x2=1﹣x1x2，则 m 的值为（ A．﹣1 或 2 B．1 或﹣2 C．﹣2 D．1 ）
(2017 孝感) 为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有 A，
(2017 潍坊) 若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 (2017 通辽) 若关于
．
x 的一元二次方程 (k 1) x 2 2(k 1) x k 2 0 有实数根，则 k 的取值范围在数
）
轴上表示正确的是（
A
B
2
C
2
D 。
(2017 天门) 已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣（m+1）x+ （m +1）=0 有实数根，则 m 的值等于 (2017 潜江) 若 α、β 为方程 2x2﹣5x﹣1=0 的两个实数根，则 2α2+3αβ+5β 的值为（ A．﹣13 B．12 C．14 D．15 ）
(2017 遵义) 关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为（
）
A．m≤
B．m
C．m≤
D．m
(2017 淄博) 已知
,
是方程
x 2 3x 4 0 的两个实数根，则 a2 3
k 1
D． k
的值为
． ）
(2017 淄博) 若关于 A． k
(2017 无锡) 某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销售额平均 每月的增长率是（ ）A．20% B．25% C．50% D．62.5%
2017全国中考数学真题分类-二次函数几何方面的应用(选择题+解答题)解析版
2017全国中考数学真题分类知识点20二次函数几何方面的应用（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. 8．(2017江苏扬州，，3分)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，2）、B （1，0）、C （2，1），若二次函数21y x bx =++的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是A ．2b ≤-B ．2b <-C ．2b ≥-D ．2b >-【答案】C【解析】由二次函数系数a 、b 、c 的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y 轴的交点（０，１）也是确定不变的。
唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的。
若抛物线经过点（０，１）和Ｃ（２，１）这组对称点，可知其对称轴是直线12bx =-=，即b ＝－２时是符合题意的，所以可以排除Ｂ、Ｄ两个选择支，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以12b-≤，即2b ≥-。
二、解答题1. （2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332332--=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当∆PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线3332332--=x x y 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得∆FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“2铅垂高水平宽⨯”可表示出∆PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可．解：（1）∵抛物线3332332--=xxy与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，∴03332332=--xx，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；343324332-⨯-⨯=y＝335，∴点E坐标为（4，335）．设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=bkbk4335，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333bk，∴y＝33x+33；（2）∵令x ＝0，得y ＝ 3-，∴点C （0，3-），∵点E 坐标为（4，335），∴直线CE 的解析式为y ＝3332-x ，过点P 作PH ∥x 轴，交CE 于点H ，如图，设点P 的坐标为（t ，3332332--t t ），则H （t ，3332-t ），∴PH ＝3332-t －（3332332--t t ）＝t t 334332+-， ∴t t t t PH x x S C E PCE 338332334334212122+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯=⋅-=∆，∵0332<-，抛物线开口向下，40<<t ，∴当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=3322338t ＝2时，PCE S ∆取得最大值，此时P 为（2，3-）；∵点C （0，3-），B （3，0），由三角形中位线定理得K （23，23-），∵y C ＝y P ＝3-，∴PC ∥x 轴，作K关于CP 的对称点K 1，则K 1（23，233-）；∵333tan ==∠OCB ，∴∠OCB ＝60゜，∵D （1，0），∴3331tan ==∠OCD ，∴∠OCD ＝ 30゜，∴∠OCD ＝∠BCD ＝30゜，∴CD 平分∠OCB ，∴点K 关于CD 的对称点K 2在y 轴上，又∵CK ＝OC ＝3，∴点K 2与点O 重合，连接OK 1，交CD 于点N ，交CP 于点M ，如图，∴KM ＝ K 1M ，KN ＝ON ，∴KM +MN +KN ＝K 1M +MN +ON ，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN +KN 的值最小，∴K 1 K 2 ＝O K 1＝32332322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴KM +MN +KN 的最小值为3；（3）点Q 的坐标为（3，321234+-），（3，321234--），（3，32），（3，332-）．2. （2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线上（P 点与A 、B 两点不重合），如果△ABP 的三边需满足AP 2＋BP 2＝AB 2，则称点P 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点坐标．（2）如图2，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋bx （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P （13C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的Q 点（异于点P ）的坐标．思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的圆与抛物线的交点．y＝－x2＋1与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知∠PAB＝60°，又∠APB＝90°，从而求得B点坐标，利用待定系数法即可求解．（3）由S△ABQ＝S△ABP，故有|y Q|y Q物线解析式即可求解．解（1）勾股点的坐标（0，1）．（2）抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过原点（0，0），即A为（0，0）．如图，作PG⊥x轴于点G，连结PA，PB．∵点P的坐标为（1，∴AG＝1，PG PA＝2，tan∠PAB∴∠PAB＝60°，∴Rt△PAB中，AB＝cos60PA＝4，∴点B（4，0）．设y＝ax（x－4），当x＝1时，ya．∴y x（x－4x2x．（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）．∴Q1（3．②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2解得x1＝2x2＝2Q2（2，Q2（2．综上，满足条件的Q点有三个：Q1（3，Q2（2，Q2（2．3.（2017山东济宁，21，9分）已知函数2(25)2y mx m x m=--+-的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1①当1n x≤≤-时，y的取值范围是13y n≤≤-，求n的值；②函数C2：22()y x h k=-+的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．思路分析：（1）根据函数2(25)2y mx m x m=--+-图象与x轴有两个公共点，即一元二次方程2(25)20mx m x m --+-=有两个不同的实数解，即需满足m ≠0且根的判别式△＞0，解不等式组得25,12m <且0m ≠；（2）由二次函数22y x x =+性质，当14x <-时，y 随x 的增大而减小，求出n 的值为—2；（3）由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大，先求出MO 的解析式，设出点P 的坐标，根据勾股定理求出点P 的坐标，继而求出PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．解：（1）由题意可得：()()20,25420.m m m m ≠⎧⎪⎨---->⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得：25,12m <且0,m ≠ 当2m =时，函数解析式为：22y x x =+．（2）函数22y x x =+图象开口向上，对称轴为1,4x =-∴当14x <-时，y 随x 的增大而减小．∵当1n x ≤≤-时，y 的取值范围是13y n ≤≤-， ∴ 223n n n +=-．∴ 2n =-或0n =（舍去）． ∴2n =-．（3）∵221122,48y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∴图象顶点M 的坐标为11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大．∵点P 在直线OM 上，由11(0,0),(,)48O M --可求得直线解析式为：12y x =，设P （a ，b ），则有a ＝2b ， 根据勾股定理可得()2222PO b b =+求得2,1a b ==．∴PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．4. （2017山东威海，25，12分）如图，已知抛物线y =ax ²+bx +c 过点A (－1,0)，B (3,0)，C （0，3）.点M ，N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E . （1）求二次函数y =ax ²+bx +c 的表达式；（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN =90°，MD =MN ，求点M 的横坐标.解：∵抛物线2y ax bx c =++的图像经过点A (-1,0),B (3,0)，∴抛物线的函数表达式为y =a (x +1)(x -3),将点C (0，3)代入上式，得3=a (0+1)(0-3)， 解得a =-1.∴所求函数表达式为y =－(x +1)(x －3)=－x 2+2x +3．(2)由(1)知，抛物线的对称轴为212(1)x ==⨯-．如图1，设M 点的坐标(m ，－m 2+2m +3),∴ME =|－m 2+2m +3|．∵M ,N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧， ∴N 点横坐标为2-m . ∴MN =2m -2∵四边形MNEF 为正方形∴ME =MN . ∴22322m m m -++=- ． 分两种情况:①2m - +2m +3=2m -2.解,得12m m ==不符合题意,合去).当 m ,正方形的面积为22(2224⎡⎤+-=+⎣⎦综上所述，正方形的面积为24-或24+（3）设直线BC 的函数表达式为y =kx +b .把点B (3,0),C (0,3)代入表达式，得30,3,k b b +=⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为y =-x +3，设点M 的坐标为(a ,223a a -++), 则点D 的坐标为(a ,-a +3)， ∴DM =23a a -+ ，∵DM //y 轴，DM ⊥MN ,∴MN //x 轴. ∴M ,N 关于x =1对称. ∴N 点的横坐标为2-a ， ∴MN =22a -， ∵DM =MN ，∴2322a a a -+=- ． 分两种情况：①如图2，2322a a a -+=- ， 解，得122,1a a ==- ．②如图3，2322a a a -+=-，解，得3455,22a a +-==．综上所述，M 点的横坐标为122,1a a ==-，34,a a ==5.（2017年四川绵阳，24,11分）（本题满分12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F．求BE∶MF的值．解：（1）设抛物线方程为，因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以…………………………1分又抛物线经过点（4，2），所以，解得，………………2分所以抛物线的方程是．……………………………3分（2）联立，消去y，整理得，………………………4分解得，，…………………………5分代入直线方程，解得，，所以B（），D（），因为点C是BD的中点，所以点C的纵坐标为，………………………6分利用勾股定理，可算出BD=，即半径R=，即圆心C到x轴的距离等于半径R，所以圆C与x轴相切．…………………………7分（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，……………………………9分即，代入得，化简得，解得t =5或t =1，………………………………10分因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，………………………11分所以…………………………………………………12分法2：过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由（2）知CM =R =25，CH =R -1=23， 由勾股定理，得MH =2，…………………9分又HF =，所以MF =HF -MH =-2，…………………10分 又BE =y 1-1=23-25，所以MF BE =25+1，………………………………………………12分思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B、D，联立方程组，求出点B点D坐标，求出直径BD的长度，从而求出半径，与C的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，因为点M在对称轴右侧，所以t=5，所以．6.（2017四川攀枝花，24，12分）如图15，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若∆BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图1 备用图思路分析：（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）方法1：（代数法）设点的坐标转化成所求线段，找特殊角转化成所求线段，联立函数关系，代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式，从而找到最值；方法2：（几何法）以BC 为对称轴将FCE ∆对称得到F CE '∆，作PH CF '⊥于H ，则PF +EF =PF ′= 2 PH =()()223C P P y y y -=-∴当P y 最小时，PF EF +取最大值42．（3）①先设点再分类讨论，利用勾股定理得到关于所求D 点的一元方程式，解得即为D 1和D 2；②利用直径圆周角性质构造圆，利用线段距离公式建立一元方程式，解得即为D 3和D 4．结合①中D 1和D 2的坐标，当D 在D 2D 4和D 3D 1之间时候为锐角三角形，从而得到点D 的纵坐标的取值范围．解析：（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3． 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3．∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3．（2）方法1：如图，过P 作PG ∥CF 交CB 与G ，由题意知∠BCO ＝∠CEF ＝45°，F （0，m ）C （0，3）， ∴∆CFE 和∆GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22（3－m ） PE ＝22PG ，设x P ＝t （1＜t ＜3）， 则PE ＝22PG ＝22（－t ＋3－t －m ）＝22（－m －2t ＋3）， t 2－4t ＋3＝t ＋m ，∴PE ＋EF ＝22（3－m ）＋22（－m －2t ＋3）＝ 22（－2t －2m ＋6）＝－2（t ＋m －3）＝－2（t 2－4t ）＝ －2（t －2）2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 最大值＝42．方法2：（几何法）由题易知直线BC的解析式为3y x=-+，OC=OB=3，∴∠OCB=45°．同理可知∠OFE=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF+EF=PF′= 2 PH．yxHPF'CBAOFE又PH=3C P Py y y-=-．∴当Py最小时，PF+EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当1Py=-时，(PF+EF)max= 2 ×(3+1)=4 2 ．（3）①由（1）知对称轴x＝2，设D（2，n），如图．当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即（2－0）2＋（n－3）2＋（32）2＝（3－2）2＋（0－n）2 ，解得n＝5；当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2 即（2－3）2＋（n－0）2＋（32）2＝（2－0）2＋（n－3）2 ，解得n＝－1．∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为（2，5）或（2，－1）．②如图：以BC的中点T（3，3），12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD2B＝90°，设D（2，m），由DT＝12BC32得（32－2）2＋（32－m）2＝2322⎛⎝⎭，解得m＝173±，∴D 3（2，173+）D 4（2，173-）， 又由①得D 1为（2，5），D 2（2，－1），∴若∆BCD 是锐角三角形，D 点在线段13D D 或24D D 上时（不与端点重合），则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜D y ＜1732-或1732+＜D y ＜5．7. （2017四川内江，28，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(1) 由点B 的坐标与对称轴可求得点C 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的解析式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t 秒，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，用配方法求的最大值；(3) 根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．解：(1)∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A （－2，0）.把点A （－2，0），B （4，0），点C （0，3），分别代入y ＝ax 2+bx+c （a≠0），得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,0416,024ccbacba解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,43,83cba∴该抛物线的解析式为y＝343832++-xx．(2) 如图1，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC＝2243+＝5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴BCBNOCHN=，即53tHN=，∴HN＝t53．∴S△MBN＝21MB·HN＝21(6－3t)·t53＝=+-tt591092109)1(1092+--t．当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S△MBN最大＝109．∴S与t的函数关系为S＝109)1(1092+--t，S的最大值为109．（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B＝54=BCOB，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t．∴MB＝6－3t．当∠MNB＝90°时，cos∠B＝54=BMBN，即5436=-tt，解得t＝1724．当∠BM＇N＇＝90°时，cos∠B＝5436=-tt，解得t＝1930．综合上所述，当t＝1724或t＝1930时，△MBN为直角三角形．8. （2017江苏无锡，27，10分）如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A 、B 两点（点B 在点A的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC 、DB 交于点E ．若AC ：CE ＝1:2． （1）求点P 的坐标；（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．思路分析：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，设P （m ，0）.①由相似三角形的判定与性质证得AF ＝3AP ，BF ＝3PB ；②由关系式AF －BF ＝AB ，可得m ＝1．∴点P 的坐标（1，0）．（2）①由已知证得A （－3，0），E （9，），抛物线过点（5，0）；②用待定系数法可得抛物线的函数表达式．解：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，∵CD ⊥AB ，∴CD ∥EF ，PC ＝PD ． ∴△ACP ∽△AEF ，△BPD ∽△BEF . ∵AC ：CE ＝1:2．∴AC ：AE ＝1:3． ∴AP AF ＝CP EF ＝13，DP EF ＝PB BF ＝13． ∴AF ＝3AP ，BF ＝3PB ． ∵AF －BF ＝AB ．又∵⊙O 的半径为3，设P （m ，0）， ∴3（3＋m ）－3（3－m ）＝6 ∴m ＝1．∴P （1，0）（2）∵P （1，0），∴OP ＝1，A （－3，0）． ∵OA ＝3，∴AP ＝4，BP ＝2．∴AF ＝12. 连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴△ACP∽△CBP ．∴AP CP ＝CPBP． ∴CP 2＝AP ·BP ＝4×2＝8. ∴CP ＝．∴EF ＝3CP ＝． ∴E （9，）.∵抛物线的顶点在直线CD 上，∴CD 是抛物线的对称轴， ∴抛物线过点（5，0）.设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．根据题意得09-30255819a b ca b c a b c ⎧⎪+⎨⎪+⎩＝＋，＝＋，＋，解得8484a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩＝＝-＝ ∴抛物线的函数表达式为yx 2x ．9. （2017山东潍坊）（本小题满分13分）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)，抛物线与x 轴的另一交点为E ．经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F ．点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．思路分析：（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式；（2）由平行四边形的对称性可知直线l 必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E 点坐标，进而可求直线l 的解析式，结合二次函数解析式确定点F 的坐标．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，列出PM 关于t 的解析式，最后利用三角形的面积得S △PFE 关于t 的解析式，利用二次函数的最值求得t 值，从而使问题得以解决； （3）分两种情形讨论：①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，易得P 1G =AG ，由此构建一元二次方程求t 的值；②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t 的值． 解：（1）将点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)代入y =ax 2+bx +c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=,324,0,3c b a c b a c 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.1,2,1c b a 所以，抛物线解析式为：y=－x 2+2x +3．（2）因为直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， 所以必过其对称中心(21，23)． 由点A 、D 知，对称轴为x =1，∴E (3，0)， 设直线l 的解析式为：y =kx +m ，代入点(21，23)和(3，0)得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,2321m k m k 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.59,53m k 所以直线l 的解析式为：y =53-x +59． 由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=,32,59532x x y x y 解得x F =52-． 作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ．点P 的纵坐标为y P =－t 2+2t +3， 点M 的纵坐标为y M =53-t +59．所以PM =y P －y M =－t 2+2t +3+53t －59=－t 2+513t +56． 则S △PFE =S △PFM + S △PEM =21PM ·FN +21PM ·EH =21PM ·(FN + EH )=21·(－t 2+513t +56)(3+52) =1017-·(t －1013)2+100289×1017 所以当t =1013时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为31017100289⨯=1017． （3）由图可知∠PEA ≠90°．①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，因为OA =OE ，所以∠OAE =∠OEA =45°， 所以∠P 1AG =∠AP 1G =45°，所以P 1G =AG ． 所以t =－t 2+2t +3－3，即－t 2+t =0， 解得t =1或t =0(舍去)．②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ， 则△P 2KE ∽△AQP 2，所以QP KEAQ K P 22=， 所以tt tt t t 233222+--=++-，即t 2－t －1=0，解之得t =251+或t =251-＜52-(舍去)．综上可知t =1或t =251+适合题意．10. （2017湖南岳阳，本题满分10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点()3,0B ，()0,2C -，直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）． （1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM x ∥轴交l 于点M ，PN y ∥轴交l 于点N ．求PM PN +的最大值；（3） 设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．备用图解：（1）将()3,0B ，()0,2C -代入223y x bx c =++，得：6302b c c ++=⎧⎨=-⎩解得：432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：224233y x x =--；（2）设()224,21233P a a a a ⎛⎫---<< ⎪⎝⎭，则22,33N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴222242133=3333222PN a a a ⎛⎫=-++--+≤ ⎪⎝⎭∵M ，N 在直线l ：2233y x =--上，PM x ∥，PN y ∥∴23PN PM =∴51524PM PN PN +=≤即：PM PN +的最大值为：154；（3）能设22,33F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭① 当EC 为边时，有224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，EC PF =即：22244=3333m m -++解得：m =，其中0m =时不成立，舍去； ② 当EC 为对角线时，PF 中点即为EC 中点（0，43-）2,23P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上所以，224222333m m m +-=-解得：01m =-或，其中0m =时不成立，舍去；综上所述：F 点的坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0-、⎝⎭、⎝⎭．11. （2017湖南常德，25，10分）如图12，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2,2)，(1,54)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点. （1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标； （2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；（3）求证：△DPE ∽△PAM P 的坐标.图12思路分析：（1）将点(2,2)，(1,54)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD和PA 的长度，得出长度相等，而MD∥PA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，∠MDP=12∠PDE=12∠ADM=12∠APM，所以∠PDE=∠APM，而△DPE和△PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，∵点(2,2)，(1,54)在抛物线上，∴4254a ka k+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141ak⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴该抛物线的解析式为：y=14x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；（2）设点P坐标为（x, 14x2+1），∵PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.∴A（x,0），C（0,14x2+1），M（0,2），D（0，1－14x2）；PA∥y轴；∴MD=2－（1－14x2）=14x2+1=PA且MD∥PA∴四边形PMDA是平行四边形；（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=14x2+1－2=14x2－1；∵在Rt△PCM中，PM2114x==+=PA∴四边形PMDA 是菱形，△PAM 是等腰三角形； ∴∠APM =∠ADM ；∠MDP =12∠ADM ； 根据抛物线的对称性，PD =ED ， ∴△DPE 是等腰三角形，DC 平分∠PDE ， ∴∠MDP =12∠PDE ， ∴∠PDE =∠APM ；又∵∠PDE ，∠APM 分别为等腰△DPE 和△PAM 的顶角； ∴△DPE ∽△PAM PE =2x ，AM =222x +∵PE ：AM =3时，解得：x =23±； ∴相似比为3时P 点坐标为：（23±，4）12. 24.(2017湖北咸宁，24，12分)如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ=12MN 时，求菱形对角线MN 的长.思路分析：(1)利用OB=OC=6得到点B(6，0)，C(0，-6)，将其代入抛物线的解析可以求出b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F 为抛物线上一动点，∠FAB=∠EDB ，可以分两种情况求解：一是点F 在x 轴上方；二是点F 在x 轴下方.每一种情况都可以作FG ⊥x 轴于点G ，构造Rt △AFG 与Rt △DBE 相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F 的坐标.(3)首先根据MN 与x 轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN 在x 轴上方；二是MN 在x 轴下方.设菱形对角线的交点T 到x 轴的距离为n ，利用PQ=12MN ，得到MT=2n ，进而得到点M 的坐标为(2+2n ，n)，再由点M 在抛物线上，得21(22)2(22)62n n n =+-+-， 求出n 的值，最后可以求得MN=2MT=4n 的两个值. 解：(1)∵OB=OC=6， ∴B(6，0)，C(0，-6).∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩， 解得26b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ……2分 ∵21262y x x =--=21(2)82x --， ∴点D 的坐标为(2，-8). ……4分 (2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=21262x x --.∵∠FAB=∠EDB，∴tan∠FAG=tan∠BDE，即21261222x xx--=+，解得17x=，22x=-(舍去).当x=7时，y=92，∴点F的坐标为(7，92). ……6分当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，72-).综上所述，点F的坐标为(7，92)或(5，72-). ……8分(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.∵PQ=12MN ， ∴MT=2PT.设TP=n ，则MT=2n. ∴M(2+2n ，n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n =+-+-， 即2280n n --=.解得1n =，2n =(舍去).∴. ……10分当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M(2+2n ，-n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n -=+-+-， 即22+80n n -=.解得114n -+=，214n -=(舍去).∴1-.综上所述，菱形对角线MN 1-. ……12分13. 24．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax 2+bx+c ，其中2a=b>0>c ，且a+b+c=0. （1）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根； （2）证明：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点A 在第三象限；（3）直线y= x+m 与轴,x y 轴分别相交于B,C 两点，与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.xyO思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax 2+bx+c =0的一个根为1（或者-3） （2）证明：∵ b =2a ，∴对称轴x=2ba-=-1,将b=2a 代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一：∵a=b>0>c ，∴b 2-4ac>0,∴244ac b a-<0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.方法二：∵b =2a ， c=-3a ，∴244ac b a -=221244a b a --=-4a <0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.（3）∵b =2a ， c=-3a∴242a a a -± ∴x 1=-3，x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ，∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F 在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC 与△ADF 相似，顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ，即△ADF是以A 为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x =-1，设对称轴x =-1与OF 交于点G. ∵直线y=x+m 过顶点A ，所以m=1-4a ，∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩，解得1114x y a =-⎧⎨=-⎩，221114x ay a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 这里的（-1，4a ）即为顶点A ，点（1a -1，1a -4a ）即为顶点D 的坐标（1a -1，1a -4a ） D 点到对称轴x=-1的距离为1a -1-（-1）=1a，AE =4a -=4a,S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C 重合且在y 轴上，由1a-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x 2+2x-314. （2017湖南邵阳，26，10分）（本小题满10分）如图（十六）所示，顶点（49-21，）的抛物线y ＝ax 2＋bx＋c 过点M （2，0）. （1）求抛物线的解析式；（2）点A 是抛物线与x 轴的交点（不与点M 重合），点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点（处于x 轴下方），点D 是反比例函数y ＝xk（k >0）图象上一点.若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值.思路分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y ＝a (x －21)2－49，再把点M （2，0）代入，可求a ＝1，所以抛物线的解析式可求.（2）先分别求出A 、B 两点的坐标，及AB 线段长，再根据反比例函数y ＝xk（k >0），考虑点C 在x 轴下方，故点D 只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB 为边，如图一。
2017全国中考数学真题分类- 一元二次方程(选择题+填空题+解答题)解析版
2017全国中考数学真题分类知识点12一元二次方程（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. （2017山东滨州，2，3分）一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为A ．4B ．2C ．0D ．－4答案：A ，解析：根的判别式可表示为b 2－4ac ，在这个方程中，a ＝1，b ＝－2，c ＝0，所以b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4．2. （2017山东威海，7，3分）若1－ 3 是方程x 2－2x +c =0的一个根,则c 的值为（ ）A ．-2B ．4 3 －2C ．3- 3D ．1+ 3答案：A .解析:该方程两根之和是2，所以另一根为2－(1)＝1c =(11)=－2． 3. （2017年四川绵阳，7,3分）关于x 的方程2x 2+mx +n =0的两根为－2和1，则n m 的值为A ．－8B ．8C ．16D ．－16答案：C 解析：利用根与系数的关系求解即可．4. （2017浙江舟山，8，3分）用配方法解方程0122=-+x x 时，配方结果正确的是（ ）A ． 2)2(2=+xB ．2)1(2=+xC ．3)2(2=+xD ．3)1(2=+x答案：B ，解析：根据完全平方式可配方，02122=-++x x ，整理的2)1(2=+x ．5. （2017四川攀枝花，6，3分）关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥0B ． m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1答案：C解析：∵关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2x －1＝0有两个实数根，∴m －1≠0且△≥0，即22－4×（m －1）×（－1）≥0，解得m ≥0，∴m 的取值范围是 m ≥0且m ≠1．故选C ．6. （2017山东泰安，7，3分）一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ ） A ．（x ﹣3）2=15 B ．（x ﹣3）2=3C ．（x +3）2=15D ．（x +3）2=3答案：A ，解析：根据配方的步骤：第一步移项得662=-x x ；第二部配方，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，96962+=+-x x ；第三步整理()1532=-x.7. 5．（2017四川德阳，5，3分）已知关于x 的方程0142=++-c x x 有两个相等的实数根，则常数C 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．3答案：D ，解析：一元二次方程有两个相等实数根，则判别式为0，即Δ＝0)1(4)4(2=+--c ，则可得C ＝3．8. 14．（2017江苏淮安，14，3分）若关于x 的一元二次方程21x x k -++＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．答案：k ＜43-，解析：因为关于x 的一元二次方程21x x k -++＝0有两个不相等的实数根，所以24b ac -＞0，即2(1)4(1)k --+＞0，解得k ＜43-．9. 8．（2017浙江温州，8，4分）我们知道方程的解是 x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程－3＝0，它的解是A ．x 1＝1， x 2＝3B ．x 1＝1， x 2＝－3C ．x 1＝－1， x 2＝3D ．x 1＝－1， x 2＝－3答案：D ，解析：由题意可得：2x ＋1＝1或－3，解得x 1＝－1， x 2＝－3．10. 4．（2017四川宜宾，4，3分）一元二次方程214204x x -+=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断答案：B ，解析：根的判别式可表示为b 2－4ac ，在这个方程中a ＝4，b ＝﹣2，c ＝14，∴b 2－4ac ＝(﹣2)2－4×4×14＝0，故此方程有两个相等的实数根．11. （2017山东滨州，3，3分）一元二次方程3x 2－4x ＋1＝0的根的情况是（ ） A ． 没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．两个相等的实数根 D ．两个不相等的实数根答案：D ，解析：∵∆＝(－4)2－4×3×1＝4>0．∴方程有两个不相等的实数根，故选D.12. （2017江苏苏州，4，3分）关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 A ．1 B ．—1 C ．2 D ．—2答案：A ，解析：根据一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式=4401k k ∆-=⇒=．13. 3．(2017江苏扬州，，3分)一元二次方程2720x x --=的实数根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定 【答案】A【解析】用根的判别式就可判断一元二次方程根的情况，因为24b ac -＝57>0, 所以方程有两个不相等的实数根.2 那么方程x +3x -5=0的一个近似根是 A.1 B.1.1C.1.2D.1.3【答案】C【解析】由表格中的数据可以看出0.04更接近于0，故方程的一个近似根是1.2，故选C 。
全国中考数学真题分类特训3.3一元二次方程及其应用(含答案)
3.3 一元二次方程及其应用2017年中考真题一、 选择题1. (2017·山东威海)若1－3是方程x 2－2x ＋c ＝0的一个根，则c 的值为( )． A. －2 B. 43－2C. 3－ 3D. 1＋ 32. (2017·浙江温州)我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是( )．A. x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝1，x 2＝－3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－1，x 2＝－33. (2017·浙江舟山)用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时，配方结果正确的是( )． A. (x ＋2)2＝2 B. (x ＋1)2＝2 C. (x ＋2)2＝3D. (x ＋1)2＝34. (2017·四川宜宾)一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的情况是( )．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断5. (2017·江苏苏州)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为( )．A. 1B. －1C. 2D. －26. (2017·广东广州)关于x 的一元二次方程x 2＋8x ＋q ＝0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( )．A. q ＜16B. q ＞16C. q ≤4D. q ≥47. (2017·山东烟台)若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为( )．A. －1或2B. 1或－2C. －2D. 18. (2017·安徽)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( )．A. 16(1＋2x)＝25B. 25(1－2x)＝16C. 16(1＋x)2＝25D. 25(1－x)2＝169. (2017·江苏无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是()．A. 20%B. 25%C. 50%D. 62.5%二、填空题10. (2017·江苏常州)已知x＝1是关于x的方程ax2－2x＋3＝0的一个根，则a＝________.11. (2017·贵州贵阳)方程(x－3)(x－9)＝0的根是________________．12. (2017·山东德州)方程3x(x－1)＝2(x－1)的解为________．13. (2017·江苏南通)若关于x的方程x2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．14. (2017·江苏淮安)若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．15. (2017·山东潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．16. (2017·辽宁辽阳)若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是________．17. (2017·江苏南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝________，q＝________.18. (2017·江苏盐城)若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．19. (2017·湖南张家界)已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________.20. (2017·四川宜宾)经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________．三、解答题21. (2017·浙江丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.22. (2017·北京)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．23. (2017·湖北黄冈)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x21＋x22的值．24. (2017·广东深圳)一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．25. (2017·山东菏泽)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问：这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？2016年中考真题一、选择题1. (2016·福建厦门)方程x2－2x＝0的根是()．A. x1＝x2＝0B. x1＝x2＝2C. x1＝0，x2＝2D. x1＝0，x2＝－22. (2016·辽宁沈阳)一元二次方程x2－4x＝12的根是()．A. x1＝2，x2＝－6B. x1＝－2，x2＝6C. x1＝－2，x2＝－6D. x1＝2，x2＝63. (2016·浙江丽水)下列一元二次方程没有实数根的是()．A. x2＋2x＋1＝0B. x2＋x＋2＝0C. x2－1＝0D. x2－2x－1＝04. (2016·云南昆明)一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()．A. 有两个不相等的实数根B. 无实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法确定5. (2016·山东泰安)一元二次方程(x＋1)2－2(x－1)2＝7的根的情况是()．A. 无实数根B. 有一正根一负根C. 有两个正根D. 有两个负根6. (2016·四川泸州)若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k 的取值范围是()．A. k≥1B. k>1C. k<1D. k≤17. (2016·山东枣庄)已知关于x的方程有一个根为－2，则另一个根为()．A. 5B. －1C. 2D. －58. (2016·湖北黄冈)若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1, x2，则x1＋x2＝()．A. －4B. 3C. －43D. 439. (2016·浙江金华)一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是( )．A. x 1＝－1，x 2＝2B. x 1＝1，x 2＝－2C. x 1＋x 2＝3D. x 1x 2＝210. (2016·山东烟台)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 21－x 1＋x 2的值为( )．A. －1B. 0C. 2D. 3(第11题)11. (2016·甘肃兰州)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( )．A. (x ＋1)(x ＋2)＝18B. x 2－3x ＋16＝0C. (x －1)(x －2)＝18D. x 2＋3x ＋16＝012. (2016·浙江台州)有x 支球队参加篮球比赛，共比赛45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )．A. 12x (x －1)＝45 B. 12x (x ＋1)＝45 C. x (x －1)＝45D. x (x ＋1)＝45二、 填空题13. (2016·江苏连云港)已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝________.14. (2016·山东菏泽)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________.15. (2016·江苏泰州)方程2x －4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为________．16. (2016·湖北鄂州)方程x 2－3＝0的根是________．17. (2016·江苏宿迁)若一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．18. (2016·江苏淮安)若关于x的x2＋6x＋k＝0一元二次方程有两个相等的实数根，则k ＝________.19. (2016·湖南张家界)若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0无实数根，则实数k的取值范围是________．20. (2016·江苏南京)设x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝________，m＝________.21. (2016·山东德州)方程2x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则x21＋x22＝________.22. (2016·广东梅州)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形．设矩形的一边长为x cm，则可列方程为________．23. (2016·辽宁丹东)某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5,6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．三、解答题24. (2016·安徽)解方程：x2－2x＝4.25. (2016·甘肃兰州)2y2＋4y＝y＋2.26. (2016·山西)解方程：2(x－3)2＝x2－9.27. (2016·四川成都)已知关于x的方程3x2＋2x－m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．28. (2016·甘肃白银)已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．29. (2016·广东梅州)关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2，求k的值．30. (2016·江苏泰州)随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．31. (2016·重庆B)近期猪肉价格不断走高，引起市民与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%，某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？(2)5月20日猪肉价格为每千克40元，5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a %出售，某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a %，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a %，求a 的值．32. (2016·湖北宜昌)某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5 000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年A，B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．(1)求A品牌产销线2018年的销售量；(2)求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．2015年中考真题一、选择题1. (2015·重庆A)一元二次方程x2－2x＝0的根是()．A. x1＝0，x2＝－2B. x1＝1，x2＝2C. x1＝1，x2＝－2D. x1＝0，x2＝22. (2015·甘肃兰州)一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为()．A．(x＋4)2＝17 B. (x＋4)2＝15C．(x－4)2＝17 D. (x－4)2＝153. (2015·四川眉山)下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是()．A．(x－1)2＝0 B. x2＋2x－19＝0C. x2＋4＝0D. x2＋x＋1＝04. (2015·重庆B)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是()．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 两个根都是自然数D. 无实数根5. (2015·四川成都)关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( )．A. k ＞－1B. k ≥－1C. k ≠0D. k ＞－1且k ≠06. (2015·浙江温州)若关于x 的一元二次方程4x 2－4x ＋c ＝0有两个相等实数根，则c 的值是( )．A. －1B. 1C. －4D. 47. (2015·宁夏)关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( )． A. m ≥－14B. m ≤－14C. m ≥14D. m ≤148. (2015·湖南衡阳)若关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0有一个根为－1，则另一个根为( )． A. －2 B. 2 C. 4D. －39. (2015·浙江金华)一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )． A. 4 B. －4 C. 3D. －310. (2015·山东枣庄)已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ＋n 的值是( )．A. －10B. 10C. －6D. 211. (2015·贵州黔东南)设x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两根，则x 21＋x 22＝( )．A. 6B. 8C. 10D. 1212. (2015·湖南衡阳)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )．A. x (x －10)＝900B. x (x ＋10)＝900C. 10(x ＋10)＝900D. 2[x ＋(x ＋10)]＝90013. (2015·宁夏)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是( )．(第13题)A. x 2＋9x －8＝0B. x 2－9x －8＝0C. x 2－9x ＋8＝0D. 2x 2－9x ＋8＝014. (2015·安徽)我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )．A. 1.4(1＋x )＝4.5B. 1.4(1＋2x )＝4.5C. 1.4(1＋x )2＝4.5D. 1.4(1＋x )＋1.4(1＋x )2＝4.515. (2015·甘肃兰州)股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是( )．A ．(1＋x )2＝1110B. (1＋x )2＝109C. 1＋2x ＝1110D. 1＋2x ＝10916. (2015·山东日照)某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( )．A. 20%B. 40%C. －220%D. 30%二、 填空题17. (2015·辽宁丹东)若x ＝1是一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0的一个根，那么a ＝________.18. (2015·甘肃兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________.19. (2015·浙江丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________．20. (2015·福建泉州)方程x2＝2的解是________．21. (2015·江苏徐州)已知关于x的方程x2－23x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．22. (2015·上海)如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．23. (2015·浙江台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________．(填序号)24. (2015·江苏南京)已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________．25. (2015·湖北荆门)已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x21＋x22＝4，则m的值为________．26. (2015·四川宜宾)某楼盘2013年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________．27. (2015·四川达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为________．三、解答题28. (2015·江苏宿迁)解方程：x2＋2x＝3.29. (2015·广东)解方程：x2－3x＋2＝0.30. (2015·甘肃兰州)解方程：x2－1＝2(x＋1)．31. (2015·福建福州)已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．32. (2015·山东青岛)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围33. (2015·江苏泰州)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．34. (2015·湖北咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．35. (2015·四川南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)·(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)36. (2015·广东佛山)某地区2013年投入教育经费2 500万元，2015年投入教育经费3 025万元．(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．37. (2015·湖北襄阳)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门. 所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?(第37题)参考答案2017年中考真题1. A2. D3. B4. B5. A6. A7. D8. D 9. C 10. －1 11. x 1＝3，x 2＝912. x 1＝1，x 2＝23 13. 9 14. k ＜－3415. k ≤1且k ≠0 16. k ＜1517. 4 3 18. 5 19. 17 20. 50(1－x )2＝3221. 方程化为x 2－4x ＝0，x (x －4)＝0，所以x 1＝0，x 2＝4.22. (1)∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)，∴(x －2)(x －k －1)＝0∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一根小于1，∴k ＋1＜1，解得k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0.23. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋1)2－4k 2＝4k ＋1＞0，解得k ＞－14； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋3x ＋1＝0，∵x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝9－2＝7.24. (1)设矩形的长为x 厘米，则另一边长为(28－x )厘米．依题意，有x (28－x )＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18，28－x ＝28－18＝10.故长为18厘米，宽为10厘米；(2)设矩形的长为x 厘米，则宽为(28－x )厘米．依题意，有x (28－x )＝200， 即x 2－28x ＋200＝0，则Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程无解，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．25. 设销售单价为x 元．由题意，得(x －360)[160＋2(480－x )]＝20 000，整理，得x 2－920x ＋211 600＝0，解得x 1＝x 2＝460，故这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元．2016年中考真题1. C2. B3. B4. C5. C6. D7. B8. D 9. C 10. D 11. C 12. A13. 1214. 6 15. －3 16. x 1＝3，x 2＝－ 3 17. k <1 18. 9 19. k >1 20. 4 3 21.13422. x (20－x )＝64 23. 60(1＋x )2＝10024. x 1＝1＋5，x 2＝1－ 525. y 1＝12，y 2＝－2 26. 解法一：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.(x －3)(x －9)＝0.∴x －3＝0或x －9＝0.∴x 1＝3，x 2＝9.解法二：原方程可化为x 2－12x ＋27＝0这里a ＝1，b ＝－12，c ＝27.∵b 2－4ac ＝(－12)2－4×1×27＝36>0∴x ＝12±362×1＝12±62. 因此原方程的根为 x 1＝3，x 2＝9.27. ∵关于x 方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数根，∴22－4×3×(－m )<0，解得m <－13. 28. (1)把x ＝1代入方程 x 2＋mx ＋m －2＝0得 1＋m ＋m －2＝0, 解得 m ＝12. (2)Δ＝m 2－4(m －2)＝(m －2)2＋4，∵(m －2)2≥0，∴(m －2)2＋4＞0, 即Δ>0，∴此方程有两个不相等的实数根．29. (1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k －3>0，解得k >34. (2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2＋1 .∵x 1＋x 2＝－x 1·x 2，∴－(2k ＋1)＝－(k 2＋1)，解得k ＝0或k ＝2，又k >34， ∴k ＝2.30. 设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x ，根据题意，得200(1＋x )2＝392，解得x 1＝0.4，x 2＝－2.4(不符合题意，舍去)．故该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%.31. (1)5月20日每千克猪肉的价格为100÷2.5＝40(元)，则年初猪肉价格的最低价为40÷(1＋60%)＝25(元)．(2)设5月20日的总销量为1，由题意，得34m (1＋a %)×40(1－a %)＋14m (1＋a %)×40＝40m ⎝⎛⎭⎫1＋110a %. 令t ＝a %，方程可化为5t 2－t ＝0，解得t 1＝0(舍)，t 2＝0.2，所以a %＝0.2，即a ＝20.32. (1)9.5－(2 018－2 015)×0.5＝8(万份)，故品牌产销线2018年的销售量为8万份．(2)设A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x ，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k 万份．根据题意得(9.5－0.5)＋(1.8＋k )＝11.4，解得k ＝0.6.(1.8＋2k )(1＋2x )2＝10.89，将k ＝0.6代入，解得x 1＝5%，x 1＝－105%(不合题意，舍去)，∴2x ＝10%.故B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.2015年中考真题1. D2. C3. B4. A5. D6. B7. D8. A9. D 10. A 11. C 12. B 13. C 14. C 15. B16. A17. －3 18. 2015 19. x ＋3＝0或x －1＝020. x ＝±2 21. －3 22. m ＜－4 23. ①③24. 3 －4 25. －1或－3 26. 8 100(1－x )2＝7 60027. (40－x )(20＋2x )＝1 20028. x 1＝1，x 2＝－3(可用配方法)29. x 1＝1，x 2＝2(可用公式法)30. x 1＝－1，x 2＝3(可用因式分解法)31. ∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0.∴2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 32. 由题知Δ＝32－4×2×(－m )＞9，解得m ＞－98. 故m 的取值范围是m ＞－98. 33. (1)∵Δ＝(2m )2－4(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个相等的实数根．(2)∵若方程有一个根为3，∴32＋2m ×3＋m 2－1＝0，解得m ＝－2或－4.34. (1)Δ＝(m ＋2)2－8m ＝(m －2)2，∵不论m 为何值时，(m －2)2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有实数根．(2)解方程，得x ＝m ＋2±m －2m， x 1＝1，x 2＝2m， ∵方程有两个不相等的正整数根，∴m ＝1或2，m ＝2不合题意，∴m ＝1.35. (1)方程(x －1)(x －4)＝p 2，整理得x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝52－4(4－p 2)＝9＋4p 2，∵不论p 为何值时，9＋4p 2＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)0，±2(答案不唯一)36. (1)设2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意得2 500(1＋x )2＝3 025，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1.(舍去)因此2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)由题意得2 500(1＋10%)＝3 327.5(万元)．即2016年该地区将投入教育经费3 327.5万元．37. 设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则矩形猪舍的另一边为(26－2x ) m. 根据题意，得x (26－2x )＝80，解得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16＞12(舍去)；当x ＝8时，26－2x ＝10＜12.因此所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m.。
2017年中考试题分类汇编一元二次方程
中考试题分类汇编--一元二次方程一、选择题一、（2017巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情形为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根二、（2021安徽泸州）假设关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-13、（2017四川眉山）一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情形是（ ） A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根4、（2021四川内江）用配方式解方程2420x x -+=，以下配方正确的选项是（ ） A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=五、（2021四川内江）已知函数2y ax bx c =++的图象如图（7）所示，那么关于x的方程220ax bx c +++=的根的情形是（ ） A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根六、（2021广州）关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，那么（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <07、（2017山东淄博）假设关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根别离是12,x x ,且知足1212x x x x +=.那么k 的值为（ ）（A ）－1或34 （B ）－1 （C ）34（D ）不存在 八、（2017四川成都）以下关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝0九、（2021湖南岳阳）某商品原价200元，持续两次降价a ％后售价为148元，以下所列方程正确的选项是（ ） A ：200(1+a%)2=148 B ：200(1－a%)2=148 C ：200(1－2a%)=148 D ：200(1－a 2%)=14810、（2021湖北荆门）以下方程中有实数根的是（ ）（A ）x 2＋2x ＋3＝0 （B ）x 2＋1＝0 （C ）x 2＋3x ＋1＝0 （D ）111x x x =-- 1一、（2017安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是( )A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜0 1二、（2017湖北武汉）若是2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）。
2017全国中考数学真题分类-二次函数概念、性质和图象(选择题+填空题+解答题)解析版
2017全国中考数学真题分类知识点18二次函数概念、性质和图象（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. ．(2017四川广安，10，3分)如图所示，抛物线y ＝ax ²+bx +c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b ²－4ac ＝0 ②a +b +c >0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B ，解析：由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点A 在点（－3，0）和（－2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，故结论②不正确．∵抛物线的对称轴x ＝－2ba＝－1，∴2a ＝b ，即2a －b ＝0，故结论③正确；∵抛物线y ＝ax ²+bx+c 的顶点为B （－1，3），∴a －b +c ＝3，∵抛物线的对称轴x ＝－1，∴2a ＝b ，∴a －2a +c ＝3，即c －a ＝3，故结论④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选B ．2. （2017浙江丽水·8·3分）将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位答案：D ． 解析： 选项 知识点结果 A将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到函数y ＝(x ＋1)2，其图象经过点（1，4）.×B 将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位得到函数y ＝(x －3)2，其图象经过点（1，4）. ×C 将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位得到函数y ＝x 2＋3，其图象经过点（1，4）. ×D 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位得到函数y ＝x 2－1，其图象不经过点（1，4）.√3. （2017山东枣庄12，3分）已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是A ．当a ＝1时，函数图象经过点（－1，0）B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a <0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D ．若a >0，则当1x ≥时，y 随x 的增大而增大答案：D ，解析：A 、当a ＝1时，函数解析式为y ＝x 2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2， ∴当a ＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A 选项不符合题意； B 、当a ＝2时，函数解析式为y ＝－2x 2＋4x －1，令y ＝－2x 2＋4x －1＝0，则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0，∴当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴B 选项不符合题意；C 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a ），当－1－a ＜0时，有a ＞－1，∴C 选项不符合题意；D 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的对称轴为x ＝1．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴D 选项符合题意．故选D ．4. （2017四川成都，10，3分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是 （ ）A ．20,40abc b ac <-> B ．20,40abc b ac >->C. 20,40abc b ac <-<D ．20,40abc b ac >-<答案：B ，解析：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则a ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴上，由c <0，对称轴在y 轴的左侧，则2b a->0，所以b <0，所以0abc >；图象与x 轴有两点交点，则240b ac ->，综上，故选B .5. (2017浙江金华，6，3分)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2 答案：B ，解析：二次函数y ＝－(x －1)2＋2的对称轴是直线x ＝1. ∵－1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是2.6. （2017安徽中考·9．4分）已知抛物线2y ax bx c =++与反比例函数by x=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y bx ac =+的图象可能是（ ）答案：B ．解析：由公共点的横坐标为1，且在反比例函数by x=的图象上，当x ＝1时，y ＝b ，即公共点坐标为（1，b ），又点（1，b ）在抛物线2y ax bx c =++上，得a ＋b ＋c ＝b ，a ＋c ＝0，由a ≠0知ac ＜0，一次函数y bx ac =+的图象与y 轴交点在负半轴上，反比例函数by x=的图象的一支在第一象限，b ＞0，一次函数y bx ac =+的图象满足y 随x 增大而增大，选项B 符合条件，选B ．7. （2017山东德州，7，3分）下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2的是（ ）A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x 2＋1D ．y ＝x1-答案：A ，解析：一次函数y ＝－3x ＋2中，由于k ＝－3＜0，所以y 随着x 的增大而减小，即对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2． 8. （2017山东威海，11，3分）．已知二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图像如图所示．若正比例函数y =(b +c )x 与反比例函数y =a b cx-+在同一坐标系中的大致图像是（ ）答案：C，解析：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b+c＞0，反比例函数过一三象限;当x=1时，y=a+b+c ＜0，即b+c＜－a, 因为a＞0，所以b+c＜0，所以正比例函数过二四象限，故选C．9.（2017山东菏泽，8,3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）答案：A，解析：根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，选项D不符合题意，对称轴x=－2ba＞0，选项B不符合题意，与y轴的交点在y轴负半轴，选项C不符合题意，只有选项A符合题意．10. 10．（2017年四川绵阳，10,3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是A．b＞8 B．b＞－8 C．b≥8 D．b≥－8答案：D 解析：二次函数向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y=（x－3）2+1，再结合与一次函数y=2x+b有公共点，联立方程组，建立关于x的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件△≥0，可求出b的范围．11. (2017年四川南充，10，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图5所示，下列结论错误的是( )A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b＋c＞3a D．a＜bxOy－－图5（8题图） A. B. C. D答案：D 解析：(1)∵抛物线与横轴有两个交点，∴△＞0，即b 2－4ac ＞0．∴4ac ＜b 2．可见选项A 中的结论正确．(2)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵对称轴在y 轴左边，∴－2b a＜0．∴b ＜0；∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0．可见选项B 中的结论正确． (3)∵－2b a＞－1，a ＜0，∴b ＞2a ①．∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0②．①＋②，得c ＞a ③．①＋③，得b ＋c ＞3a ．可见选项C 中的结论正确． (4)∵－2b a＜－12，a ＜0，∴a ＞b ．可见选项D 中的结论错误．综上所述，选项D ．12. （2017浙江舟山，10，3分）下列关于函数y ＝x 2－6x +10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3+n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0+1)，其中a >0，b >0，则a <b ．其中真命题的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④答案：C ，解析：因为y ＝x 2－6x +10＝(x －3)2+1，所以当x ＝3时，y 有最小值1，故①错误；n 为任意实数，当x ＝3+n 时，y ＝(3+n －3)2+1＝ n 2+1， 当x ＝3－n 时，y ＝(3－n －3)2+1＝ n 2+1，所以两函数值相等，故②错误；若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，令x ＝n ，则y 1＝(n －3)2+1＝ n 2－6n +10， 令x ＝n +1，则y 2＝(n +1－3)2+1＝ n 2－4n +5， 由于y 2－ y 1＝2n －5，所以之间的整数值的个数是2n －5+1＝2n +4个，故③正确；由二次函数的图象知④错误．令x ＝4，则y ＝(4－3)2+1＝2， 令x ＝5，则y ＝(5－3)2+1＝5，y 的整数值有2，3，4，5，2n －4＝2×4－4＝4个，令x ＝6，则y ＝(6－3)2+1＝10， y 的整数值有5，6，7，8，9，10，2n －4＝2×5－4＝6个，令x ＝7，则y ＝(7－3)2+1＝10， y 的整数值有10，11，12，13，14，15，16，17共8个，2n －4＝2×6－4＝8个， 13. （2017四川攀枝花，9，3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，则下列命题中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第四象限C ．m （am ＋b ）＋b ＝a （m 是任意实数）D ．3b ＋2c ＞0 答案：D解析：由题意知抛物线对称轴为12b x a =-=-，即12a b =，故A 错误；a ＞0，c ＜0∴一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第二象限，故B 错误；m （am ＋b ）＋b ＝a ，2b a =可得m ＝－112a b =，故C 错误；又当1x =时，0y a b c =++>，∴102b bc ++>，即320b c +>，故选D ．14. （2017江苏盐城，6，3分）如图，将函数y ＝21(2)12x -+的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A （1，m ）、B （4，n ）平移后的对应点分别为点A ′、B ′．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是A ．y ＝21(2)22x --B ．y ＝21(2)72x -+C ．y ＝21(2)52x --D ．y ＝21(2)42x -+答案：D ，解析：连接AB 、A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′．由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A 、B ′B 交x 轴于点M 、N ．因为A （1，m ）、B （4，n ），所以MN ＝4－1＝3．因为ABB A S''＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式y ＝21(2)42x -+．B 'A 'ABOyx第6题图2 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B ，解析：由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，随x 的值增大，y 值先增大后变小可知抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x =32，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大正确；由表可知，方程ax 2+bx +c =0根在-1与0和3与4之间所以正确的2个．此题也可求出解析式进行判断．16.7．（2017江苏连云港，7，3分）已知抛物线20yax a 过12,Ay ，21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是A ．120y yB ．210y y C ．120y yD ．210y y答案：C ，解析：∵20y ax a ∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，12,Ay 在对称轴的左侧，21,B y 在对称轴的右侧，点A 离开对称轴的距离大于点B 离开对称轴的距离，∴120yy 因此选择C 选项．17. （2017四川达州8，3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则一次函数2y ax b =-与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A B C D答案C，解析：由于抛物线的开口向下，∴a<0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，由于抛物线的对称轴是x=-1∴-12ba=-，∴b=2a，∴y=ax-4a，对于方程组4y ax acyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y,可整理成：240ax ax c--=，∆=2164a ac+，∵抛物线过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,∴c=-3a,∴2222164=161240a ac a a a+-=>,∴直线与反比例函数有交点，故本题选C．18. 11．（2017四川眉山，11，3分）若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－axA．有最大值a4B．有最大值－a4C．有最小值a4D．有最小值－a4答案：B，解析：因为一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧a＋1＞0，a＜0，因此－1＜a＜0，而y＝ax2－ax＝a(x－12)2－14a，所以二次函数有最大值－a4．19. 8．（2017四川宜宾，8，3分）如图，抛物线211(1)12y x=++与22(4)3y a x=--交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①23a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1＞y2，其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C ，解析：抛物线22(4)3y a x =--过点A （1，3），∴3＝9a －3，解得a ＝23，由题意可知E （4，﹣3），点A （1,3）、C 关于x ＝4对称，得到C （7,3），∴AC ＝6，而AE = ，故AC ≠AE ，由抛物线的对称性可知，AD ＝BD 显然．根据抛物线的对称性可知，AD ＝BD ，两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则2212(1)1(4)323x x ++=--，解得x 1＝1，x 2＝37，所以当1＜x ＜37时，y 1＞y 2．20. （2017山东滨州，7，3分）将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－5答案：A ，解析：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴平移后的顶点坐标为（3，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y ＝2(x －3)2－5.故选A.21. 8．（2017江苏苏州，8，3分）若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2,0），则关于x 的方程 a (x -2)2+1=0的实数根为 A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=—2，x 2=6C ． x 1=32，x 2=52D ．x 1=—4，x 2=0答案：A ，解析：根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a +1=0，a =-14，则21(2)104x --+=，解一元二次方程得x 1=0，x 2=4．22. 9.(2017甘肃兰州，9，4分）抛物线y =3x ²-3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为A. y =3(x -3)²-3B. y =3x ²C. y =3(x +3)²-3D. y =3x ²-6【答案】A【解析】由题知，y =3x ²-3为顶点式，直接根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可。
2017年全国中考真题分类汇编 9.一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用考点一、 一元二次方程的解法 （10分） 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式 （3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系 （3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2017年中考数学试题分类汇编 一元二次方程
一元二次方程一、选择题1.（2017·安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ）A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -= C.216(1)25x += D ．225(1)16x -=【答案】D【解析】第一次降价后的而价格为25(1)x - ，第一次降价后的而价格为225(1)x -，则225(1)16x -=，故选答案D.考点： 一元二次方程的应用.2.（2017·甘肃）如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32﹣2x ）（20﹣x ）=570B ．32x+2×20x=32×20﹣570C ．（32﹣x ）（20﹣x ）=32×20﹣570D ．32x+2×20x ﹣2x 2=570【考点】AC ：由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（32﹣2x ）（20﹣x ）=570，故选：A ．3.（2017·贵州黔东南州）已知一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则+的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．D ．﹣2 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2，x 1x 2=﹣1，所以+===﹣2．故选D ．4.（2017·河南）一元二次方程的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根 D ．没有实数根【答案】B.【解析】试题分析：这里a=2，b=-5，c=-2，所以△=，即可得方程有有两个不相等的实数根，故选B.考点：根的判别式.5.（2017·湖北荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，22520x x --=2(5)42(2)2516410--⨯⨯-=+= 22520x x --=原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．故选D．6.（2017·江苏无锡）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20% B．25% C．50% D．62.5%【答案】C．【解析】试题解析：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），答即该店销售额平均每月的增长率为50%；故选C．考点：一元二次方程的应用．7.（2017·山东烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣m﹣1．∵x1+x2=1﹣x1x2，∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣2，m2=1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D ．二、填空题1.（2017·甘肃）若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 k ≤5且k ≠1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程有实数根可得k ﹣1≠0，且b 2﹣4ac=16﹣4（k ﹣1）≥0，解之即可．【解答】解：∵一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根， ∴k ﹣1≠0，且b 2﹣4ac=16﹣4（k ﹣1）≥0，解得：k ≤5且k ≠1，故答案为：k ≤5且k ≠1．2.（2017·江苏南京）已知关于的方程的两根为-3和-1，则；．【答案】4，3【解析】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3.故答案为：4，3.考点：一元二次方程的根与系数的关系三、解答题 x 20x px q ++=p =q =1.（2017·北京）关于的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范围.【答案】.(1)见解析，（2）k<0考点：根判别式；因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组.2.（2017·湖北荆州）已知关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣5）x+1﹣k=0，其中k 为常数．（1）求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x 2+（k ﹣5）x+1﹣k 的图象不经过第三象限，求k 的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值．【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；AA ：根的判别式；AB ：根与系数的关系；H3：二次函数的性质．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x 2+（k ﹣5）x+1﹣k 的图象不经过第三象限，又△=（k ﹣5）2﹣4（1﹣k ）=（k ﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x ()23220x k x k -+++=kx轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k＞0，解得k＜1，即k的取值范围是k＜1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．3.（2017·山东烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×=≈90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．。
知识点13 一元二次方程的实际应用2017(解答题)
三、解答题1.（2017重庆，23，10分）（本小题满分10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一总分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m %，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2 m %，但销售均价比去年减少了m %．该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．思路分析：（1）根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；（2）抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：（1）设该果农今年收获樱桃至少x千克，今年收获枇杷（400－x）千克，依题意，得：400－x≥7x，解得：x≥50．答：该果农今年收获樱桃至少70千克．（2）由题意，得：3000×（1－m %）+4000×（1+2m %）×（1－m %）＝7000，解得:m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5；答：m的值为12.5．2.（2017山东菏泽，19,7分）（本题7分）列方程解应用题某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本加捻促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天课多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？思路分析：根据等量关系“利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润与销售单价的方程求解，求解结果符合题意即可．解：设销售单价为x元，由题意，得：（x－360）[160+2（480－x）]=20000，整理，得：x 2－920x+211600=0，解得：x 1=x 2=460，答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000．3. （2017四川眉山，24，9分）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？思路分析：（1）根据“第一档次的利润＋增加的利润＝新批次的利润”，可列出一元一次方程求解；（2）根据“总利润＝该档次每件的利润×该档次的产品的产量”，列出一元二次方程求解，注意检验是否符合题意．解：（1）设此批次蛋糕属第x 档次产品，则10＋2(x －1)＝14，解得x ＝3．答：此批次蛋糕属第3档次产品．（或：∵14－102＋1＝3，∴此批次蛋糕属第3档次产品．）（2）设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080，解之，得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．4. （2017江苏淮安，26，10分）某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图像，图中折线ABCD 表示人均收费y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为________元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？思路分析：（1）参加旅游的人数不超过10人对应的函数图像是线段AB ，线段AB 对应的纵坐标就是人均费用；（2）先根据总费用3600员确定参加旅游的人数，然后利用“总费用＝人均费用×总人数”列方程求解． 解：（1）240．（2）设参加这次旅游有a 人．∵10×240＝2400＜3600，∴a ＞10．∵25×150＝3750＞3600，第26题图∴a ＜25．综合知，10＜a ＜25．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx b +，把B （10，240），C （25，150）代入，得2401015025k b k b =+⎧⎨=+⎩．， 解得k ＝－6，b ＝300．∴直线BC 的函数表达式为y ＝6300x -+．∴人数为a 时的人均费用为6300a -+．根据题意，得(6300)a a -+＝3600．整理，得250600a x -+＝0．解得1a ＝20，2a ＝30．∵10＜a ＜25，∴a ＝20．答：参加这次旅游有20人．5. （2017湖南常德，23，8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．甜甜： 妹妹：请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？思路分析：列一元一次方程和一元二次方程，进行求解.解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年平均增长率是x根据题意列方程得：400(1+x )²＝484解得1x ＝0.1 2x ＝﹣2.1（舍）故平均增长率为10%．（2）设2017年六一甜甜收到的微信红包为y 元，则妹妹收到红包为（2y ＋34）元，根据题意列方程得：y ＋（2y ＋34）＝4842017年六一，我们共收到484元微信红包 2015年六一时，我们只共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元解得y＝150故甜甜收到的微信红包为：150元，妹妹收到的为新年红包为：（2y＋34）＝334元．6.（2017·南宁）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．[来源:@~&中#教网^]（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？思路分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方程求解；（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．解：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得7500（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；（2）10800（1+0.2）=12960（本）10800÷1350=8（本）12960÷1440=9（本）（9﹣8）÷8×100%=12.5%．故a的值至少是12.5．7.27.( 2017四川巴中，6分)巴中市某楼盘准备以每平方5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050 元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.思路分析：增长率或降低率问题，由基数×(1±百分率)n=结果数据，列方程计算.解：设平均每次下调的百分率为x，由题意得：5000(1-x)2=4050，解得：x1=0.1,x2=1.9(舍去)答：平均每次下调的百分率为10%.。
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2017中考真题分类——一元二次方程一、选择题（每题只有一个最佳答案，请将其填在括号内！）1. （2017·山东泰安·7）一元二次方程2660x x --=配方后化为（ ）A ．2(3)15x -= B ．2(3)3x -= C. 2(3)15x += D ．2(3)3x +=2. （2017·浙江舟山·8）用配方法解方程0122=-+x x 时，配方结果正确的是（ ）A ．2)2(2=+xB ．2)1(2=+x C. 3)2(2=+x D ．3)1(2=+x3. （2017·江苏苏州·4）关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ．1B ．1- C.2 D ．2-4. （2017·江苏扬州·3）一元二次方程2720x x --=的实数根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定5. （2017·四川宜宾·4）一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 D.无法判断6. （2017·广东广州·5）关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（ ）A ．16q <B ．16q > C. 4q ≤ D ．4q ≥7. （2017·甘肃兰州·6）如果一元二次方程2230x x m 有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为( ) A.98mB.89mC.98mD.89m8. （2017·山东滨州·2）一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为A ．4B ．2C ．0D ．－49. （2017·安徽·8）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ）A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -= C.216(1)25x += D ．225(1)16x -=214204x x -+=10. （2017·浙江杭州·7）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x ，则（ ） A ．10.8（1+x ）=16.8 B ．16.8（1-x ）=10.8C ．10.8（1+x ）2=16.8 D ．10.8[（1+x ）+（1+x ）²]=16.811. （2017·江苏无锡·7）商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( ) A ．20% B ．25% C.50% D ．62.5%12. (2017·湖南衡阳·9）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，可列方程为：（ ） A ．()200121000x += B ．()220011000x += C.()220011000x +=D ．20021000x +=13. （2017·甘肃庆阳·9）如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ，若设道路的宽为m x ，则下面所列方程正确的是( ) A.32220570x xB.32203220570x xC.32203220570x xD.2322202570x x x14. （2017·江苏南京·5）若方程()2519x -=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ ） A ．a 是19的算术平方根 B ．b 是19的平方根 C.5a -是19的算术平方根D ．5b +是19的平方根15. （2017·浙江温州·8）我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =- ，23x = D ．11x =-，23x =- 16. （2017·江西·5）已知一元二次方程22510x x -+=的两个根为12,x x ，下列结论正确的是（ ） A ． 1252x x +=-B ．121x x = C. 12,x x 都是有理数 D ．12,x x 都是正数17. （2017·湖南益阳·6）关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为11x =，21x =-，那么下列结论一定成立的是（ ）A ．240b ac ->B ．240b ac -=C ．240b ac -<D ．240b ac -≤18. （2017·四川绵阳·7）关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则mn 的值为（ ）A ．8-B ．8 C. 16 D ．16-(2017遵义) 关于x 的一元二次方程x 2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．m≤ B ．mC ．m≤D ．m(2017咸宁) 已知a 、b 、c 为常数，点P （a ，c ）在第二象限，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况是（ B ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断(2017通辽) 若关于x 的一元二次方程02)1(2)1(2=-++++k x k x k 有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是（ A ） ABCD(2017天门) 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+1）x+（m 2+1）=0有实数根，则m 的值等于 1 。
(2017潜江) 若α、β为方程2x 2﹣5x ﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ） A ．﹣13 B ．12 C ．14 D ．15(2017苏州) 关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为( A )A ．1B ．1- C.2 D ．2-(2017齐齐哈尔) 若关于x 的方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ C ） A ．0k = B ．1k ≥-或0k ≠ C ．1k ≥- D ．1k >-(2017宁夏) 关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+3x ﹣2=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．且a≠1 D ．且a≠1(2017南京) 若方程()2519x -=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ C ） A ．a 是19的算术平方根 B ．b 是19的平方根 C.5a -是19的算术平方根 D ．5b +是19的平方根二、填空题（请将正确答案全部填写在横线上，多填、漏填、错填都不得分！）19. （2017·山东潍坊·16）已知关于x 的一元二次方程0122=+-x kx 有实数根，则k 的取值范围是 .20. （2017·山东德州·15）方程()()3121x x x -=- 的根为 ．21. （2017·山东泰安·22）关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ．22. （2017·山东枣庄·14）已知关于错误!未找到引用源。
的一元二次方程错误!未找到引用源。
有两个不相等的实数根，则错误!未找到引用源。
的取值范围是 ． 23. （2017·甘肃庆阳·15）若关于x 的一元二次方程21410k x x 有实数根，则k 的取值范围是.24. （2017·江苏淮安·14）若关于x 的一元二次方程210x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．25. （2017·江苏扬州·18）若关于x的方程240200x -+=存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为 ．26. （2017·山东菏泽·10）关于x 的一元二次方程06)1(22=-++-k k x x k 的一个根式0，则k 的值是_______.27. （2017·江苏南京·12）已知关于x 的方程20x px q ++=的两根为-3和-1，则p = ；q = ．28. （2017·江苏泰州·12）方程22310x x 的两个根为1x 、2x ，则1211x x 等于___ 29. （2017·江苏盐城·13）若方程2410x x 的两根是1x ，2x ，则1221x x x 的值为___________.30. （2017·四川成都·22）已知12,x x 是关于x 的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根，且221210x x -=，则a =___________.31. （2017·四川眉山·15）已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是________．32. （2017·四川内江·22,24）若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-=____设,αβ是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则22βααβ+= ________ (2017淄博) 已知,αβ是方程2340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为 ．(2017烟台) 若x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m ﹣1=0的两个根，且x 1+x 2=1﹣x 1x 2，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．1或﹣2C ．﹣2D ．1(2017潍坊) 若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 k≤1且k≠0 ．(2017潍坊) 定义[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]= x 2的解为( A )A ．0或B ．0或2C ．1或D ．或﹣(2017泰安) 关于x 的一元二次方程x 2+（2k ﹣1）x+（k 2﹣1）=0无实数根，则k 的取值范围为 k ＞ ．(2017泰安) 一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ A ） A ．（x ﹣3）2=15 B ．（x ﹣3）2=3 C ．（x+3）2=15 D ．（x+3）2=3(2017绵阳) 关于x 的方程2x 2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为（ C ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 2017(龙东) 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 ．(2017凉山州)一元二次方程23125x x -=+两实根的和与积分别是（ B ）A ．32，2-B ．23，2- C ．23-，2D ．32-，2(2017连云港) 12.已知关于x 的方程220x x m有两个相等的实数根，则m 的值是 ．m=1（2017常州）13. 已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a = ．(2017兰州) 10. 王叔叔从市场上买一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长cm x 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为23000cm 的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( )21教育名师原创作品A.80703000x xB.2807043000xC.8027023000x xD.28070470803000x x【答案】C(2017兰州) 6. 如果一元二次方程2230x x m 有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为( C ) A.98mB.89mC.98mD.89m(2017荆门) 15.已知方程2510x x ++=的两个实数根分别为12,x x ，则2212x x += ．(2017呼和浩特) 5.关于x 的一元二次方程22(2)10x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ）B A ．2B ．0C ．1D ．2或0(2017河南) 6. 一元二次方程22520x x --=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D ．没有实数根(2017菏泽) 关于x 的一元二次方程06)1(22=-++-k k x x k 的一个根式0，则k 的值是_______.(2017广东) 4．如果2是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ B ） A ．1 B ．2 C ．﹣1 D ．﹣2 (2017德州) 方程()()1213-=-x x x 的根是(2017大连)关于x 的方程x 2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围为 c ＜1 ． (2017赤峰) 14．如果关于x 的方程x 2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＜2 ．(2017安徽) 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ） A.16(12)25x += B.25(12)16x -=C.216(1)25x += D.225(1)16x -=【答案】D （2017•安顺）若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ）D A ．0 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣3 （2017•安顺）先化简，再求值：（x ﹣1）÷（﹣1），其中x 为方程x 2+3x+2=0的根．（2017白银）9.如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m .若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ A ）A ．()()32220570x x --=B ．322203232570x x +⨯=⨯- C. ()()32203220570x x --=⨯- D ．2322202570x x x +⨯-=(2017白银) 若关于x 的一元二次方程()21410k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是 ．k ≤5且k ≠1(2017常德)一元二次方程3x 2﹣4x+1=0的根的情况为（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根C ．两个相等的实数根D ．两个不相等的实数根33. (2017·甘肃兰州·21（2）)解方程：22410x x .34. （2017·浙江丽水·18）解方程：(3)(1)3x x --=．35. （2017·湖南湘潭·22）由多项式乘法：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2()()()x a b x ab x a x b +++=++示例：分解因式：256x x ++=2(23)23x x +++⨯=(2)(3)x x ++（1）尝试：分解因式：268x x ++=(x +___)(x +___)； （2）应用：请用上述方法．．．．解方程：2340x x --=.36. （2017·湖北黄冈·17）已知关于x 的一元二次方程()22210x x x k +++=①有两个不相等的实数根． ⑴求k 的取值范围；⑵设方程①的两个实数根分别为12,x x ，当k ＝1时，求2212x x +的值．37. （2017·山东滨州·20） 根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题．①方程x 2－2x ＋1＝0的解为________________________；②方程x 2－3x ＋2＝0的解为________________________；③方程x 2－4x ＋3＝0的解为________________________； …… ……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x 2－9x ＋8＝0的解为________________________；②关于x 的方程________________________的解为x 1＝1，x 2＝n ．（3）请用配方法解方程x 2－9x ＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．38．(2016四川南充)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．39.（本题满分8分）关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根,x x.12（1）（4分）求实数k的取值范围．（2）（4分）若方程两实根,x x满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．1240.（2017北京）关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.(2017玉林) 已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0．（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．(2017烟台) 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？(2017孝感) 为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；(2017襄阳) 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？(2017孝感) 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．(2017潍坊) 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计），在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？解：如图所示：(2017绥化) 已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2﹣4=0 （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． (2017十堰) 已知关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1，x 2满足x 12+x 22=16+x 1x 2，求实数k 的值． (2017深圳) 一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．(2017广西) 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率； （2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a 的值至少是多少？ (2017南充) 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x 1、x 2，且x 12+x 22﹣x 1x 2=7，求m 的值．(2017黄石) 20.（8分）已知关于x 的一元二次方程0422=--m x x . （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两个实数根1x 、2x 满足9221=+x x ，求m 的值.(2017菏泽) 列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？（2017常德）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？。