攻克难点 聚焦考点
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难点三、.问题迁移 【例 3】 （09·北京理·8）点 P 在直线 l : y x 1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y x 于 A, B 两点，且
2
| PA | AB | ，则称点 P 为“
点” ，那么下列结论中正确的是 点” 点” 点”
（
）
A．直线 l 上的所有点都是“ B．直线 l 上仅有有限个点是“ C．直线 l 上的所有点都不是“
2
) 时，
A C
BБайду номын сангаасD
A B 2 2 当 A 点取于 B 点的右侧有同样的情形，又过直线 CD 上的任一点可作一条和平面 , 夹角
0
相等的直线，所以过点 P 且与平面 和平面 所成的角都是 25 的直线的条数为 3，故选 B 难点五、.数形思维
0
【例 5】 （09·重庆理·10） ．已知以 T 4 为周期的函数 f ( x)
2
则 B 2 m x, 2 n x 2 ，
n m2 ∴ 2 2n x 1 (2m x)
消
2
去
n,
整
2
理
得
关
于
x
的
方
程
（1） x (4m 1) x 2m 1 0 2 2 2 ∵ (4m 1) 4(2m 1) 8m 8m 5 0 恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选 A. 难点四、.空间思维 【例 4】 （09·重庆理·9）已知二面角 l 的大小为 50 ， P 为空间中任意一点，
D． ( , 7)
4 3
1 m 1 x2 , x (1,1] 4 y x f ( x) m 3 1 x 2 , x (1,3] 4 8 3 m 3 3 8 m 3 故选 C 难点六、.推理思维 【例 6】 （09·北京理·20） 已 知 数 集 A a1 , a2 , an 1 a1 a2 an , n 2 具 有 性 质 P ： 对 任 意 的
D．直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设 A m, n , P x, x 1 ， ∵ A, B在y x 上 ，
【例 1】 （09·上海理 14）. 将函数 y
思考、反思、感悟、变同 他需要演绎、计算、逻辑推理； 分析与解答
函数的图像，则 的最大值为__________ 【解析】考查是否真正理解函数的概念及其圆的切线方程和图像的旋转问题的应用。 可求函数 y
4 6 x x 2 2 ( x 0， 6) 的图像绕坐标原点逆时 针方向旋转角 (0 ) ，得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个
其中 m 0 。若方程 3 f ( x) x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为（
m 1 x 2 , x (1,1] ， 1 x 2 , x (1,3]
）
A． ( 作图：可知
15 8 , ) 3 3
B． (
15 , 7) 3
C． ( , )
4 8 3 3
3 2 只有平行于 l 的任一直线和该图像相交时才能只有一个交点，所以该图像绕坐标原点逆时针 2 方向旋转角 最大值只能为 l 和 y 轴的夹角，故 的最大值为 arctan 3 难点二、语言转化 【例 2】 （09·四川理·10） （10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产 品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移及文字语言向符号语言转化的能力。 设甲、乙两种产品分别生产 x 吨、 y 吨，企业可获得利润为 z 万元，则依题意得
0
则过点 P 且与平面 和平面 所成的角都是 25 的直线的条数为（ A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】本题主要考查空间想象、信息迁移以及构造的能力
0
）
如图， 对于二面角 CD 的大小为 (0 若直线 AB 和平面 , 有相等的夹角 ，则可证
攻克难点
聚焦考点
如何根据函数思想与方程观点、解读题意和转化题意、各种公式概念和解题方法进行 解答问题是数学解题的难点，因此 ，如何在解题中尽量去体现数学微观方法论是至关重要 的，数学微观方法论为：
抽象分析法 数学模型法 逻辑推理的方法 公理化法 观察、实验、 数学微观方法论类比、联想、猜测、 合情推理的方法 经验归纳法 分析、综合 一般化、特殊化 一般解题方法论的研究 关系映射反演原则 语言学 思维学 数学是一个统一的完整体，他是： 哲学 文体学 方法论 下面列举一二，以示启发。 难点一、深刻理解和应用概念
4 6 x x 2 2 的图像上在点（0，0）处的切线 l 的斜率为 K= ，依题意知
3 x y 13 2 x 3 y 18 z 5 x 3 y ，其中 z 最大 5 3 3 4 27 ，故选 D x 0 y 0
i, j 1 i j n ， ai a j 与
aj ai
两数中至少有一个属于 A .
（Ⅰ）分别判断数集 1,3, 4 与 1, 2,3, 6 是否具有性质 P ，并说明理由；
2
| PA | AB | ，则称点 P 为“
点” ，那么下列结论中正确的是 点” 点” 点”
（
）
A．直线 l 上的所有点都是“ B．直线 l 上仅有有限个点是“ C．直线 l 上的所有点都不是“
2
) 时，
A C
BБайду номын сангаасD
A B 2 2 当 A 点取于 B 点的右侧有同样的情形，又过直线 CD 上的任一点可作一条和平面 , 夹角
0
相等的直线，所以过点 P 且与平面 和平面 所成的角都是 25 的直线的条数为 3，故选 B 难点五、.数形思维
0
【例 5】 （09·重庆理·10） ．已知以 T 4 为周期的函数 f ( x)
2
则 B 2 m x, 2 n x 2 ，
n m2 ∴ 2 2n x 1 (2m x)
消
2
去
n,
整
2
理
得
关
于
x
的
方
程
（1） x (4m 1) x 2m 1 0 2 2 2 ∵ (4m 1) 4(2m 1) 8m 8m 5 0 恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选 A. 难点四、.空间思维 【例 4】 （09·重庆理·9）已知二面角 l 的大小为 50 ， P 为空间中任意一点，
D． ( , 7)
4 3
1 m 1 x2 , x (1,1] 4 y x f ( x) m 3 1 x 2 , x (1,3] 4 8 3 m 3 3 8 m 3 故选 C 难点六、.推理思维 【例 6】 （09·北京理·20） 已 知 数 集 A a1 , a2 , an 1 a1 a2 an , n 2 具 有 性 质 P ： 对 任 意 的
D．直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设 A m, n , P x, x 1 ， ∵ A, B在y x 上 ，
【例 1】 （09·上海理 14）. 将函数 y
思考、反思、感悟、变同 他需要演绎、计算、逻辑推理； 分析与解答
函数的图像，则 的最大值为__________ 【解析】考查是否真正理解函数的概念及其圆的切线方程和图像的旋转问题的应用。 可求函数 y
4 6 x x 2 2 ( x 0， 6) 的图像绕坐标原点逆时 针方向旋转角 (0 ) ，得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个
其中 m 0 。若方程 3 f ( x) x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为（
m 1 x 2 , x (1,1] ， 1 x 2 , x (1,3]
）
A． ( 作图：可知
15 8 , ) 3 3
B． (
15 , 7) 3
C． ( , )
4 8 3 3
3 2 只有平行于 l 的任一直线和该图像相交时才能只有一个交点，所以该图像绕坐标原点逆时针 2 方向旋转角 最大值只能为 l 和 y 轴的夹角，故 的最大值为 arctan 3 难点二、语言转化 【例 2】 （09·四川理·10） （10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产 品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移及文字语言向符号语言转化的能力。 设甲、乙两种产品分别生产 x 吨、 y 吨，企业可获得利润为 z 万元，则依题意得
0
则过点 P 且与平面 和平面 所成的角都是 25 的直线的条数为（ A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】本题主要考查空间想象、信息迁移以及构造的能力
0
）
如图， 对于二面角 CD 的大小为 (0 若直线 AB 和平面 , 有相等的夹角 ，则可证
攻克难点
聚焦考点
如何根据函数思想与方程观点、解读题意和转化题意、各种公式概念和解题方法进行 解答问题是数学解题的难点，因此 ，如何在解题中尽量去体现数学微观方法论是至关重要 的，数学微观方法论为：
抽象分析法 数学模型法 逻辑推理的方法 公理化法 观察、实验、 数学微观方法论类比、联想、猜测、 合情推理的方法 经验归纳法 分析、综合 一般化、特殊化 一般解题方法论的研究 关系映射反演原则 语言学 思维学 数学是一个统一的完整体，他是： 哲学 文体学 方法论 下面列举一二，以示启发。 难点一、深刻理解和应用概念
4 6 x x 2 2 的图像上在点（0，0）处的切线 l 的斜率为 K= ，依题意知
3 x y 13 2 x 3 y 18 z 5 x 3 y ，其中 z 最大 5 3 3 4 27 ，故选 D x 0 y 0
i, j 1 i j n ， ai a j 与
aj ai
两数中至少有一个属于 A .
（Ⅰ）分别判断数集 1,3, 4 与 1, 2,3, 6 是否具有性质 P ，并说明理由；