概率统计和随机过程课件13事件的独立性

一般说来，若某一数量指标受到大量微小的， 独立的随机因素的影响，则这个指标服从正 态分布。
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正态分布
定义: 如果连续型随机变量X的概率密度为
1
( x )2
f (x)
2
exp
2 2
( x )
其中 , 为常数, 并且 >0, 则称X服从正态 分布, 简记作X~N(,2) 。
特别地, 当=0, =1时, 称其为标准正态分布, 其概率密度记为j (x), 这时X~ N(0,1) 。
0
x
其中>0,则称X服从参数为的指数分布,
X ～Exp(λ).
易知,其分布函数为
F (x)＝1 ex , x 0
0 , x 0
2
指数分布的分布函数推导
Q X ~ f (x)＝
F (x) f (x)dx 0
当x > 0时, F (x)
3e 3 x dx
e6
电子元件在已使用t小时之后再使用s小时的概
1.5
率,与它使用s小时的概率是相同的.称这样的随机
变量具有“无记忆性”,正是指数分布的重要特点. 6
指数分布的无后效性
定理：设X是连续型非负随机变量，则X服从指数分布 的充分必要条件是对任何的s,t≥0,有
P( X > s+t | X > s )=P( X > t ) 无后效性是指数分布的特征.
x
f (t)dt
x etdt
0
F
(
x)＝
1
et ex , x
|0x
0
1
e
x
0 , x 0
生存函数S(x) P( X x) 1 F (x) ex (x 0).
3
指数分布的期望、方差
EX
xf (x)dx
xexdx xdex
0
0
xe x
|0
exdx
0
1
exd (x)
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泊松积分公式
I et2 dt
证 : I 2 ex2 y2 dydx,
作极坐标变换,令x r cos , y r sin ,
积分元为rdrd ,则
I 2 2 er2 rdrd er2 dr 2
00
0
| er2
0
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正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
1 P{X t 0} 1 et
于是
et
f (t) F'(t)
t 0
0 t0
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正态分布
正态分布也叫高斯分布, 正态分布是实践中应 用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故 它在概率统计中占有特别重要的地位。
正态分布是自然界最常见的一种分布。例如 测量的误差；人的生理尺寸:身高、体重；一 个班的考试成绩；普通人的年收入；工厂产 品的尺寸：直径、长度、宽度、高度；一个 地区的降雨量等等都近似服从正态分布。
x
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标准正态分布密度函数特性
(1) j (x)有各阶导数 (2) j (-x)= j (x), 偶函数
(3) 在(-,0)内严格上升,在(0, +)严格下降.在
x=0 处达到最大值: j (0)=(2)-1/20.3989.
(4) 在x=1处有两个拐点;
(5) x轴是j (x)的水平渐近线:lim j ( x) 0 x
某产品的寿命T服从参数为λ=0.002的指数分 布，则该产品的平均寿命
E(T)=1=(0.002)-1=500
对指数分布,任何实数a,b(0≤a<b), 有
P(a X b) b exdx ea eb a
5
例题与解答
例 1. 某电子元件的寿命X(年)服从参数为3的
指数分布.(1)求该电子元件寿命超过2年的概
§2.5几种重要的连续型分布
指数分布 正态分布 Γ分布* 对数正态分布*
前面我们曾经讨论的均匀分布是最简单的 常用连续型分布。在这一节里，将介绍另几 种常用连续型分布，它们有着广泛的应用背 景。
1
指数分布
定义: 如果随机变量X的概率密度为
f (x)
f (x)＝ex , x 0
0 , x 0
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例题与解答
例2. 顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为
1/5的指数分布,X的计时单位为分钟.若等待时间超过
10分钟,则他就离开.设他一个月内要来银行5次,以Y表
示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求Y分
布律及至少有一次没有等到服务的概率P(Y≥1).
解:由题意不难看出Y~B(5,p) 而其中的概率p=P(X>10)，
现X的概率密度函数为
f
(x)
1 5
ex
5,
x 0;
因此,
p P(X 10)
1
et
5dt
0,
e10 5
x
e2.
0.
10 5
Y的分布律为 P(Y k) C5k (e2 )k (1 e2 )5k , k 0,1, ,5.
于是 P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e -2)5≈0.5167.
率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它
还能使用两年的概率为多少？
解:由题意可知,
3e3x
X~
f (x)
0
x0 x 0,
(1) p{X 2} 3e3xdx e6
(2) p{X
3.5 |
X
2
1.5}
P{X 3.5, X 1.5} P{X 1.5}
3e3 x dx
3.5
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
13
正态分布的两个特性
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=μ对称
f()＝maxf(x)＝
1
2
(2) σ的大小直接影响概率的分布
σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峻。
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标准正态分布密度函数图
j (x)
1
x2
e2
2
j (x)
1 0 1
0
1
e x
|0
1
EX 2 x2 f (x)dx x2exdx x2dex
0
0
x 2e x
|0
2
0
xe x dx
...
2
2
DX
EX 2
(EX)2
2
2
1
2
1
2
4
指数分布应用背景
指数分布经常用来作各种“寿命”分布的近 似。如随机服务系统中的服务时间, 某些消耗 性产品(电子元件等)的寿命, 产品首次发生故 障（需要维修）的时间都常被假定服从指数 分布。
8
例题与解答
例3. 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T,
设 的[泊0,松t]时分段布内，过求桥T的的概汽率车密数度X。t 服从参数为t
解: F(t) P{T t}
当t ≤0时， F (t) 0
当t >0时，F(t) P{T t} 1 P{T t}
= 1- P{在t时刻之前无汽车过桥}