剖析函数yfx与yftx的奇偶性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
函数的奇偶性(讲义)
函数的奇偶性【知识要点】1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数〔even function 〕. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫奇函数〔odd function 〕.2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系；〔1〕奇函数⇔)0)((1)()(0)()()()(≠-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f x f ； 〔2〕偶函数()()()()()()()()0 10≠=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f x f . 4．函数奇偶性的几个性质：〔1〕奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域； 〔2〕奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 〔3〕假设奇函数()x f 在原点有意义，那么()00=f ；〔4〕根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；〔5〕在公共的定义域内：两个奇〔偶〕函数的和与差仍是奇〔偶〕函数；两个奇〔偶〕函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； 〔6〕函数()x f 与函数()x f 1有相同的奇偶性. 5．奇偶性与单调性：〔1〕奇函数在两个关于原点对称的区间[][]b a a b ,,,--上有相同的单调性； 〔2〕偶函数在两个关于原点对称的区间[][]b a a b ,,,--上有相反的单调性.【典例精讲】类型一 函数奇偶性的判断 例1 判断以下函数的奇偶性： 〔1〕()x x x f -+-=22； 〔2〕()1122-+-=x x x f ；〔3〕()()0≠⋅--+=b a b ax b ax x f ； 〔4〕()⎪⎭⎫⎝⎛+-=21121xx x f ； 〔5〕⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>++-=； ，0,10,1)(22x x x x x x x f 〔6〕⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=.0,320,00,32)(22x x x x x x x x f ， ，变式 判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )=x 4； (2)f (x )=x 5； (3)f (x )=x +21x ； (4)f (x )=21x. 〔5〕x x x f 2)(3-= 〔6〕2442)(x x x f +=〔7〕)0,0(>>+=b a x bax y 〔8〕)0(2>-=k kx x y例2 ()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()1223-+=x x x f ，求()x f 的表达式。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数的奇偶性
2.1.4函数的奇偶性一、知识梳理：1.奇、偶函数的定义：（1）设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的 ，都有 ， 且 ，则这个函数叫做奇函数。
（2）设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的 ，都有 ， 且 ，则这个函数叫做偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域D 内的任意一个x ，则x -也一定是定义域D 内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．2.奇、偶函数的图像特征：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是 ； 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是 ； 反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。
3.奇、偶函数的性质：（1）奇函数在[],a b 和[],b a --上有相同的单调性；偶函数在[],a b 和[],b a --上有相反的单调性。
（2）在定义域的公共部分内，两奇函数之积（商）为偶函数，两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。
（注意：取商时分母不为零）4.奇偶性的判定方法：利用定义判断函数()f x 的奇偶性主要分三步进行：①判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②化简函数()f x 的解析式（注意定义域）；③求出()f x -，根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性。
二、典型例题：类型1用定义判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性。
23(1)()2;1(2)();(3)()(4)()2.f x x x f x x xf x f x x =-=+==-变式训练：判断下列函数的奇偶性。
论文-浅议函数的奇偶性
浅议函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一。
它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。
一、关于函数的奇偶性的定义高中代数新教材（上册）（以下称教材）第61页，定义如下：⑴一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有，)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称偶函数；⑵一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就称奇函数；定义说明：上述定义可等价地叙述为：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学生认识以下两点：⑴、定义中要求“对于函数)(x f 的定义域内任意一个，都有0)()(=±-x f x f ”成立，可见)(x f 必有意义，即x -也属于)(x f 的定义域，即自变量x 的取值要保持任意性。
于是有，奇（偶）函数的定义域是一个对称数集（在数轴上表示为关于原点对称的点集）。
如果将教材中函数1)(2+=x x f ，x x f =)(的定义域分别改为+R 与]3,3(-，学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。
也就是说：若一个函数的定义域不对称，则此函数不是奇（偶）函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
⑵、定义中的等式)()(x f x f -=-（或)()(x f x f =-）是定义域上的恒等式，而不是对部分x 成立。
如：函数尽管当11+x (1≤x )(1>x )f(x)=1≤x 时，都有)()(x f x f =-,但它并是非偶函数。
二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
函数的奇偶性 - 中等难度 -讲义
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 2.图象法 3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数； 3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数； 4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+；②y=（x＞0 ）；③y=x3+1；④y=．其中是奇函数的有（填序号）．2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=．3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较()/()_D_Dd__________ʔˁϨϨ__4．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求a的取值范围．5．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则a的取值范围=．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b=．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则++…+=．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是．12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=3，x∈R；（2）f（x）=5x4﹣4x2+7，x∈[﹣3，3]；（3）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|；（4）f（x）=．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a （a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=．17．已知函数是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．18．已知f（x）=．（1）求f（x）+f（）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）的值．。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中的重要概念，可以帮助我们研究函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和奇偶性，并讨论它们在解题中的应用。
一、函数的奇偶性在数学中，如果对于函数 f(x)，满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
换句话说，函数的图像关于 y 轴对称。
相反地，如果对于函数f(x)，满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
也就是说，函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性可以通过解方程 f(x) = 0 来判断。
如果解方程 f(-x) = f(x) = 0，则函数是偶函数；如果解方程 f(-x) = -f(x) = 0，则函数是奇函数。
此外，对于一些简单的函数，我们也可以通过观察函数的表达式来判断其奇偶性。
比如，多项式函数 f(x) = x^n（n为正整数）是奇函数当且仅当 n 是奇数，是偶函数当且仅当 n 是偶数。
奇偶函数的性质也非常有趣。
如果函数 f(x) 是奇函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = -f(-a)。
这意味着奇函数在原点对称，即通过原点的直线上的函数值相等。
相反地，如果函数 f(x) 是偶函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = f(-a)。
这意味着偶函数在 y 轴上的函数值相等。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他种类的对称性。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。
这条直线称为对称轴。
对称轴可以是 x 轴、y 轴，也可以是其他直线。
在解题中，我们可以根据函数的性质和方程来确定函数的对称轴。
比如，对于一般函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，则对称轴为直线 x = a。
2. 中心对称如果函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。
这个点称为中心点。
常见的中心对称函数有圆和椭圆。
在解题中，我们可以通过观察函数的表达式和图形来确定函数的中心对称性。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学的广阔天地中，函数的奇偶性与对称性是两个极为重要的概念。
它们就像数学大厦中的两根支柱，支撑着函数这座宏伟的建筑，为我们理解和解决函数相关的问题提供了有力的工具。
让我们先来聊聊函数的奇偶性。
简单来说，函数的奇偶性是指函数图像关于原点或者 y 轴的对称性质。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做偶函数。
偶函数的图像关于 y 轴对称。
比如说，二次函数 f(x) ＝ x²就是一个偶函数。
当 x 取2 时，f(2) ＝ 4；当 x 取－2 时，f(－2) ＝ 4。
可以发现，f(2) ＝ f(－2)，而且画出它的图像，会看到是一个漂亮的抛物线，左右两边完全对称，就像镜子里的影像一样。
相反，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
一个常见的奇函数例子是 f(x) ＝ x³。
当 x 取 2 时，f(2) ＝ 8；当 x 取－2 时，f(－2) ＝－8。
f(－2) ＝ f(2)，它的图像呈现出一种旋转对称的美，绕着原点旋转 180 度后，与原来的图像完全重合。
那么，函数的奇偶性有什么用呢？首先，它能帮助我们简化计算。
在一些积分运算中，如果能判断出函数的奇偶性，就能大大减少计算量。
其次，通过奇偶性，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
比如，知道一个函数是偶函数，我们就可以只研究它在正半轴的情况，然后通过对称性得到另一半的图像和性质。
接下来，再谈谈函数的对称性。
函数的对称性可不只是关于原点或者 y 轴对称这么简单，它还有很多其他的形式。
比如，有的函数图像关于直线 x ＝ a 对称。
如果对于函数 f(x)，都有 f(a ＋ x) ＝ f(a x)，那么函数 f(x)的图像就关于直线 x ＝ a 对称。
举个例子，函数 f(x) ＝｜x 2| ，它的图像关于直线 x ＝ 2 对称。
4.函数的奇偶性、对称性与周期性
函数的奇偶性、周期性与对称性知识点：一、函数的奇偶性与对称性（一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ⑹对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。
（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．二、函数的周期性（一） 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）， ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑤1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑧函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．（二）主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．一、证明、判定奇偶性1.判断下列函数的奇偶性：1(1)()lg;1xf x x-=+(2)()(f x x =-(3)()22;f x x x =++-(4)();33f x x =+-0(5)()(1);x f x x x =-22(0)(6)()(0)x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩备注：注意先检查定义域是否对称。
函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性的判断与应用
函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性的判断与应用函数是数学中的重要概念之一，它描述了不同数值之间的关系。
在研究函数时，我们可以通过判断其奇偶性和周期性来更深入地了解其性质和应用。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性以及判断和应用的方法。
一、函数的奇偶性在数学中，一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x的取值，f(-x) = -f(x)。
换句话说，奇函数在坐标原点（0,0）处对称。
而如果一个函数满足对于任意x的取值，f(-x) = f(x)，则被称为偶函数。
换句话说，偶函数关于坐标原点（0,0）对称。
如何判断一个函数的奇偶性呢？我们可以采取以下方法：1. 利用函数的表达式来判断。
如果函数表达式中的x为奇次幂的情况下，其对应的系数均为负号，那么该函数就是奇函数；如果函数表达式中的x为偶次幂的情况下，其对应的系数均为正号，那么该函数就是偶函数。
例如，函数f(x) = x^3满足f(-x) = -f(x)，因此是奇函数。
而函数g(x) = x^2则满足f(-x) = f(x)，因此是偶函数。
2. 利用函数的图像来判断。
对于奇函数，其图像是关于原点对称的，也就是左右对称；而对于偶函数，其图像是关于y轴对称的，也就是上下对称。
通过观察函数的图像，我们可以判断其奇偶性。
函数的奇偶性在实际应用中具有重要作用。
例如，奇函数的性质使得在计算积分时，可以简化计算过程。
而偶函数在对称性的应用中，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
二、周期性函数的奇偶性和周期性判断与应用周期性函数在数学和自然科学中广泛应用。
周期性函数是指函数在某个区间内满足f(x) = f(x+T)，其中T为正常数，称为函数的周期。
对于周期性函数，我们可以利用奇偶性和图像的规律来进行判断和应用。
1. 奇偶性的判断：对于周期性函数，如果其满足f(x) = f(-x)，那么它是偶函数；如果其满足f(x) = -f(-x)，那么它是奇函数。
2. 周期性的判断：对于周期性函数，我们可以通过观察函数的图像来确定其周期。
高中数学知识科普系列：函数的奇偶性、周期性、对称性
| 2T |为 f (x) 的一个周期
f (x T) 1 f (x)
| 2T |为 f (x) 的一个周期
f
(x T)
1 1
f f
(x) (x)
f (x T ) 1 f (x) 1 f (x)
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (x)
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
g(x)
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
偶函数 奇函数 偶函数 奇函数
偶函数 偶函数 不能确定 不能确定 不能确定 不能确定
奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
f (x) g(x)
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
| 4T |为 f (x) 的一个周期
涂 | 2T |为 f (x) 的一个周期 牛得装糊2|b a |为 f (x) 的一个周期
对称性
f (a x) f (b x) f (a x) f (a x)
f (x) f (x) f (a x) f (a x) 2b f (a x) f (a x) 0
f (x) f (x) 0
同等转换
f (x) f (b a x) f (x) f (2a x)
偶函数
f (2a x) f (x) 2b f (2a x) f (x) 0
奇函数
结论 函数 y f (x) 关于 x a b 对称
2
函数 y f (x) 关于 x a 对称 函数 y f (x) 关于 x 0 对称 函数 y f (x) 关于点 (a,b) 对称 函数 y f (x) 关于点 (a,0) 对称 函数 y f (x) 关于 (0,0) 对称
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性在我们学习数学的旅程中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的奇偶性和周期性，就像是函数世界中的两颗璀璨明珠，它们为我们理解和研究函数的性质提供了有力的工具。
首先，让我们来聊聊函数的奇偶性。
简单来说，奇偶性就是函数关于原点或者 y 轴的对称性质。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做偶函数。
这意味着偶函数的图像关于y 轴对称。
比如说，我们常见的二次函数 f(x) ＝ x²就是一个偶函数。
当 x 取某个值时，x对应的函数值和 x 对应的函数值是相等的。
想象一下它的图像，就像一个开口向上或者向下的抛物线，非常漂亮地对称于 y 轴。
相反，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
一个典型的例子是 f(x) ＝ x³。
当 x 取某个值时，x 对应的函数值是 x 对应函数值的相反数。
想象一下这个图像，就像一个旋转了 180 度之后和原来重合的图形，原点就是它的对称中心。
那么，怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？这就需要我们通过函数的表达式来进行分析。
一般来说，我们会将 x 代入函数表达式中，然后看得到的结果是与 f(x) 相等还是与 f(x) 相等。
但有时候，函数的表达式可能会比较复杂，这时候就需要我们灵活运用一些数学方法和技巧来进行判断。
接下来，我们再说说函数的周期性。
周期性可以理解为函数在一定的区间内重复出现的性质。
如果存在一个非零常数 T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。
比如说，正弦函数 f(x) ＝ sin x 就是一个周期函数，它的周期是2π。
这意味着，每隔2π 的距离，函数的图像就会重复出现一次。
周期函数在我们的生活和科学研究中有着广泛的应用。
函数的奇偶性怎么判断函数的周期性奇函数与偶函数性质
一、判断函数奇偶性的方法1.先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性2.根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）3.若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇4.若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶5.若f（x）、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇二、函数的奇偶性定义：1.偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）＝f（x），那么函数f（x）是奇函数。
三、函数的周期性：（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
四、函数的奇偶性：（1）定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）＝f（x），那么函数f（x）是奇函数。
（2）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
三角函数的奇偶性、对称性的深层次理解
正余弦函数的奇偶性、对称性的深层次理解知识理解：1、函数)(x f y =是一个奇函数（这是自然语言的表达形式）)()(x f x f -=-⇔（这是符号语言的表达形式）)(x f y =⇔图象关于原点对称（这是图形语言的表达形式）。
2、函数)(x f y =是一个偶函数（这是自然语言的表达形式）)()(x f x f =-⇔（这是符号语言的表达形式）)(x f y =⇔图象关于y 轴对称（这是图形语言的表达形式）。
3、正弦函数x y sin =是一个奇函数，所以原点是它的一个对称中心。
但由于正弦函数是周期函数，所以，它还有其它的对称中心。
x y sin =的对称中心x y sin =⇔＝0的点⇔角x 的终边在x 轴上))(0,(Z k k ∈⇔π4、正弦函数x y sin =的图象向左平移2π个单位则得到余弦函数x y cos =的图象，反之，余弦函数x y cos =的图象向右平移2π个单位则得到正弦函数x y sin =的图象。
正余弦函数可以通过初相ϕ的适当取值相互转换。
例题分析：（03全国文）函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则=ϕ（ ）A 0B 4πC 2π D π 分析：本题可从四个不同角度加以解决1． 通过直觉联想，x y cos =是偶函数，只要取合适的ϕ值，能使函数)sin(ϕ+=x y 变成x y cos =即可，由答案易知：2πϕ=。
反思：本题如果思考仅止于此，就会丧失做这个题目本来应得的更多、更宝贵的东西。
特别是选择题的训练，如果仅满足于用一些特殊的方法和特殊的技巧，很巧妙地得到了答案，这样的“小聪明”会使我们难以真正进入数学的殿堂，理解数学的本质。
所以，在解决数学题时，我们要学会变换不同的角度来观察它，对题目进行全方位的探索。
2．用偶函数的定义：0cos sin )sin()sin(=⇔+=+-ϕϕϕx x x 对R x ∈恒成立，所以，0cos =ϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，πϕ≤≤0 ，2πϕ=∴。
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剖析函数y=f(x)与y=f[t(x)]的奇偶性函数的奇偶性是高中数学的重要内容，它与函数的单调性，周期性一起构成研究函数性质的三把钥匙。
函数的奇偶性是教学过程中的一个难点，笔者现就教学过程中遇到的问题加以探讨。
教材中奇偶性的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)则称f(x)为这一定义域内的奇函数。
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)则称f(x)为这一定义域内的偶函数。
在函数的奇偶性定义中，若函数y=f（x）的定义域I是关于原点对称（即xÎI，则-xÎI）且f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）则函数叫偶（或奇）函数。
由此可知：函数的定义域关于原点对称是该函数为奇（或偶）函数的必要条件。
本文主要谈谈函数y=f（x）与函数y=f(kx+b)(k¹0)在奇偶性方面的不同表现形式。
例1：y=f(x)是单调递增的奇函数，它的定义域为[-1，1]，求已知函数1y.2y=f(x) 的定义域为[-1,1]解：Q1x-?\ -1£231-1£x+1£1f(23x-)³-f(x+1)y=f(x)是奇函数Q1\ 2£2x£4-2£x£0x-)³f(-x-1)f(23y=f(x)是单调递增函数Q1\ -2£x£23x-³-x-1\ -2£x £x £-2 或 x ³ 1\x Î{}2-故2y 的定义域为x Î{}2-此时2y =0\ 值域: 2y Î{}0点评：y=f(x)(x ÎR)为奇函数Þf(-x-1)=-f(x+1) (x ÎR)例2：若函数y=f(2x+1)为奇函数，则f(-2x+1)=___________若函数y=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=_____________解：由于对应法则后边不是x ，而换成了2x+1,学生无从下手，其实，此题是把自变量x 换成了2x+1后的函数，在运算后的自变量仍然是x ，f(2x+1)是奇函数实质上还是对x 而言的。
故y=f(2x+1)是奇函数\f(-2x+1)=-f(2x+1)同理：若函数y=f(2x+1)为偶函数\ f(-2x+1)=f(2x+1)点评：若函数y=f(2x+1)为偶函数\ f(-2x+1)=f(2x+1)，即f(1+2x)=f(1-2x)，这表明函数y=f(a+x) 的图象与y=f(a-x)的图象关于y 轴对称。
应注意：y=f(a+x) 的图象与y=f(a-x)的图象关于y 轴对称，这里是两个函数图象间的对称;而函数y=f(a+x)为偶函数，它的图象关于y 轴对称,这里是一个函数图象内部之间的自身的对称。
例3：（2003年安徽三市联考）已知f(2x+1)为偶函数，那么函数f(2x)图像的对称轴方程为_____________解法1：Q y=f(2x+1)=f[2(x+12)]的图像向右平移12个单位得到函数y=f[2(x)]=f(2x)的图像, Q y=f(2x+1)是偶函数\它的图像关于y 轴对称，即x=0是函数f(2x+1)的图象的对称轴，直线x=0也向右平移12个单位得直线方程为x=12，故直线x=12是函数f(2x)的图象的对称轴。
解法2：Q f(2x+1)为偶函数\y=f(-2x+1)=f(2x+1),即f(1-2x)=f(1+2x),Q 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x) (x ÎR)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称\函数y=f(x)的对称轴方程为x=1,故函数y=f(2x)的对称轴方程为x=12. 点评：y=f(2x+1)为偶函数Þf(-2x+1)=f(2x+1).例4：（2006年湖北省八校第一次联考）已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数且g(x)=f(x-1),若f(2)=2则f(2006)的值为______A. 2B. 0C. -2D. ±2解法1：Q g(x)=f(x-1)\f(x)=g(x+1)Q g(x)为奇函数\g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2),又f(x)为偶函数\f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2)=-f(x+2)\f(x+2)=-f(x), \f(x+4)=f(x) (x ÎR)\T=4 \ f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2故选A解法2：Q g(x)是R 上的奇函数且g(x)=f(x-1)，即f(x-1) 是R 上的奇函数\f(-x-1)=-f(x-1) Q 函数f(x)是R 上的偶函数\f(x+1)=f(-x-1)=-f(x-1),\f(x+1)=-f(x-1) 令x-1=t (t ÎR)则x=t+1\f(t+2)=-f(t)\f(t+4)=-f(t+2)=-[-f(t)]=f(t) ，周期为 T=4\ f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2故选A点评：y=f(x) 是R 上的偶函数Þf(-x-2)=f(x+2)y=g(x) 是R 上的奇函数Þg(-x-1)=-g(x+1)y=f(x-1) 是R 上的奇函数Þf(-x-1)=-f(x-1)例5：（黄冈中学2006年三月检测）已知定义在R 上的函数y=f(x)满足以下三个条件：（1）对任意的x ÎR 都有f(x+4)=f(x);（2）对任意的1x , 2x ÎR 且0£1x <2x £2都有f(1x )<f(2x );（3）函数y=f(x+2)的图像关于y 轴对称.则a=f(4.5), b=f(6.5), c=f(7)从小到大的关系是__________解法1：由（1）（2）知y=f(x)的周期为T=4且在0£x £2上是增函数Q 函数y=f(x+2)的图像关于y 轴对称\y=f(x+2)是偶函数，f(2+x)=f(2-x) (x ÎR)\f(x)=f[2-(2-x)]=f[2+(2-x)] =f(4-x)\ f(x)=f(4-x) (x ÎR) Q a=f(4.5)=f(0.5);b=f(6.5)=f(2.5)=f(4-2.5)=f(1.5);c=f(7)=f(3)=f(4-3)=f(1)又Q f(0.5) <f(1) <f(1.5) \a<c<b解法2：由（1）（2）知y=f(x)的周期为T=4且在0£x£2上是增函数Q函数y=f(x+2)的图像关于y轴对称\y=f(x+2)是偶函数，f(2+x)=f(2-x) (xÎR)\f(x)=f[2-(2-x)]=f[2+(2-x)] =f(4-x)\ f(x)=f(4-x) (xÎR)Q y=f(x)的周期为T=4，\ f(x)=f(4-x)=f(-x)\y=f(x)是偶函数∴a=f(4.5)=f(0.5);b=f(6.5)=f(8-1.5) =f(-1.5)=f(1.5);c=f(7)=f(8-1)=f(-1)=f(1)又Q f(0.5) <f(1) <f(1.5)\a<c<b解法3：由y=f(x+2)的图像向右平移2个单位得y=f(x)的图像Q函数y=f(x+2)的图像关于y轴对称\直线x=0是y=f(x+2)图象的对称轴,又直线x=0向右平移2个单位得到直线x=2.故直线x=2是函数y=f(x)的图象的对称轴，则有f(2+x)=f(2-x) (xÎR) （以下同解法2）点评：函数y=f(x+2)的图像关于y轴对称Þy=f(x+2) 是偶函数Þf(2+x)=f(2-x) (xÎR)例6：已知奇函数f(x), xÎR满足f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2) 则f(3)=________A. 0B. 1C. 32D. 5解法1：Q f(x+2)=f(x)+f(2)令x=1得f(3)=f(1)+f(2)=1+f(1) ①令 x=-1得f(-1+2)=f(-1)+f(2)\ f(1)=f(-1)+f(2)Q y=f(x)为奇函数\ 2f(1)=f(2)=1 \f(1)= 12代入①得 f(3)=32故选 C解法2：Q f(x+2)=f(x)+f(2) ①又f(x)为奇函数令x=-1得f(1)=f(-1)+f(2) f(2)=2f(1)=1 f(1)= 1 2又Q f(x+2)=f(x)+f(2) 用-x代换 x, 得f(-x+2)=f(-x)+f(2)=-f(x)+f(2)\f(x)+f(-x+2)=f(2) 代入①得 f(x)= 12[f(2+x)-f(2-x)] Q f(x)是奇函数\f(x)= 12[f(x+2)+f(x-2)] (x ÎR) 令x=1得 f(1)= 12[f(3)+f(-1)] \ f(3)=f(1)+2f(1)=3f(1)= 32选C点评：y=f(x) (x ÎR)是奇函数Þ f(-x-2)=-f(x+2) (x ÎR)y=f(x+2) (x ÎR)奇函数Þ f(-x+2)=-f(x+2) (x ÎR)例7：（2005年«数学天地»函数单元练习第8题）函数的定义域为R ，已知f(x+1)为奇函数，当x ＜1时f(x)=2 2x -x+1,那么当x ＞1时f(x)的递减区间为________A.[ 54,+∞)B.(1, 54]C. (1, 74]D.[ 74,+∞) 解：∵f(x+1)为奇函数∴f(-x+1)=- f(x+1)，设x+1＜1 ∴x ＜0 ,-x+1＞1∵x ＜1时f(x)=2 2x -x+1,∴f(-x+1)=- f(x+1)=-[2 2(1)x +-(x+1)+1]=-2(2x +32x)-2=-2(x+34)2-78令t=-x+1(x ＜0) ∴ x=-t+1（t ＞1） ∴f(t)=-227()4t -+-78=-2(t-74)2-78(t ﹥1) 当x ＞1时f(x)的递减区间为[ 74,+∞) 故选D 练习1.(2005年黄冈中学)函数y=f(x)在(0,2)上为增函数，函数y=f(x+2)为偶函数，则有________ A. f(72)<f(52)<f(1) B. f(1) <f(52)<f(72) C. f(52)<f(1) <f(72) D. f(72)<f(1) < f(52)2．已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数,且g(x)=f(x-1)， 若f(1)=0则g(2006)的值为______3.（2006年华师一附中适应性试题）已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=f(x-1). 当x Î(0,1)时，f(x)= ㏒211x- 则y=f(x)在(1,2)内是________ A. 单调递增函数且f(x)＜0 B. 单调递减函数且f(x)＞0C. 单调递增函数且f(x)＞0D. 单调递减函数且f(x)＜04．定义在R上的偶函数f(x)在区间[-2，0]上是单调递减函数，且y=f(x+2)也是偶函数，设a=f(-1.5),b=f(),c=f(5)则a,b,c的大小顺序是__________A. b<c<aB. c<b<aC. a<b<cD.b<a<c由于点p(x,f(-kx+b))与点'p(-x,f(-kx+b)) (xÎR) 关于y轴对称,所以函数y=f(kx+b) 为偶函数Þ f(-kx+b)=f(kx+b) (k¹0， xÎR) 由于点M(x,f(-kx+b))与点'M(-x,-f(-kx+b)) (xÎR) 关于原点对称, 所以函数y=f(kx+b)为奇函数Þ f(-kx+b)=- f(kx+b) (k¹0， xÎR) 一般地；当xÎ（- ¥，+¥）时：y=f(kx+b) 为偶函数Þ f(-kx+b)=f(kx+b) (k¹0)y=f(kx+b) 为奇函数Þ f(-kx+b)=- f(kx+b) (k¹0)y=f(x) 为偶函数Þ f(-kx-b)=f(kx+b) (k¹0)y=f(x) 为奇函数Þ f(-kx-b)=-f(kx+b) (k¹0)进而推广，已知f(x)的奇偶性，如何求f[-t(x)]或f[t(-x)]；或者已知f[t(x)]的奇偶性，如何求f[-t(x)]或f[t(-x)]这样两个问题。