中考相似三角形之常用辅助线
中考数学压轴题——辅助线典型用法
中考压轴题（典型辅助线用法）一、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线，得到一对全等直角三角形。
（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一。
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°。
二、四边形中常见辅助线的添加（特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）1.和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形。
（2）利用两组对边平行构造平行四边形。
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形。
2.与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
3.和菱形有关的辅助线的作法（连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题）（1）作菱形的高。
（2）连结菱形的对角线。
4.与正方形有关辅助线的作法正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。
5. 与梯形有关的辅助线的作法（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形。
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形。
相似三角形之常用辅助线
相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。
而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。
专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
定理得基本图形:例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习:已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。
例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF变式1、如图,△ABＣ中,AB<AC,在AB、ＡC上分别截取BD=ＣE,ＤE,ＢC得延长线相交于点F,证明:ＡB·DF=AC·EF。
例4、已知:如图,在△AＢＣ中,AD为中线,Ｅ在AＢ上,ＡE=AC,CＥ交AD于F,ＥＦ∶FＣ=３∶5,EB=8cm，求AB、AC得长、变式:如图,,求。
(试用多种方法解)说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.总结:(1)遇燕尾,作平行,构造字一般行。
(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段得比得前项或后项,在同一直线得线段得端点作为引平行线得EF EF EFEF点。
2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形例1、，，那么吗？试说明AC BD AC BC CA CD ⊥=⋅22理由？(用多种解法)v变式练习:平行四边形ABC Ｄ中,ＣE ⊥A Ｅ,ＣF ⊥AF,求证:A Ｂ·AE+AD ·AF=AC 2例２、如图,RtA ＢC 中,ＣD 为斜边ＡB 上得高,E 为CD 得中点,AE 得延长线交B Ｃ于Ｆ,ＦG ＡB 于G,求证:FG ＝ＣFBF【练习】1.如图,一直线与△ABC 得边AB,AC 及BC 得延长线分别交于D,Ｅ,F 。
2019中考数学相似三角形的性质解题技巧
2019中考数学相似三角形的性质解题技巧
取得中考胜利，需要现在就行动。
小编整理了2019 的性质解题技巧内容，以供大家参考学习。
2019中考数学相似三角形的性质解题技巧
1、三角形叉叉图(即三角形内部画一把叉)
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线
遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例
2、三角形的可解性
在一个三角形中，必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量，若已知其中任意三个不全为角的条件，则可求出其他八个条件(简称知三求八)。
常见辅助线做法：作三角形边上的高
遵循原则：
①特殊角原则，即作高时常常把特殊角放在直角三角形中进行求解
②最长边原则，即作高时常常选择作最长边上的高，使得高在内部
③偶数边原则，即常常将偶数边作为直角三角形的斜边，方便计算
3、线段求法
①勾股定理(利用可解性求解);②面积法;③想似
4、线段长度求法
①计算比：直接计算线段长度
做法：利用可解性直接求出所求比例线段的数值
②共线比：所求比例的两条线段在同一条直线上
做法：利用三角形叉叉图，构造平行线求解
③共三角形比：所求比例的两条线段在同一个三角形中
做法：寻找或者构造与之相似且知内比的三角形进行求解
④相似比：所求比例的两条线段在两个相似三角形中
做法：找到两条线段所在的两个相似三角形，利用相似比求解。
中考数学10大类辅助线
中考数学10大类辅助线中考数学常见的辅助线方法有很多种，可以根据题目的特点和计算的需要来选择适当的辅助线方法。
以下是常见的十大类辅助线方法：1.垂直线：通过绘制垂直线可以将几何图形划分为各个部分，方便计算和推导。
垂直线常用于求证和求交点等问题。
2.平行线：通过绘制平行线可以将几何图形划分为等价的部分，方便进行比较和推导。
平行线常用于求证和相似三角形等问题。
3.对角线：通过绘制对角线可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。
对角线常用于求面积和相似多边形等问题。
4.中垂线：通过绘制中垂线可以将线段划分为等分的两部分，方便计算和推导。
中垂线常用于求证和等腰三角形等问题。
5.角平分线：通过绘制角平分线可以将角划分为等角的两部分，方便计算和推导。
角平分线常用于求证和相似三角形等问题。
6.高线：通过绘制高线可以将三角形划分为底边和顶点的垂直线段，方便计算和推导。
高线常用于求证和面积等问题。
7.过中点的连线：通过绘制过中点的连线可以将线段或图形划分为对称的两部分，方便计算和推导。
过中点的连线常用于求证和相似图形等问题。
8.过交点的连线：通过绘制过交点的连线可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。
过交点的连线常用于求证和相似三角形等问题。
9.辅助圆：通过绘制辅助圆可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。
辅助圆常用于求证和相似图形等问题。
10.分割线：通过绘制分割线可以将几何图形划分为等价或相似的部分，方便计算和推导。
分割线常用于求证和比例等问题。
以上是中考数学常见的十大类辅助线方法的简介。
使用辅助线可以在解题过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。
在实际应用中，需要根据题目的具体要求和解题步骤选择适当的辅助线方法，灵活运用，有助于提高数学解题能力。
初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!
初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!1.垂线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条垂线AD，垂足D位于BC边上。
通过垂线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。
2.中线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。
通过中线可以将三角形分成三个等边三角形，进而使用等边三角形的性质解决问题。
3.角平分线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条角平分线AD，使得∠CAD=∠BAD。
通过角平分线可以将一个角平分成两个相等的角，从而使用相等角的性质解决问题。
4.内切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其内切圆，该圆与三角形的三条边都相切。
通过内切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。
5.外切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其外切圆，该圆与三角形的三条边都相切。
通过外切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。
6.高线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条高线AH，垂足H位于BC边上。
通过高线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。
7.中位线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中位线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。
通过中位线可以将三角形分成三个面积相等的三角形，进而使用面积相等的性质解决问题。
8.三角形的对称性：对于任意三角形ABC，可以观察到三个顶点关于其中一条边的对称性，根据这种对称性可以找到一些相等的角或边，从而简化问题的解决。
9.倒错：对于任意三角形ABC，可以考虑将这个三角形倒转或翻转，从而改变三角形的位置和形态，进而简化问题的解决。
10.几何图形的组合：对于给定的三角形ABC，可以考虑将它与其他几何图形进行组合，例如，与一个正方形、矩形或平行四边形组合，从而改变问题的形式，解决新问题。
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析.
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
中考专题之与三角形有关的辅助线
第一节等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”如图,她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”;数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说：“彬彬的做法是正确的,而文文的做法需要订正;”1请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；2根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程;例2、如图,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E为DC的中点;求证：∠ABE=∠CBE;例3、已知：如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,在CD延长线上取一点F,使FE=FC,EF交AD于P;求证：AE=2DF;连接CE,取CE中点HFHE全等于FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5CH=根号5CE/2=根号5根号5BE/2=BE5/2=AB5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/21/2=AE1/2例4、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F;求证：DF=EF;DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF综合演练：1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE＋CF=2;1求证：△BDE≌△BCF；2判断△BEF的形状,并说明理由；3设△BEF的面积为S,求S的取值范围;1AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全等于△BCF2由1得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等边三角形33√3/4<=S<=√3第二节直角三角形常用的辅助线例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证：AC＋CD=AB;综合演练：Rt 斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处;则∠A等于1、如图,CD是ABCA、25°B、30°C、45°D、60°2、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;1在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将△EFP沿直线l向左平移到图2所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ;猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图3所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ;你认为图2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由;3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM第三节全等三角形的辅助线例1、已知：如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF;求证：AC=BF;例2、1已知：如图1在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC;求证：∠BAD＋∠C=180°;2已知：如图2在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D;求证：∠BAD=∠DAC＋∠C;例3、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB 的度数;例4、已知：如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A＋∠BCD=180°;求证：AD=DC;例5、已知：如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB;求证：AE=CF;例6、已知：如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP＋∠OBP=180°;求证：AO＋BO=2OC; 例7、如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O;求证：AC=AE＋CD;综合演练：1、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN;探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明;说明：1如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明;①AN=NC如图②；②DM∥AC如图③;附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由;① ② ③ ④2、如图,两个全等的含30°,60°的三角形ADE 和ABC,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME 、MC,试判断△EMC 的形状,并说明理由;3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图②,量得他们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合;在图③至图⑥中统一用F 表示;小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决;1将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;2将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,F A 1交DE 于点G,请你求出线段FG 的长度; 3将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 交DE 于点H,请证明：AH=DH;① ② ③ ④ ⑤ ⑥4、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC;1如图1,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC ；2如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC ；3若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗 请画图表示;1 25、请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A,B,E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连结PG ,PC;若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PC PG 的值; 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决;请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：1写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG 的值； 2将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图2;你在1中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明;3若图1中∠ABC=∠BEF=)900(2 <<αα,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出PCPG 的值;用含α的式子表示1 2第四节相似三角形中常用的辅助线例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H, 求FG：GH：HC;例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE;点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G;求：BG：BD的值;例3、已知：如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE：ED=2AF：FB;例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2;试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形△ABC 相似,求AE的长;例5、如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D 在AB 的延长线上,且BD=AB,动点P 在线段BC 上移动,作直线DP 交AC 于点E;设BP=x ,AE=y ;1求y 关于x 的函数解析式及定义域；2当PB 为何值时,直线DP 恰将△ABC 的面积平分例6、如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG 的顶点D 在AB 上,E 、F 在BC 上,G 在AC 上;1设BE=x ,y S DEFG 四边形,求y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围;2连结EG,当x 取何值时,EG ∥AB 求此时矩形DEFG 的面积;例7、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a ;试问：能否在边AB 上找到点P,使得△ADP 与△BCP 相似 并说明a 的取值对点P 的个数是否有影响,请加以说明;例8、如图,在△ABC 内有一点O,连结AO 、BO 、CO 并分别延长后与BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F;求证：1=++CFOF BE OE AD OD ;综合演练：1、已知：如图,在△ABC 中,D 为AB 边上一点,∠A=36°,AC=BC,AD AB AC ⋅=2;1试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形；2若AB=1,求AC 的值；3试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形;标明各角的度数2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB 、PQ,并且AB ∥PQ;建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M,交PQ 于点N;小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮; 1请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置用点C 标出2已知MN=20m ,MD=8m ,PN=24m ,求1中的点C 到胜利街口的距离CM;3、已知：如图1,在ABC Rt ∆中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,速度为1cm ∕s ；点Q 由A 出发沿CA 方向向点C 匀速运动,速度为2cm ∕s ；连结PQ;若设运动的时间为)20)((<<t s t ,解答下列问题：1当t 为何值时,PQ ∥BC2说明理由；4如图2,连结PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形C PQP ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形C PQP '为菱形 若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由;1 24、如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB ∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A 与点C 重合,折痕为EF,已知CE ⊥AB;1求证：EF ∥BD;2若AB=7,CD=3;求线段EF 的长;5、如图,在ABC Rt 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ ⊥BC 于Q,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动;设BQ=x ,QR=y ; 1求点D 到BC 的距离DH 的长；2求y 关于x 的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由;。
中考数学压轴题常见辅助线
中考数学压轴题常见辅助线LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】一、添辅助线有二种情况：1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,连结BE 并延长交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，，1==AE DE FEPE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DCBC DQBF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 21==；TC BT EF BE =，DC BT 25=例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
相似三角形中的辅助线与常见模型
相似三角形中的辅助线与常见模型相似三角形的性质、定理都是由“平行线分线段成比例”定理衍生出的，在其中隐藏着许多基本图形，我们需要灵活运用基本图形，才能掌握添加辅助线的规律。
第一层次：直接从题设图形中寻找基本图形。
从已知图形和结论特征中发现，挑选出平行线是关键；第二层次：根据题意特点（如题目中出现的比例式或涉及的比例线段），构造图形。
方法1：以FA/FB为主体，以∠F为公共角，BC为一条边，过A 作AG//BC。
这样就构造出了A型及X型。
方法2：以FA/FB为主体，以∠F为公共角，AE为一条边，过B 作BG//AE。
这样就构造出了A型及一对全等三角形。
方法3：以FA/FB为主体，以∠FAE为对顶角，过B作BG//AE。
这样就构造出了A型及X型。
方法4：如左下图，以AE/CE为主体，以∠FAC为公共角，过点C作CG//FD交BF延长线于点G，构造出两组A型，分别在▲ACG 与▲BCG中。
方法5：如右下图，以AE/CE为主体，∠FEA为对顶角，过点C作CG//FB，构造出一组X型和一对全等三角形。
方法6：同时以FA/FB与AE/CE为主体，∠B为公共角或∠C为公共角，过点A作AG//DF，构造出两组A型，分别在▲ACG与▲BDF中。
在解决此类问题时，①要注意联想平行线分线段成比例的几个基本图形（A型或X型）；②考虑所构造出的A型及X型后所得的线段与所要证明的比例式中线段的内在联系。
方法7：由于图中出现了燕尾形三角形，因此本题也可以借助梅氏定理进行解决。
以三角形ABC 为三角形，直线DEF为截线，则有：(链接：梅氏定理）1、A型或斜A型2、X型或斜X型3、共边共角型（子母三角形）3-1、直角三角形中的共边三角形3-2、一线三等角模型（等腰三角中）3-3、一线三等角模型（正方形中）4、双垂型三角形（4对相似三角形）5、手拉手模型（链接：手拉手模型）在与比例线段和相似三角形的证明中，往往隐藏着以上的这些模型，在证明或计算时，先观察是否可以直接应用模型，如果没有模型，则根据已知或结论之间的关系构造辅助线。
常见三角形辅助线口诀
初二几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为三角或平四。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。
四、角平分线+平行线如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。
由线段和差想到的辅助线五、截长补短法AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。
相似三角形添加辅助线的方法举例
相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。
例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。
2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。
这些中位线的交点被称为三角形的重心。
通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。
3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。
4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。
例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。
5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。
以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。
在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。
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中考相似三角形之常
用辅助线
Revised on November 25, 2020
相似三角形之常用辅助线
在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC
变式练习：
已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想）
例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若
DC
BD ＝FA FC
=2,求BE:EA 的比值.
变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE
ED =2,求BE:EA 的
比值.
例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF
变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF 。
例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm,
求AB 、AC 的长.
变式：如图，21==DE AE CD BD ，求
BF
AF。
（试用多种方法解）
CD
BD
AC AB =A B C
E
F A B C E
F A B
C
E
F A B
C E
F
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：
（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形
例1
、
理由（用多
种解法） v
变式练习：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2
例2、如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF •BF 【练习】
1．如图，一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D ，E ，F 。
求证：若
CF
BF
EC AE =，则D 是AB 的中点。
2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，
求DF ：FE 的值。
A
B C D
E
F
3.已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，求AE：EC。
4、如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC
B
延长线相交于F，求证：
D
A C
E
F。