【举一反三】四年级奥数第6讲巧妙求和(一)终版.pptx
四年级奥数举一反三第三至六周(课件)
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（ ）2 1 （ ）
第十二页，共28页。
例2 下面的算式(suànshì)中四个字 母分别代表四个数，你能求出来吗？
谁来说一说.
新
新年(xīnnián) 新年(xīnnián)快 新年(xīnnián)快乐
+
—————————————————————
第八页，共28页。
例3 有5盒一样的茶叶，如 果(rúguǒ)从每盒中取出200 克，那么5盒茶叶中剩下的 茶叶正好和原来4盒茶叶的 质量相等。原来每盒茶叶有 多少千克？
第九页，共28页。
例4 一个木器厂要生产一 批课桌(kè zhuō)。原计划 每天生产60张，实际每天比 原计划多生产4张，结果提 前一天完成任务。原计划要 生产多少张课桌(kè zhuō)？
框里填上合适的数字。
76
18
31
ห้องสมุดไป่ตู้
0
第十七页，共28页。
例2：
在下面(xiàmian)的方格中填上合适 的数字。 1
1
2
1
7
0
第十八页，共28页。
例3：用数字替换下面算式 (suànshì)中的字母，是算式 (suànshì)成立。
DCB A
+A B C D
AB C D 0
第十九页，共28页。
例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、 9这九个数字之间加上“+”“-” 两种运算符号(fúhào)，使其结果等 于100（数字的顺序不能改变）。
第十页，共28页。
例5 有两盒图钉(túdīng)，甲盒有72只， 乙盒有48。从甲盒里拿出多少只放入乙盒， 才能使两盒中的图钉(túdīng)一样多？
小学四年级奥举一反三(40讲)
四年级数学奥数培训资料姓名：__________________ 小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲（全精品）目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题四年级数学奥数培训资料姓名：__________________第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
举一反三4年级数学奥数PPT课堂讲义课件
【练习4】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，3，8，21，（ ），144 （4）3，7，15，31，63，（ ），（ ） （5）33，17，9，5，3，（ ） （6）0，1，4，15，56，（ ） （7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）
1、
2、
3、
【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规 律直接写出后几题的得数。
12345679×9=
12345679×18=
12345679×54=
12345679×81=
【思路导航】
题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”， 与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组 题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包 含几个111111111。
【例题2】
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 1，2，4，7，（ ），16，22
【思路导航】
四年级奥数《举一反三》全的
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第21讲速算与巧算（二）第22讲平均数问题第23讲定义新运算第24讲差倍问题第25讲和差问题第26周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
四年级奥数巧妙求和(一)
称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？练习:1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习:计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习:用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。
（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。
四年级奥数《举一反三》
四年级奥数举一反三小学四年级奥数举一反三目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算- 1 -第21讲速算与巧算（二）第22讲平均数问题第23讲定义新运算第24讲差倍问题第25讲和差问题第26讲巧算年龄第27讲较复杂的和差倍问题第28讲周期问题第29讲行程问题（一）第30讲用假设法解题第31讲还原问题第32讲逻辑推理第33讲速算与巧算（三）第34讲行程问题（二）第35讲容斥原理第36讲二进制第37讲应用题（三）第38讲应用题（四）第39讲盈亏问题第40讲数学开放题- 2 -四年级奥数举一反三第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一奥数（即奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生逻辑思维能力和解决问题技巧的数学竞赛活动。
对于四年级学生而言，学习奥数可以培养他们的数学思维和动手能力，提高他们对数学的兴趣和学习效果。
在本文中，我们将从第六讲的巧妙求和一这一话题来探讨如何举一反三。
巧妙求和一：等差数列求和在第六讲中，我们遇到了一个有关等差数列的求和问题。
等差数列是由一个初始项和一个公差确定的一系列数，其中每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
通过找到这个差值，我们可以利用求和公式来快速求解等差数列的和。
以数列1，4，7，10，13为例，我们可以观察到每个数与前一个数的差值都是3。
因此，我们可以使用求和公式S = (a1 + an) * n / 2来求得该数列的和，其中a1为初始项，an为最后一项，n为项数。
在这个例子中，我们有a1 = 1，an = 13，n = 5，代入公式计算得到S = (1 + 13) * 5 / 2 = 35。
举一反三：寻找等差数列通过上述例子，我们学会了如何利用求和公式求解等差数列的和。
那么，如果我们只知道数列的和S、项数n，我们能否反过来寻找等差数列呢？答案是肯定的。
假设我们知道一个等差数列的和S为35，项数n为5，我们可以先假设初始项a1为未知数x，公差d也为未知数y。
根据求和公式，我们可以得到一个方程式：S = (a1 + an) * n / 2。
将具体数值代入方程，我们得到35 = (x + (x + (n-1)y)) * n / 2，化简得 35 = (2x + (n-1)y) * n / 2，继续化简可得 70 = 2x + (n-1)y * n，即 2x + 4y = 70。
从这个方程中，我们可以发现x和y的取值不是唯一的，但它们需要满足方程。
我们可以通过试探不同的x和y值，来寻找满足这个方程的合理解。
通过上述例子，我们可以看到在已知一些条件的情况下，通过方程求解的方法可以帮助我们寻找等差数列。
小学奥数举一反三(四年级)全
出后几题的得数。 12345679〓9=
12345679 〓18=12345679〓
54=
12345679 〓81=
【思路导航】 题中每个算式的第一个因数都是 12345679，它是有趣的“缺 8 数”，与
9 相乘， 结果是由九个 1 组成的九位数， 即：111111111。不难发现， 这组题得数的规律是：
（ 6） 2，6，18，（ ）， 162，（ ）
（ 7） 128， 64， 32，（ ）， 8，（ ）， 2
（ 8） 19，3，17， 3， 15，3，（ ），（ ）， 11，3..
【例题 2】先找出下列数排列的规律， 然后在括号里填上适当的数。 1，2，4，7，（ ），
16，22
【思路导航】 在这列数中，前 4 个数每相邻的两个数的差依次是 1，2，3。由此可以
一、知识要点
观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况
下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可
二、精讲精练
【例题 1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量， 4 袋牛肉干的重等于一包巧克
力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
【思路导航】 根据“一包巧克力的重量 =两袋饼干的重量”与“ 4 袋牛肉干的重量 =一
包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量 =4 袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量 =
第三十一周 还原问题 第三十二周 逻辑推理 第三十三周 速算与巧算（三） 第三十四周 行程问题（二） 第三十五周 容斥原理 第三十六周 二进制 第三十七周 应用题（三） 第三十八周 应用题（四） 第三十九周 盈亏问题 第四十周 数学开放题
四年级奥数,举一反三,巧妙求和一
小故事
老师发现：第一个数加最后一个 数是101，第二个数加倒数第二个数 的和也是101，……共有50对这样的 数，用101乘以50得到5050。这种算 法是教师未曾教过的计算等级数的方 法，高斯的才华使老师——彪特耐尔 十分激动，下课后特地向校长汇报， 并声称自己已经没有什么可教这位男 孩的了。
此男孩叫高斯，是德国数学家、 天文学家和物理学家，被誉为历史 上伟大的数学家之一，和阿基米德、 牛顿并列，同享盛名。
练习三
计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60
例4：
求等差数列2，4，6பைடு நூலகம்…，48，50的和
练习四
计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270
卡尔·弗里德里希·高斯
例1：
有一个数列：4，10，16，22，…，52， 这个数列共有多少项？
练习一
1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2， 这个等差数列共有多少项？
练习一
2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101， 这个等差数列共有多少项？
练习一
3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001， 这个等差数列共有多少项？
巧妙求和 （一）
高斯是德国著名的数学家，也是物理学 家、天文学家、大地测量学家，他和牛顿、 阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。 他童年时就表现出了超人的数学天才。
苏教版四年级下册数学课件-6.2 巧妙求和 (共11张PPT)
1＋2＋3＋ … ＋98+99+100＝？
让我们从最简单的问题中寻找规律：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=？
4
32
1
5
11 × 5 = 55
1＋2＋3 ＋… ＋98+99+100＝？
让我们从最简单的问题中寻找规律：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 =55
遇到新问题：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 =45
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
11 11 11 111
00 00 00 000
10×9=90
90÷2=45
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋ 1
11 11 11 1 11 1 11 11 11 1 11 1
11×10÷2=55
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55
（9+14）×6÷2
= 20×6÷2 = 120÷2 = 60
（2）1、3、5、7、9……97、99
（1+99）×50÷2 = 100×50÷2 = 5000÷2 = 2500
留问课后
（1）求出下面数列中各数的和。 4、6、8、10、12
（2）求出自然数中所有两位数的和。
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/202021/3/20Saturday, March 20, 2021
巧妙求和
高斯是德国数学家、科学家，他是近代数学奠
基者之一，和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三 大数学家，有“数学王子”之称。
四年级奥数,举一反三,(巧妙求和一)
温馨提醒：亲爱的学子们，在浩瀚的知识海洋里航行，自信是船，勤奋是帆，毅力是风，你们是舵手，而我是水手，只要我们师生齐心协力，不畏艰险，就能到达胜利的彼岸。
专题讲解【巧妙求和（一）】一、【知识要点】若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、【典型例题讲解】【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
小学四年级奥数课件：举一反三巧妙求和
【例题4】 求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数
字Hale Waihona Puke 和。弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而 不是求这99个数之和。
为了方便，我们把0算进来（它不影响我们计算数字之和）
计算0～99这100个数的数字之和。 这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都 相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对， 所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和 是18×50=900。
1900+65=1965。
练习5： 1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1 =（29＋1）×29÷2 =435（次）。
练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上 自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次， 就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁 的钥匙搞乱了？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛 球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不 相等？
从第二天起，他每天读的页数都前一天多3 页，第11天读了60页，正好读完。这本书 共有多少页？
根据条件“每天读的页数都比前一天多3页”可知每天 读的页数是30、33、36、……57、60。 要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。 这是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11. 因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页）
【例题3】 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每
个人握一次手。那么共握了多少次手？
假设51个同学排成一排， 第一个人依次和其他人握手，一共握了50次， 第二个依次和剩下的人握手，共握了49次， 第三个人握了48次。 依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手， 这样，他们握手的次数和为： 50＋49＋48＋…＋2＋1 =（50＋1）×50÷2 =1275（次）.
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【例题5】 如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么
它的第8项是多少？
【思路导航】 第8项比第6项多2个公差， 第6项比第4项多2个公差， 所以33－21＝12相当于2个公差。 第8项等于第6项的数33加上2个公差。 第8项是33＋（33－21）＝45。
项数是？
2，4，6，8，10，……40。
——等差数列
名称
含义
等差数列
从第二项开始，后项与其相邻的前 项之差都相等的数列称为等差数列
公差 后项与前项的差称为公首差项是？
末项是？
2，5，8，11，14，17，20
项数是？ 公差是？
请你写一个等差数列
3，6，9，12，……，93，96 首项是__3__，末项是_9_6__ ，公差是__3__ ， 项数是_3__2_，第21项是__6_3__，总和是__1_5_8_4__。
【思路导航】 容易看出这是一个等差数列，求第100项。
首项是3，公差是4，项数是100。 根据“第n项＝首项＋（项数－1）×公差”，
第100项＝3＋（100－1）×4 ＝399
【举一反三2】 （1）求1，4，7，10，……这个等差数列的第30项。
首项是1，公差是3，项数是30。 根据“第n项＝首项＋（项数－1）×公差”， 第30项＝1＋（30－1）×3 ＝88
其中每个小括号内的两个数的和都是101。一共有100 个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除 以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100 =（1+100）×100÷2 =5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等 差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。
小学 四年级 举一反三
认识一个老朋友
你还记得什么是数列吗？ 对于数列你知道些什么？ 能举个数列的例子吗？
——数列
名称
含义
数列 按照一定顺序排列的一串数叫做数列
项
数列中的每一个数称为一项。其中， 第一项称为首项，最后一项称为末项。
项数 数列中数的个数称为项数
首项是？
3，7，11，15，19，23，27，31。 末项是？
项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1 =25
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 首项=2，末项=50，项数=25
总和＝（首项+末项）×项数÷2 ＝（2+50）×25÷2 ＝650
【举一反三4】计算下面各题。
（1）5+10+15+20+…+195+200 首项是5，末项是200，公差是5， 项数＝（末项－首项）÷公差+1 ＝（200－5）÷5+1 ＝40
即这个数列共有9项。
算出结果
【举一反三1】 （1）有一个等差数列：2，5，8，11，…，101.这 个等差数列共有多少项？
首项是2，末项是101，公差是3 项数=（末项－首项）÷公差＋1
=（101－2）÷3＋1 =34（项） 即这个数列共有34项。
【例题2】 有一等差数列：3，7，11，15，……， 这个等差数列的第100项是多少？
第8项比第5项多3个公差， 第11项比第8项多3个公差， 所以61－19＝42相当于3个公差。 第11项等于第8项的数61加上3个公差。 第11项是61＋（61－19）＝103。
谢谢
精选文档尽在此间项数＝Fra bibliotek末项－首项）÷公差＋1
？
总和＝（首项+末项）×项数÷2
3、求9+18+27+36+…+261+270的和。
首项是9，末项是270，公差是9， 项数＝（末项－首项）÷公差+1
＝（270－9）÷9+1 ＝30
总和＝（首项+末项）×项数÷2 ＝（9+270）×30÷2 ＝4185
4、如果一个等差数列的5项为19，第8项为61， 那么它的第11项是多少？
【举一反三3】计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50 ＝（1+50）×50÷2 ＝1275
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】 这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
总和=（首项+末项）×项数÷2 首项是2，末项是50，公差是2，项数是？ 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
公式①：项数=（末项－首项）÷公差＋1 项数=（96－3）÷3＋1 =32
公式②：第n项=首项+（项数－1）×公差 第21项=3+（21－1）×3 =63
公式③：总和=（首项＋末项）×项数÷2 总和=（3+96）×32÷2 =1584
——重要公式
名称
含义
项数公式 项数=（末项－首项）÷公差＋1
通项公式 第n项=首项+（项数－1）×公差
【综合练习】
1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001。 这个等差数列共有多少项？
首项是11，末项是1001，公差是5 项数=（末项－首项）÷公差＋1
=（1001－11）÷5＋1 =199（项） 即这个数列共有199项。
2、已知等差数列的首项是11，末项是101， 总和是504，这个数列共有多少项？
求和公式 总和=（首项＋末项）×项数÷2
【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.
这个数列共有多少项？
【思路导航】
容易看出这是一个等差数列，要求项数
首项是4，末项是52，公差是6
答题格式
写出首项、末项、 公差
项数=（末项－首项）÷公差＋1
写明公式
=（52－4）÷6＋1 =9（项）
将数据带入公式
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请 求出这个数列所有项的和。
【思路导航】 如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…， 3，2，1相加，则：
1＋ 2＋ 3＋…＋99＋100 ＋100＋99＋98＋…＋2＋1 ＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(99＋2)+(100+1)，