四川省绵阳市数学试题及答案
2024年9月四川省绵阳市小升初数学六年级常考应用题测试四卷含答案解析
2024年9月四川省绵阳市小升初六年级数学常考应用题测试四卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.某校参加一次数学竞赛的平均成绩是75分．选手中男生人数比女生多80%，而女生比男生的平均分高20%，女生的平均分是多少？2.一个工厂需生产300个零件，由甲批工人做完，如果甲批工人每天做55个零件，那么需要多少天？3.新联小学组织同学参观东莞市科技馆，三年级同学男生有96人，女生有72人，每8人组成一个小组，这个级一共可以分多少个小组？4.一桶油连桶共重75千克，用去一半油后，连桶带油共重45千克，原来一桶油重多少千克，桶重多少千克．5.大货车和小货车共有11辆，它们一次共运货物54吨（全部装满），大货车的载重量是6吨，小货车的载重量是4吨。
大、小货车各多少辆？6.甲乙两车从相距180千米的两地同时相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米，几小时后两车相遇？7.商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量比苹果的3倍少3千克，香蕉的重量比苹果的2倍多2千克，橘子的重量是多少千克？8.商店运来1000千克水果，上午卖出368千克，下午比上午多卖出42千克，这一天共卖出水果多少千克？9.一月份工厂三个车间完成了一季度零件生产任务的40%，已知一二三车间的产量比是9：10：11，三车间加工了165个零件．工厂一季度零件生产任务是多少个？10.五年级三班有26个男生，某次考试全班有30人超过85分，那么女生中超过85分的比男生中未超过85分的多几人？11.妈妈在服装超市打六折的柜台买了一件原价368元的上衣，在五折后再九折的柜台买了一双原价483元的皮鞋，还剩131元，妈妈原来带了多少钱？12.修一段路，第一月修了全长的2/7，第二月比第一月多修1/6，第二月修了全长的几分之几？13.甲乙两地相距306.5千米，一辆汽车从甲地到乙地，每小时行64.2千米，3.5小时后，距乙地还有多少千米？14.甲、乙两辆汽车分别同时从A、B两地同向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，经过4小时两车相距10千米．A、B两地相距多少千米．15.甲、乙两城相距504千米，一列客车和一列货车同时从两城对开，已知客车平均每小时行60千米，途中由于客车发生故障，停了1小时．两车经过3小时后两车相遇，问货车每小时行多少千米？16.粮食加工厂运出4车面粉，每车装107袋，每袋25千克．一共运出面粉多少千克？17.一块长方形麦田长400米，宽250米，如果每公顷收小麦96吨，今年计划收小麦1000吨，能完成任务吗？18.同学们去参观宝应博物馆，二年级去了54人，三年级去的人数比二年级多20人，四年级去的人数是二、三年级总人数的2倍，四年级去了多少人？19.师徒二人合做446个零件，师傅每时加工45个，徒弟每时加工38个．徒弟先做3时，师徒二人合做剩下的零件，还要多少时完成？20.甲、乙、丙三人原来共存款3460元，如果甲取出380元，乙存入720元，丙存入他原来存款的1/3，则三人存款数之比是5：3：2，甲、乙、丙三人现在存款分别是多少元？21.某仓库有货物126吨，已经运了4次，平均每次运走13.5吨，剩下的货物要3次运完，平均每次应运多少吨？22.师徒两人生产一批零件，两人生产个数的比是5：3，已知徒弟生产150个，师傅生产多少个？23.甲、乙两地相距230千米，一辆汽车由甲地开往乙地，每小时行驶40千米，125小时后汽车距乙地还有多少小时的路程？（用方程解）24.甲、乙、丙三人的年龄和为30岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半．乙是多少岁？25.春蕾小学组织同学们进行收集树种活动，计划20天收集树种120千克，实际每天比计划多收集1.5千克，收集这批树种实际用了多少天？26.李老师去体育用品商店买15只篮球，结果发现自己少带180元钱，于是改买12只篮球，可一算还差24元，想一想，每只篮球多少元？李老师带了多少钱？27.某校四、五、六年级同学去影剧院看电影，四年级137人，五年级143人，六年级162人，平均每17人坐一排，需多少排座位？28.小婷准备花一周（7天）的时间看一本230页的故事书，前三天每天看30页，剩下的平均每天看多少页才能按时看完？29.妈妈到新世纪超市买了一瓶洗衣液和一桶色拉油．洗衣液21.20元/瓶，色拉油58.80元/瓶．她给了100元，收银员应该找回多少钱？30.爸爸24元钱买了3千克鱼，每千克牛肉的价钱是16元，牛肉的单价是鱼的几倍？31.工程队铺设一条长1500米的公路，已铺设了4天，每天铺设150米．余下的每天铺设180米，还要几天铺设完成？32.甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，反向而行．甲车平均每小时行90千米，乙车平均每小时行110千米．经过3小时，两车之间相隔多少千米？33.王芳看一本180页的故事书，第一天看了这本书的1/4，第二天看了余下的1/3，第二天看了多少页？34.甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没付钱．等吃完结算，丙应付4角钱，那么甲应收回钱多少分．35.一块长方形试验田，长200米，宽60米，现在长增加300米，宽增加50米，这块试验田现在的面积有多少平方米？36.小学小记者站有学生30人，比合唱队人数多10人，华南小学合唱队有多少人？37.甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行的路程比甲车多14千米．两车对开4小时后，还相距25千米．两地间的路程是多少千米？38.甲乙两地铁路长822千米，一列火车于3月25日上午11时从甲城开往乙城，当日晚上7时到达．这列火车每小时行多少千米？39.五（1）班昨天的出勤率是96%，昨天48人到校，有多少人有事请假？40.一本故事书326页．小红平均每天看18页，看了3天后，剩下的平均每天看34页，还需要多少天才能将这本书看完？41.一个长方形游泳池，长50米，宽25米．沿游泳池走一周是多少米？42.甲、乙、丙三人共同加工一批零件．已知甲、乙共加工224个，乙、丙共加工240个，甲、丙共加工208个，求甲、乙、丙三人平均加工多少个？43.3月小区4号楼共有50家住户．如果平均每家每月用电120千瓦时，这个小区一个月共用电多少千瓦时？如果每家每月节约用电12千瓦时，这个小区一年可以节约用电多少千瓦时？44.甲数的3倍比乙数的4倍少13，已知乙数为34，求甲数．45.一个长方体的食品盒，长15厘米，宽12厘米，高20厘米．如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？46.一个木工厂要做2418套家具，已经做了15天，每天做135套，还剩多少套没有做？47.1千克苹果的价格是5/2元，妈妈买了9/10千克．用去了多少钱？48.师徒两人加工一批零件，师傅工作4小时，平均每小时加工48个；徒弟工作6小时，平均每小时加工29个；谁加工零件总数多一些？49.东方机床厂，前11天共生产机床346台，后14天平均每天产36台，这个机床厂平均每天产机床多少台？50.挖一个长和宽都是5米的长方体菜窖，要使菜窖的体积是50立方米，应挖多深？51.某次会议共有129人参加，如果你与每人握一次手，那么你共握手多少次？52.学校食堂买了156千克青菜，吃了4天后还剩64千克．平均每天吃多少千克青菜？53.李强爬一座山，上山时每小时行4千米，沿原路返回下山时每小时行5千米，上山、下山共用了4.5小时，山下距山顶多少千米？54.一个圆锥形容器，高30cm，底面积是94.2cm2，把里面的水倒入一个底面积为31.4cm2的圆柱形容积中，水面高多少？55.甲乙两城相距1230千米．两辆汽车同时从两城相对开出，甲城开出的汽车每小时行49.8千米，乙城开出的汽车每小时行52.7千米．几小时后两车相遇？56.某工程队修一段公路，第一期修了全长的1/2，第二期修了800米，还剩下全长的30%没有修．这段公路长多少米？57.一个圆柱形的容器内装有水若干，圆柱的底面半径为20厘米，高为50厘米（不考虑容器的厚度），现在往水面上放一块圆柱形状的冰，冰融化后容器内的水正好满了（冰在放置和融化过程中没有水溢出）．已知圆柱形冰的底面半径是10厘米，高为30厘米，冰融化后体积减少10%，问容器内原来的水面有多高？58.六年级一个劳动小组要帮助校办厂糊2640个纸盒，实际3天就糊了240个．照这样计算，剩下的纸盒还要多少天？59.五年级全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了3种水果，其中苹果40个，梨32个，橘子26个，那么，带梨和橘子的有多少个同学？60.小华和小冬进行数学比赛，商定算对一道题给20分，错一道题倒扣12分，小华和小冬各算了10道题．两人共得208分，小华比小冬多得64分．问：小华和小冬各算对了多少道题？61.一个修路队修一段路，已经修了540米．剩下的长度是已修的5倍，这一段路全长多少米？62.印刷厂的男职工与女职工人数的比是4：3，已知女职工有156人，全厂职工共有多少人？63.李老师给舞蹈队的22名学生每人买一套同样的舞蹈服，每套42元。
2024届四川省绵阳市部分学校数学八下期末学业水平测试试题含解析
2024届四川省绵阳市部分学校数学八下期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．将分式22x x y -中的x ，y 的值同时扩大为原来的2015倍，则变化后分式的值（ ） A ．扩大为原来的2015倍B ．缩小为原来的12015C ．保持不变D ．以上都不正确2．某铁工艺品商城某天销售了110件工艺品，其统计如表：货种 A B C D E销售量（件） 10 40 30 10 20该店长如果想要了解哪个货种的销售量最大，那么他应该关注的统计量是（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差3．把一根长7m 的钢管截成2m 长和1m 长两种规格的钢管，如果保证没有余料，那么截取的方法有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 4．使二次根式有意义的x 的取值范围为A ．x≤2B ．x≠－2C ．x≥－2D ．x ＜25．已知第一象限内点(4,1)P a +到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ）A ．3B ．4C ．－5D ．3或－56．己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形7．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =;②当2x >时，0y <；③当0x <时，3y <． 其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①③②8．如图，将等边△ABC沿直线BC平移到△DEF，使点E与点C重合，连接BD，若AB＝2，则BD的长为（）A．2B．C．3 D．29．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．910．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a2＝b2，则a＝b；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．以上命题为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．若关于x的不等式3x-2m≥0的负整数解为-1，-2，则m的取值范围是（）A．96m2-≤<-B．96m2-<≤-C．9m32-≤<-D．9m32-<≤-12．将直线y＝﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是（）A．y＝﹣7x+7B．y＝﹣7x+1C．y＝﹣7x﹣17D．y＝﹣7x+25二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为___．14．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.15．化简2211xy x y x y ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的结果是______． 16．4的算术平方根是 ．17．如图，双曲线y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB′C ，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 ．18．若点(), 1A a 与点()3-B b ，关于原点对称，则b a =_______________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy ，ABC 的三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，2)．（1）平移ABC ，使得点A 的对应点为A 1(2，﹣1)，点B ，C 的对应点分别为B 1，C 1，画出平移后的A 1B 1C 1； （2）在（1）的基础上，画出A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到的A 2B 2C 2，其中点A 1，B 1，C 1的对应点分别为A 2，B 2，C 2，并直接写出点C 2的坐标．20．（8分）学校为了更新体育器材，计划购买足球和篮球共100个，经市场调查：购买2个足球和5个篮球共需600元；购买3个足球和1个篮球共需380元。
2022-2023学年四川省绵阳市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省绵阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．设复数(1)z i i =⋅-，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．-1D ．-i【答案】C【分析】结合复数的四则运算，计算z ，得到虚部，即可．【详解】1i z =--,所以z 的虚部为-1，故选C ．【点睛】本道题考查了复数的运算，关键化简复数z ，难度较容易．2．平面向量()1,2a =- ，()2,b x =- ，若//a b，则x 等于（）A ．4B ．2C ．1-D ．4-【答案】A【分析】根据向量共线列方程，从而求得x .【详解】由于//a b，所以()()1224x x ⋅=-⋅-⇒=.故选：A3．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π【答案】A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.4．在ABC 中，若cos a B c =，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到()sin cos sin sin A B C A B ==+，再结合三角函数恒等变换得到cos 0A =，即可得到答案.【详解】因为cos a B c =，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B .因为sin 0B >，所以cos 0A =.又因为00A <<18 ，所以90A = ，ABC 为直角三角形.故选：B5．已知3cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．29-B ．13-C ．29D ．13【答案】B 【分析】由223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题，因为223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以2231sin 2sin 2cos 22cos 1213122121233πππππθθθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故选：B6．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图像关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭内单调递增【答案】A【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.【详解】因为1tan ()22tan f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 错；()|tan()||tan |()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()|tan |f x x =的图像可知，C 、D 均正确，故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,(0ω>)在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是（）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,根据2536x ππ-≤≤,得出253363X πωππωπ-+≤≤+.再根据sin y X =的单调性得出25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得15ω≤.又因为0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,函数在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,可得5232ππππω≤+<,即可解得11366ω≤≤.解法二:(特殊值法)带入特殊值当12ω=,112ω=,逐项排除即可.【详解】解：解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,2536x ππ-≤≤,则253363X πωππωπ-+≤≤+.所以函数sin y X =在区间25,3363πωππωπ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而可得25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则22335632ππωππωππ⎧-≤-+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得15ω≤.当0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,所以函数sin y X =在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,所以5232ππππω≤+<,解得11366ω≤≤.综上所知1165ω≤≤.故选:C解法二:(特殊值法)当12ω=时,令23x X π=+,2536x ππ-≤≤,则304X π≤≤,则函数sin y X =在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,所以12ω=不合题意,排除B 、D .当112ω=时,令123x X π=+,0x π≤≤,则5312X ππ≤≤,则函数sin y X =在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦取不到最大值1,所以112ω=不合题意,排除A .故选:C【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数ω的取值,属于基础题.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．若||0a = ，则0a=B ．0AB BA += C ．若21,e e 为单位向量，则12e e = D ．||aa是与非零向量a 共线的单位向量【答案】ABD【分析】对于选项AC ，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B ，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D ，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误.【详解】选项A ，因为||0a = ，根据零向量的定义知，0a=，故选项A 正确；选项B ，根据向量加法的运算法则知，0AB BA +=，故选项B 正确；选项C ，21,e e 为单位向量，则有12e e = ，但1e 与2e可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C错误；选项D ，因||aa的模长为1，且与向量a 同向，故选项D 正确.故选：ABD10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）A ．7,36b c C π===，B ．564b c C π===，，C ．6333a b B π===，，D ．20156a b B π===，，【答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.【详解】A 选项有无穷多解，显然错误；B 中，因为52sin 2b C =，C 为锐角，所以sin b C b c <<，所以该三角形有一解，B 正确；C 中，因为sin 33a B =，B 为锐角，所以sin b a B =，所以该三角形有一解，C 正确；D 中，因为sin 10a B =，B 为锐角，所以sin a B b a <<，所以该三角形有两解，D 错误.故选：BC11．已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减D ．该图象向右平移π12个单位可得2sin 3y x =的图象【答案】AD【分析】根据图象求出()y f x =的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC ，根据图象的平移变换可判断D.【详解】由图象可得()f x 的最大值为2，即2A =，2πππ4412T ω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即3ω=，所以()()2sin 3f x x ϕ=+，因为π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确；对于B ，因为()25π12sin π0f ⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭，所以错误；对于C ，当2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π7ππ3,444x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；对于D ，该图象向右平移π12个单位可得ππ2sin 32sin 3124y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故正确，故选：AD12．已知函数()sin cos f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．它是偶函数B ．它是周期为2π的周期函数C ．它的值域为1,2⎡⎤-⎣⎦D ．它在()-π,2π这个区间有且只有2个零点【答案】ACD【分析】根据函数奇偶性定义可知，()()f x f x -=，即A 正确；由周期函数得定义可知，()2πf x +与()f x 不一定相等，故B 错误；将函数()f x 写成分段函数的形式并画出函数图像可得C 正确；结合C 以及偶函数的性质，可判断D 正确.【详解】由于()()sin cos()sin cos f x x x f x x x -=-+-==+，所以它是偶函数，故A 正确；由于π7π2,044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即B 错误；现在来考察这个函数在[]0,2πx ∈内的情况.当π30,π,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()πsin cos sin cos 2sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭当π3,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 2sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：由此可知函数值域为1,2⎡⎤-⎣⎦，即选项C 正确；又由于这个函数是偶函数，它在[]π,π-内没有零点，而在[]π,2π有2个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C 选项时，首先可讨论[]0,2πx ∈时的函数解析式，画出图形；当[]2π4πx ∈，时图像重复[]0,2πx ∈的图像，而[]2π0x ∈-，时，关于y 轴作出对称图像即可.三、填空题13．已知复数21iz i=-，则z =________．【答案】2【详解】试题分析：()()()()21211111i i iz i i i i i i +===+=-+--+，所以 2.z =【解析】复数模的概念与复数的运算.14．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，2b = ，若()a ab ⊥+ ，则a = ______.【答案】1【解析】由()a a b ⊥+，得到22cos 03a ab π+= ，进而得到20a a -= ，即可求解.【详解】由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b ⋅+= ，所以20+⋅= a a b ，即22cos03a ab π+= ，又由2b = ，可得20a a -=，解得0a = (舍)或1a = .故答案为：1.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直条件的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直条件的运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．化简：()40103sin tan ︒︒-＝________.【答案】－1【详解】原式sin10sin 40 (3cos10＝－︒︒︒)()sin402sin40 sin1 03cos1 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝－＝(13sin1 0 cos1 0)22︒︒－2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16．如图，直角三角形PQR 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且23PQ =，2QR =，2PQR π∠=，则AB 长度的最大值为_________【答案】4213【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，,60AB BC B C =∠=∠=︒，设QRC θ∠=，则根据题意有：180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-，9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒BPQ 中，180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-BQP 中，根据正弦定理得：()23·sin 150·sin sin sin sin sin 60BQ PQ PQ BPQBQ BPQ B B θ︒-∠=∴==∠∠∠︒RQC 中，根据正弦定理得：·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒()23·sin 1502sin sin 60sin 60AB BC BQ QC θθ︒-∴==+=+︒︒化简计算得：()421sin 3AB θϕ=+（3tan 5ϕ=）当()sin 1θϕ+=时，AB 有最大值4213.故答案为：4213.四、解答题17．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，求：(1)求向量a b +与a b - ；(2)求向量a 与b的夹角.【答案】(1)()2,1a b +=--，()4,3a b -=- (2)135【分析】（1）利用向量的坐标运算可得答案；（2）利用向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- .（2）5a = ，5a = ，325a b ⋅=--=-，52cos 2510a b a bθ⋅-===-⨯ ，∴135θ= .18．已知函数22()23sin cos cos sin f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】(1)π，π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）将简函数为π()2sin(2)6f x x =+，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；（2）通过x 的范围，求出π26x +的范围，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；【详解】（1）因为22π()23sin cos cos sin 3sin2cos22sin(2)6f x x x x x x x x =+-=+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，由ππ63π2π22π,Z 22k x k k +≤+≤+∈得到π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）因为π()2sin(2)6f x x =+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数sin y x =的图像与性质知，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为1-.19．在①222cos sin sin 1sin sin A B C B C ++=+；②2cos cos cos c A a B b A =+；③sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A ；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，()c b c <，若已知27a =，33ABC S = ，求,b c 的值．【答案】(1)3A π=(2)2b =，6c =【分析】（1）若选①，首先转化221cos sin A A -=，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角A ；若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角A ；若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角A ；（2）首先根据面积公式求bc ，再结合余弦定理求b c +，即可求解,b c 的值.【详解】（1）若选①：由已知得：222sin sin 1cos sin sin B C A B C+=-+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+由正弦定理可得222b c a bc +=+，可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=．若选②：因为2cos cos cos c A a B b A=+由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，所以()2sin cos sin sin C A A B C=+=因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=若选③：因为sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin sin cos 6A C C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0C π<<，所以sin 0C >，故可得31sin cos cos sin 622A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即13sin cos 22A A =,所以tan 3A =，因为0A π<<，所以3A π=；（2）由（1）可得3A π=，13sin 3324ABC S bc A bc ===△，所以12bc =，由余弦定理得：()22222cos 328a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以8+=b c ，又因为b c <，解得2b =，6c =．20．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()10sin 10αβ-=，且π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.【答案】(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得255sin ,cos 55αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()10sin 10αβ-=，所以()()2310cos 1sin 10αβαβ-=--=，则()253105102sin sin 5105102βααβ=--=⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.21．如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=︒，求三角形铁皮PMN 的面积；(2)求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.【答案】(1)33348=+ PMN S (2)3224+【分析】（1）设MN 交AD 交于E 点由30MOD ∠=︒，利用锐角三角函数可求ME ，OE ，进而可求MN ，BN ，代入12PMN S MN BN =⋅ 可求（2）设MOQ θ∠=，由[0θ∈，]2π，结合锐角三角函数的定义可求sin MQ θ=，cos OQ θ=，代入三角形的面积公式1(1sin )(1cos )122PMN MN B S N θθ∆=++⋅=展开利用换元法，令sin cos 2sin 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，转化为二次函数的最值求解.【详解】（1）解：设MN AD E ⋂=，则3cos 2OE OM MOD =∠=，1sin 2ME OM MOD =∠=则312BN AE AO OE ==+=+，32MN ME AB =+=，故1333248PMN S MN BN =⋅=+ ；（2）设MOD θ∠=，[)0,θπ∈，MN AD E ⋂=，则sin 1MN θ=+，cos 1BN AE θ==+1sin cos sin cos 122PMN S MN BN θθθθ+++=⋅= ，令sin cos 2sin 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2x θθ-=，[)0,θπ∈，5,444πππθ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则2sin ,142πθ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(1,2x ⎤∈-⎦()221213220,444PMN x x x S ⎛⎤++++==∈ ⎥ ⎝⎦△，即三角形PMN 面积的最大值为3224+.22．如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知c ＝1且2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，cos ∠BAD 217=．(1)求b 边的长度；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【答案】(1)4(2)2【分析】（1）根据2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，利用正弦定理和余弦定理化简求解；（2）设,AE x AF y == 利用D 为中点，得到2AB AC AD += ，两边平方，设,AB AC θ=uuu r uuu r ，结合21cos 7AB AD BAD AB AD⋅=∠=⋅ ，求得θ，进而得到ABC S ，再根据AEF △的面积为ABC 面积的一半，得到2xy =，然后利用E ，G ，F 共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）解：因为2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，所以，所以222221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得：4c ＝b ，又c ＝1，所以b ＝4．（2）设,AE x AF y == ，因为D 为中点，所以2AB AC AD += ，设,AB AC θ=uuu r uuu r ，则θθ++⋅⋅+== 2222cos 178cos 44AB AC AB AC AD ，所以θ+= 178cos 2AD ，而()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+= ，所以θθ⋅+=∠==+⋅ 2114cos cos 7178cos AB AD BAD AB AD ，即228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，因为14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，3sin 2θ=，所以1sin 32ABC S bc θ== ，因为AEF △的面积为ABC 面积的一半，所以13sin 22AEF S xy θ== ，即2xy =，设AG AD λ= ，则22AG AD AB AC λλλ==+ ，又E ，G ，F 共线，设()1AG AD AF μμ=+- ，则()()114y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ ，所以：()2142x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：4y x y μ=+，所以：2244AG AB AC x y x y =+++ ，又4y EF AC xAB =- ，所以22444y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ ，又xy ＝2，化简得：22296186321442242y x x AG EF x y x x --⋅===-++++ ，又y ≤4，所以112x ≥≥，所以2AG EF ⋅≥ ，当x ＝1时等号成立．。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题(含答案)
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.若，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.3.命题：“”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.4.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是单调递减的是( )A. B. C. D.5.已知集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.6.函数的图象大致形状是( )A. B.C. D.7.红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙墙长，其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口不需材料，共用该种环保材料12m，则可围成该活动区的最大面积为( )A. B. C. D.8.若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则( )A. B. 若，则或C. 函数在上单调递减D. 函数在上的值域为10.下列叙述中正确的是( )A.设，则“且”是“”的必要不充分条件B. “”是“关于x的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件C. 命题“”的否定是：“”D. 函数的定义域A为R的子集，值域，则满足条件的有3个11.关于函数的相关性质，下列正确的是( )A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上单调递减D. 函数的最小值为0，无最大值12.已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，M为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是( )A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件B. 若定义在R上的奇函数有上界，则该函数是有界函数C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数D. 若函数且在区间上为有界函数，且一个上界为2，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市游仙区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题(含答案)
2024年秋绵阳市游仙区九年级入学考试（数学）一．选择题（共36分）1．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如表：成绩（m ） 1.501.551.601.651.70人数28611这些运动员跳高成绩的众数是（ ）A ．1.55mB ．1.60mC ．1.65mD ．1.70m3．下列二次根式中，与是同类二次根式的（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知两个一次函数y ＝kx +5和y ＝2x +1的图象交于A （m ，3），则一次函数y ＝kx +5的图象所在的象限为（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限5．如图所反映的两个量中，其中y是x 的函数是（ ）A ．B．C．D ．6．如图，一次函数y＝x +3的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，点P 是直线AB上的一点，且OP将△AOB分为面积相等的两部分，则点P的坐标为（ ）A．（﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣3，1.5）D．（﹣2，1.5）7．下列命题中，错误的是（ ）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形C．三个角是直角的四边形是矩形D．四边相等的四边形是菱形8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD ＝6，则平行四边形ABCD的面积是（ ）A．6B．8C．10D．129．某市发布微信公众号可查询到当地实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQI）：28，26，26，37，33，40，117，这组数据中下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量集中趋势的是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差10．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）A．B．C．6m D．11．如图，函数y＝2x和y＝nx+6的图象相交于点A（m，4），则不等式组0＜nx+6＜2x的整数解有（ ）个．A．2B．3C．4D．512．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P 是AB上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）A．4B．5C．6D．7二．填空题（共18分）13．若点（﹣4，a），（2，b）都在直线上，则a与b的大小关系是：a b．14．某单位招聘大堂经理，考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目，且权重之比为2：3：5，应聘者高颖三个方面的得分依次为80，90，80，则她的最终得分为 ．15．已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是 ．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝14，则AC＝ ．17．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是 ．18．一个装有进水管和出水管的容器，先只进水不出水，然后既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量yL与时间xmin之间的关系如图所示，则容器中水为7.5L及以上的时长是 min．三．解答题（共46分）19．（6分）计算：（1）；（2）．20．（6分）近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提升学生防范电信网络诈骗安全意识，翰林中学面对八年级共480名同学举行了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（满分100分）．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：【收集数据】八（2）班15名学生的测试成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．八（3）班15名学生的测试成绩中，90≤x＜95的成绩：91，92，94，90，93．【整理数据】：班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100八（2）班11346八（3）班12354（1）根据以上信息，可以求出八（2）班成绩的众数为 ，八（3）班成绩的中位数为 ；（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝20，EF＝8，求BG的长．23．（10分）花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．（1）若小张家花台绿化需用60盆两种盆栽花卉，小张爸爸给他460元钱去购买，问两种花卉各买了多少盆？（2）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；（3）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？24．（10分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′与AD交于点E．（1）试判断重叠部分△BED的形状，并证明你的结论；（2）若BE平分∠ABD，BC＝12，求△BED的面积．2024年秋绵阳市游仙区九年级入学考试（数学参考答案）1.D2.A3.D4.B5.A6.C7.B8.D9.B 10.A 11.B 12.B13.＜14.83分15. （4，0）16. 717.18. 16.519. 解：（1）（4﹣）×2＝（4﹣）×2＝8﹣2＝8×﹣2×3＝2﹣6＝﹣4；（2）（+1）2﹣（﹣+1）（﹣﹣1）＝2+2+1﹣（3﹣1）＝2+2+1﹣2＝．20.解：（1）在八（2）班成绩中，100出现的次数最多，故众数为100；八（3）班成绩中，中位数是第8个数，即出现在90≤x＜95这一组中的92，故八（3）班成绩的中位数为91．故答案为：100，91；（2）根据题意得：480×＝256（人），答：估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；（3）八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下：∵八（2）班的平均分为×（78+83+89+97+98+85+100+94+87+90+93+92+99+95+100）＝92（分），方差为×[（78﹣92）2+（83﹣92）2+（89﹣92）2+（97﹣92）2+（98﹣92）2+（85﹣92）2+（100﹣92）2+（94﹣92）2+（87﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（92﹣92）2+（99﹣92）2+（95﹣92）2+（100﹣92）2]＝47.3，而八（3）班平均分为90分，方差为50.2，∴八（2）班的平均分高于八（3）班平均分，且八（2）班方差＜八（3）班方差，∴八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好．21.解：（1）将点C（1，m）代入y＝x+得，m＝×1+＝2，∴点C（1，2），把点C（1，2）代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2+b，∴b＝4；（2）设点D（0，m），∵直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点，b＝4．∴A（2，0），B（0，4），①当AB为矩形的边时，如图1，∵四边形ABED是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，∴m2+22+22+42＝（4﹣m）2，解得m＝﹣1，∴点D（0，﹣1），∵A（2，0），B（0，4），∴点E的坐标为（﹣2，3）；②当AB为矩形的对角线时，如图2，∵四边形ADBE是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴m2+22+（4﹣m）2＝22+42，解得m＝0或4（舍去），∴点D（0，0），∵A（2，0），B（0，4），∴点E的坐标为（2，4）；综上，存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为（﹣2，3）或（2，4）．22．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD，∵点E为AD的中点，AD＝20，∴OE＝AE＝AD＝10，由（1）可知，四边形OEFG是矩形，∴∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10，∴AF＝＝＝6，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝20﹣6﹣10＝4．23.解：（1）设绣球花买了x盆，则太阳花买了（60﹣x）盆，根据题意可知x＞20，可得：6（60﹣x）+20×10+10×0.8×（x﹣20）＝460，解得x＝30，60﹣30＝30（盆），答：太阳花和绣球花各买了30盆；（2）太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝6x，①一次购买的绣球花不超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝10x（x≤20），②一次购买的绣球花超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝10×20+10×0.8×（x﹣20），＝200+8x﹣160，＝8x+40，综上，可得，绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝；（3）根据题意，可得太阳花数量不超过：90×＝30（盆），所以绣球花的数量不少于：90﹣30＝60（盆），设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是（90﹣x）盆，购买两种花的总费用是y元，其中x≤30，90﹣x≥60，则y＝6x+[8（90﹣x）+40]，＝6x+[760﹣8x]，＝760﹣2x，此时当x＝30时，y min＝760﹣2×30＝700（元），综上所述，太阳花30盆，绣球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元．24.解：（1）△BED是等腰三角形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由折叠可知：∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，∴△BED是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC＝12，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，∴DC＝BC＝4，∴AB＝4，∵EB＝ED，∴AE＝AD﹣DE＝12﹣DE，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE2+AB2＝BE2，∴（12﹣DE）2+（4）2＝DE2，解得DE＝8，∴△BED的面积＝DE•AB＝×8×4＝16．。
2024年四川省绵阳市涪城区九年级入学考数学试题及答案
2024年秋绵阳市涪城区九年级入学考试（数学）一．选择题（共36分）1．下列式子中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．�152.某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，x，6，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（）A．5B．5.5C．6D．73．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．7、23、25B．3、4、5C．、2、1D．0.5、1.2、1.34．二次根式有意义时，x的取值范围是（）A．B．x＜C．x＞D．x≥5．已知正比例函数y＝mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m≥0D．m＞06．下列等式从左到右的变形过程正确的是（）A．a﹣b＝（+）（﹣）B．+＝a+bC．＝D．（）2＝a7．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OA＝OC，AB＝CD B．AB∥CD，∠BAC＝∠ACDC．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD D．AB＝CD，AD∥BC8．如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（）nmile．A．5B．15C．30D．309．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB＝EA＝EC，那么下列结论①∠ACE＝30°，②OE∥DA，③S▱ABCD＝AC•AD，④CE⊥DB．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A（0，b）．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：（1）B点坐标是（﹣2，2）；（2）三角形ABO的面积是3；（3）S△OBC：S△AOB＝2：1；（4）当P的坐标是（﹣2，5）时，那么，S△BCP＝S△AOB．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段AB，OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）12．如图所示，以Rt△ABC的直角边AC向△ABC外构造等边△ACD，E为AB的中点，连接CE、DE，∠ACB＝90，∠ABC＝30°．下列结论：①AC⊥DE；②四边形BCDE是平行四边形；③四边形ADCE是菱形；④S四边形BCDE＝3S△ACD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共18分）13．4的算术平方根是．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、DE，若CD＝6.5，AC ＝12，则DE＝．15．若直线y1＝x﹣2与直线y2＝﹣x+a相交于x轴同一点，则当x时，y1＜y2．16．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，BD，过点A作AF⊥DE于点F．点G为线段FE上一点，连接BG，若∠1＝45°，AB＝10，则FG的长为．17．如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个解（其中BC＞AB）．点E在BC 边上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处．当△ECB'为直角三角形时，则B'C的长是．18．图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边AC方向以1cm/秒的速度顺时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是．三．解答题（共46分）19．（5分）计算：（+1）（﹣1）﹣×+|﹣|．20．（6分）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩，绘制如图统计图．（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：平均成绩（分）众数（分）甲80b乙a90则a＝，b＝．（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．22．（6分）中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”、“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生”的美称．近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业化经营，在甲、乙两村的附近修建了A，B两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，B冷库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往A，B两个冷库储存，且甲、乙两村分别运往A，B两个冷库的西瓜运输费用（单位：元/吨）如表：A B甲20元/吨25元/吨乙15元/吨18元/吨（1）设甲村运往A冷库x吨西瓜，甲、乙两村运往A，B两个冷库的西瓜运输费用分别用y甲，y乙表示，请求出y甲，y乙与x之间的函数关系式．（2）考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输费用不得超过4980元，请问当x的值为多少时，才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用．23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB的中点，点E在AC上，连接BE和DE，若∠CBE＝2∠EDA，CE＝6，求BE的长．24．（11分）如图，在直角坐标系xOy中，△OAB是等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，且点B的坐标是（2，0），直线y＝kx+经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以AD为边在第一象限内作正方形ADEF．（1）求点A的坐标和k的值；（2）求直线EF所对应的函数关系式．2024年秋绵阳市涪城区九年级入学考试（数学参考答案）1.A2.C3.A4.A5.D6.D7.C8.B9.C 10.C 11.A 12.C13. 214. 2.515. x＜416.17. 或218. （11，5）19.解：（+1）（﹣1）﹣×+|﹣|＝3﹣1﹣+＝3﹣1﹣2+＝．20.解：（1）甲的众数为b＝80，乙的平均数为a＝（50+60+70×2+80+90×3+100×2）÷10＝80，故答案为：80，80；（2）应该选派乙，理由如下：两位同学平均成绩一样，从众数看，乙的众数大．21.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得：x＝，∴BE＝＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．22.解：（1）由题意得：y甲＝20x+25（200﹣x）＝﹣5x+5000；y乙＝15（260﹣x）+18（x+40）＝3x+4620；（2）设两村的运输费用之和为z元，则z＝y甲+y乙＝﹣2x+9620，∵y乙＝3x+4620≤4980；∴x≤120，又∵x≥0，∴0≤x≤120，∵﹣2＜0，∴z随着x的增大而减小，∴当x＝120时，z最小，最小值为：﹣2×120+9620＝9380．23.解：过D作DF⊥DE交BC于F，连接CD，EF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴AD＝CD＝BD＝AB，∠ABC＝∠DCE＝45°，CD⊥AB，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，同理∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴BF＝CE＝6，延长FC至G，使CG＝CF，则△CEG≌△CEF，∴∠GEC＝∠FEC，∵∠CBE＝2∠EDA，∴设∠EDA＝∠CDF＝α，则∠CBE＝2α，∵∠ECF＝∠EDF＝90°，∴点D，F，C，E在以EF为直径的同一个圆上，∴∠CEF＝∠CDF＝α，∴∠CEG＝α，∴∠G＝90°﹣α，∴∠BEG＝180°﹣∠EBC﹣∠G＝90°﹣α，∴∠G＝∠BEG，∴BE＝BG，设CG＝CF＝x，∴BE＝BG＝6+2x，BC＝6+x，在Rt△BEC中，BE2＝CE2+BC2，∴（6+2x）2＝62+（6+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣6（负值舍去），∴BE＝10．24.解：（1）作AM⊥OB于M，∵△OAB是等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，且点B的坐标是（2，0），∴OM＝BM＝1，AM＝OB＝1，∴A（1，1），∵直线y＝kx+经过点A，∴1＝k+，解得k＝﹣；（2）∵直线y＝﹣x+经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，∴D（3，0），∴OD＝3，∴MD＝3﹣1＝2，作EN⊥x轴于N，∵∠ADE＝90°，∴∠ADM+∠MAD＝∠ADM+∠EDN＝90°，∴∠MAD＝∠EDN，在△ADM和△DEN中∴△ADM≌△DEN（AAS），∴DN＝AM＝1，EN＝MD＝2，∴ON＝OD+DN＝3+1＝4，∴E（4，2），∵EF∥AD，∴设直线EF的解析式为y＝﹣x+b，∴2＝﹣×4+b，解得b＝4，∴直线EF所对应的函数关系式为y＝﹣+4．。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．集合{1,2,3}的非空真子集共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【正确答案】B【分析】按照子集元素个数1个，2个的顺序列举计数.【详解】解：集合{1,2,3}的非空真子集有：{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个.故选：B.2．命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为（）A ．x ∃∈R ，210x x ++>B ．x ∀∈R ，210x x ++≥C ．x R ∃∉，210x x ++>D ．x R ∀∉，210x x ++≤【正确答案】A由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为“x ∃∈R ，210x x ++>”故选：A3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N = ，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【正确答案】B【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可.【详解】因为{}1,2,3M N = ，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意.所以1a =-.故选：B.4．有下列说法：（1）与表示同一个集合；（2）由组成的集合可表示为{1,2,3}或{}3,2,1；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对【正确答案】C【详解】试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．1元素与集合的关系；2集合元素的特性．5．能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合2{|0}N x R x x =∈+=的关系的韦恩图的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出集合N 的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来．【详解】解： 集合{}2{|0}0,1N x R x x =∈+==-，集合{|02}M x R x =∈≤≤，{}0M N ∴= 且互不包含，故选：A ．本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题．6．设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.7．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（）A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B【正确答案】B 作差法比较两式大小.【详解】()2234A B a ab ab b -=+-- 22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥，A B ∴≥.故选：B本题考查代数式的大小比较，属于基础题.8．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为（）A ．{x |0<x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |－1<x <2}【正确答案】B【分析】根据定义可得(x ＋2)(x －1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.【详解】根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．故选:B.二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知0b a <<，则下列选项正确的是（）A ．22a b >B ．a b ab +<C ．a b<D ．2ab b >【正确答案】BC【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A,由0b a <<得:22a b <，故错误；对于B ，因为0b a <<，所以00a b ab +<>，，故正确；对于C;由0b a <<得:a b <，故正确；对于D,由于()20ab b b a b -=-<，故2ab b <，故错误；故选：BC10．设{}1,2A =，{}1B x ax ==．若A B A ⋃=，则实数a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．0D ．12【正确答案】ACD【分析】由A B A ⋃=得B A ⊆,分类讨论集合B 的元素情况，即可求得答案.【详解】由A B A ⋃=得：B A ⊆,当0a =时，B =∅,符合题意；当B ≠∅时，B A ⊆，若{1}B =，则1a =；若{2}B =，则12a =；由于B 中至多有一个元素，故B A ≠,所以实数a 的值可以为10,1,2，故选：ACD11．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（）A ．c ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值D ．图像的对称轴是直线x ＝3【正确答案】CD【分析】由20ax bx c ++=的两根分别为1,5，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可.【详解】因为二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），所以20ax bx c ++=的两根分别为1,5.由图可知，0a >，由韦达定理可知150ca=⨯>，即0c >，故A 错误；由图可知，该二次函数与x 轴有两个交点，即240b ac ∆=->，故B 错误；由韦达定理可知，6b a -=，即该二次函数的对称轴为32b x a=-=，即在x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值，故CD 正确；故选：CD12．已知∃x ∈R ，不等式2410x x a ---<不成立，则下列关于a 的取值不正确的是（）A ．{}5a a ≤-B ．{}2a a ≤-C ．{}3a a ≤-D ．{}1a a ≤-【正确答案】BCD【分析】转化为2R,410x x a ∀∈---≥成立，利用判别式法求解.【详解】解：因为∃x ∈R ，不等式2410x x a ---<不成立，所以2R,410x x a ∀∈---≥成立，则()()24410a ∆=----≤，解得5a ≤-.故选：BCD三、填空题13．高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.【正确答案】29【分析】利用ven 图求解.【详解】由题意画出ven 图，如图所示：由ven 图知：参加比赛的人数为26人，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，故2914．设集合6ZN 2A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则用列举法表示集合A 为______.【正确答案】{1,0,1,4}-【分析】根据自然数集N 与整数集Z 的概念分析集合A 中的元素即可.【详解】要使6N 2x ∈+，则2x +可取1,2,3,6，又Z x ∈，则x 可取1,0,1,4-，故答案为.{}1,0,1,4-15．若不等式222(1)0x a x a +++≥恒成立，则a 的取值范围是______.【正确答案】12a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为不等式222(1)0x a x a +++≥恒成立，所以()224(1)44210a a a ∆=+-=+≤，即12a ≤-.故12a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭16．已知不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，若对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立.则t 的取值范围是______.【正确答案】{}2t t ≤-【分析】根据不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，求得b ，c ，再将对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，转化为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立求解.【详解】解：因为不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，所以()132132b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，因为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，所以为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立，令2242y x x =---，()2212x =-+≥-，所以2t ≤-，故{}2t t ≤-四、解答题17．解下列不等式：(1)(2)(3)1x x x x +>-+；(2)21()10x a x a -++≤(01a <<).【正确答案】(1)12x x ⎧<-⎨⎩或}1x >(2)1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）整理得2210x x -->，再解不等式即可；（2）根据11a>直接求解即可.【详解】（1）解：由(2)(3)1x x x x +>-+有2210x x -->，方程2210x x --=的两根分别为121,12x x =-=，故原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}1x >（2）解：由21(10x a x a -++=有121,x a x a==，因为01a <<，所以11a>.故原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭18．已知集合{13}A xx =≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<-∣.(1)当1m =-时，求A B ⋃；()R A B ⋂ð；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){23}A B xx ⋃=-<≤∣，(){21}R B x A x ⋂=-<<∣ð(2)(,2)-∞-【分析】（1）根据交并补的定义直接计算即可；（2）由题可得AB ，根据包含关系列出不等式即可求出.【详解】（1）当1m =-时，{13}A x x =≤≤∣，{22}B x x =-<<∣.则{23}A B xx ⋃=-<≤∣，{1R A x x =<ð或3x >，(){21}R A B x x ∴⋂=-<<∣ð；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则AB ，∵{13}A xx =≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<-∣，∴2113m m <⎧⎨->⎩，解得2m <-，∴实数m 的取值范围是(,2)-∞-.19．设集合2{|320}A x x x =++=，()2{|10}B x x m x m =+++=.(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A ⊆求实数m 的值.【正确答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.【详解】（1）解法一：因为()210x m x m +++=，整理可得()()10x x m ++=，解得=1x -或x m =-，又B 中只有一个元素，故1m =.解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程()210x m x m +++=有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ∆=+-=-=，所以m ＝1.（2）由2320x x ++=，解得=1x -或2x =-，由()210x m x m +++=，整理可得()()10x x m ++=，解得=1x -或x m =-，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.20．已知集合{}{}222|340,|450A x x x B x x mx m =--<=+-<.(1)若集合{}51B x x =-<<，求此时实数m 的值；(2)若A B A = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）由题知22450x mx m +-=的两个根为5-和1，进而根据韦达定理求解即可；（2）由题知A B ⊆，{}14A x x =-<<，进而分0m >和0m <两种情况求解集合B ，并根据集合关系求解范围.【详解】（1）解：根据题意，集合{}{}22|45051B x x mx m x x =+-<=-<<，所以，方程22450x mx m +-=的两个根为5-和1，所以，有()()2451551m m ⎧-=-+⎪⎨-=-⨯⎪⎩，解得1m =；所以，1m =；（2）解：若A B A = ，则A B ⊆，{}{}2|34014A x x x x x =--<=-<<，{}()(){}22|45050B x x mx m x x m x m =+-<=+-<因为A B ⊆，则B ≠∅，所以5m m -≠，即0m ≠，当0m >时，()(){}{}505B x x m x m x m x m =+-<=-<<，此时有514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥；当0m <时，()(){}{}505B x x m x m x m x m =+-<=<<-，此时有154m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得1m ≤-.综上，1m ≤-或4m ≥.所以，故m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.21．已知0,0x y >>，且141x y+=．(1)求x y +的最小值；(2)若26xy m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)9(2)()8,2-【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；（2）根据题意结合基本不等式可得16xy ≥，然后求解关于m 的不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为0,0x y >>，所以()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当4x yy x=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9（2）因为0,0x y >>，所以141x y =+≥，所以16xy ≥，当且仅当2,8x y ==时等号成立，因为26xy m m >+恒成立，所以2166m m >+，解得82m -<<所以实数m 的取值范围为()8,2-22．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB ＞AD ，且矩形的周长为8cm.(1)设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.【正确答案】(1)84(24)DE x x=-<<(2)队徽的长和宽分别为4-【分析】（1）在直角三角形ADE 中，由勾股定理得出DE 的长度；（2）由三角形面积公式结合基本不等式求解.【详解】（1）由题意可得4AD x =-，且40x x >->，可得24x <<，由CE AE x DE ==-，在直角三角形ADE 中，可得222AE AD DE =+，即222()(4)x DE x DE -=-+，化简可得84(24)DE x x=-<<；（2）118(4)422ADE S AD DE x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭△8262612xx ⎛⎛⎫=--≤-=- ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当x =-，可得△ADE 的面积取得最大值.。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。
四川省绵阳市涪城区2024-2025学年八年级上学期开学数学试题(含答案)
2024年秋绵阳市涪城区八年级入学考试数学试卷一．选择题（共36分）1．下列调查中，最适宜采用普查的是（ ）A．调查全国中学生的睡眠时间B．调查一批灯泡的使用寿命C．调查府南河现有鱼的种类D．调查某校七年级学生的体重2．下列各数中，是无理数的是（ ）A．0.45B．﹣πC．D．183．下列运算中，正确的是（ ）A．﹣（﹣2）2＝4B．|﹣2|＝﹣2C．D．4．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）A．x﹣1＞y﹣1B．x+1＞y+1C．2x＞2y D．﹣2x＞﹣2y 5．不等式x＜1解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．6．如图，已知a∥b，∠1＝70°，则∠2＝（ ）A．40°B．70°C．110°D．130°7．点B的坐标为（﹣6，4），直线AB平行于y轴，那么A点的坐标可能为（ ）A．（﹣4，6）B．（6，﹣4）C．（4，6）D．（﹣6，﹣4）8．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（ ）A．B．C．D．9．下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②同旁内角互补，两直线平行；③相等的角是对顶角；④无限小数是无理数．其中假命题的是（ ）A．①③B．②④C．①③④D．③④10．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A．c（a﹣b）＞0B．b（a﹣c）＞0C．a（b+c）＞0D．a（b﹣c）＞011．二元一次方程组的解是（ ）A．B．C．D．12．如图，已知平行四边形OABC的顶点A（0.4，1.2）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴……的规律进行，则经过第2022次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为（ ）A．（﹣0.4，1.2）B．（﹣0.4，﹣1.2）C．（1.2，﹣0.4）D．（﹣1.2，﹣0.4）二．填空题（共18分）13．若abc＜0，且m＝，则关于x的一元一次方程（m+3）x＝8的解是 ．14．今年我区约有7800名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进行统计分析，这次调查的样本是 ．15．在平面直角坐标系中，请写出一个在y轴上的点的坐标 ．16．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b的平方根为 ．17．某工程队计划在5天内修路6km，施工第一天修完1.2km，计划发生变化，需至少提前1天完成修路任务，则后期每天至少修路 千米．18．对于任意实数p、q，定义一种运算p※q＝p﹣q+pq﹣2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：4※5＝4﹣5+4×5﹣2＝17，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是 ．三．解答题（共46分）19．（8分）（1）解方程组：；（2）解不等式组：．20．（7分）红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目（单位：颗）进行调查，从试验田中随机抽取了30株，并对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，得到不完整的统计表频数分布直方图和扇形统计图．（1）请补全下表中空格谷粒颗数175≤x ＜185185≤x ＜195195≤x ＜205205≤x ＜215215≤x ＜225 频数3 8 10 3 对应扇形图中区域 D E C（2）补全频数分布直方图；（3）如图所示的扇形统计图中，扇形B 的百分比是 ，扇形A 对应的圆心角度数为 ；（4）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻大约有多少株？21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 的顶点都在网格格点上，其中B点坐标为（6，4）．（1）请写出点A ，点C 的坐标；（2）将△ABC 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A ′B ′C ′．请画出平移后的三角形，并写出△A ′B ′C ′的三个顶点的坐标；（3）求△ABC 的面积．22．（9分）已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．（1）如图1，求证：∠A +∠C ＝90°；（2）如图2，过点B作BD⊥MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，且BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠AFC＝∠BCF，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．23．（7分）某学校举行跳绳比赛需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（2）该学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1200元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W （元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，确定最少费用W的值和最少费用方案．24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（m，b），且，m是64的立方根．（1）直接写出：a＝ ，b＝ ，m＝ ；（2）将线段AB平移得到线段CD，点B的对应点是点C（8，0），点A的对应点是点D．①在平面直角坐标系中画出平移后的线段CD，直接写出点D的坐标；②若点M在y轴上，且三角形ACM的面积是6，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，点E在y轴负半轴上运动，但不与点D重合，直接写出∠BEC、∠ABE、∠DCE之间的数量关系．2024年秋绵阳市涪城区八年级入学考试数学参考答案1.D2. B3.D4.D5.C6.B7.D8.C9.C 10.D 11.B 12.B13. x ＝214. 200名考生的数学成绩15. （0，1）（答案不唯一）16. ±317. 1.618.19.解：（1），①×2+②，得：7x ＝14，解得x ＝2，将x ＝2代入①，得：2﹣y ＝3，解得y ＝﹣1，∴方程组的解为；（2）解不等式2x ﹣（x ﹣2）≤4，得：x ≤2，解不等式﹣1＞，得：x ＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x ≤2．20.解：（1）请补全下表中空格：谷粒颗数175≤x＜185185≤x ＜195195≤x ＜205205≤x ＜215215≤x ＜225频数381063对应扇形图中区域BDEAC（2）补全频数分布直方图；（3）扇形B的百分比是×100%＝10%，扇形A对应的圆心角度数为360°×＝72°，故答案为：10%、72°；（4）3000×＝900（株），答：即据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有900株．21.解：（1）A（3，﹣1），C（2，3）；（2）如图，△A′B′C'即为所求；A′（2，2），B′（5，7），C′（1，6）；（3）22.证明：（1）∵AM∥NC，∴∠ADB＝∠C，又∵AB⊥BC，∴∠A+∠ADB＝90°，∴∠A+∠C＝90°；（2）过点B作BE∥CN，如图4，∵BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，又∵BD⊥MA，∴∠DBE＝∠BDA＝90°，∴∠ABD+∠ABE＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABD＝∠C；（3）设∠DBE＝α，则∠BFC＝3α，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝∠C＝2α，又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，∴∠BDC＝∠ABD+∠ABC＝2α+90°，∴∠FBC＝∠DBC＝α+45°，又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF＝180°，即3α+α+45°+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝135°﹣4α，∴∠AFC＝∠BCF＝135°﹣4α，又∵AM∥CN，∴∠AFC+∠NCF＝180°，即∠AFC+∠BCN+∠BCF＝180°，135°﹣4α+135°﹣4α+2α＝180，解得α＝15°，∴∠AEB＝15°，∴∠EBC＝∠AEB+∠ABC＝15°+90°＝105°．23.解：（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，由题意得，，解得，答：A奖品的单价为10元，B奖品的单价为15元；（2）由题意得，W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500，∴，解得60≤m≤75，∵m为整数，∴m为60至75之间的整数（含60，75），∵W＝﹣5m+1500，∴k＜0，W随m的增大而减小，∴当m＝75时，W最小，W最小费用为﹣5×75+1500＝1125，∴当A种奖品购买75件，B种奖品购买25件时，花费最少，最少费用为1125元．24.解：（1）由题意得，a+4＝0，b﹣5＝0，解得：a＝﹣4，b＝5，∵m是64的立方根，∴m＝4，∴A（﹣4，0），B（4，5）；故答案为：﹣4，5，4．（2）①如图，线段CD即为所求，点D的坐标为D（0，﹣5）；②设点M的坐标为（0，m），∵A（﹣4，0），C（8，0），且三角形ACM的面积是6，∴∴解得：m＝±1∴点M的坐标为（0，1）或（0，﹣1）；（3）如图，当点E在OD之间时，过点E作EF∥AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如图，当点E在D点的下方时，过点E作EF∥AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF，∴∠BEC＝∠ABE﹣∠DCE．综上所述，∠BEC＝∠ABE+∠DCE或∠BEC＝∠ABE﹣∠DCE．。
四川省绵阳市2024年初中学业水平考试数学模拟试题一(含答案)
绵阳市2024年初中学业水平考试模拟试题一一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在一次函数的图象上，其坐标分别为A(x，y)，B(x+a，y+b)，下列结论正确的是（ ）A．a<0，b=0B．a>0，b>0C．a<0，b<0D．ab<02．下列各式正确的是（ ）A．16=±4B．±16=4C．(−4)2=-4D．3−27=-33．根据等式的性质，下列等式变形中，不一定成立的是（ ）A．若x=y，则x+2=y+2B．若x=y，则1-x=1-yC．若ax=ay，则x=y D．若xa=ya，则x=y4．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线A E 交B C 于点E,ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12 ，则△BDE的周长为 4 ，则 A C 为（ ）A．3B．4C．6D．85．下列各组数中，相等的一组是（ ）A．－（－1）与−|−1|B．－32与（－3）2C．（－4）3与－43D．223与(23)26．如图，是正方体的平面展开图，每个面上都标有一个汉字与“明”字相对的面上的字为（ ）A．法B．治C．诚D．信7．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（ ）A．∠EAC=∠FAB B．∠EAF=∠EDFC．△ACN≅△ABM D．AM=AN8．求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S-S=22013-1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（ ）A．52012﹣1B．52013﹣1C．52013−14D．52012−149．若abc≠0，则|a|a ＋|b|b+c|c|的值为（ ）A．±3或±1B．±3或0或±1C．±3或0D．0或±110．已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1 y2.当﹣2 x 1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（ ）A．-5B．-10C．-2D．511．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP=5，则EF=5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．如图，抛物线y=a x2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc<0；②8a+c<0；③关于x的一元二次方程a x2+bx+c=n−1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<1<x2且x1+x2>2，则y1>y2，其中正确的结论共有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第四象限内，则点M的坐标为 ．14．将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 .15．有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．16．如图，在直角坐标系xOy中，边长为1的正方形A1B1C1D1（称为第1个正方形）的顶点A1在原点处，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，现以点C1为顶点做等边三角形C1A2B2，使得点A2落在x轴上，且A2B2⊥x轴；以A2B2为边做正方形A2B2C2D2（称为第2个正方形），且正方形的边A2D2落在x轴上…如此类推，则第2020个正方形的边长为 ．17．如图，在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1−S2= 。
四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。
四川省绵阳市2024届高三下学期入学考试数学(理)试题含答案
绵阳高2021级高三下期入学考试题数学（理科）（答案在最后）命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【答案】A 【解析】【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.2.设R a ∈，若复数()()2i 2i a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则=a （）A.4- B.1- C.1D.4【答案】B 【解析】【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为()22,4a a +-，由复数的几何意义可解得1a =-.【详解】根据题意可得()()()22i 2i 2i 4i 2i 224i a a a a a -+=+--=++-，所以在复平面内对应的点为()22,4a a +-，即()22,4a a +-在虚轴上，因此可得220a +=，即1a =-；故选：B3.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.1375【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：执行该程序框图，12,2,4S k k ==≤成立，18,3,4S k k ==≤成立，22,4,4S k k ==≤成立，25,5S k ==，不满足4k ≤，输出的25S =.故选：C4.已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，3,4a c == ，且a c ⊥ ，则a b c -+= （）A.5B.52C.10D.102【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量数量积与模长关系计算即可.【详解】由题意可知0a c ⋅= ，且0a b c ++= ，则()b a c =-+，()22205b a c a c =+=++，所以210a b c b -+==．5.设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，7498S S =-，则5S =（）A.31B.658C.15D.158【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的定义及其求和公式计算即可.【详解】设{}n a 的公比为q ，由题意可知1,0q q ≠>，则()()747433741198989818011q q S S q q q q q q q q--=-⇒=⨯-⇒-+=--=--，解之得2q =，所以551311q qS -==-.故选：A6.逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（）A.78 B.56C.34D.2021【答案】A 【解析】【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B ：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件|B A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，显然,B A AB A B B ⊆== ，()10.040.96,()10.160.84P A P B =-==-=，所以()()0.847()()()0.968|P AB P B P B A P A P A ====.7.设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：π2αβ+=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，取π5π,36αβ==，满足要求，但π2αβ+≠，则甲不是乙的充分条件；当π2αβ+=时，π2βα=-，则πsin sin cos 2βαα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2222sin sin sin cos 1αβαα+=+=，则甲是乙的必要条件；综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.8.已知曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，C 的一条渐近线与圆22(1)(2)2x y -+-=交于A ，B 两点，若2AB =，则双曲线的离心率为（）A.53B.C.54D.43【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的性质及点到直线的距离、圆的弦长公式计算即可.【详解】易知圆心()1,2，半径r =，双曲线渐近线方程为0ay bx ±=，所以有圆心到渐近线的距离2222144d a ab b a b ==⇒±+=+，解之得340a b ±=，显然由0,0a b >>可得5344a b e a =⇒==.故选：C9.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A 【解析】【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C 6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A 8⋅=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A .10.已知函数()()sin π,0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.()1,0- C.(),π-∞- D.()π,0-【答案】D 【解析】【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得()f x 在()1,0处的切线斜率并结合图象即可求得实数a 的取值范围.【详解】易知直线()1y a x =-恒过定点()1,0，且()sin πf x x =的周期为2，也过()1,0；画出函数()sin πf x x =的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线()1y a x =-的斜率a<0；若直线()1y a x =-与()sin πf x x =相切，可得()1a f ='，易知()πcos πf x x ='，则()1πa f ='=-，结合图象可知()π,0a ∈-时满足题意.故选：D11.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠= 且2,SA AB BC E ===为SA 的中点，则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为（）A.255B.105C.55D.155【答案】B 【解析】【分析】分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC ，则可证明GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG ，FH 和GH 的长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC .由60ABC ∠= 且2AB BC ==可得ABC 是等边三角形，则//EF AB 且1=2EF AB ，//DH AB 且12DH AB =，故//EF DH 且EF DH =，所以四边形EFHD 为平行四边形，故//ED FH ，因为//FG SC ，所以GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角（或其补角），因为SA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA AC ⊥，故SAC 和EAD 均为直角三角形，所以22111442222FG SC SA AC ==+=+=225FH ED EA AD ==+=1123322GH BD ==⨯=由余弦定理得10cos 5252GFH ∠=⨯.则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为105.故选：B12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若123AF AF =，点M 满足123F M M F =，且1AM F B ⊥，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.63【答案】B 【解析】【分析】由123AF AF =、123F M M F =结合正弦定理可得12FAM F AM ∠=∠，又1AM F B ⊥，故1AB AF =，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知122AF AF a +=，由123AF AF =，故132AF a =，212AF a =，点M 满足123F M M F =，即123F M MF =，则12212233AF AF AF F MMF MF ==，又1111sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，2222sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，即12121122sin sin sin sin AF AF AMF AMF F MF AM MF F AM∠∠===∠∠，又12180AMF AMF ∠+∠=︒，故12sin sin AMF AMF ∠=∠，则12sin sin F AM F AM ∠=∠，即12FAM F AM ∠=∠，即AM 平分12F AF ∠，又1AM F B ⊥，故132AB AF a ==，则23122BF a a a =-=，则12BF a a a =-=，()22222211322122cos 21222c a a c a AF F e ac e c a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∠===-⨯⨯，()22222124cos 224c a a c BF F e c aac+-∠===⨯⨯，由2121180AF F BF F ∠∠=+︒，故2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即120e e e -+=，即231e =，又0e >，故33e =.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于由123AF AF =、123F M MF =，得到AM 平分12F AF ∠，结合1AM F B ⊥，从而得到1AB AF =.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()21sin f x a x a x =-+为偶函数，则实数=a ______________.【答案】0【解析】【分析】先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用偶函数的定义，即()()f x f x -=是恒等式，求参数值即可．【详解】函数()()21sin f x a x a x =-+的定义域是R ，定义域R 关于原点对称；()()()221()sin()1sin f x a x a x a x a x -=--+-=--，由于()f x 为偶函数，得到()()()221sin 1sin ()f x a x a x a x a x f x -=--=-+=恒成立；即对于,2sin 0x a x ∀∈=R 恒成立，所以0a =.故答案是：0.14.若x ，y 满足约束条件0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为___________.【答案】2-【解析】【分析】作出可行域，确定目标函数取最小值时过可行域内的点，求出该点坐标，代入求值，可得答案.【详解】作出不等式组0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：平移直线30x y +=，当直线过可行域内的点B 时，直线在y 轴上的截距最小，即目标函数3z x y =+取得最小值，联立2x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)B -，故目标函数3z x y =+的最小值为()min 1132z =+-⨯=-.故答案为：2-15.如图，在平面四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AB =2AC =，则BD 的最大值为_________；【答案】3【解析】【分析】在Rt ACD △中，求得AD ，然后在ABD △中，由余弦定理求出2BD 的表达式，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求解BD 的最大值.【详解】设π0,2CAD θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在Rt ACD △中，cos 2cos AD AC θθ==．在ABD △中，因为2πBAD θ∠=+，由余弦定理得()2222π2cos 34cos 22cos sin 2BD AB AD AB AD θθθθ⎛⎫=+-⋅⋅+=+-⋅- ⎪⎝⎭21cos 234cos 2243222cos 252θθθθθθ+=++=+⋅+=++π4sin 256θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以BD =．所以当ππ262θ+=，即π6θ=时，BD 最长，BD 的最大值为3=．故答案为：3.16.已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O 体积的最小值为______.【答案】27π16##27π16【解析】【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得2324h R h=+，故只需求出外接球半径的最小值即可.【详解】设球O 的半径为R ，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h ，r .如图，球心在正四棱锥内时，由22211OO O B OB +=，可得()222h R r R -+=，即2220h Rh r -+=（*）.球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为()21213r h =，则232r h =，代入（*）式可得2324h R h =+.通过对关于h 的函数()R h 求导，即()31322R h h ='-，易得函数()R h 在(单调递减，在)∞+单调递增，则()min R h R==从而，球O 的体积的最小值3427ππ316R =.故答案为：27π16.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到2324h R h =+，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，232n n S a =-，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n T ，若对任意*n ∈N 且2n ≥，()21(1)n T n λ-≥-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）123n n a -=⋅（2）18λ≤【解析】【分析】（1）首先得12a =，由,n n S a 之间的关系得数列{}n a 为等比数列，由此即可得解.（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解.【小问1详解】当1n =时，111232,2a a a =-∴=，当2n ≥时，11232,232n n n n S a S a --=-∴=-，两式相减，得1123,33n n n n n a a a a a --=-∴=，又120a =≠，所以数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为3，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.【小问2详解】由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅，0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：()2312123333(21)3n nn T n --=+++++--⨯ ()131312(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，于是得(1)31n n T n =-⋅+，因为*N n ∈且2n ≥，()21(1),23nn T n λλ-≥-∴≤⋅，当2n ≥时，数列{}23n ⋅是递增数列，所以23n⋅的最小值为18，因此18λ≤.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13013【解析】【分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.【小问1详解】如图，连接1AC ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160AAC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC ．【小问2详解】由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A ，13,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =- ，33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则1111103022m AA x m AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，得)m = ．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n = ，∴39cos ,13m n == ，所以二面角11C A P B --的正弦值为13．19.第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.（1）完成下面22⨯列联表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X ，求X 的分布列和期望.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.（2）分布列见解析，()12E X =【解析】【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得234.02810.828χ≈>，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得X 的可能取值为0,1,2，分别求出其概率列出分布列可得期望值.【小问1详解】根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为140104⨯=人，可得得22⨯列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得220.001100(50301010)122534.02810.8286040604036x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.【小问2详解】按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X 的可能取值为0,1,2，()()2116622288C C C 1530,1C 28C 7P X P X ======，()2228C 12C 28P X ===，所以X 的分布列为X012P 152837128期望值()15311012287282E X =⨯+⨯+⨯=.20.已知抛物线22(0)y px p =>上的点Q 到焦点的距离为8，点Q 到x .（1）求抛物线的方程；（2）取抛物线上一点(),1P a ，过点P 作两条斜率分别为12,k k 的直线与抛物线交于,A B 两点，且122k k ⋅=，则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义求出2p =，进而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程化简得2440y my n --=，利用根与系数的关系可得121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩，再利用121244211k k y y ⋅=⋅=++，列方程即可求出74n m =-，进而可得直线l 经过定点.【小问1详解】22(0)y px p =>，准线为2p x =-，点Q 分别向x 轴和准线做垂线，垂足为,M N ，则MQ =，8QN QF ==，所以82p Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点Q 在抛物线上，所以)2282p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220p p -=，解得2p =或0p =（舍），所以抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】点(),1P a 在24y x =上，所以14a =，解得14a =，所以1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，1112111114111444y y k y y x --===+--，同理，2241k y =+，所以121244211k k y y ⋅=⋅=++，即()()1216211y y =++，设直线AB 为x my n =+，则24y x x my n⎧=⎨=+⎩，即2440y my n --=，所以124y y m +=，124y y n =-，所以()()()1212121616162111441y y y y y y n m ===+++++-++，解得74n m =-，代入到直线方程x my n =+，得74x my m =+-，即()714x y m +=+，当10y +=，即1y =-时，74x =-，所以直线AB 过定点7,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：1.求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点Q 到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；2.第二问的关键是设出直线的方程和A 、B 两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y m +=，124y y n =-，将122k k ⋅=用斜率公式表示出来即可，从而判断出所过的定点.21.已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数单调性；（2）由题意，当1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+，令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，借助导数研究函数()h x 的单调性，结合函数值的正负性和零点存在定理可证.【小问1详解】()()()()21222,1111a x a a x a f x a x x x x +-++-=++==>---'.当2a =-时，()()20,1f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减.当20a -<<时，在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '<，在2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '>,故()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增.当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减.综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.当2a ≤-时，()f x 在()1,∞+上单调递减.【小问2详解】1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+.令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，则()12cos 1h x x x='+-.令()()()21,2sin m x h x m x x x ==--''.i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递增.又()12sin110h =->，()222e 22sine e 0h ---=-+-<∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =.ii .(]1,πx ∈，()212sin 0m x x x=--<'恒成立，()m x ∴在(]1,π上单调递减.又()1π210πm =--<，()12cos10m =>.存在零点0x ，使()00m x =.()()01,,0x x h x '∴∈>，()()0,π,0x x h x ∈'<.()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减.又()()010,0h h x >∴>.()πlnππ0h =-<，∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =.iii.3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()112cos 0h x x x ∴=-+<'恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.()()πlnππ0h x h ∴<=-<恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭没有零点.iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 2sin ln 2x x x x x +-≤+-下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<.设()2ln n x x x =--.()110n x x=->'.()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，()3π3π3π3π,2ln 2ln 02222n x n ⎛⎫≥-->-> ⎪⎝⎭，ln 20x x ∴+-<恒成立.综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点.又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得，()F x ∴在()1,∞+只有两个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知圆C 的参数方程为14cos 14sin x y ββ=-+⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率.【答案】（1）()22cos sin 140ρρθθ+--=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意结合极坐标与直角坐标之间的关系运算求解；（2）由题意可知：直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，根据极坐标的定义结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意可得：圆C 的普通方程为()221(1)16x y ++-=，将cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ+=代入普通方程，得()22cos sin 140ρρθθ+--=，故圆C 的极坐标方程为()22cos sin 140ρρθθ+--=.【小问2详解】由题意可知：直线l 过坐标原点，倾斜角为[)0,πα∈的直线，在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得()22cos sin 140ρραα+--=，于是1212sin co 4s ,1ρραραρ-+==-，可得12AB ρρ=-===，则sin 21α=，且[)0,πα∈，则[)20,2πα∈，可得π22α=，即π4α=，所以l 的斜率为tan 1k α==.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()|3|2|5|f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若0a >，0b >且1ab =，求1122m a b a b+++的最小值．【答案】（1）8m =（2）4【解析】【分析】（1）可借助零点分段法分类讨论计算或借助绝对值三角不等式计算；（2）对原式化简变形后借助基本不等式即可得.【小问1详解】解法一：当3x ≥时，()(3)2(5)37f x x x x =-++=+，此时()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为16；当53x -<<时，()(3)2(5)13f x x x x =--++=+，此时()f x 单调递增，故8()16f x <<；当5x ≤-时，()(3)2(5)37f x x x x =---+=--，此时()f x 单调递减，所以()f x 的最小值为(5)8f -=，综上，()f x 的最小值为8，故8m =；解法二：()355(3)(5)5858f x x x x x x x x =-++++≥--+++=++≥，当且仅当5x =-时等号成立，所以()f x 的最小值为8，故8m =；【小问2详解】1188842222a b a b a b a b ab a b a b ++++=+=+≥=+++，当且仅当4a b +=，即22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩时等号成立，所以1122m a b a b +++的最小值为4．。
2023年四川省绵阳市中考数学真题(含答案解析)
2023年四川省绵阳市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．B．．．．．．．A．68πcm9．如图，矩形于E、F两点．若A．110．将二次函数与一次函数y=2A．b＞8A．1BA．2021B．6184C．589840二、填空题13．分解因式8a2－2=．14．关于x的分式方程211111x x x-=-+-的解是15．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是16．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于是．17．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CAAB=6，AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为．三、解答题示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为度，扇形B对应的圆心角为（3）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于水稻有多少株？21．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦．如图，设反比例函数的解析式为（的面积为时，求直线式．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C 与x 轴相切；(3)过点B 作BE m ⊥，垂足为E ，再过点D 作DF m ⊥，垂足为F ，求:BE MF 的值．25．如图，已知△ABC 中，∠C =90°，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s 的速度匀速运动，到达点B 停止运动，在点M 的运动过程中，过点M 作直线MN 交AC 于点N ，且保持∠NMC =45°，再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F ，连接MF ，将△MNF 关于直线NF 对称后得到△ENF ，已知AC =8cm ，BC =4cm ，设点M 运动时间为t （s ），△ENF 与△ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中，能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围；（3）当y 取最大值时，求sin ∠NEF 的值．参考答案：，即，解得：=，故答案为：3，6，B，A；（2）如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为：扇形B对应的圆心角为360°336 30⨯=︒，故答案为：72，36；（3）3000×6330+=900．即据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．21．（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为【详解】试题分析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦一次方程组，解之即可得出结论；（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的性质即可解决最值问题．试题解析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用；方案型；最值问题．22．（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，∴．（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，∴y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），的面积为，∴×2×3k+•2k=，解得k=，的解析式为．由〔2〕可知52CM =，53122CH =-=在Rt CMH 中，由勾股定理可求得MH 35(35)52HF +--==，52MF HF MH ∴=-=-，553512222BE =--=-，355122252BE MF -+∴==-．【点睛】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识．在〔1〕中注意利用抛物线的顶点式，在〔答案第15页，共15页。
2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期11月学生学业发展指导(文化学科)测评数学试题(含答案)
2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期11月学生学业发展指导（文化学科）测评数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x>2},B={x|x≤3}，则A∩B=( )A. (2,+∞)B. (2,3)C. (2,3]D. ⌀2.若a<b,c>0，则下列选项正确的是( )A. 1a <1bB. ca>cbC. a−c>b−cD. ac<bc3.设函数f(x)={x−2,x≥10,f(x+5),x<10,则f(7)=( )A. 12B. 10C. 5D. 24.已知命题p:∃x∈R,x2+(a−1)x+1=0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围为( )A. −1<a<3B. −3≤a≤1C. a≤−3或a≥1D. −1≤a≤35.下列函数中，是偶函数，且在(−∞,0)上单调递增的是( )A. y=x−2B. y=x13C. y=x2D. y=x−16.函数f(x)=x+ax(a∈R)的图象不可能是( )A. B.C. D.7.某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边AB=8m,AC=6m.现欲建一个如图的内接矩形花园ADEF，点E在斜边BC上(不包括端点)，则花园ADEF的面积的最大值为( )A. 23m2B. 12m2C. 16m2D. 24m28.已知函数f(x)=x|x|，对任意x∈[t,t+1]，使得关于x的不等式f(2x+2t2)>9f(x)成立，则实数t的取值范围是( )A. (−12,1)B. (−∞,0)∪(12,+∞)C. (−∞,−12)∪(1,+∞)D. (−∞,0]∪[12,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x−4，下面有关结论正确的有( )xA. 定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)B. 函数f(x)在[1,4]上的值域为[−3,3]C. 在(−2,0)∪(0,2)上单调递增D. 函数f(x)的图象关于y轴对称10.下列叙述中正确的是( )≤1”的充分不必要条件A. “x≥1”是“1xB. 命题“∃x>4,x>2”的否定是“∀x>4,x≤2”C. “x2−2x<0”的一个必要不充分条件是“x<2”D. 集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素的充要条件是a=1411.高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如：[−2.5]=−3，[0.1]=0.已知函数f(x)=x−[x]，下列说法中正确的是( )A. 若a,b∈R，则|f(a)−f(b)|<1B. 方程f(x)=1在区间[−2,2]上有4个实数根2C. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增D. ∀x∈R，都有[f(x)]=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年四川省绵阳市游仙区九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.方程x²=−2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 1，−2，8B. −1，2，8C. 1，2，−8D. 1，2，82.二次函数y=x2−2x+1的图象与x轴的交点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定3.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是( )A. (x+4)2=9B. (x−4)2=9C. (x−8)2=16D. (x+8)2=574.方程3x(x−1)=5(x+2)的一般式为ax2−8x−10=0时，a的值为( )A. −3B. 1C. 3D. 55.关于x的一元二次方程3x2−2x=x+1的根的情况是( )A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法确定6.抛物线y=2(x+9)2−3的顶点坐标是( )A. (9，3)B. (9,−3)C. (−9,3)D. (−9,−3)7.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=−1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来( )A. 10sB. 20sC. 30sD. 40s8.将抛物线y=2x2−1的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是( )A. y=2(x+3)2+4B. y=2(x−3)2+4C. y=(x−3)2+3D. y=2(x−3)2+39.二次函数y=x2−2x−3.若y>−3，则自变量x的取值范围是( )A. x<0或x>2B. x<1或x>3C. 0<x<2D. 1<x<310.若函数y=(m−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是( )A. 3或5B. 3C. 4D. 511.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1.若y<0，则x的取值范围是( )A. x<1B. x<−1C. −1<x<1D. x<−1或x>312.云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目.近年来某乡的花卉产值不断增加，2020年花卉产值是1000万元，2022年花卉产值达到1400万元.设2021和2022年花卉产值的年平均增长率均为x，则下列方程正确的是( )A. 1000(1+x)=1400B. 1000(1+2x)=1400C. 1000(1+x)2=1400D. 1000(1+x)+1000(1+x)2=1400二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.方程(2x+1)(x−3)=x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项的和为______ ．14.关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一根为0，则m=______．15.已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0无实数根，则一次函数y=mx+m的图形不经过第______ 象限．16.在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为______ ．17.已知函数y=(m+1)x|m|+1−2x+1是二次函数，则m=______ ．18.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(−2,0)和(4,0)两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。
四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析
高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。
四川省绵阳市2024-2025学年高三第一次诊断性考试数学质量检测试题(含解析)
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4四川省绵阳市2024-2025学年高三第一次诊断性考试数学质量检测试题．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}2,1,0-- C. []2,0- D. []22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2. “22ac bc >”，是“a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3. 已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（ ）A. 3B. C. 6D. 9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy 的范围，从而求得xy 的最小值.详解】3x y xy +=-≥)23310--=+≥，30,9xy -≥≥，当且仅当3x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为9.故选：D4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）A. 30万元 B. 32万元C. 36万元D. 40万元【答案】D 【解析】【分析】先得求数据的中心点()10,50.5，代入ˆ 1.6ˆ5yx a =+得ˆ34a =，再由ˆ100=y 求得40x =即得.【详解】258111519106x +++++==，33455053586450.56y +++++==，因ˆ 1.6ˆ5yx a =+过点()x y ，故ˆ50.5 1.6510a =⨯+，得ˆ34a =，【故当ˆ100=y时，341001.65x +=，得40x =，故选：D5. 下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）A. 2y x -= B. 1y x x=+C. sin y x x =-D. 1ln1x y x -=+【答案】C 【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A ，令()2f x x -=，0x ≠，()()()22fx x x fx ---=-==，所以2y x -=是偶函数，故A 错误；对于B ，1y x x=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减，故B 错误；对于C ，令()sin g x x x =-，R x ∈，()()()()sin sin g x x x x x g x -=---=--=-，所以sin y x x =-是奇函数，又1cos 0y x '=-≥，所以sin y x x =-是R 上的增函数，故C 正确；对于D ，令()1ln1x h x x -=+，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()()()11201111x x h x x x x x '+-⎛⎫'=⋅=> ⎪-+-+⎝⎭，所以函数1ln 1x y x -=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，但在定义域上不单调，故D 错误.故选：C.6. 已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（ ）A. 9 B. 3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，的故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ=或tan θ=（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：lg 20.301≈）A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k ，然后再令0.4P =即可解出t .【详解】依题意，900(120%)ekP P --=，解得1ln 0.89k =-，即900.8t P P =，当0(160%)P P =-时，9000.40.8tP P =，即90.80.4t=，解得9lg 0.49(2lg 21)9(120.301)37lg 0.83lg 21130.301t --⨯==≈≈--⨯，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h .故选：C8. 已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（ ）A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]2e,0- D. ()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令()()2e3,0xh x xx =->，则()()()e 31x h x x x +'=-，当01x <<时，ℎ′(x )<0，则ℎ(x )在(0,1)上单调递减；当1x >时，ℎ′(x )>0，则ℎ(x )在(1,+∞)上单调递增；令()()231,0k x x x =-+≤，则其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线；由关于x 的不等式()()()0x f x g x -<，可知0x ≠，当0x >时，()()f x g x <，即有()()h x g x <；当0x <时，()()f x g x >，即有()()k x g x >；作出函数图象如图：要使关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，显然0m ≤不能满足题意，故需满足()()()()02222m h g k g ⎧>⎪≥⎨⎪-≤-⎩，即20e 232m m m>⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩，解得302m <≤，即m 的取值范围为30,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（ ）A. 342S = B. 2n nS a <C. {}n S 是等比数列 D. 存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =【答案】AB 【解析】【分析】通过n a 与n S 的关系，作差得到数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由16n n a S +=+，可得16,2n n a S n -=+≥两式相减可得：12,2n n a a n +=≥，又2211612,2a a S a =+==，所以数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，所以162n n a -=⨯，626nn S =⨯-，所以3362642S =⨯-=，A 正确；262n n a =⨯，所以2n n S a <，B 正确；由626nn S =⨯-，可得1236,18,42S S S ===，显然3212S S S S ≠，可判断{}n S 不是等比数列，C 错误；若n k S a =，即162662n k -⨯-=⨯，也即1221n k --=，显然不存在大于1的整数,n k ，使得等式成立，D 错误；故选：AB10. 已知函数()22sin cos0)222xxxf x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（ ）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B. 令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C. 函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D. 函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincossin 2sin (0)2223xxxf x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ， [)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，x ∈(0,π)，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点， 故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 故D 正确；故选：ABD.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. ()0f 可以等于零 B. ()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C. 曲线f (x−1)为轴对称图形 D. 若()11f =，则201()20k f k ==∑【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得()00f =或()01f =，分类讨论可得()01f =，判断A ；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B ；结合B 的分析以及图象的平移可判断C ；判断出(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令0x y ==，可得()()000000222f f f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()200f f =，解得()00f =或()01f =，当()00f =时，则可得()()0222f x f x x x x x f f ++-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()0f x =，与()f x 不恒为0矛盾，所以()01f =，故A 错误；令y x =-，可得()()()()()()20,f x f x f f x f x f x +-=∴-=，所以()f x 为偶函数，因为()cos 2f x x =是偶函数，所以()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =，故B 正确；因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()1f x -关于直线1x =对称，所以曲线()1f x -为轴对称图形，故C 正确；令2,x k y k =+=，则可得()()2222222f k f k k f f +++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()*221,N f k f k f k k ++=+∈，又()()2022222f f f f +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得()21f =，所以(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，所以201()20k f k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =______．【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由()()2cos cos πcos 3B C B C A ⎡⎤+=-+=-=-⎣⎦，故2cos 3A =，则22222cos 491253a b c bc A =+-=+-⨯=，故a =..13. 已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14. 若2x =是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】2e a <-【解析】【分析】根据函数的导数，对a 分类讨论，再结合()0f x '=的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】()()()()()e222e xx f x x a x x a =-+-=-+'，当0a ≥时，e 0x a +>，当2x <时，f ′(x )<0，当2x >时，f ′(x )>0，所以()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以2x =是函数的极小值点，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，可得()122,ln x x a ==-，若()2ln a <-，即2e a <-时，则2x <时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()2ln x a <<-时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，符合题意；若()2ln a >-即20e a >>-时，则2x >时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()ln 2a x -<<时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极小值点，不符合题意；若()2ln a =-即2e a =-时，则R x ∈时，f ′(x )≥0，函数()f x 单调递增，函数()f x 无极值点，不符合题意.综上，当2e a <-时，2是函数()f x 的极大值点.故答案为：2e a <-【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当0a ≥时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当0a <时，根据()0f x '=的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15，女生有报考军事类院校意向的概率为1 4（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写22⨯列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算2χ的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写22⨯列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为1001 5005=，女生有报考军事类院校意向的概率为1001 4004=.【小问2详解】()22900100300400100 3.214 2.072200700400500χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，（1）求ABC V 的面积；（2）若π4B =，求A ．【答案】（1）14； （2）π8或5π8.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在ABC V 中，由余弦定理及cos cos 1a C c A +=，得222222122a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得1b =，而1sin 2a C =，所以ABC V 的面积11sin 24S ba C ==.【小问2详解】由（1）及正弦定理得1πsin sin sin 4a b A B ===a A =，于1sin 2A C =1sin(2π)4A A +=，12cos )A A A +=，即22sin cos 12sin A A A =-，因此sin 2cos 2A A =，即tan 21A =，由3π04A <<，得3π022A <<，解得π24A =或5π24A =，所以π8A =或5π8A =.17. 已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．（1）若124a a +=，求1b 的值；（2）若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．【答案】（1）2（2）（ⅰ）()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()32n n n n T S +-=【解析】【分析】（1）先得112b a =，2232b a =，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得1n n n b a n+=，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得12n n n a a n ++=，由累乘法可得()1n a n n =+，进而可得()21n b n =+；（ⅱ）先得1n n n a b -=+，利用等差数列前n 项和公式可得()32n n T S n n +-=.【小问1详解】由()1n n n a nb +=可得112b a =，2232b a =，由题意可知2a 是1b 与2b 的等比中项，故2212a b b =，可得22123a a a =，即213a a =，又因124a a +=，故11a =，故1122b a ==【小问2详解】（ⅰ）由()1n n n a nb +=得1n n n b a n +=，由题意可得1211121n n n n n n n a a a n n b b ++++++==⋅，得12n n n a a n ++=，故12n n a n a n++=，故()1112211321121n n n n n a a a a n n n n a n n a a a ---=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+--= ，()211n n n b a n n+==+，故()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()()2111n n b n a n n n =+-=-++，()()1212n n n n T b b b a a a S =+++-++-()()()1122n n b a b a b a =-+-++- ()231n =++++ ()212n n++=()32n n +=18. 已知函数()3221f x x ax a x =+--．（1）当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有3条切线，322y x =-+（2）答案见解析 （3）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对a 分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当x →+∞时，()f x →+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当5a =-时，()325251f x x x x =---，()231025f x x x =--'，设切点为()00,x y ，因为切线过点(0,2)，所以切线斜率存在，故可设切线方程为2y kx =+，则3200002002525131025kx x x x k x x ⎧+=---⎨=--⎩，化简可得()2200021330x x x --+=，即()()200012330x x x ---=，由2002330x x --=的判别式9240∆=+>知方程有2个不等实根且不为1，故()()200012330x x x ---=有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故3102532k =--=-，所以切线方程为322y x =-+.【小问2详解】()()()22323f x x ax a x a x a =+-=-+'，当0a =时，()230f x x ='≥，所以函数R 上单调递增；当0a >时，3a a -<，所以x a <-或3ax <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3aa x -<<时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当0a <时，3aa ->，所以x a >-或3a x <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3ax a <<-时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；综上，0a =时，()f x 在R 上单调递增，无递减区间；当0a >时，()f x 在(),a ∞--和,3a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()f x 在,3a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),a ∞-+上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【小问3详解】当0a =时，3()1f x x =-，函数仅有1个零点1；当0a >时，由（2）知，()f x 的极大值为()f a -，且当x →+∞时，()f x →+∞，若()f x 有唯一零点，则333()10f a a a a -=-++-<，解得1a <，故()0,1a ∈，当0a <时，由（2）知，()f x 的极大值为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，同理，若()f x 有唯一零点，则3510327a f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得a >，故a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，综上，实数a的取值范围⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19. 已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．在（1）求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312nii a=-<∑．【答案】（1）a =2（2）(1)1n a >，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断()f x 的单调性求出最大值得解；（2）（i ）由已知结合基本不等式可得1ln 12nn na a a +≥+，利用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，（ii ）先构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a ，将所证明的式子放缩求和证明.【小问1详解】()()()121123x x f x x x x--'=+-=Q ，(]0,1x ∈，当102x <<时，10x -<，210x -<，()0f x '∴>，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当112x ≤≤时，10x -≤，210x -≥，()0f x '∴≤，则()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 11133ln ln 222424f x f a ⎛⎫∴==+-+=- ⎪⎝⎭，解得2a =所以实数a 的值为2.【小问2详解】（i ）由（1）知，()2ln 32f x x x x =+-+，所以212ln 3231n n n n n n a a a a a a +=+-++-，即21ln 12n n n na a a a +++=，212n n a a +≥Q ，1ln 12nn na a a +∴≥+，.下面用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，当2n =时，143a =，1214lnln 3111823a a a ∴≥+=+>，假设()2,Z n k k k =≥∈时，命题成立，则1k a >，当1n k =+时，有1ln 112kk ka a a +≥+>成立，所以上述命题对2,Z n n ≥∈，均有1n a >成立.（ii ）当1n =时，13112a -=<成立，当2n ≥时，令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11x ϕϕ<=，所以()()21ln 11ln 1112222n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ϕ+⎛⎫++++==+=+< ⎪⎝⎭，即11112n n a a +-<-，又由（i ）知1n a >，则()11112+-<-n n a a ，()()()121313111ni n i a a a a =∴-=-+-++-⎡⎤⎣⎦∑L ()121111311222n a -⎡⎤⎛⎫<-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 111123211322n n -⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭，102n >Q ，1112n ∴-<，12122n⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即1312ni i a =-<∑，得证.【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a .。