《三角形的证明》复习课件PPT

点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上 去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从 A 开始并垂直于 AB 剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
上册第一章复习 ┃ 知识归类 8．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 三角形三个顶点的距离 相等 .
9．角平分线的性质定理及判定定理
，并且这一点到
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 点，在这个角的平分线上．
.
相等的
上册第一章复习 ┃ 知识归类
上册第一章复习 ┃ 知识归类 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形． 7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 . 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上． [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合．
∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA.
∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 “截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此 种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的 理解数学中的化归思想有较大的帮助．
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9， 在△FCE与△BCE中， ∴△FCE≌△BCE(SAS)，
∴∠2＝∠1.
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°. 又∠ADE＝∠CDE， 图S1－9
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴∠DCE＋∠CDE＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°， ∴∠3＝∠4. 在△FDE与△ADE中，
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点四 例4 等腰三角形的判别
已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的
中点．
(1) 如图 S1－ 4， E， F分别是 AB， AC上的点，且 BE＝ AF， 求证：△DEF为等腰直角三角形； (2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其 他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的
结论．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
图S1－5
[ 解析 ] 要证明△ DEF 为等腰三角形，需要证 DE ＝ DF. 连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的 方法．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
解：(1)证明：连接AD，如图S1－6：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝AD， ∴∠B＝∠DAC＝45°， 又BE＝AF，
为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方
案．
图S1－12
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相
交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.
图S1－13
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
9. 如图 S1 － 14 ，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， E 为 CD 的中
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
10．三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离 相等 .
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一
例1
线段垂直平分线的性质的应用
如图 S1 － 1 ，在△ ABC 中， DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E ，
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上， 尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化， 从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势， 更简捷地说明两线段 或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强， 多以证明或计算题出现．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点五 例5 角平分线与“截长补短”
如图 S1 － 8 ， AD∥BC ，点 E 在线段 AB 上，∠ ADE ＝
∠CDE，∠DCE＝∠ECB.
求证：CD＝AD＋BC.
图S1－8
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的 “截长”，即在 CD 上截取 CF ＝ CB ，只要再证 DF ＝ DA 即可，这 就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
3．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，
那么它的三个内角之比为( D )
A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
4．如图 S1 － 9，△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， BA 的垂直平分 线交 CB 边于 D ，若 AB ＝ 10 ， AC ＝ 5 ，则图中等于 60°的角的个 数为( D ) A．2 B．3 C．4 D．5
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 勾股定理的应用
2 例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为 2， π AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C， F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.求证：∠ABC ＝∠DEF.
命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.
下面证明命题一：
已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一
第一章复习 ┃ 知识归纳 3．用反证法证明的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________. 50°
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等，所以 EA ＝ EC ， ∠ A ＝ ∠ ACE ＝ 30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF， ∴△DEF为等腰直角三角形．
图 S1－6
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 (2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示： 连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.
求证：∠ABC＝∠DEF.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF.
又∵AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
∴∠ABC＝∠DEF.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样， 设计新颖， 能培养 同学们的逆向思维能力、 创新能力和综合运用知识的能力． 解答条 件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条 件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共 边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题 的答案往往不唯一，只要合理即可．
图S1－10
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ________. 2
图S1－11
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
6．若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的( C ) A．三条高的交点 B．三条中线的交点
上册第一章复习 ┃ 知识归类 (2)三个角相等的三角形是等边三角形；
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 .
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠ABD＝45°，
∴∠DAF＝∠DBE＝135°. 又AF＝BE， ∴△DAF≌△DBE(SAS)，
图S1－7
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，
∴∠ EDF ＝ ∠ EDB ＋ ∠ FDB ＝ ∠ FDA ＋ ∠ FDB ＝ ∠ ADB ＝ 90°， ∴△DEF仍为等腰直角三角形．
1．以下命题中，是真命题的是( D )
A．两条直线只有相交和平行两种位置关系
B．同位角相等
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 2．下列说法中，正确的是( C )