全国卷Ⅰ理数高考真题含答案
2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)
1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f （x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r==25﹣r，+1令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2024年全国高考甲卷理数真题试卷含答案
2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-2．集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则∁A (A ∩B )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D6．设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1B．1-CD．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B=，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A．32B C D 12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.23．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）2．集合{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则∁A (A ∩B )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2-D ．72-根据5z x y =-可得1155y x z =-，即则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）6．设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1-C D ．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“ ”的必要条件10．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确；②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误；①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32B C D12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）故选C二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，115log log 42a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+()(42Δ102443464k k k =-+21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；0f x ≥a．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】(1)221y x =+满足．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．【答案】(1)见解析(2)见解析。
(精校版)2022年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题(含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考真题理科数学全国卷Ⅰ含解析
年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。
2022高考真题-理数(全国乙卷)含答案解析
则 EF = (−1,1,0), EB1 = (0,1, 2) ， DB = (2, 2,0), DA1 = (2,0, 2) ，
1. 设全集U = {1, 2,3, 4,5} ，集合 M 满足 ðU M = {1,3}，则（）
A. 2 M
【答案】A
B. 3 M
C. 4 M
D. 5 M
【解析】
【分析】先写出集合 M ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 M = {2, 4,5} ,对比选项知， A 正确, BCD 错误
故选: A
D. 平面 B1EF / / 平面 A1C1D
【答案】A 【解析】
【分析】证明 EF ⊥ 平面 BDD1 ，即可判断 A；如图，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系， 设 AB = 2 ，分别求出平面 B1EF ， A1BD ， A1C1D 的法向量，根据法向量的位置关系，即
可判断 BCD. 【详解】解：在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，
故选：A.
8. 已知等比数列 an 的前 3 项和为 168， a2 − a5 = 42 ，则 a6 = （）
A. 14
B. 12
C. 6
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列an 的公比为 q, q 0 ，易得 q 1，根据题意求出首项与公比，再根
据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列an 的公比为 q, q 0 ，
四棱锥的体积最大时，其高为（）
全国1卷高考数学理科真题及答案
全国1卷高考数学理科真题及答案全国1卷2022高考数学理科真题及答案数学答题思想方法一：高中数学答题方法分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4) 有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5) 含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性二：高中数学答题方法化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化三：高中数学答题方法特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4) 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5) 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向数学答题技巧掌握答题规律有些考生书写没条理，卷面涂改太多，阅卷老师甚至找不到答案在哪里，这样就很容易被错判。
有些考生在没有把握的情况下，就把已作答的内容划掉，其实还有得分点，这是很可惜的。
有些考生解答题不写出关键步骤，或分类讨论最后不总结，虽然答案对了，但没踩到得分点，仍会被扣分。
有时前面的结论对后面的解法有提示或暗示作用，考生要抓住这样的机会。
在解答题中，后一题有时要用到前一题的结论，这时考生即使前一题不会做，也可以把它作已知，先做后一题。
遇到困难的问题，一个聪明做法是将它们分解为一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。
特别是那些解题层次明显的题目，每进行一步都可能得分，这叫大题拿小分。
(含答案解析)2023年高考全国乙卷-理数
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2=()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.13.已知点A 1,5【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x-3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2 ，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
2020年(理科数学)(新课标Ⅰ)试卷真题+参考答案+详细解析
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若1z i =+，则2|2|(z z -= ) A ．0B ．1C ．2D ．22．（5分）设集合2{|40}A x x =-，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =-，则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4．（5分）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则(p = ) A ．2B ．3C ．6D ．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(1,i i x y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．y a blnx =+6．（5分）函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．（5分）设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．（5分）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．（5分）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin (α= ) A 5B ．23 C ．13D 5 10．（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．（5分）已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为( ) A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．（5分）若242log 42log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)含答案
2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1.设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. B. S C. T D. Z3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p qB. p qC. p qD. (pVq)4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. B. C. D.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（）A. sin( )B. sin( )C. sin( )D. sin( )8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A. B. C. D.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。
则海岛的高AB=（）.A. B.C. D.10.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（）A. a＜bB. a＞bC. ab＜a2D. ab＞a211.设B是椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.设，，，则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. b＜a＜cD. c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)
全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E 于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及+1b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt △DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．。
2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)[含答案]
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2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．已知集合，，，0，2，，则 3{|55}A x x =-<<{3B =-1-3}(A B = )A ．，B ．，C ．，，D ．，0，{1-0}{23}{3-1-0}{1-2}2．若，则 11zi z =+-(z =)A ．B ．C ．D ．1i --1i -+1i-1i +3．已知向量，，若，则 (0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- (x =)A ．B ．C ．1D ．22-1-4．已知，，则 cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()(αβ-=)A ．B ．C ．D ．3m -3m -3m3m5 ()A ．B ．C ．D ．6．已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是 22,0,()(1),0x x ax a x f x e ln x x ⎧---<=⎨++⎩R a ()A ．，B ．，C ．，D ．，(-∞0][1-0][1-1][0)+∞7．当，时，曲线与的交点个数为 [0x ∈2]πsin y x =2sin(36y x π=-()A ．3B ．4C ．6D ．88．已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一()f x R ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =定正确的是 ()A ．B ．C ．D ．(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推2.1x =20.01s =X (1.8N 20.1)动出口后的亩收入服从正态分布，，则 （若随机变量服从正态分布，则Y (N x 2)s ()Z 2(,)N μσ()0.8413)P Z μσ<+≈A ．B ．C ．D ．(2)0.2P X >>(2)0.5P X ><(2)0.5P Y >>(2)0.8P Y ><10．设函数，则 2()(1)(4)f x x x =--()A ．是的极小值点B ．当时，3x =()f x 01x <<2()()f x f x <C ．当时，D ．当时，12x <<4(21)0f x -<-<10x -<<(2)()f x f x ->11．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点C C O C 满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则 2-(2,0)F (0)x a a =<()A ．B ．点，在上2a =-0)C C ．在第一象限的纵坐标的最大值为1D ．当点，在上时，C 0(x 0)y C 0042y x +三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
2023年全国高考乙卷理数真题试卷及答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1. 设252i1i i z +=++，则z =（）A. 12i- B. 12i+ C. 2i- D. 2i+2. 设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A. ∁∪B. ∪∁C. ∁∩D. ∪∁3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A. 24B. 26C. 28D. 304. 已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A. 2- B. 1- C. 1 D. 25. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ）A.18B.16C.14D.126. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B. 12-C.12D.7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种8.已知圆锥PO ，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB ）A.πB.C. 3πD. 9. 已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C ABD --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.15B.C.D.2510. 已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A. －1B. 12-C. 0D.1211. 设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1 B. ()1,2- C. ()1,3 D.()1,4--12. 已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D为BC 的中点，若PO =PA PD ⋅的最大值为（）A.B.C. 1D. 2+二、填空题13. 已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.15. 已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.16. 设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x yi =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.19. 如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．21. 已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分）23. 已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学（2023·全国乙卷·理·1·★）设252i1i i z +=++，则z =（ ）（A ）12i - （B ）12i + （C ）2i - （D ）2i +答案：B解析：由题意，2252222i 2i 2i (2i)ii 2i 12i 1i i 11(i )i i iz ++++=====--=-++-+，所以12i z =+.（2023·全国乙卷·理·2·★）设全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|12}N x x =-<<，则{|2}x x ≥=（ ）（A ）∁∪ （B ）∪∁ （C ）∁∩ （D ）∪∁答案：A解析：正面求解不易，直接验证选项，A 项，由题意，{|2}M N x x =< ，所以(){|2}U M N x x =≥ ð，故选A.（2023·全国乙卷·理·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）（A ） 24（B ）26（C ） 28（D ）30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.（2023·全国乙卷·理·4·★★）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（ ）（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2答案：D解法1：要求a ，可结合偶函数的性质取特值建立方程，由()f x 为偶函数得(1)(1)f f -=，故1e ee 1e 1a a ---=-- ①，又111e e e e 11e e 1a a a a ------==---，代入①得1e ee 1e 1a a a -=--，所以1e e a -=，从而11a -=，故2a =，经检验，满足()f x 为偶函数.解法2：也可直接用偶函数的定义来分析，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=恒成立，从而e e e 1e 1x x ax ax x x ---=--，故e e e 1e 1x x ax ax ---=--，所以e e e 1e e 1x ax x ax ax --⋅=--，从而e e e 1e 1ax x xax ax -=--，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，故(2)0a x -=，此式要对定义域内任意的x 都成立，只能20a -=，所以2a =.（2023·全国乙卷·理·5·★）设O 为平面坐标系的原点，在区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于 4 的概率为（ ）（ ）（A ）18（B ）16（C ）14（D ）12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·理·6·★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2(,)63ππ单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图象的两条对称轴，则5(12f π-=（ ）（A） （B ）12- （C ）12（D答案：D解析：条件中有两条对称轴，以及它们之间的单调性，据此可画出草图来分析，如图，2362T T πππ-=⇒=，所以22Tπω==，故2ω=±，不妨取2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，再求ϕ，代一个最值点即可，由图可知，(sin(2)sin()1663f πππϕϕ=⨯+=+=-，所以232k ππϕπ+=-，从而52()6k k πϕπ=-∈Z ，故55()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以5555(sin[2()]sin()sin 1212633f πππππ-=⨯--=-==.（2023·全国乙卷·理·7·★★）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）（A ）30种 （B ）60种 （C ）120种 （D ）240种答案：C解析：恰有1种课外读物相同，可先把相同的课外读物选出来，再选不同的，由题意，先从6种课外读物中选1种，作为甲乙两人相同的课外读物，有16C 种选法，再从余下5种课外读物中选2种，分别安排给甲乙两人，有25A 种选法，由分步乘法计数原理，满足题意的选法共1265C A 120=种.（2023·全国乙卷· 理· 8·★★★）已知圆锥PO 的底面半径为O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，o 120AOB ∠=，若PAB ∆ ）（A ）π （B （C ）3π （D ）答案：B 解析：求圆锥的体积只差高，我们先翻译条件中的PAB S ∆，由于PA ，PB 和APB ∠都未知，所以不易通过1sin 2PAB S PA PB APB ∆=⋅⋅∠求PA ，再求PO ，故选择AB 为底边来算PAB S ∆，需作高PQ ，而AB 可在AOB ∆中求得，在AOB ∆中，由余弦定理，222AB OA OB =+-2cos 9OA OB AOB ⋅⋅∠=，所以3AB =，取AB 中点Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ AB ⊥，PQ AB ⊥，所以1133222PAB S AB PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=，又PAB S ∆=，所以32PQ =PQ =，在AOQ ∆中，o 1602AOQ AOB ∠=∠=，所以cos OQ OA AOQ =⋅∠=OP ==所以圆柱PO 的体积213V π=⨯=.PO ABQ（2023·全国乙卷·理·9·★★★）已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角C AB D --为o 150，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）（A ）15 （B （C （D ）25答案：C解析：两个等腰三角形有公共的底边，这种情况常取底边中点构造线面垂直，如图，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，由题意，DA DB =，AC BC =，所以AB DE ⊥，AB CE ⊥，故DEC ∠即为二面角C AB D --的平面角，且AB ⊥平面CDE ，所以o 150DEC ∠=，作DO CE ⊥的延长线于O ，则DO ⊂平面CDE ，所以DO AB ⊥，故DO ⊥平面ABC ，所以DCO ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，不妨设2AB =，则1CE =，DE =，因为o 150DEC ∠=，所以o 30DEO ∠=，故3cos 2OE DE DEO =⋅∠=，sin OD DE DEO =⋅∠=，52OC OE CE =+=，所以tan OD DCO OC ∠==.DACBEO【反思】两个等腰三角形有公共底边这类图形，常取底边中点，构造两个线线垂直，进而得出线面垂直.（2023·全国乙卷·理·10·★★★★）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{cos |}n S a n =∈N ，若{,}S a b =，则ab =（ ）（A ）1- （B ）12- （C ）0 （D ）12答案：B解析：由题意，S 中的元素为1cos a ，2cos a ，3cos a ，…，由于cos y x =周期为2π，恰为公差的3倍，所以cos n a 必以3为周期重复出现，故只需考虑前三个值. 但题干却说{,}S a b =，只有两个元素，为什么呢？这说明前三个值中恰有两个相等，若讨论是哪两个相等来求1a ，则较繁琐，我们直接画单位圆，用余弦函数的定义来看，如图，由三角函数定义可知，在终边不重合的前提下，余弦值相等的两个角终边关于x 轴对称，所以要使1cos a ，2cos a ，3cos a 中有两个相等，则1a ，2a ，3a 的终边只能是如图所示的两种情况，至于三个终边哪个是1a ，不影响答案，只要它们逆时针排列即可，若为图1，则131cos cos 2a a ==，2cos 1a =-，所以S 中的元素是12和1-，故12ab =-；若为图2，则1cos 1a =，231cos cos 2a a ==-，所以S 中的元素是1和12-，故12ab =-.1图2图（2023·全国乙卷·理·11·★★★）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可能为线段AB 中点的是（ ）（A ）(1,1) （B ）(1,2)- （C ）(1,3) （D ）(1,4)--答案：D解析：涉及弦中点，考虑中点弦斜率积结论，A 项，记(1,1)M ，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，因为1OM k =，所以9AB k =，又直线AB 过点M ，所以AB 的方程为19(1)y x -=-，即98y x =- ①，只要该直线与双曲线有2个交点，那么A 项就正确，可将直线的方程代入双曲线方程，算判别式，将①代入2219y x -=整理得：272144730x x -+=，21(144)47273144(144273)2880∆=--⨯⨯=⨯-⨯=-<，所以该直线与双曲线没有两个交点，故A 项错误，同理可判断B 、C 也错误，此处不再赘述；D 项，记(1,4)N --，则4ON k =，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，所以94AB k =，又直线AB 过点N ，所以AB 的方程为91(1)4y x -=-，整理得：9544y x =- ②，将②代入2219y x -=整理得：263901690x x +-=，判别式2290463(169)0∆=-⨯⨯->，所以该直线与双曲线有两个交点，故D 项正确.（2023·全国乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O 半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（ ）（A （B （C ）1+（D ）2答案：A解析：1OA =，1PO PA =⇒==，所以cos cos PA PD PA PD APD PD APD ⋅=⋅∠=∠ ①，且PAO ∆是等腰直角三角形，所以4APO π∠=，因为D 是BC 的中点，所以OD BC ⊥，求PA PD ⋅要用APD ∠，故可设角为变量，引入CPO ∠为变量，可与直角PDO ∆联系起来，更便于分析，设CPO θ∠=，则04πθ≤<，有图1和图2两种情况，要讨论吗？观察发现图2的每一种PD ，在图1中都有一个对称的位置，二者PD相同，但图2的夹角APD ∠更大，所以cos APD ∠更小，数量积也就更小，从而PA PD ⋅的最大值不会在图2取得，故可只考虑图1，如图1，4APD APO CPO πθ∠=∠-∠=-，代入①得cos()4PA PD PD πθ⋅=- ①，注意到PD与θ有关，故将它也用θ表示，统一变量，由图可知，cos PD PO DPC θ=∠=，代入①得：cos()4PA PD πθθ⋅=-2)cos sin cos θθθθθθ==+1)1cos 214sin 2222πθθθ++=+=，故当8πθ=时，sin(214πθ+=，PA PD ⋅.APODB C A PODBC1图2图θθ（2023·全国乙卷·理·13·★）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则点A 到C 的准线的距离为_____.答案：94解析：点A 在抛物线上25212p p ⇒=⋅⇒=，所以抛物线的准线为54x =-，故A 到该准线的距离591(44d =--=.（2023·全国乙卷·理·14·★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：=2−，移项得=2−，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−最小，则最大，代入得=8（2023·全国乙卷·理·15·★★）已知{}n a 为等比数列，24536a aa a a =，9108a a =-，则7a =_____.答案：2-解析：已知和要求的都容易用通项公式翻译，故直接翻译它们，34252453611111a a a a a a qa q a q a q a q =⇒=，化简得：11a q = ①，8921791011188a a a q a q a q =-⇒==- ②，由①可得11a q=，代入②得：158q =-，所以52q =- ③，结合①③可得6557112a a q a q q q ==⋅==-.（2023·全国乙卷·理·16·★★★★）设(0,1)a ∈若函数()(1)x x f x a a =++在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____.答案：解析：直接分析()f x 的单调性不易，可求导来看，由题意，()ln (1)ln(1)x x f x a a a a '=+++，因为()f x 在(0,)+∞上 ，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即ln (1)ln(1)0x x a a a a +++≥，参数a 较多，没法集中，但x 只有两处，且观察发现可同除以x a 把含x 的部分集中起来，所以(1)ln ln(1)0x x a a a a +++≥，故1ln (1)ln(1)0xa a a+++≥ ①，想让式①恒成立，只需左侧最小值0≥，故分析其单调性，因为111a+>，11a +>，所以ln(1)0a +>，从而1ln (1)ln(1)x y a a a =+++在(0,)+∞上 ，故011ln (1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ln(1)x a a a a a a a a+++>+++=++，所以①恒成立ln ln(1)0a a ⇔++≥，从而ln[(1)]0a a +≥，故(1)1a a +≥，结合01a <<1a ≤<.（2023·全国乙卷·理·17·★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验，选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x ，(1,2,,10)y i =⋅⋅⋅，试验结果如下：记i i z x =（1（2著提高.产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）解：（1）由题意，i z 的数据依次为9，6，8，8-，15，11，19，18，20，12，所以10111()(9688151119182012)111010i i i z x y ==-=++-++++++=∑，10222222222111()[(911)(611)(811)(811)(1511)(1111)(1911)1010i i s z z ==-=-+-+-+--+-+-+-+∑222(1811)(2011)(1211)]61-+-+-=.（2）由（1）可得z =<，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·理·18·★★★）在ABC ∆中，已知o 120BAC ∠=，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且o 90BAD ∠=，求ADC ∆的面积.解：（1）（已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角）由余弦定理，22222o 2cos 21221cos1207BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以BC ，由正弦定理，sin sin AC BCABC BAC =∠∠，所以o sin sin AC BAC ABC BC ⋅∠∠===.（2）如图，因为o 120BAC ∠=，o 90BAD ∠=，所以o 30CAD ∠=，（求ADC S ∆还差AD ，只要求出ABC ∠，就能在ABD ∆中求AD ，ABC ∠可放到ABC ∆中来求）由余弦定理推论，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅，所以cos AB BD ABC ==∠AD ==，故o 11sin 1sin 3022ADCS AC AD CAD ∆=⋅⋅∠=⨯.C（2023·全国乙卷·理·19·★★★★）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC上，BF AO ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的大小.PDBAFCOE解：（1）证法1：（由图可猜想DEFO 是平行四边形，故尝试证DE 平行且等于OF . 注意到D ，E ，O 都是所在棱的中点，故若能证出F 是中点，则DE ，OF 都平行且等于AB 的一半，问题就解决了. 那F 的位置由哪个条件决定呢？显然是BF AO ⊥，我们可以设AF AC λ=，利用向量来翻译BF AO ⊥，求出λ）设AF AC λ= ，则()(1)BF BA AF BA AC BA BC BA BA BC λλλλ=+=+=+-=-+ ，12AO AB BO BA BC =+=-+ ，因为BF AO ⊥，所以1((1))()2BF AO BA BC BA BC λλ⋅=-+⋅-+ 22(1)4(1)402BA BC λλλλ=-+=-+= ，解得：12λ=，所以F 是AC 的中点，又D ，E ，O 分别是BP ，AP ，BC 的中点，所以DE 和OF 都平行且等于AB 的一半，故DE 平行且等于OF ，所以四边形DOFE 是平行四边形，故EF ∥OD ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .证法2：（分析方法同解法1，证明F 为AC 中点的过程，也可用平面几何的方法）如图1，在ABC ∆中，因为BF AO ⊥，所以o 2190AOB AOB ∠+∠=∠+∠=，故12∠=∠ ①，又2AB =，BC =O 为BC 中点，所以BO =故tan 1BO AB ∠==，tan 3AB BC ∠==，所以tan 1tan 3∠=∠，故13∠=∠，结合①可得23∠=∠，所以BF CF =，连接OF ，因为O 是BC 中点，所以OF BC ⊥，又AB BC ⊥，所以OF ∥AB ，结合O 为BC 中点可得F 为AC 的中点，接下来同证法1.（2）（要证面面垂直，先找线面垂直，条件中有AO BF ⊥，于是不外乎考虑证AO ⊥面BEF 或证BF ⊥面AOD ，怎样选择呢？此时我们再看其他条件，还没用过的条件就是一些长度，长度类条件用于证垂直，想到勾股定理，我们先分析有关线段的长度）由题意，12DO PC ==AD ==，AO ==，所以222152AO DO AD +==，故AO OD ⊥，（此时结合OD ∥EF 我们发现可以证明AO ⊥面BEF ）由（1）可得EF ∥OD ，所以AO EF ⊥，又AO BF ⊥，且BF ，EF 是平面BEF 内的相交直线，所以AO ⊥平面BEF ，因为AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .（3）解法1：（此图让我们感觉面PBC ⊥面ABC ，若这一感觉正确，那建系处理就很方便. 我们先分析看是不是这样的. 假设面PBC ⊥面ABC ，由于AB BC ⊥，于是AB ⊥面PBC ，故AB BD ⊥，但我们只要稍加计算，就会发现222AB BD AD +≠，矛盾，所以我们的感觉是不对的，也就不方便建系. 怎么办呢？那就在两个半平面内找与棱垂直的射线，它们的夹角等于二面角的大小. 事实上，这样的射线已经有了）由题意，AO BF ⊥，由前面的过程可知AO OD ⊥，所以射线OD 与BF 的夹角与所求二面角相等，（OD 与BF 异面，直接求射线OD 和BF 的夹角不易，故考虑通过平移使其共面，到三角形中分析）因为OD ∥EF ，所以EFB ∠的补角等于射线OD 和BF 的夹角，由题意，AC ==，12BF AC ==，12EF PC ==（只要求出BE ，问题就解决了，BE 是ABP ∆的中线，可用向量来算，先到ABD ∆中求cos ABP ∠）在ABD ∆中，222cos 2AB BD AD ABP AB BD +-∠==⋅，因为1()2BE BA BP =+ ，所以222113(2)[4622(442BE BA BP BA BP =++⋅=⨯++⨯= ，故BE =，在BEF ∆中，222cos 2BF EF BE BFE BF EF +-∠==⋅，所以o 45BFE ∠=，故二面角D AO C --的大小为o 135.解法2：（得出所求二面角等于射线OD 与BF 夹角的过程同解法1. 要计算此夹角，也可用向量法. 观察图形可发现OA ，OB ，OD的长度都已知或易求，两两夹角也好求，故选它们为基底，用基底法算OD 和BF的夹角）1113122()2()22222BF BC CF OB CA OB CB BA OB OB OA OB OB OA=+=-+=-++=-++-=-+，所以31313()cos 2222222OD BF OD OB OA OD OB OD OA DOB BOD⋅=⋅-+=-⋅+⋅=-⨯∠=-∠ ，又222cos 2OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，所以32OD BF ⋅==- ，从而3cos ,OD BF OD BF OD BF-⋅<>===⋅ ，故o ,135OD BF <>= ，所以二面角D AO C --为o135.解法3：（本题之所以不便建系，是因为点P 在面ABC 的射影不好找，不易写坐标. 那有没有办法突破这一难点呢？有的，我们可以设P 的坐标，用已知条件来建立方程组，直接求解P 的坐标）以B 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，C，O ，设(,,)(0)P x y z z >，则(,,222x y zD ，由PB PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2222226(6x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得：y =，代回两方程中的任意一个可得224x z += ②，（此时发现还有AD =这个条件没用，故翻译它）又AD =，所以222222(2)5[(244424x y z x y z -++=+-+，将y =代入整理得：22220x z x ++-= ③，联立②③结合0z >解得：1x =-，z =，（到此本题的主要难点就攻克了，接下来是流程化的计算）所以1(2D -，故1(2DO =，(AO =- ，设平面AOD 的法向量为(,,)x y z =m，则10220DO x y AO x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+=⎩m m ，令1x =，则y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩=m 是平面AOD 的一个法向量，由图可知(0,0,1)=n 是平面AOC的一个法向量，所以cos ,⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角D AO C --为钝角，故其大小为o 135.BAFC1图2图123O【反思】当建系后有点的坐标不好找时，直接设其坐标，结合已知条件建立方程组，求解坐标，这也是一种好的处理思路.（2023·全国乙卷·理·20·★★★）已知椭圆22 22:1(0)Cbbxaay+>>=的离心率是，点()2,0A-在C上．（1）求C的方程；（2）过点()2,3-的直线交C于,P Q两点，直线,AP AQ与y轴的交点分别为,M N，证明：线段MN的中点为定点．答案：（1）22194y x+=（2）证明见详解解析：（1）由题意可得2222ba b ccea⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x+=.（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y=++，联立方程()2223194y k xy x⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()()()222498231630k x k k x k k+++++=，则()()()2222Δ64236449317280k k k k k k=+-++=->，解得0k<，可得()()2121222163823,4949k kk kx x x xk k+++=-=++，因为()2,0A-，则直线()11:22yAP y xx=++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.（2023·全国乙卷·理·21·★★★★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1(y f x=关于直线x b =对称？若存在，求a ，b 的值；弱不存在，说明理由；（3）若()f x 在(0,)+∞上存在极值，求a 的取值范围.解：（1）当1a =-时，1()(1)ln(1)f x x x=-+，2111()ln(1)(1)1f x x x x x '=-++-⋅+，所以(1)0f =，(1)ln 2f '=-，故所求切线方程为0ln 2(1)y x -=--，整理得：(ln 2)ln 20x y +-=.（2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22a b ==-满足题意，故11,22a b ==-.即存在11,22a b ==-满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()''1201g x a x =-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+<⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x--⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'，则()n x 单调递减，注意到()10n =，故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2x =0g >，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈ （2）()(),0-∞+∞ 解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m >⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞ .【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]-； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-（2）作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
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绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈，称为黄金分割比例)，着名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm5．函数f(x)=2sincos++x xx x在[,]-ππ的图像大致为A．B．C．D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足||2||=a b，且()-a b⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ． 18．（12分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A?MA 1?N 的正弦值． 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 20．（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学?参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y =3x 14．121315． 16．2三、解答题17．解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=． 18．解：（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ?xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(13,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以32040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取(3,1,0)=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n 所以3020q p r ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是2315cos ,||25⋅〈〉===⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --10．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得()()()888776100877610134 1p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l 的直角坐标方程为23110x ++=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到l π4cos 11|2cos 23sin 11|77ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l . 23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++. 所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。