备战2021新高考命题点分析与探究 命题7 对数与对数函数(解析版)
备战2021新高考数学命题分析与探究
命题7 对数与对数函数
第一部分 命题点展示与分析
1. (2019北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2
－m 1＝52lg E 1
E 2
，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，
则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A ．1010.1
B ．10.1
C ．lg10.1
D ．10－
10.1
答案：A
解析：设太阳的亮度为E 1，天狼星的亮度为E 2，根据题意，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，故lg E 1E 2＝25.25×2
5
＝
10.1，所以E 1
E 2
＝1010.1.故选A.
2.(2021汇编，35分)完成下列问题：
①lg 27＋lg8－lg 1000lg1.2
＝____；
②lg5(lg8＋lg1000)＋(3lg2)2＋lg 1
6
＋lg0.06＝____；
③log 23·log 34·log 45·log 52＝____；
④已知lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32????
x y ＝____；
⑤已知4a ＝8，2m ＝9n ＝6，且1m ＋1
2n
＝b ，则a ＋b ＝____；
⑥已知log 147＝a ，14b
＝5，则log 352＝____(用a ，b 表示)； ⑦（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64
＝____．
答案：①32 ②1 ③1 ④2 ⑤5
2 ⑥1－a a ＋b
⑦1
解析：①原式＝lg 8271000lg 65＝12lg 64×271000lg 65＝12lg 43×33103lg 65＝12lg ????4×3103lg 65＝32lg
65lg 65
＝3
2.
②原式＝lg5×(3lg2＋3)＋3×(lg2)2＋lg(1
6
×0.06)＝3lg5×lg2＋3lg5＋3×(lg2)2－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.
③原式＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg2
lg5
＝1.
④∵lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，∴?????x >0，
y >0，2x －3y >0，
xy ＝（2x －3y ）2
，
解得x y ＝9
4，∴log
32
x y ＝log 32
9
4＝2.
⑤∵4a ＝8，2m ＝9n ＝6，
∴a ＝log 48＝32log 22＝3
2
，m ＝log 26，n ＝log 96，
∴1m ＝log 62，1
n
＝log 69， ∴b ＝1m ＋12n ＝log 62＋1
2log 69＝log 62＋log 63＝1，
∴a ＋b ＝5
2.
⑥∵14b
＝5，∴b ＝log 145.∵a ＝log 147，
∴a ＋b ＝log 1435，1－a ＝log 1414－log 147＝log 142，
∴log 352＝log 142log 1435＝1－a
a ＋b
.
⑦原式＝（log 66－log 63）2＋log 62·log 618log 622＝（log 62）2＋log 62·log 6182log 62＝log 62（log 62＋log 618）
2log 62 ＝log 62·log 6（2×18）2log 62＝log 62·log 6362log 62＝2log 622log 62
＝1.
命题点2
命题方向
命题难度
对数函数的图
像及性质
对数函数图像过定点问题 容易 对数函数图像的辨析
容易 利用对数函数图像求值或取值范围 一般 利用对数函数的图像与性质比较大小
一般 对数型复合函数的定义域、单调性、奇偶性和值域问题 一般 解与对数型函数有关的不等式或方程
一般
命题方向二对数函数图像过定点问题
3. (2019黑龙江龙凤区校级期末，5分)函数f (x )＝log a (4x －3)＋3(a >0，且a ≠1)的图像所过定点的坐标是____． 答案：(1，3)
解析：对于函数f (x )＝log a (4x －3)＋3(a >0，且a ≠1)，令4x －3＝1，解得x ＝1.当x ＝1时，f (1)＝3，所以函数f (x )的图像过定点(1，3)．故答案为(1，3)．
命题方向三对数函数图像的辨析
4.(2019浙江，4分)在同一直角坐标系中，函数y ＝1
a
x ，y ＝log a ????x ＋12(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )
答案：D
解析：对于函数y ＝1
a
x ，y ＝log a ????x ＋12， 当a >1时，可得y ＝1
a
x 是减函数，图像恒过(0，1)点，函数y ＝log a ????x ＋12是增函数，图像恒过????12，0点； 当0＜a ＜1时，可得y ＝1
a
x 是增函数，图像恒过(0，1)点，函数y ＝log a ????x ＋12是减函数，图像恒过????12，0
点，∴D 选项中的图像满足要求．故选D.
5.当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(1，2] D.??? ?0，12 答案：C 解析：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ，要使不等式(x －1)2 当x ∈(1，2)时，要使f (x )＝(x －1)2a f (2)≤g (2)，即(2－1)2≤log a 2，∴log a a ≤log a 2.∵a >1，y ＝log a x 是增函数，∴a ≤2，∴1 6.(2019湖南岳阳一中一模，5分)已知函数f (x )＝? ????－sinπx （－1≤x ≤0）， |log 2019x |（x >0），若a 则a ＋b cd 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 解析：画出函数f (x )＝? ????－sinπx （－1≤x ≤0）， |log 2019x |（x >0 的图像． 因为a 2 对称，所以a ＋b ＝－1； 由f (c )＝f (d )，可得log 2019c － 1＝log 2019d ，则1c ＝d ，即cd ＝1，则a ＋b cd ＝－1.故选A. 7. (2021汇编，20分)(Ⅰ)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 12 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为( )(2018天津) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b (Ⅱ)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则实数a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b (Ⅲ)若2a ＝log 12 a ，????12b ＝log 2b ，??? ?12c ＝log 12 c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b (Ⅳ)已知a ＝2log 2π，b ＝3log 3π，c ＝5log 5π，则实数a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 答案：(Ⅰ)D (Ⅱ)A (Ⅲ)B (Ⅳ)D 解析：(Ⅰ)因为a ＝log 2e>1，b ＝ln2 13＝－1 －1·log 23＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a >b .故选 D. (Ⅱ)a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，∵y ＝log 2x 是增函数， ∴log 27>log 25>log 23>0.∵log 27＝1log 72，log 25＝1log 52，log 23＝1 log 32 ，∴log 32>log 52>log 72, ∴a >b >c .故选A. (Ⅲ)直接通过图像的交点位置比较大小，在同一坐标系中作出y ＝????12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12 x 的图 像，如图所示． 由图像可知b ＞c ＞a .故选B. (Ⅳ)∵a ＝2lgπlg2>0，b ＝3lgπlg3>0，c ＝5lgπlg5>0，∴a b ＝2lg33lg2＝lg9lg8>1，可得a >b ，c a ＝5lg22lg5＝lg25 lg52 >1，可得c >a . 综上可得c ＞a ＞b .故选D. 8. (2019广东东莞期末节选)若函数f (x )＝log 2????12x ＋a 在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围． 答案：????－12 ，－13 解：因为函数y ＝log 2x 是增函数，y ＝1 2 x ＋a 为减函数，所以函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大 值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2(1 2 ＋a )．(2分) 因为函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，所以log 2(1＋a )－log 2????12＋a ＝log 21＋a 1 2 ＋a ≥2＝log 24，所以? ??? ?a ＋1 2 >0，1＋a 12 ＋a ≥4， 解得－12 3，所以实数a 的取值范围为????－12，－13.(6分) 9. (2019河南安阳模拟)函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0且a ≠1)在[0，2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，3) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案：B 解析：设u (x )＝6－ax ，由a >0知u (x )为减函数，而f (x )为减函数，故a >1.又u (x )>0在[0，2]上恒成立，所以? ????a >1，6－2a >0，解得1 10.(2021汇编，10分)设函数f (x )＝log 12 (x 2＋1)，则 (Ⅰ)不等式f (log 2x )＋f (log 12 x )≥－2的解集为____． (Ⅱ)满足不等式f (2x －1)<－1的x 的取值范围为____． 答案：(Ⅰ)???? ?? x |12≤x ≤2 (Ⅱ)(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：(Ⅰ)∵f (－x )＝log 12 (x 2＋1)＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，关于原点对称，∴f (x )为R 上的偶函数．设z ＝x 2＋1，则g (z )＝log 12 z .易知z ＝x 2＋1在区间[0，＋∞)上单调递增，g (z )＝log 12 z 在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．令t ＝log 2x ，则 log 12 x ＝－t ，∴不等式f (log 2x )＋f (log 12 x )≥－2可化为f (t )＋f (－t )≥－2.又∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－t )＝f (t )， ∴2f (t )≥－2，∴f (t )≥－1.又∵f (1)＝log 12 2＝－1，∴f (t )≥f (1)．∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (x )在R 上为 偶函数，∴|t |≤1，即－1≤t ≤1，即－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2，∴不等式f (log 2x )＋f (log 12 x )≥－2的解集为???? ??x |12≤x ≤2. (Ⅱ)∵y ＝log 12 x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝1＋x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x ) 在(0，＋∞)上单调递 减．又由(Ⅰ)知函数f (x )＝log 12 (1＋x 2)为R 上的偶函数，且f (1)＝－1，∴不等式f (2x －1)<－1，即f (|2x －1|) 等价于|2x －1|>1，即2x －1>1或2x －1<－1，解得x >1或x ＜0，∴x 的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 第二部分 命题点素材与精选 1．（2020·甘肃城关?兰州一中高三二模（文））若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a > 【答案】C 【解析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴== ，3lg log lg 3 t b t ==， () lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3 t t t a b -∴-= -=>?，因此，a b >. 故选：C. 2．（2020·全国高一课时练习）如果2 (0,1)a b b b =>≠，则有（ ） A ．2log a b = B ．2log b a = C ．log 2b a = D ．log 2b a = 【答案】C 【解析】利用指数化对数得可log 2b a =，故选：C ． 3．（2020·江西高三其他（理））已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为 （ ） A ．p m n >> B ．m n p >> C ．m p n >> D ．p n m >> 【答案】A 【解析】依题意，54m =，故1 2 5542m ==；而89n =，故1 1 8493n ==， 所以1221120 208 55 20 20 1152044 2222561324333m n ???? ???? ?====> ? ? ??? ?? ??? ， 所以m n >，因为0.80.8log 0.5log 0.642p =>=，2 522m =<，所以p m n >> 故选：A 4．（2020·宁夏兴庆?银川一中高二期末（文））已知lg ,010()1 3,105x x f x x x ?<≤? =?-+>?? ，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ??的取值范围为（ ） A ．（1，15） B ．（10，15） C ．（15，20） D ．（10，12） 【答案】B 【解析】不妨设a b c <<，画出()f x 的图像如下图所示，由于()()f a f b =，故1ab =，所以 ()10,15a b c c ??=∈. 故选B. 5．（ 2020·武威第六中学高三其他（文））设函数()()2log 1,0 ,0 x x f x x x ?+≥?=?- 值范围为（ ）． A ．()4,3- B ．()5,2- C ．()3,4- D ．() ()34-∞-+∞,, 【答案】B 【解析】由题意，()()2log 1,0,0x x f x x x ?+≥?=?- 1,1 x x x x f x ?+≥-+?-+=<-??， ①当1x ≥-时，()12f x +<，即()2log 22x +<，解得2x <，所以12x -≤<； ②当1x <-时，()12f x +<，即()12x -+<，解得5x >-，所以51x -<<-； 综上是，()12f x +<时x 的取值范围为()5,2-. 故选：B 6．（2020·全国高一课时练习）若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________． 【答案】(1，3) 【解析】令21,1x x -==，则(1)2log 133a f =+=，所以函数()f x 过定点(1,3)P . 故答案为：(1,3). 7．（2019·河北辛集中学高三月考（理））已知当(]1,2x ∈时，不等式()2 1log a x x -≤恒成立，则实数a 的 取值范围为________. 【答案】(]1,2 【解析】如下图所示： 由上图所示，当(]1,2x ∈时，不等式()2 1log a x x -≤恒成立，则函数log a y x =为增函数，且有log 21a ≥， 所以1 log 21 a a >?? ≥?，解得12a <≤，因此，实数a 的取值范围是(]1,2，故答案为(]1,2. 8．（2020·陕西西安高三二模（理））函数( ) 2 5log 23y x x =+-的单调增区间是______. 【答案】()1,+∞ 【解析】由题意，函数( ) 2 5log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数( ) 2 5log 23y x x =+-的定义域为-∞-+∞(,3) (1,)， 令()2 23g x x x =+-，则函数()g x 在(,3)-∞-单调递减，在区间(1,)+∞单调递增， 再根据复合函数的单调性，可得函数( ) 2 5log 23y x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞. 9．（2020·开鲁县第一中学高三期末（文））设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2?????? 上的最大值． 【答案】（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则10 30 x x +>??->?,解得13x , 故()f x 的定义域为()1,3-. （2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3????-??? , 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2?????? 上单调递减, 可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2 ?????? 上单调递减. 故()f x 在区间30,2 ?? ???? 上的最大值为()21log 42f ==. 10．（2020·辉县市第二高级中学高三月考（文））已知函数()f x 满足2 ()3()488(0)f x f x ax ax a +-=-+≠. （1）求()f x 的解析式； （2）设函数 12 ()log ()g x f x =，若()g x 在[3,3]-上的最大值为2，求a 的值. 【答案】(1)()2 42f x ax ax =++；(2)7 16或112 -. 【解析】（1）因为2 ()3()488(0)f x f x ax ax a +-=-+≠， 用x -代替上式中的x ，故可得()()2 3488f x f x ax ax +-=++， 故可得()2 42f x ax ax =++. （2）由（1）中所求，故可得 12 ()log ()g x f x =() 2 12 log 42ax ax =++ ()f x 的对称轴2x =-， 当0a >时，要满足题意，只需： ()f x 在区间[]3,3-上恒大于零， 又此时()g x 在区间()3,2--单调递增，在区间()2,3-单调递减，则还需()22g -=. 故()20f ->且()22g -=即可.则()12 log 4822a a -+=，且12 a < ，解得7 16a =. 当0a <时，要满足题意，只需 ()f x 在区间[]3,3-上恒大于零， 又此时()g x 在区间()3,2--单调递减，在区间()2,3-单调递增， 则还需()(){} max 3,32g g -=.故()30f >且()(){} max 3,32g g -=. 又()32120f a =+>，故可得2 21 a >- ； ()()()()112 2 3log 32,3log 212g a g a -=-+=+， 显然当0a <时，21232a a +<-+，故()()33g g >-，故还需()32g =，解得12 1221 a =->-满足题意. 综上所述，满足题意的7 16a = 或112 - . 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值 是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )． 对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)． 【基础再现】 1．对数的定义 如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质 5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b 解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； (对数与对数函数)含有答案-人教版 命题人：张立洪 第 2 页 共 10 页 高一数学基础训练（六） 对数部分： 一、选择题： 1.若3 12=x ，则x 等于 (B ) A log 23 B log 2 3 1 C log 2 13 1 D log 3 12 2.已知log a 8=2 3，则a 等于 ( D ) A 41 B 2 1 C 2 D 4 3.下列选项中，结论正确的是 (C ) A 若log 2x =10，则2x=10 B 若2x =3，则log 32=x C 0log )(log 3 22= D 23 3 2log = 4.以下四个命题：(1)若log x 3=3，则x=9；(2)若log 4x =21 ， 则x=2； (3)若log 3 x=0，则x=3；(4)若log 5 1 x=-3， 则x=125，其中真命题的个数是（B ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5.下列各式中，能成立的是 (D ) A log 3(6-4)=log 36-log 34 B log3(6-4)=4 log 6 log 3 3 C log 35-log 36=5 log 5log 3 3 D log 23+log 210=log 25+log 26 6.下列各式中，正确的是 (D ) A lg4-lg7=lg(4-7) B 4lg3=lg3?4 C lg3+lg7=lg(3+7) D ln N e N = 7.如果()N a a =--3log 1 ，那么a 的取值范围是（D ） 命题人：张立洪第 3 页共 10 页 命题人：张立洪 第 4 页 共 10 页 A. 3 B. 8 C. 4 D. log 4 8 二、填空题： 1.把下列指数形式写成对数形式： (1) 4 5=625 5log 6254= （2）6 2-=641 2 log 1 64 =-6 (3）a 3=27 3 log 27=a (4) m ）（3 1 =5.73 13 log 5.73m = 2.把下列对数式写成指数式 (1) 3log 9＝2 2 3＝9 （2）5 log 125＝3 3 5＝125 （3）2log 41＝－2 22-＝14 （4）3 log 811＝－4 4 3-＝1 81 3.利用对数的定义或性质求值： (1) log 3 131 =1； (2)log 111=0；(3) log 232=5；(4)log 9 131=2； 4.当底是9时，3的对数等于14 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg (xy )＝2lg x ·2lg y 解析： 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确． 答案：D 2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( ) 解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a,b,c 的大小关系是[ ] （A)a ＞ｃ＞b (B)a>b ＞c （C ）c ＞a ＞b （Ｄ）b>c>a 2 函数y=ax2＋ b ｘ与y= || log b a x (ab ≠0，｜ ａ |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像 可能是［ ] 3．设525b m ==,且112a b +=，则m =[ ] （Ａ10 (Ｂ)10 (C)20 （D ）１00 ４．设ａ= 3log 2,b=Ｉn2,c=1 2 5- ,则［ ］ A. a PS (Ａ) (B) (C ） （Ｄ) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则［ ] (Ａ)a<ｃ> ?B.b a c >> Ｃ.c a b >>?? Ｄ．b c a >> 12.下面不等式成立的是( ） A.322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< Ｃ．5log 2log 3log 232<< Ｄ.2log 5log 3log 322<< 1３.若01x y <<<，则( ) Ａ． 33y x < B ．log 3log 3x y < Ｃ．44log log x y < Ｄ.1 1()()44 x y < 14.已知01a <<,log 2log 3a a x =1 log 52 a y =,log 21log 3a a z =,则( ） A.x y z >> Ｂ.z y x >>? C ．y x z >> Ｄ．z x y >> 15.若1 3 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ) Ａ.a ≠，的图象如图所示,则a b ，满足的关系是 ( ) Ａ．1 01a b -<<< ?B ．101b a -<<< C.1 01b a -<<<-? Ｄ.1101a b --<<< 1- O y 对数及对数函数 一、教学目标 掌握对数及对数函数的概念，掌握对数函数的性质并且能灵活运用，熟悉判断函数的单调性奇偶性，值域等，并且掌握部分含参问题的解决方法。 二、教学重难点 重点：对数中的计算以及对数函数的大小比较、函数的性质运用，含参问题，对数的综合运用 难点：对数函数的值域、单调性问题，利用函数的性质求参数取值范围 三、知识点梳理 1、对数：定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。当N 为零或负数时对数不存在。 2、对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零，底数的对数等于1，即01log ,1log ==a a a ③常用对数和自然对数：对数)1,0(log ≠>a a N a 的底数 （1）a=10时，叫做常用对数，记作N lg （2）a=e 时，叫做自然对数，记作N ln ，其中e 为无理数，e ≈2.71828 3、对数的运算法则： ①()() l o g l o g l o g a a a M N M N M N R =+∈+ ， ②( ) l o g l o g l o g a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()() l o g l o g a n a N n N N R =∈+ b a b a =log ④( ) l o g l o g a n a N n NNR =∈+ 1 ⑤N a N a =log 4、对数换底公式： b N b N N a a b lg lg log log log == （)21828.2(log lg ==e N N e 其中称为N 的自然对数 由换底公式推出一些常用的结论： （1）l o g l o g l o g l o g a b a b b a b a ==1 1或· （2）log log a m a n b m n b = （3）l o g l o g a n a n b b = （4）lo g a m n a m = 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 选择题1?若 (A) 对数和对数函数习题 3a=2,则log3 8-2log 36用a的代数式可表示为（ ） a-2 (B) 3a-(1+a)2(C) 5a-2 (D) 3a-a2 2.2log a(M-2N)=log a M+log a N,则M的值为( N (B) 4 (C) 1 (D) 4或 3 .已知x2+y2=1,x>0,y>0,且log a(1+x)=m,loga 1 r_x n,则log a y等于（） (A) m+n 1 (B) m-n (C) — (m+n) 2 (D) 1 (m-n) 2 4?如果方程Ig2x+(lg5+lg7)lgx+lg5 ? lg7=0的两根是a、 (A)lg5 ?lg7 ( B) lg35 (C) 35 (D) 1 35 5.已知Iog7[log 3(log 2X)]=0，那么 (D) 1 3-3 6 .函数y=lg （A）x轴对称 2 ——1 ）的图像关于（ 1 x （B）y轴对称 (C)原点对称（D）直线y=x对称 7 .函数y=log 2x-1 3x 2的定义域是（ (A) ( - , 1) (1 , + ) 3 (C) ( 2, + 3 &函数y=log 1 (x2-6x+17)的值域是( 2 (B) (D) 1 2 1 2 (1, (A) R(B) [8, + ] (C),-3)(D) [3 , + 9 .函数y=log 1（2x2-3x+1）的递减区间 为 2 (A) ( 1 , + ) (B)(-(C)(2 1 x 2 . 10.函数y=( ) +1+2,(x<0)的反函数为 2 (A) y=- log 1(x 2)1(x 2) (B) (x 2) 1(x 2)对数函数典型例题
高一对数及对数函数练习题及答案
对数与对数函数
对数函数知识点及典型例题讲解
第6讲 对数与对数函数
(完整word版)对数与对数函数练习题及答案
高一指数函数与对数函数经典基础练习题,
(对数与对数函数)含有答案-人教版
高一数学对数函数经典题及详细答案
对数函数 典型例题
带答案对数与对数函数经典例题.
2015届高考数学总复习 第二章 第六节对数与对数函数课时精练试题 文(含解析)
对数运算、对数函数经典例题讲义全
指数函数与对数函数专项练习(含答案)
6对数与对数函数(教师版)
对数及对数函数典型例题精讲
对数与对数函数习题及答案