最新数学核心素养之数学建模教学案例
高中数学建模的主要过程及教学案例
高中数学建模的主要过程及教学案例摘要：高中新课程标准中提出了数学建模核心素养，数学建模素养的培养是高中数学教学中的重要内容，提高数学建模素养是影响学生综合数学素养的重要因素。
数学建模共有四个步骤，通过对每一个步骤最核心内容的阐述，将有利于开展数学建模教学活动。
关键词：数学建模; 高中数学; 数学教学; 数学素养;最新颁布的《普通高中数学课程标准》(2017年版)(以下简称《课标》(2017年版))中明确了中学阶段数学学科核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[1]。
史宁中教授也曾多次表示数学学科核心素养可以更简单地概括为抽象、推理、模型。
此次新课标的公布进一步强调了数学建模的重要性，突出了建模在数学教学中的重要地位。
事实上，在2003年公布的《普通高中数学课程标准(实验)》中就开始强调数学建模的重要性。
强调在整个高中课程内容中渗透数学建模思想，并至少在高中阶段安排一次建模活动。
在最初这对数学一线数学教育工作者来说是一个不小的挑战，特别是在重视推理、运算能力，强调解题为主，以面对高考为最根本出发点的高中数学教学中，教师们将数学建模融入课堂教学确实具有一定的难度。
但是，随着不断的变化和认识，数学建模已经不再是陌生的事物。
由于数学建模可以简化数学问题，更容易地分析数学数据解决数学问题。
近年来，数学建模教学在我国中学教学中得到了广泛的应用。
许多从事数学教学的积极参与到数学建模教学领域的研究中，寻找答案来解决数学教学中存在的问题。
不过，随着社会的变化，人们对数学和人才培养质量也不断提出新的要求。
加之新的教育理念、教育方法、教育技术快速地涌进一线教学，数学建模的教学也处在不断地变化甚至是挑战之中。
一、数学建模的主要过程按照《课标》(2017年版)的要求，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。
主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。
基于数学建模核心素养的《相似三角形应用举例》微课教学案例设计
谢谢观看
二、新课讲解
1、相似三角形应用举例：将一个长方形分成两个三角形，其中一个三角形与 另一个三角形相似，如何利用相似三角形的性质求出这个三角形的边长？
2、讨论：如何在实际生活中应用相似三角形的性质来解决实际问题？例如， 在工程建设中如何利用相似三角形的性质来测量高度和距离等。
3、练习：通过一些例题和练习，让学生更好地掌握相似三角形的应用。
五、教学反思
1、通过本节课的教学，学生是否能够更好地掌握相似三角形的基本概念和性 质？是否能够利用相似三角形的性质解决实际问？
2、本节课的教学内容是否符合学生的认知规律和实际需要？是否存在需要改 进的地方？
参考内容二
相似三角形是几何学中的重要概念，它是指两个三角形的对应角相等，对应边 的比也相等的三角形。在实际生活中，相似三角形的运用十分广泛，下面我们 将通过几个实例来展示相似三角形的应用。
四、生活中的应用
在生活中，相似三角形的应用也随处可见。例如，在测量距离时，我们经常会 利用相似三角形的原理来计算无法直接测量的距离。我们可以通过已知的距离 和角度，以及相似三角形的对应边比例关系，来计算出未知的距离。这种计算 方法可以帮助我们在日常生活中更好地掌握测量技能。
相似三角形在各个领域都有广泛的应用。通过掌握相似三角形的性质和原理， 我们可以解决许多实际问题。
一、光学应用
相似三角形在光学中有着重要的应用。例如，在摄影中，我们经常使用相似三 角形的原理来计算拍摄角度和距离。当我们在拍摄远处的物体时，物象、镜头 和底片形成了一个相似三角形。我们可以通过已知的物象高度和距离，以及镜 头焦距，来计算出底片上成像的高度。这种计算方法可以帮助我们在摄影中更 好地掌握构图和拍摄技巧。
基于数学建模核心素养的《相 似三角形应用举例》微课教学
211272509_从核心素养的视角_再谈高中数学建模——以“三角函数的应用”教学片段为例
从核心素养的视角㊀再谈高中数学建模以 三角函数的应用 教学片段为例徐德云(江苏省南菁高级中学ꎬ江苏江阴２１４４３７)摘㊀要:数学建模要立足于学生已有的知识与能力ꎬ以学生为本ꎬ以核心素养的培养为目标组织和实施课堂教学.要引导学生积极参与ꎬ通过观察分析ꎬ主动发现情景的本质属性和规律ꎬ要在模型的分析与建立ꎬ以及模型的应用与反思的教学过程中ꎬ引导学生会用数学的眼光观察和发现问题ꎬ会用数学的思维思考和分析问题ꎬ会用数学的语言表达和解决问题.关键词:数学核心素养ꎻ数学建模ꎻ三角函数的应用ꎻ教学设计中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０９－０００２－０３收稿日期:２０２２－１２－２５作者简介:徐德云(１９８８－)ꎬ女ꎬ江苏省连云港人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学建模一般包括问题分析㊁模型假设㊁模型建立㊁模型求解㊁模型分析㊁模型检验㊁模型应用七个步骤.数学建模的教学能更好地发挥数学的育人功能ꎬ在引导和培养 学生会用数学的眼光观察世界㊁会用数学的思维思考世界㊁会用数学的语言表达世界 上意义更加深远.本文拟结合高中数学(人教Ａ版)第一册第五章中的«三角函数的应用»的几个教学片断和大家交流这方面的实践与思考ꎬ不当之处还请批评指正[１].１模型的分析与建立首先从学生生活中熟悉的情景出发ꎬ引出要解决的问题ꎬ引导学生观察思考ꎬ教师结合前面学习过的三角函数知识来揭示探究的方向.教学片断１师:生活处处皆数学ꎬ数学无处不生活.正如法国著名的雕刻家奥古斯特罗丹所说: 生活中从不缺少美ꎬ而是缺少发现美的眼睛ꎬ数学亦是如此. 在我们的生活中有许多这样的现象:日出日落㊁春夏秋冬㊁潮汐潮落㊁天体运动等等ꎬ这些现象的共性是都具有周期性ꎬ我们已经知道三角函数是刻画周期性现象的一个重要模型ꎬ这不由得让我们产生这样的思考:可否借助于三角函数去研究这些周期现象ꎬ并进一步对现实中的一些实际问题做出决策㊁给出有参考价值的建议.师:同学们先来看一个动画(课件演示弹簧振子的运动).暂停动画后ꎬ大家想想ꎬ现在开始计时ꎬ怎样可以得出１０秒后弹簧振子离开平衡位置的距离?师:开始动画演示ꎬ继续观察一下这个弹簧振子的运动ꎬ发现有什么特点?生１:来回摆动.师:对ꎬ经过一段时间振子又回到原来的位置了ꎬ这种运动的特点是循环往复ꎬ具有周期性特征.师:既然这样ꎬ我们要解决刚刚提出的问题ꎬ同学们说说看要先解决什么问题?生２:先求出振子离开平衡位置与时间的关系式就好了.师:很好ꎬ我们要抓住其运动规律ꎬ也就是 函数关系式 ꎬ利用其规律来解决问题.师:(追问)你能求出这个函数关系式吗?还记２得函数的表示方法有哪些吗?生２:可以从演示开始ꎬ先采集一些数据ꎬ然后列表㊁描点ꎬ连线ꎬ师:好ꎬ我们一起来采集一些数据(呈现教材中提供的数据ꎬ如表１).表１大家观察一下ꎬ这些数据的变化有什么特征?生３:有正有负ꎬ先是随时间变化变大(增)ꎬ然后再变小(减)ꎬ再变大ꎬ生４:数据会重复的出现ꎬｔ＝０时位移是－２０ꎬｔ＝０.６秒时又变成－２０了ꎬ还有ｔ＝０.１５和ｔ＝０.４５的位移也是一样的ꎬ师:很好ꎬ接下来我们借助计算机ꎬ将其对应的散点图绘制出来.(师演示绘制散点图)师:通过散点图ꎬ我们能较为直观地感受到其运动变化的特点ꎬ现在把这些散点用线连起来ꎬ大家有什么发现?生５:与我们前面学习的三角函数图像 雷同 !师:散点图可以让我们直观地感知到位移和时间的变化特点ꎬ将这些点连线后可以观察到质点运动的一般规律ꎬ从而便于找到合适的模型来解决问题.设计意图㊀立足核心素养的培养目标ꎬ引导学生观察生活现象ꎬ观察数据㊁表格ꎬ观察散点图ꎬ让学生在观察中思考ꎬ在思考中观察ꎬ运用所学的知识去分析问题ꎬ运用所学的方法去探究问题.教学片断２师:实际上ꎬ这个运动在物理中叫简谐运动ꎬ我们来看一下物理中简谐运动的原理.教师播放动画 简谐运动的运动原理 和 单摆沙漏 .师:这些弹簧振动ꎬ单摆沙漏都是简谐运动ꎬ根据我们所学的物理知识ꎬ我们正是用三角函数来刻画其运动的位移和时间的关系.设计意图㊀借助情境中相关的物理知识ꎬ从理论和运动图像上简短地加以说明和验证用三角函数模型刻画周期性现象的可行性ꎬ从而验证了数学思维的正确性.师:物理中也给出其位移和时间的关系式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)ꎬ这里我们要做一点说明ꎬ在数学中ꎬ三角函数更一般地形式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)＋ｂꎬ因为我们这里的ｘ轴就是平衡位置ꎬ所以ｂ＝０ꎬ那么如何根据我们的数据来确定另外三个待定的系数呢?生６:观察知ꎬ最大的位移是２０ꎬ所以Ａ＝２０.师:那ω呢?求ω就要先求什么?生７:周期.师:对!那周期是多少呢?你是怎么得到的?生８:周期等于０.６ꎬ相邻两个最小值之间就是一个周期ꎬ所以ω＝１０３π.师:好ꎬ到这里就得到了解析式ｙ＝２０ｓｉｎ(１０３πｔ＋φ)ꎬ现在还有一个φ没有确定ꎬ同学们有办法吗?生９:选择一个点的坐标代入解析式.师:这样可以得到一个关于φ的三角方程ꎬ再通过解方程就可以求出φꎬ那么你选择了哪个点呢?生９:ｔ＝０时ｙ＝－２０.师:(板书过程)化简得ｓｉｎφ＝－１.我们知道这样的φ有很多个ꎬ可以统一表示为φ＝２ｋπ＋３２π(ｋɪＺ).为方便起见ꎬ我们可以在前面引入三角函数模型的时候ꎬ对其中的系数进行适当的规定ꎬ如｜φ｜<π.这里我们要做两点说明:第一点ｔ>０ꎬ因为我们是用函数模型去刻画实际问题ꎬ所以函数模型的定义域要受到实际问题限制ꎻ第二点求φ时ꎬ是将初始位置的数据代入得到的ꎬ这个点是函数的最小值点.㊀师:根据上述求解过程ꎬ你能总结一下由函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)的图像求解析式的基本思路吗?学生尝试总结后ꎬ教师总结基本思路:先观察得Ａꎻ再由周期得ωꎻ最后代入初始位置解三角方程得φ.师:现在再请同学们思考一个问题ꎬ能不能用ｙ＝Ａｃｏｓ(ωｔ＋φ)表示位移和时间的关系式?生１０:可以.师:为什么呢?３生１０:因为余弦函数和正弦函数的图像变化规律是一样的ꎬ它可以由ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)经过左㊁右平移得到.设计意图㊀立足核心素养:用数学的语言去表达世界.培养学生对已有知识和方法的运用能力ꎬ提升学生的数据分析与数学运算能力[２].２模型的应用与反思教学片断３师:(面向全体学生)现在同学们能不能回答本节课开始提出的问题?学生齐声回答可以.师:根据我们得到的位移和时间的变化关系ꎬ代入时间ｔ就可求解出相应的位移ꎬ即可以得到任何一个时刻的物体的近似位移.为什么说得到的是近似位移呢?请同学们思考ꎬ然后分组交流㊁讨论.教师可加入学生小组ꎬ聆听学生的讨论ꎬ根据讨论情况对预设的教学过程做出调整.师:(小结学生的发言)因为我们得到的函数模型是在遵循其特征的前提下的 理想模型 ꎬ由于受到诸多因素(如重力作用㊁数据采集误差)的影响ꎬ两者之间通常还有一定的误差ꎬ所以我们即使选择合适的㊁正确的数学模型ꎬ也只能近似地刻画实际问题ꎬ并不是完全地吻合ꎬ同学们会不会有这样的想法:这样的结果有实际应用价值吗?下一节课的学习会帮大家找到答案.师:一旦确定好适合的函数模型ꎬ我们就可以将问题放大ꎬ解决任何一个时刻的位移.这就是我们数学工具的作用ꎬ来源于生活ꎬ又回归应用于生活.师:大家来回忆一下我们解决这个周期性现象ꎬ经历了怎样的过程?学生齐声回答:观察ꎬ描点ꎬ画图ꎬ计算.师:一个物理运动ꎬ动态感知ꎬ收集数据ꎬ绘制图像ꎬ函数模型ꎬ解决实际.设计意图㊀数学建模的意义不仅仅是要让学生应用所学的数学知识和方法去刻画和解决生活中的实际问题ꎬ也不仅仅是要让学生感受数学来源于生活ꎬ又服务于生活的学科价值.我认为更重要的是将新课标的 三会 落实到我们的课堂中ꎬ这样才能更好地激发学生学习的潜能ꎬ才能让学生更爱数学ꎬ学好数学.师:三角函数模型中的系数实际上都有一定的物理意义.我们一起来看一下:Ａ就是这个简谐运动的振幅ꎬ它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离ꎻ这个简谐运动的周期是Ｔ＝２πωꎬ它是做简谐运功的物体往复运动一次所需要的时间ꎻ这个简谐运动的频率由公式ｆ＝１Ｔ＝ω２π给出ꎬ它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数ꎻωｘ＋φ称为相位ꎬｘ＝０的相位φ称为初相.师:了解了三角函数模型系数的相关物理意义之后我们就可以把它用于处理物理相关问题了.给出实例:交变电流问题.师:你们能不能解决这个问题呢?(让学生自己组织研究ꎬ并将解答的过程在黑板上呈现)设计意图㊀凸显应用问题来源于实际ꎬ最后回归于实际ꎬ真正体会建模的价值.从上面教学的过程中我们不难发现ꎬ在新课程标准明确要求转变教育理念ꎬ培养学生核心素养为教育目标的指引下ꎬ做为数学核心素养之一的数学建模ꎬ能够引导学生在实际情境中从数学的视角提出问题ꎬ用数学的思维思考分析问题ꎬ用数学的语言揭示表达问题ꎬ从而有效地培养和发展了学生的核心素养[３].参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.[２]徐梦园ꎬ初晓琳ꎬ赵宝江.浅谈中学生数学建模核心素养的培养[Ｊ].中外企业家ꎬ２０１９(１３):１８６－１８７.[３]陈凯.培养学生建模思想发展数学核心素养摭探[Ｊ].成才之路ꎬ２０１９(０６):４１.[责任编辑:李㊀璟]４。
高中数学建模的教学案例
高中数学建模的教学案例高中数学建模是一门富有挑战性和创造性的学科，旨在培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力以及数学建模的应用能力。
为了帮助学生更好地理解和应用数学建模，以下是一个教学案例，通过实际问题引导学生进行数学建模的步骤和方法。
案例背景：某小区的居民数逐年增加，导致小区配套的市政建设不足。
为了解决该问题，物业公司统计了小区每户居民的用水量，并希望通过数学建模来预测未来几年的整体用水量，以供决策参考。
1. 问题分析首先，学生需要分析问题的背景和目标。
他们可以思考以下几个问题：- 该问题的关键因素是什么？- 什么样的数据对解决问题有帮助？- 可以借助哪些数学方法和模型来解决问题？2. 数据收集学生需要搜集相关的数据，可以通过访谈物业公司负责人、查阅相关资料等方式获取所需数据。
在这个案例中，学生需要收集每年小区的居民数量和每户居民的用水量数据。
3. 数据处理和分析接下来，学生可以使用合适的数学方法和模型来处理和分析数据。
在这个案例中，学生可以使用线性回归模型来分析用水量和居民数量之间的关系。
他们可以通过计算回归方程，预测未来几年的整体用水量。
4. 模型建立和验证学生需要建立数学模型，并验证模型的有效性。
在这个案例中，学生可以以小区的居民数量作为自变量，以每户居民的用水量作为因变量，建立线性回归模型。
然后，他们可以将该模型应用于其他小区的数据，观察预测结果和实际结果的差异，以验证模型的准确性。
5. 结果与讨论最后，学生需要对结果进行总结和讨论。
他们可以回答以下问题：- 预测结果与实际情况是否一致？- 模型的优缺点是什么？- 如何改进模型的准确性和实用性？通过以上的教学案例，学生可以在实际问题中学习和应用数学建模的方法和步骤。
这种教学方法可以培养学生的实际应用能力和创造力，并提高他们对数学建模的兴趣和理解。
总结：高中数学建模的教学案例是一个有效的教学方法，可以提高学生的数学能力和创造力。
通过引导学生在实际问题中进行数学建模的步骤和方法，可以培养他们的问题解决和应用能力。
培养核心素养的数学教学课例
培养核心素养的数学教学课例核心素养是指学生在多方面的知识、能力和品质的培养中，获得的重要素质和能力。
数学作为一门基础学科，对于培养学生的核心素养起到至关重要的作用。
下面将介绍两个数学教学课例，旨在培养学生的核心素养。
课例一：数学建模主题：使用数学建模解决实际问题年级：高中数学目标：通过数学建模，培养学生的问题解决思维和合作能力具体步骤：1. 介绍数学建模的概念和意义。
让学生了解数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法解决问题的过程。
2. 提供一个实际问题给学生，例如城市交通拥堵问题。
让学生分组思考并讨论如何使用数学建模来解决该问题。
3. 引导学生通过观察、收集数据，分析交通流量、道路状况、交通信号灯等因素对交通拥堵的影响。
4. 学生在小组内合作，运用数学知识和方法，建立数学模型，例如使用图论中的最短路径算法来寻找最优出行路线。
5. 学生将模型应用到实际问题中，并利用计算机软件进行仿真实验，评估模型的有效性。
6. 学生形成团队报告，并进行展示和讨论。
通过这个课例，学生能够运用数学知识和方法解决实际问题，培养问题解决思维和合作能力，同时也提高了学生的实践动手能力和创新思维。
课例二：数学思维培养主题：培养学生的数学思维和逻辑推理能力年级：初中数学目标：通过引导学生进行数学思维活动，培养他们的逻辑推理能力，提高问题解决能力具体步骤：1. 提供一个具有启发性的问题给学生，例如巧克力分割问题。
让学生思考如何将一个巧克力块平均分成若干块，同时要求尽量减少切割次数。
2. 学生进行讨论，并设计自己的解决方法。
鼓励学生尝试不同的方法，并与同学分享思路和结果。
3. 引导学生将自己的方法和思路进行总结归纳，分析各种方法的优缺点。
4. 引导学生通过数学推理，寻找问题的规律和解决方法。
例如，寻找巧克力块边数与切割次数之间的关系。
5. 学生进行探究和验证，利用数学模型和公式验证自己的结论。
6. 学生将问题解决思路和方法进行总结，并进行展示和讨论。
数学核心素养之数学建模教学案例
数学核心素养之数学建模教学案例1引言: 新修订的高中数学课程提出, 数学核心素养是数学课程目标的集中体现, 是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
高中数学核心素养主要包括: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中, 对于数学建模, 详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象, 用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题, 分析问题、构建模型, 求解结论, 验证结果并改进模型, 最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁, 是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段, 也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中, 积累用数学解决实际问题的经验。
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型, 并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力, 增强创新意识。
特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境, 为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。
近年来, 数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加, 可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念, 旨在引导学生关心社会、关心未来, 实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
2.中学数学模型的教学2.1中学数学中常见的数学模型分类:（1）与函数的最值相关问题。
工程中的用料最省、利润最大, 列出所求量的函数解析式, 利用代数工具解函数最大值。
（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系, 红铃虫产卵数与温度的关系。
（3）与周期有关的三角函数模型建立。
电路信号, 音频震动, 潮水涨落周期。
（4）线性规划问题。
关于求解含有多个约束条件的, 目标函数的最有解问题。
基于数学核心素养的数学建模教学实践
2020年第8期 福建中学数学 45（2）如图17，//AB x 轴，点A 在函数2y x=上，点B 在函数8y x=上，则AOB ∆的面积是 ． 图本探究过程开门见山，让学生从问题情境中探究一个数学模型．教学中，通过设计有效的“问题串”，将教材中的“静态内容”激活，借助函数图象先从感性认识开始，设置研究模型的一个个小目标，通过计算让学生体会坐标与线段长的关系、比例系数k 与矩形面积S 的关系．学生能比较轻松的获得目标，再通过对比、归纳、猜想，抽象出结论，最后验证结论，实现从感性认识上升到理性认识的认知过程．整个教学过程引导学生，如何将数学问题与数学模型相结合，有利于他们用建模思想解决问题，不仅提升模型意识，也初步体验了数学建模的过程．4 在教学反思中，聚焦模型导学，把握建模悟教4.1 初中学生建模活动——心中有“向”数学模型思想的教学实践过程中，学生在教师的引导下，亲身经历了将实际问题转化成数学模型，计算结果，检验结果，改善方法等数学活动过程，在获得数学理解的同时，也为高中数学的学习奠定了经验基础．学生在遇到问题后，心中有方向，知道从何思考，如何解决，树立了数学学习自信心，在学习主动性、思维能力、数学核心素养等多方面得到进步和发展．4.2 初中教师建模教学——手中有“法”教师的教学不仅要将实际问题转化为数学问题，更要注重方法的提炼，强调用不同的数学模型解决同一实际问题、用同一数学模型解决不同的实际问题．为培养学生的学习兴趣，初中阶段可进行数学建模比赛或数学实验比赛，适时地鼓励学生进行自主探究，培养学生的自主学习能力，帮助他们将知识应用到实践过程中，提升学生的分析问题和解决问题的能力．4.3 初中建模课堂教学——实施有“度”数学建模的过程一般需要学生整合多门课程的知识，需要同伴的合作意识，需要查阅文献资料、收集信息、咨询专家等等．数学建模课堂教学要渗透“思维的灵活性、容错性和广泛性”，但对初中学生教学不能花太多时间，不能对全部学生作为普及性要求，防止把模型思想的教学与数学建模活动的教学要求一样，过于拔高初中学生对数学学习的要求，从而影响初中学生学习数学的信心和积极性．总之，在初中数学教学中应不断渗透模型思想，引导、帮助初中学生提高建模意识，逐步体会建立数学模型、参与模型的应用过程，这既有利于提升学生的数学思维，更能够促进他们分析问题和解决问题能力的提升，为今后高中学习数学建模及数学建模活动奠定基础．参考文献[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [2]黄英芬，颜宝平，龙红兰．从应用题到建模问题的回译 [J]．数学通报，2019，58（9）：34-37[3]王志俊，周圣武，韩苗，邵虎．高中数学建模能力训练 [J]．数学通报，2019，58（9）：38-42[4]邱宗如．高中数学微型探究教学的几点思考[J]．数学通报，2017，56（11）：29-36(本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《借助“互联网+”培养中学生数学建模能力的实践研究》（立项批准号：FJJKXB18-544）、福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《新高考背景下高中生学业成绩分化的归因研究》（立项批准号：FJJKXB18-508）的研究成果）基于数学核心素养的数学建模教学实践李子谦 福建省福州第一中学（350001）数学建模是连接现实世界与数学世界的桥梁，是数学应用的重要形式．《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）将数学建模作为6个数学学科核心素养之一，同时将数学建模活动与数学探究活动列入必修课程，作为必修课程的一个单元．数学建模越来越多地走入中学数学教师和中学生的视野．如何在现有学情、考情的情况下，开展数学建模教学，促进学生数学建模素养的形成与46 福建中学数学 2020年第8期发展，是我们必须面对与解决的问题．1 数学建模素养高中数学现有的学情与考情指向的侧重点在于考查学生在有限的时间内对于数学知识掌握的程度和解题过程中运用的熟练程度以及思维的严谨性，试题或问题的答案与解题方向指向性也比较明确，且大都具有唯一性，封闭性较强．虽然近年来增加了不少来源于现实世界的应用性问题，对学生的阅读理解能力也提出了较高的要求，但鉴于目前考试的特点以及条件的限制，此类问题更多关注的是学生解决模型的能力，其本质是考查学生的解决模型的能力，而不是真正意义上的数学建模能力．真正的数学建模问题是开放的，常常不具有唯一甚至正确的答案．正如统计学家George Box在《实验统计学》中关于工业实验设计经常被引用的观点：“我们从任何一个模型中最可期待的就是它可以为现实世界提供一个有用的近似值；所有的模型都是错的；但有些模型是有用的．”数学建模要解决的问题通常是现实问题，由于现实问题的缤纷复杂性，导致仅具备对数学知识的熟练运用是不足的，还需要具备能够将所学知识、方法整合、统筹的能力，具备将现实问题转化为数学问题的能力，即必须具有一定的建模素养．《课标》对数学建模素养的描述为：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”．同时《课标》指出：“数学建模过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”．《课标》既指出了数学建模素养的内涵，也为开展数学建模教学提供了路径．2 建模案例及分析2.1 传染病传播问题案例1 2020年甫一开始，新型冠状病毒肺炎疫情肆虐神州大地．试建立一个传染病传播模型以做相关的流行病学研究．诊断分析流行病学中的传染病传播模型有一些经典的模型，本案例适合直接讲解并引起学生的建模兴趣．流行病学模型中最简单的一种情况叫做SI模型．模型中人群分为两类，一是易感染者（Susceptible）也就是可能被感染的健康人，人数为S，二是感染者（Infected），也就是患者，人数为i．假设一个区域内总人口为N，这i个感染者每天走来走去，每个人会碰到r个人，其中易感者的比例是SN，有概率β把病毒传染给接触到的人，那么这几个量乘在一起就是每天新增的感染病例ddi r ist Nβ=．在SI模型中，没有考虑治愈问题，如果时间足够长，所有人都将被传染，全部变为感染者．如果加入了治愈条件，这就是在SI模型的基础上变为了SIS模型，每个人都会在感染者和易感染者之间反复，感染了会治好，治好了还会感染．假设感染者恢复健康的概率为γ，那要在刚才的方程里加上一项γi，每天增加的患者数要减掉这个量，ddi r isit Nβγ=−．现实生活中很多疾病，人在康复之后会产生抗体，就不会再得这个病了，他们康复后即不是易感者，也不是感染者，比如天花，流感等疾病，他们在治愈后就退出了感染系统，所以引入一个康复者（Removed）变量．这个模型称为SIR模型．易感者会不断被传染为感染者，而感染者又会不断治愈变成移出者并不再被感染，同样假设康复的概率是γ，dditr isiNβγ−，ddritγ=．新冠病毒更加复杂，易感者在感染后会先经历潜伏期，一段时间之后才会发病，这时候就又要向模型中引入潜伏期者（Exposed）．这个模型就叫做SEIR模型．潜伏期者以概率a转化为感染者，在实际意义中我们可以把他理解成潜伏期，可得方程deedr isat Nβ=−，d edia itγ=−，ddritγ=．解出以上微分方程就可以得到相应的感染人数与时间t的关系以做相关的流行病学研究．小结本案例由于切合热点，较容易激发学生兴趣．SI，SIS，SIR，SEIR都是流行病学模型中的经典模型．虽然限于微分方程的求解超出高中范围的要求，但仍不失为一个好的起始案例．初始的分析清晰易懂，假设的变量与列式合乎常规思路．并且在讲解过程中能够体会每一个模型的不完善性，可以亲身体会模型一步步完善的过程．在具体实践中，由于各种参数的具体数据缺乏，显然数据的收集、统计、整理必不可少，且可通过讲解后展示其函数解或图象解，来抓住学生的兴趣点，认识数学建模与现实的关系．2020年第8期 福建中学数学 47 2.2 汽车加油问题案例2 某人每天开车沿固定路线去上班，从家到公司的路线上，有几个加油站．不幸的是，在上班的固定路线上油价比较高．一位朋友告诉他，在距离常规路线几公里外的加油站加油，油价更便宜．那么，为了更便宜的油价而行驶额外的距离更合算吗？诊断分析 该问题是数学建模中的决策问题．首先需要确定，解决这个问题需要进行哪些量的比较．很明显，因为前往较远加油站加油存在路程油量的额外消耗，所以学生最容易想到的是对额外消耗的油的总价值与节约下来的花费进行比较．要计算这两个量，需要对相关数据进行收集、整理，然后构造出这两个量的计算公式，再进行大小比较，从而得出结果．其中，显而易见需要收集的数据有：油箱的容积、每公里耗油量、油站的距离、不同加油站的价格．以字母表示变量如下：p 表示常规加油站的价格；P 表示较远的加油站的价格；D 表示偏离常规路线的距离（往返需要2D ）； M 表示每公里的耗油量；T 表示购买的油量（因为不能保证每次加油油箱剩余油量为0，简化假设该值比油箱容积小5升）．从加满油箱的成本比较，2C TP DMP =+，这里所有的量非负，且常规加油站意味着0D =，此时最小化C 是我们的目标．具体应用时计算出不同变量的情况下C 的具体值，然后取C 最小的情况做决策．换一个角度，我们定义一个“可用汽油”的概念． 在常规加油站加油，因为日常会经过它，所以所有的汽油都是“可用”的；而较远的加油站加油并不都是“可用汽油”，整个油箱中扣除加油路上的消耗，剩下的部分才是“可用汽油”，比较“可用汽油”的价格，也可以作为决策的依据．满箱汽油的成本是TP ，其中“可用汽油”的量为2T DM −．所以“可用汽油”的单位成本为：2TPT DM−，那么我们得到了一个用来做决策的公式，当2TPp T DM<−的时候，我们去较远的加油站购买汽油．两个角度事实上建立了两个不同的模型，代入这样一组具体的数值，9p =，8.5P =，7D =，M = 0.1，25T =分别用两个模型计算．模型1中，C =224.4低于925225×=；在模型2中，“可用汽油”的成本为9.004高于常规油站的成本9元/升，也就是说，同一组数据在不同的模型中会得出不同的答案．因为在第二个模型中，可用的汽油随着额外的里程数增加而减少，但是在第一个模型中并不介意额外的里程数有多少．考虑一个极端的情况，加满油只够前往较远的加油站并返回，甚至加满油还不够往返，这种情况下，不论较远加油站的油有多便宜，也不应该去加油，因为加的油根本没有实际作用，甚至不够加油路上的消耗．而在第一个模型中，只要油足够便宜，计算出来的C 就会比常规油站加油计算出来的C 小，会得出一个不符合实际的结论．而第二个模型中，里程增加会导致“可用汽油”的减少，从而使结论更具有科学性．小结 决策问题常常需要对某些量进行比较，为了得出这些量也离不开数据的收集、整理、分析．分析中建立的两个模型都不够完善，因为还有时间成本等因素为考虑．而时间成本等因素不像价格这样有明显的量化指标，就需要对这些指标进行加权综合，如运用层次分析、综合评分等方法主观赋权或运用线性回归、主成分分析等方法客观赋权．本案例可以让学生经历较为系统的建模过程，理解类似问题的建模思路．这样，学生通过数据认识事物的思维品质得以形成，基于应用统计表达现实问题的意识得以加强，数据分析的核心素养得以提升．数学建模这一已经发展多年的数学活动，由于数学学科核心素养的提出，在中等教育的数学领域内被提到了一个前所未有的高度，然而由于传统思想和考试形式的制约，对于数学建模的教学方式与意义，相当多的同仁都有着各种各样的困惑．笔者认为，由于终身教育的存在，未来数学教育必然离不开数学建模．现今社会上充斥着数学无用论，而数学建模可以清晰的展示出数学在现实生活中的作用，学生学好数学建模，将终身受益．参考文献[1]陈德燕．中学数学建模教学行为探究[J]．福建中学数学，2019（12）：14-16[2]梁贯成，赖明治，乔中华，陈艳萍．数学建模教学与评估指南[M]．上海：上海大学出版社，2016[3]冷东梅，付文洁，陈璐，洪小娟．基于传染病模型的热点舆情事件情感迁移研究[J]．中国集体经济，2019（33）：69-71（本文系福建省中小学名师工作室专项课题《中学数学建模教学的理论与实践的研究》（项目编号：GZS191011）的阶段性研究成果）。
基于数学核心素养的中学“数学建模活动”教学设计
三、基于数学核心素养的高中数 学建模活动实施策略
三、基于数学核心素养的高中数学建模活动实施策略
1、创设情境，引入课题：教师可以通过实际问题或生活案例等手段，创设情 境引入课题，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、基于数学核心素养的高中数学建模活动实施策略
2、分组合作，建立模型：将学生分成小组，让他们通过讨论和分析，建立合 适的数学模型。这个过程中，教师应该积极引导和鼓励学生，帮助他们形成正确 的数学思维和方法。
一、数学核心素养与数学建模
一、数学核心素养与数学建模
数学核心素养是指学生在掌握数学知识的基础上，运用数学思维和方法分析 问题、解决问题的能力。数学建模是数学核心素养的重要组成部分，它是一种将 实际问题转化为数学模型，通过数学计算和分析，得出结论并应用于实际问题的 过程。
一、数学核心素养与数学建模
在数学建模活动中，学生需要运用数学知识、数学思维和方法，通过观察、 分析、综合、归纳等步骤，将实际问题转化为数学模型，并进行求解和分析。这 种过程不仅可以帮助学生掌握数学知识，更可以培养他们的数学核心素养，提高 他们的创新思维和解决问题的能力。
二、基于数学核心素养的高中数 学建模活动设学建模活动的教学设计实例
1、创设情境：通过实际问题（如：某城市的房价与地段的关系、股票价格的 波动等）引导学生思考函数关系。
三、高中数学建模活动的教学设计实例
2、定义变量：引导学生明确问题中的变量（自变量和因变量），并建立函数 关系式。
3、模型建立：让学生根据函数关系式，尝试绘制函数图像，并解释图像的意 义（如：斜率、截距等）。
二、数学核心素养与数学建模
二、数学核心素养与数学建模
数学核心素养是指学生在数学学习过程中所应具备的素质和能力，包括数学 抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析等方面。其中，数 学建模是指运用数学语言、符号、公式等对现实问题进行抽象、简化，从而建立 数学模型的过程。在中学阶段，开展数学建模活动能够帮助学生更好地理解数学 知识的应用价值，提升学生解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。
基于数学建模素养的高中数学教学案例
基于数学建模素养的高中数学教学案例【摘要】本文旨在探讨基于数学建模素养的高中数学教学案例。
在引言部分介绍了研究的背景、目的和意义。
在正文部分分析了利用数学建模素养教学解决实际问题、培养学生创新意识和实践能力、提高学生数学思维能力以及促进跨学科综合能力的案例。
结论部分强调了数学建模素养对高中数学教学的重要性，并展望了未来研究方向。
综合全文内容，本文总结出数学建模素养在高中数学教学中的重要作用，并提出相应的建议。
通过本文的研究，有望为未来高中数学教学提供有益的借鉴和启示。
【关键词】数学建模素养，高中数学教学，教学方法，实际问题，创新意识，实践能力，数学思维能力，跨学科综合能力，重要性，未来研究方向，总结与建议。
1. 引言1.1 背景介绍随着社会的发展和科技的进步，数学建模已经成为现代数学教育中不可或缺的重要内容。
数学建模是将数学原理和方法应用于实际问题的过程，通过建立模型，分析问题，并得出解决方案。
在高中数学教学中，培养学生的数学建模素养已经成为一项重要任务。
传统的数学教学注重知识的传授和应试训练，学生对于数学的理解往往停留在纸上谈兵的层面，缺乏对于实际问题的探究和解决能力。
基于数学建模素养的高中数学教学已经引起了广泛的关注。
通过教学中引入实际问题，培养学生的分析和创新能力，有助于激发学生学习数学的兴趣和动力。
本文旨在探讨基于数学建模素养的高中数学教学方法，并通过具体的案例分析，展示数学建模在教学中的应用和效果。
期望能够为高中数学教师提供一些启示和参考，促进数学教育的改革与发展。
1.2 研究目的: 本研究旨在探讨基于数学建模素养的高中数学教学方法，旨在通过具体案例分析，更好地了解如何利用数学建模素养教学来解决实际问题、培养学生的创新意识和实践能力、提高学生的数学思维能力，以及促进学生跨学科综合能力的培养。
通过深入研究和分析，我们希望能够揭示数学建模素养对高中数学教学的重要性，为教育工作者提供可行的教学实践建议，并为未来相关研究方向提供借鉴。
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案一、教学内容本节课的教学内容选自《数学建模》教材的第五章，主要内容包括线性规划模型的建立、图与网络模型的建立、整数规划模型的建立以及非线性规划模型的建立。
通过本节课的学习，使学生掌握数学建模的基本方法和技巧，培养学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 让学生掌握线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的团队协作能力和创新意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立及求解。
2. 教学重点：线性规划模型的建立和求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个工厂生产安排的问题为例，引入线性规划模型的建立和求解。
2. 知识点讲解：（1）线性规划模型的建立：讲解目标函数的设定、约束条件的确定以及线性规划模型的标准形式。
（2）图与网络模型的建立：讲解图的概念、图的表示方法以及网络模型的建立。
（3）整数规划模型的建立：讲解整数规划的概念和建立方法。
（4）非线性规划模型的建立：讲解非线性规划的概念和建立方法。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解模型建立和求解的过程。
4. 随堂练习：让学生分组讨论并解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：1. 线性规划模型：目标函数约束条件标准形式2. 图与网络模型：图的概念图的表示方法网络模型的建立3. 整数规划模型：整数规划的概念整数规划的建立方法4. 非线性规划模型：非线性规划的概念非线性规划的建立方法七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的条件，建立线性规划模型，并求解。
（2）根据给定的条件，建立图与网络模型，并求解。
（3）根据给定的条件，建立整数规划模型，并求解。
（4）根据给定的条件，建立非线性规划模型，并求解。
2. 答案：（1）线性规划模型的目标函数为：Z = 2x + 3y，约束条件为：x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
开展数学建模教学落实数学核心素养
开展数学建模教学落实数学核心素养数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁，高中数学建模教学首先在北京、上海等发达地区展开实践，2003年数学建模首次被写进《普通高中数学课程标准（实验）》，这标志着数学建模成为高中生正式学习的内容，2018年初由教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017版）》把数学建模作为数学六大核心素养之一，要求数学建模作为课程内容主线，并安排了具体课时.本文将通过数学建模教学的实例分析，期待对数学建模教学有借鉴意义.1核心素养数学建模的内涵2007年，Blum提出建模七阶段循环过程，即把整个建模过程分为七个环节，六个状态：现实问题情景模型现实模型数学模型数学结果数学世界现实世界；主要为（1）理解“现实问题”构造“情景模型”；（2）简化“情景模型”构造“现实模型”；(3)数学化，即用数学的语言描述“现实模型”从而构造“数学模型”；（4）应用数学方法得到数学结果；（5）根据现实问题解释数学结果获得现实结果；（6）结合原来的情景验证结果，如果结果差强人意，则重新进行建模过程；（7）介绍问题解决方案，并与他人交流.数学建模是一个过程，而最重要也是学生感觉最困难的是“现实问题数学模型”这一过程，为了更好地提高学生的数学建模能力寻找好的数学建模问题是关键.2核心素养数学建模实例分析案例《体重与脉博问题》教学设计2.1教学内容及核心素养解析在生物学常识确定的模型假设下，科学分析数据建立函数模型描述对恒温动物睡眠状态下体重与脉博率之间的对应关系进行数学抽象.1）先在情境中抽象出问题，再用图形语言、符号语言分析和表述相关数据，并基于生物学常识形成的模型假设建立函数模型来阐释恒温动物体重与脉博率之间的内在联系，为完善数学模型，在检验和运用模型的基础上利用对数运算转化数据，将幂型函数转化为线性函数模型，从而增强了数据分析的直观性和科学性.2）在学生理解和认识基本初等函数模型（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数）的基础上，综合运用技术方法和跨学科知识创造性地建立数学模型描述自然规律、解决实际问题，为数学建模和数学探究活动奠定了基础.3）综合运用了数形结合、等价转化的数学思想，培养了跨学科（数学和生物）的逻辑推理以及数学抽象、数学建模、数据分析等数学素养，激发了学生应用数学的意识，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
数学建模实例实用教案
数学建模实例实用教案一、教学内容本节课以“数学建模实例”为主题，主要涉及第二章“线性方程组”和第三章“线性不等式组”的内容。
通过具体实例，让学生掌握线性方程和不等式的解法，以及如何运用数学建模解决实际问题。
二、教学目标1. 理解线性方程组和线性不等式组的概念，掌握解法及其应用。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点1. 教学难点：如何将实际问题转化为线性方程组或线性不等式组，并求解。
2. 教学重点：线性方程组和线性不等式组的解法及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、橡皮。
五、教学过程1. 情景引入：以“分配问题”为例，让学生思考如何用数学模型解决实际问题。
2. 自主学习：学生通过教材，学习线性方程组和线性不等式组的概念及解法。
3. 课堂讲解：讲解线性方程组和线性不等式组的解法，并通过实例进行分析。
4. 小组讨论：学生分组讨论，将实际问题转化为线性方程组或线性不等式组，并求解。
5. 成果展示：每组选取一名代表，将讨论成果向全班同学展示。
6. 随堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计板书内容主要包括线性方程组和线性不等式组的解法步骤，以及实际问题转化为数学模型的方法。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知线性方程组：2x + 3y z = 5x y + 4z = 2求解该方程组。
（2）已知线性不等式组：2x + 3y ≤ 6x y > 1求解该不等式组。
2. 答案：（1）方程组的解为：x = 1，y = 2，z = 1。
（2）不等式组的解集为：x > 2，y < 3。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实例让学生掌握了线性方程组和线性不等式组的解法，以及如何将实际问题转化为数学模型。
但在课堂讨论环节，部分学生表现出较强的依赖心理，需要在今后的教学中加以引导和培养。
数学建模实例实用教案
数学建模实例实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第五章第一节《线性规划》，详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、求解线性规划问题的图解法及单纯形方法。
二、教学目标1. 让学生理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 让学生掌握线性规划问题的图解法及单纯形方法的求解过程，并能解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立及单纯形方法的求解过程。
重点：线性规划的基本概念、图解法求解线性规划问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备学具：直尺、圆规、计算器五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示实际生活中的线性规划问题，如物流配送、生产计划等，让学生了解线性规划在实际生活中的应用。
2. 基本概念讲解（10分钟）讲解线性规划的基本概念，如线性规划问题的标准形式、可行解、最优解等。
3. 模型建立（15分钟）以实际例题为例，引导学生建立线性规划模型，并解释模型中各参数的含义。
4. 图解法求解（20分钟）介绍图解法求解线性规划问题的步骤，结合例题进行讲解，让学生在草稿纸上跟随操作。
5. 单纯形方法讲解（20分钟）讲解单纯形方法的基本原理和求解步骤，结合例题进行演示。
6. 随堂练习（15分钟）给出两道线性规划问题，让学生独立求解，巩固所学知识。
六、板书设计1. 线性规划的基本概念2. 线性规划模型的建立3. 图解法求解线性规划问题4. 单纯形方法求解线性规划问题七、作业设计1. 作业题目：max z = 2x + 3ys.t. x + y ≤ 42x + y ≤ 6x ≥ 0, y ≥ 0max z = 3x + 4y + 2zs.t. x + 2y + 3z ≤ 122x + 3y + z ≤ 15x + y + z ≥ 5x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0答案：（1）最优解为（2, 2），最大值为10。
基于核心素养下的高中数学课堂教学策略——以数学建模为例
效调动学生思维的活跃性与主动学习的积极性，容易
对所要学习的数学知识产生更加生动、形象、深刻的认
识．其实，以数学建模为主体的问题情境的合理设置， 让抽象且生涩的数学问题以更加形象直观的姿态呈现
在学生面前，可以使得学生对抽象的数学知识有一个
更为直观有效的认识，进而更加迅速地认识、理解与掌
握相关的数学知识与数学问题，是应用数学解决实际
教材
２０２０年５月 教学导航
教法
基于核心素养下的高中数学课堂教学策略
——— 以数学建模为例
? 福建省莆田第二中学 林中奖
一、问题的提出
在《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》一文中， 对应“课程基本理念”部分第一次创新性地提出：“高中 数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培 育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养．”
式 犪－犫＋λ（犫－犮）＋
１ ２犮＋
（１－λ）（犫－犮）
≤１恒
成立，则实数犽 的最大值为
．
分析：破解问题的 关 键 在 于，根 据 题 目 条 件，由
于存在 实 数λ 及 单 位 向 量犪，使 得 不 等 式 犪－犫 ＋
λ（犫－犮）＋
１ ２犮＋
（１－λ）（犫－犮）
≤１恒成
立，则
［ 原 问 题 可 以 等 价 转 化 为 犪－犫＋λ（犫－犮）＋
格竞猜的数学建模材料，列举出一件具体的商品让学
生亲身体会一下如何以更快的速度和最少的竞猜次
数正确得出商品的实际价格，从而引入相应的二分法
及其相关 知 识，潜 移 默 化，可 以 有 效 概 括 出 二 分 法 的
相关原理与理论体系 ……
通过此类有效的数学建模材料作为情境载体，搭
基于数学建模素养的高中数学教学案例
基于数学建模素养的高中数学教学案例1. 引言1.1 背景介绍随着社会对人才的需求不断增加，高等院校和企业对具有数学建模素养的人才需求也越来越大。
高中数学教师有责任培养学生的数学建模素养，使他们能够适应未来社会的发展需求。
本文将从数学建模素养的概念出发，探讨基于数学建模的高中数学教学设计，并通过案例分析、教学效果评价和教学反思来探究数学建模在高中教学中的重要性，培养学生的数学建模素养的实践意义，以及展望未来数学建模在高中教育中的发展方向。
1.2 研究意义数学建模是数学与现实问题相结合的一门新兴学科，通过数学建模可以在解决实际问题中运用数学知识进行分析和研究。
在当前高中数学教学中，数学建模素养作为重要的一环，对学生的数学学习能力和实际问题解决能力有着积极的促进作用。
数学建模可以帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的数学应用能力。
通过实际问题的建模和求解过程，学生可以更加深入地理解数学知识的实际应用，培养他们运用数学方法解决实际问题的能力。
数学建模素养的培养可以锻炼学生的思维能力和创新意识。
在数学建模过程中，学生需要从复杂的实际问题中提取并抽象出数学模型，这种过程可以激发学生的创造力和发散思维，培养他们解决问题的独立思考能力。
数学建模素养的培养也可以促进学生的团队合作和沟通能力的发展。
在数学建模过程中，学生需要与同学共同探讨问题、提出建议并共同解决问题，这种合作能力在今后学习和工作中都具有重要意义。
研究高中数学教学中数学建模素养的培养意义重大，有助于提高学生的数学应用能力、思维能力和团队合作能力，为学生的综合素质培养打下坚实基础。
1.3 研究目的研究目的是为了探讨基于数学建模素养的高中数学教学方法，提高学生的数学建模能力和素养。
通过研究，我们希望能够深入了解数学建模在教学中的重要性，探讨如何有效地设计基于数学建模的教学活动，分析实际案例并评价教学效果，最终为高中数学教学提供有针对性的指导和建议。
基于数学核心素养的数学建模案例教学
综合上述，若将冬视为一个整体，则M与 d
弓 ah 基本满足正比例函数关系.一因， 此，用函数M = d k-冬（其中k为常数）作为模型函数•利用表格 d
]中的数据：d = 2.0, h = 0.2, a = ].0 时，M = 199.8 ,
得k = 9990 .于是得到模型函数M =竺 99900a竺 h2 • d
基于数学核心素养的数学建模案例教学
陈德燕 福建省福州第一中学（350001）
《普通高中数学课程标准（2017年版》（以下 简称《课标》）在学科核心素养中指出：“数学建模 是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问 题、用数学方法构建模型解决问题的素养."“数学 建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模 型，检验和完善模型，分析和解决问题."《课标》 给出了数学建模核心素养的三个具体要素：对现实 问题进行数学抽象的素养、用数学语言表达问题的 素养、用数学方法构建模型解决问题的素养，数学 建模的四个具体环节：发现和提出问题环节、建立 和求解模型环节、检验和完善模型环节、分析和解 决问题环节，简称“三要素"、“四环节".
表4比例系数k的近似值
序a 号
h
d
ah ~d
M
k
1 1.0 0.2 2.0 0.0200 199.8 9990
2 1.0 0.2 2.4 0.0167 166.3 9958
3 1.0 0.2 2.8 0.0143 143.1 10014
4 1.0 0.2 3.2 0.0125 125.4 10032
的问题简化为现实的模型. 为此引导学生考虑影响木板支架承受力的因
素（变量），并选择关键因素（变量）进行研究.经 过讨论，在考虑是同一种材质木板的前提下，将影 响木板支架承受力的关键变量确定为：两个支架间 的距离、木板的宽度、木板的厚度，分别用d, a, h表 示•记M为该类型材质木板支架的最大承受力.则 问题转化为研究变量d, a, h, M之间的关系，即寻找 d, a, h与M之间的函数关系.这样通过对现实问题 的数学抽象、进而用数学的语言与方式表达问题， 实现将实际问题向数学问题方向的转化.
《数学建模实例》示范公开课教案【高中数学北师大】
第四章 数学建模活动1.4.1 数学建模实例1. 借助小组合作学习，在参与和实践中发现和提出问题、分析和解决问题．2．进一步体会数学建模的全过程，特别是体会因素分析和假设对于建模的重要性，在过程中提升将实际问题数学化的能力．3. 在对实际问题的再分析、对假设的再改进、对已得模型的再思考中进一步认识和体验数学建模．重点：对问题相关因素的分析及适当的假设．难点：将“漂洗多少次能使衣服干净”这一生活中的问题转化成不等式的问题．一、新课导入情境导入：日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服．一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多，衣服越干净．问题：在前面的必修课程中，我们已经学习并实践了数学建模活动，这里我们再研究一个实际问题——漂洗衣服的问题．在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？请大家特别注意的是，在用数学解决这个问题的过程中，我们需要做哪些工作？学生思考，师组织学生回顾数学建模的主要步骤，理解所提出的实际问题． 引出本节课题：《数学建模实例》．设计意图：引入情境，提出问题，复习数学建模的知识，明确本节要研究的问题漂洗衣服的问题．二、新知探究探究一：影响因素的分析及假设．思考：影响衣服漂洗洁净度，涉及哪些因素？这些因素中哪些是主要因素？哪些因素可能会使建模的困难增大，从而可先暂时忽略？分析：影响漂洗衣服干净程度的因素有：漂洗前衣服上残留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次数，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后，衣服上残留的污物量．如下列出因素：1．漂洗前衣服上残留的污物量； 2．用于漂洗衣服的清水量； 3．漂洗的次数； 4．每次漂洗用的清水量；5．每次漂洗后，衣服上残留的污物量；◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程 ◆6．用什么洗涤剂（忽略）； 7．洗衣的程序（忽略）； 8．水温（忽略）；为了便于表达和分析，我们把出现的重要的量用数学符号来表达，从而逐步形成一些解决问题所需要的“假设”：假设：1．漂洗所用的清水总量是定值，记为A kg ；2．共漂洗了n(n ∈N)次，每次漂洗所用的清水量相等，记为a kg ;3．初次漂洗之前衣服上的污物量记为m 0 kg ，第i(1≤i ≤n ，且 i ∈N+)次漂洗后，将衣服拧干，衣服上的残留污物量记为m i kg ；4．每次漂洗拧干后，衣服上留有的清水量相等，记为b kg ； 5．每次漂洗，衣服上残留的污物可均匀地溶解在水中；6．为了使衣服上的污物能均匀地溶解在水里，每次漂洗时存在用水最小量，记为c kg ； 7．衣服上的残留污物量小于ℇ kg ，则称，衣服被漂洗干净了； 探究二：建立漂洗后残留污物模型． 分析：第1次漂洗前，衣服上有污物m 0 kg ，衣服上留有的清水量是b kg ．第1次漂洗时加入清水a kg ，此时，m 0 kg 污物均匀地溶解在(a +b) kg 的清水里． 问：漂洗拧干后与漂洗前比较，衣服上残留的污物有什么关系？ 漂洗拧干后，衣服上残留的污物量为m 1 kg ， 满足m 1b=m 0a+b，即m 1＝m 01+ab，进而可得到：m 2＝m 11+a b＝m 0(1+a b)2，同理，m n ＝m 0(1+a b)n ＝m 0(1+A nb)n .由假设可知，a ≥c ，即n ≤Ac ．于是，问题转化为只需要求同时满足m 0(1+A nb)n <ϵ和n ≤Ac的n 值即可．通过对n 赋值，得到符合条件的n 值，即得结果．事实上，为了保证有解，应当满足条件m 0(1+c b)[A c ]<ϵ，其中[A c ]表示不超过Ac 的最大整数．想一想：如何检验计算结果，与实际值是否一致呢？答案：将通过实验得出的实际值与通过计算得出的计算值相比较．若结果相近，可以认为该模型基本准确．以上过程是一个完整的数学建模活动过程．在这之后，我们还可以做进一步的工作， 比如：1．改进已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际． 2．讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题． 3．深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动．小结：数学建模的基本步骤：影响因素的分析和假设、建立模型、检验结果与改进．通过漂洗衣服问题的实例，对数学建模进行分析和建构．设计意图：让学生在具体建模之前，关注影响的因素和变量,抓住有价值的讨论点．教学中，给学生留出一些时间提出假设，通过让学生自己找、自己设定,不求全，只求做．经过思考，自然得出数学模残留污物量的递推关系式，建立关于残留污物量的模型之后，这只是问题局部的表示，还要完整地表达问题，即得到不等式．最后通过检验，思考问题的解决．三、应用举例问题延伸1：在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等．请思考如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？分析：为了简单起见，只讨论漂洗2次的情况．解析：设2次所用的清水量分别为a 1 kg ，a 2 kg ，且a 1+a 2＝A ，A 是定值，比较a 1＝a 2和a 1≠a 2的漂洗效果．在漂洗所用的清水量不相等（a 1≠a 2）时，m 2＝m 0(1+a 1b )(1+a 2b).我们希望m 2尽可能地小，即(1+a 1b)(1+a 2b)尽可能地大．由基本不等式，得(1+a 1b)(1+a 2b)≥2√(1+a 1b)(1+a 2b)，即(1+a 1b)(1+a 2b)≤14[(1+a 1b)(1+a 2b)]2＝14(2+a 1+a 2b)2＝(2+A b )2.因为这里的14(2+A b )2是定值，所以当且仅当1+a 1b＝1+a 2b，即a 1＝a 2时，(1+a 1b)(1+a 2b)取得最大值．这说明，在只漂洗2次的情况下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳．结论：一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后残留污物量要少．问题延伸2：“漂洗次数越多，衣服越干净”的结论正确吗？分析：为了简单起见，通过只比较平均用水共漂洗２次比漂洗１次要好进行分析． 解析：设第1次漂洗前，衣服上有污物m 0 kg ，衣服上留有的清水量是b kg ．第1次漂洗时加入清水A kg ．漂洗1次，m 1＝m 01+Ab.漂洗2次，m 2＝m 0(1+A2b )2.于是，考察m 1−m 2=m 01+Ab−m 0(1+A2b )2的符号，即考察(1+A b )−(1+A2b )2的符号．因为(1+Ab )−(1+A 2b )2=−A 24b 2<0，所以m 1−m 2=m 01+A b−m 0(1+A 2b)2>0．这说明只漂洗1次时残留的污物量比漂洗2次的多．结论：通过比较平均用水共漂洗２次比漂洗１次效果好，可以推导出一般结果，漂洗次数越多，效果越好．设计意图：作为数学建模的教学，在这里主要是学习数学建模的过程，而问题延伸1的推演运算比较复杂，教学时间又比较有限，不建议把精力放在这样纯粹的数学计算上，问题的延伸，仅作为了解即可；问题延伸2关注学生的建模过程，鼓励学生独立思考，其计算推导比较简单，学生可以独立完成．四、课堂练习1.跑道问题．400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧．（注:400m标准跑道最内圈约为400m）（1）求每条直道的长度（圆周率取3.14，结果精确到1 m）；（2）建立平面直角坐标系xOy，写出跑道上半部分对应的函数解析式．参考答案：1. （1）87m；（2）y={√72x−x2，0≤x<36，36，36≤x<123，√246x−x2−13 833，123≤x≤159．分析：在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．解析：（1）因为跑道两端的弧形合起来是一个完整的圆周,所以弧形部分跑道的长度为2×3.14 ×36=226.08(m)，两条直道长度为400−226.08=173.92(m)．所以每条直道长约为173.92 −2=87(m)．（2）建立如图所示的平面直角坐标系：当0≤x<36时，圆的方程为(x−36)2+y2=362，函数解析式为y=√72x−x2；当36≤x<123时，函数解析式为y=36；当123≤x≤159时，函数解析式为y=√246x−x2−13 833．所以函数解析式为y={√72x−x2，0≤x<36，36，36≤x<123，√246x−x2−13 833，123≤x≤159．五、课堂小结1.数学建模步骤（1）提出一个实际情境和一个实际问题；（2）把问题用自然语言陈述得更清楚、准确；（3）相关因素分析和假设，尽量将遇到的关键变量分析清楚，如果需要，可以做多次分析和假设，做多个模型；（4）建立数学模型并求解；（5）对于数学模型得到的结果，用自然语言描述出来，并通过实际检验，如果不符合实际，就需要修改假设，修改数学模型，重复第2，3，4，5步的过程．2.数学建模活动后思考（1）改进已有模型，从而建立新的模型，使新的模型更接近于实际．（2）讨论模型的特征，推广、扩大模型的适用范围，以解决更多的问题．（3）深入分析实际情境，提出新的问题，进行新的数学建模活动．六、布置作业教材第150页习题4-1第1、3题．。
初中数学教案培养学生的数学建模与实际应用能力
初中数学教案培养学生的数学建模与实际应用能力数学建模是一种将数学方法应用于实际问题求解的活动，它要求学生能够将抽象的数学知识与真实世界相结合，培养学生的实际应用能力。
下面是一个初中数学教案，旨在引导学生参与数学建模活动，提高他们的数学建模与实际应用能力。
教案：一、教学目标1. 了解数学建模的定义和意义。
2. 掌握数学建模的基本流程。
3. 学会分析实际问题、建立数学模型和解决问题的方法。
4. 培养学生的实际应用能力和创新思维。
二、教学内容1. 数学建模的定义和意义。
2. 数学建模的基本流程。
3. 实际问题的分析和建模方法。
4. 数学模型的求解方法。
5. 实际问题的解释和应用。
三、教学步骤Step 1：引入引导学生思考以下问题：什么是数学建模？为什么我们要学习数学建模？Step 2：概念解析通过授课的方式解释数学建模的定义和意义。
让学生明白数学建模是将数学方法应用到实际问题中，通过构建数学模型来描述和解决问题的过程。
Step 3：数学建模的基本流程介绍数学建模的基本流程，包括问题定义、建立数学模型、选择合适的数学方法进行求解、模型检验与优化以及结果解释与应用。
Step 4：实际问题的分析和建模方法以一个实际问题为例，引导学生分析问题，提取出相关的数学要素，建立数学模型。
教师可以给出一些实际问题供学生小组合作讨论，并提供指导。
Step 5：数学模型的求解方法介绍常用的数学方法，如代数方法、几何方法、统计方法等，以及对应的求解技巧。
引导学生选择适合的方法进行求解，培养他们的数学计算能力。
Step 6：实际问题的解释和应用引导学生解释并分析数学模型的结果，与实际问题联系起来，讨论结果的合理性和可行性。
鼓励学生将数学模型的结论应用到实际生活中，培养他们的实际应用能力。
四、教学评价通过小组合作讨论、展示和点评等方式进行教学评价。
评价学生在分析问题、建立数学模型和解决问题的能力，以及对数学模型结果的解释和应用能力。
基于数学核心素养的教学案例两篇
基于数学核心素养的教学案例两篇—空间中的平行关系复习课数学素养——指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、数学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性、品质等等。
数学是一门知识结构有序、逻辑性很强的学科，“是人们对客观世界进行定性把握和定量刻画，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。
数学知识的学习过程，必须遵循数学学科特性，通过不断地分析、综合、运算、判断推理来完成。
因此，整个学习过程就是一个数学知识的积累、方法的掌握、运用和内化的过程，同时又是数学思维品质不断培养强化的过程。
显然数学的严密有序性、数学知识的内在逻辑性、数学方法的多样性是我们提高数学素养的极其重要的因素。
一个具有较高数学素养的人，数学思维特质的外显和内在表现在如下几个方面。
其一，“数学使人精细”是数学素养特质的外在表现。
高数学素养的人往往受过系统的数学教育，数学知识丰富，在生活和上作上常表现出对数的敏感和适应，能够从纷繁复杂的事例中分离出数学因素，建立模型，通过数学进行观察分析，善于用数学的观点说明问题。
其个性品质往往给人以精明、精细、富有逻辑的感觉。
其二，数学锻炼人的思维是数学素养特质的内在特征。
数学是思维的“体操”，数学思维本身就具有客观性、直观性、深刻性和灵活性等特征。
数学思维的客观性。
我们认识世界、了解世界，追求的是对客观世界的真实再现。
数学思维相对于其它思维，其精度更高、信度更强、效度更可靠，原因就在于数学思维是客观现实的反映。
用数学思维的观点、方法去观察、分析客观世界，更能体现真实再现的特点。
数学思维的直观性。
思维本是抽象的东西，如果凭借数学模型，以数据、图形作为载体进行量化分析，可以大大加强其直观性，数学思维的深刻性。
用数学方法进行思维，不仅可以了解事物的表面，而且可以通过对问题进行根本地了解和透彻地分析深入认识事物的本质。
如果没有数学方法的参与，有时我们很难对某些问题进行定性认识，甚至会使问题的解决半途而废。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学核心素养之数学建模教学案例1引言：新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。
近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
2.中学数学模型的教学2.1中学数学中常见的数学模型分类：（1）与函数的最值相关问题。
工程中的用料最省、利润最大，列出所求量的函数解析式，利用代数工具解函数最大值。
（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系，红铃虫产卵数与温度的关系。
（3）与周期有关的三角函数模型建立。
电路信号，音频震动，潮水涨落周期。
（4）线性规划问题。
关于求解含有多个约束条件的，目标函数的最有解问题。
（5）抽样统计调查类，独立性假设检验。
2.2数学建模的课堂陷入几个误区。
（1）数学建模课堂，教师陷入了对数学建模理论的讲解，而数学建模的基本步骤是什么，介绍集中常见的数学建模工具，里面有大量的数学公式推到，学生对数学建模的思想领会很少。
（2）数学建模能力的评价中，教师“编好”试验中的数据，或者抽样统计好的数据，学生只需分析问题，套用计算。
而没有让学生经历发现问题，3．数学建模案例教学设计本人从学生的实际认知特点出发，探索出基于案例教学的数学建模能力培养的一种教学模式。
我们在课堂上重现一些现实生活中的一些场景，学生把自己投入到案例场景，通过讨论研究，改进自己处理问题的各个步骤，最终达到增强能力的效果。
生活背景：新学期，学校教务处又到了采购粉笔的时候了，教务处工作人员在网上浏览，发现新上市了一种正六棱柱的粉笔，价格和以往采购的传统的圆柱形粉笔价格相同。
请尝试建立数学模型，给教务处工作人员粉笔购买的建议。
模型的分析和建立的过程。
师：你站在学校教务处的角度想想，在购买粉笔的时候，最应该考虑的问题是什么呢？生：粉笔的质量，比如粉笔是不是容易断，粉笔写起来是否流畅，粉笔对人是否更环保，对人更少的伤害。
师：很好，这个同学从粉笔的质量谈了很多自己的想法。
除了质量之外，作为一个学校大批量采购粉笔的用户，我们还考虑什么？生：价格。
师：我们肯定都是希望，用最少的钱，办最大的事。
我们都感觉到这个问题非常的困难了啊，所以，我们要要在建立基本的数学模型之前，做一些基本的假设。
生：感觉考虑的因素太多了。
师：我们想想，粉笔是否易断，能够很快做出评价吗？让你比较两支粉笔，那个书写起来更流畅，采用什么方法进行比较呢？生：我们采用随即抽样的方法试试，让学校书法社团的人同一个人在一个黑板上书写，也许可以大概估计，哪种粉笔质量更好。
师：每个人都开动脑经，找到了自己的方法，但是，让人去判断，主观性还是很大的。
生：可是每个人感觉是否流畅和是否这段，也跟每个人的书写习惯有关吧。
教室陷入了激烈的讨论中。
师：那我们能否可以假设两种粉笔出自同一条生产线，质量水平近乎相似，只是形状的差别。
生：那我们只需要对每盒粉笔的价格分析就可以了。
师：可是现在，我们两盒粉笔的价格是相同的啊，怎么办呢？生：那我们可以看看，同样是画直线，看哪一盒粉笔画的长，那么谁的性价比就高？师：这个同学提的这个思路非常正确，假设，一盒粉笔，总是不会被折断，一根全部用完之后，再用下一根。
那么一盒粉笔的书写长度主要跟谁有关呢？生：应该是跟一盒粉笔的总体积有很大的关系吧。
师：我们再假设，装粉笔的盒子都是边长为20cm的正方体，那么装满两个盒子的粉笔，那个盒子中粉笔的总体积多呢？生：我们可以看图片发现，正六棱柱的粉笔，紧紧的靠在一起，没有任何的缝隙。
而圆柱形的粉笔相对而言有较大的空隙，所以，我们断定，同等价格下，正六棱柱的粉笔的体积最多。
师：分析的非常到位，那么现在问题来了，如果一盒圆柱形粉笔，定价5元，为了保证两种粉笔有相同的性价比，请问正六棱柱粉笔的价格应该定为多少呢？生：性价比相同，每立方厘米的粉笔，所对应的价格要相同。
师：那我们应该怎么去判断呢？生：我们只需让总价格/总体积都相同，从而我们可以给另外一盒粉笔合理的定价了。
师：那么现在当务之急是干什么呢？生：我们需要计算两种规格的各种粉笔的总体积，师：那么我们按照一个怎样的流程去计算呢？生：先构建一个边长为20cm的正方形，圆柱的半径是1cm，正六棱柱的地面正六边形，外接圆恰好是半径为1cm的圆，看一个正方形内，最多可以放多少个这样的圆和多少个这样的正六边形，从而再计算相应的空间的利用率，从而得出，谁的体积更大一些。
模型建立：根据以上所有的基本假设，画出粉笔盒中的俯视图，如图建立坐标系我们根据两圆外切的性质，建立层数与圆心所在直线的方程关系。
又由于，边长为20cm的限制，而且最高层必须为完整的一层，我们确定=18.32。
所以，在圆柱形粉笔盒内有11层，我们再来观察第一层和第二层，第一层有10个圆柱之后，第二层有9个。
第二种粉笔盒我们首先建立奇数列，正六边形中心所在直线方程。
则奇数列可以放11层，我们再看偶数列中心所在直线方程 n =11时，y =19.1865，再加上/2=0.866 为20.05,考虑到边界，偶数列也可以放11层。
我们纵向来看。
则n =13时，x =19,考虑到边界总共可以放13列。
模型计算：（1）圆柱粉笔计算总体积：21r s r ππ===，，总共所有的圆柱数目为10695105⨯+⨯=，粉笔总共的体积为105105329.85S H H H π⨯⨯== （2）六棱柱粉笔计算总体积：边长1a =，1611 2.59802S =⨯⨯⨯= 总共的正六棱柱的数目为1311143⨯=总共的粉笔的体积为：2.5980143371.524H H ⨯= 模型的结论与推广：通过计算发现，生产正六棱柱的粉笔盒内的粉笔总体积：生产圆柱粉笔盒内的粉笔总体积=371:329，所以一盒普通的圆柱形粉笔卖5元话的，为了保证性价比的同意，正六棱柱的粉笔，可以卖5.63元。
师：模型中还有哪些重大问题，没有考虑呢？生：我们精确的测量数据，粉笔盒的实际长度，与粉笔实际半径，已经市面上销售的正六棱柱的粉笔，他们的边长，跟我们假设的数据，有很大的出入，尺寸的不同，是否会影响我们的计算结果呢？师：这个同学提的问题非常的好，那么下来之后，我们同学在网上购买相同规格粉笔盒的两盒不同的粉笔，测量实际的数据，用我们同样的方法评价粉笔的性价比。
师：我们能否把我们的研究结果推广到其他的地方？生：我们可以把我们的计算结果，推广到，用卡车装圆柱形的钢管数目的多少，香烟盒怎么设计，可以装三层香烟。
师：我们能够对我们研究的问题，你还能提出，与我们所研究问题类似的问题呢？生：如果我们还是用硬纸板制作一个粉笔盒，单位面积的硬纸板，制作成圆柱形的好还是正方体好呢？师：这个同学很快把我们研究的问题就可以迁移出去，研究的方法，最终都会规则到平面几何的方法中去。
4．案例教学的说明与启示：在整个教学活动中，引导学生的思维，经历发现问题，分析问题，基本假设，模型建立，模型求解，模型结论，模型推广的全过程。
特别是分析问题的过程，一定要让学生积极的参与进来，找准角度建立尽可能简单的数学模型；在基本假设的探究过程中，根据我们建立的简单数学模型，基本假设，需要调动所有学生的积极性，引导学生尽可能全面的考虑问题，将复杂情况简单化；模型建立的过程中，指导学生用超级画板将所研究的问题，图形化，再引导学生用函数思想求解问题，模型求解阶段，先提前给出简单的数据，帮助学生求解，再引导学生去实际测量生活中的数据，带入我们建立的模型求解。
模型推广中，让学生发散思维，让学生回顾我们所遇到的问题，在工程和社会生活中还有哪些可以迁移的地方，比如烟盒的设计与制作，货车运输钢管的模型，改进封闭的包装盒等等，体会数学中模型话解决问题的价值。
5.数学模型案例教学的价值：高中课堂中渗透数学建模案例教学，应该引导学生，引导学生积极的解答。
鼓励学生独立思考。
传统的教学只告诉学生怎么去做，怎么去记忆一些程序性的知识，不能够极大的调动学生的学习热情。
案例教学没人会告诉你应该怎么办，而是要自己去思考、去创造，使得数学建模的过程变得生动活泼，每个人都可以对老师提出的问题发表自己的看法。
中学数学建模案例教学正是为此而生并在实践的过程中不断发展的完善的。
传统的教学方法是老师讲、学生听，学到的都是死知识。
而在案例教学中，学生拿到案例后，先要进行消化，然后查阅必要的理论知识，经过缜密地思考，提出解决问题的方案。
同时他的方案随时需要教师加以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学生的不用方案，不断的去某一特殊案例的教学设计，优化问题流程，使教学进入良性的循环之中。
参考文献[1]叶其孝.中学数学建模[M].长沙：湖南教育出版社，1998:1-31.[2]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京教育出版社，1998:75-87.[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].人民教育出版社，2003:1-3,98-104.[4]冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨[J].数学教育学报，2000,9（2）：84-88[5]李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段[J].数学通报，2005,44(10)：21-23。