数值分析习题与解析
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习 题 一 解 答
1.取3.14,3.15,227,355113
作为π的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。
分析:求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意,不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求,即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位,再确定有效数的末位是哪一位,进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后,可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式,然后解答。
解:(1)绝对误差:
e(x)=π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159…≈0.0016。
相对误差:
3()0.0016()0.51103.14
r e x e x x -==≈⨯ 有效数字:
因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.14=0.314×10,m=1。 而π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159…
所以│π-3.14│=0.00159…≤0.005=0.5×10-2=21311101022
--⨯=⨯ 所以,3.14作为π的近似值有3个有效数字。
(2)绝对误差:
e(x)=π-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407…≈-0.0085。
相对误差:
2()0.0085()0.27103.15
r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字:
因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.15=0.315×10,m=1。 而π-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407…
所以│π-3.15│=0.008407……≤0.05=0.5×10-1=11211101022
--⨯=⨯ 所以,3.15作为π的近似值有2个有效数字。
(3)绝对误差:
22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137
e x π=-=-=-≈- 相对误差:
3()0.0013()0.4110227
r e x e x x
--=
=≈-⨯ 有效数字: 因为π=3.14159265...=0.314159265 (10)
22 3.1428571430.3142857143107
==⨯,m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937
π-=-=- 所以
2213
22 3.14159265 3.1428571430.0012644930.0057110.510101022
π----=-=≤=⨯=⨯=⨯ 所以,227
作为π的近似值有3个有效数字。 (4)绝对误差:
355() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271113
e x π=-=-=-≈- 相对误差:
7()0.000000271()0.86310355113
r e x e x x
--==≈-⨯ 有效数字:
因为π=3.14159265...=0.314159265 (10)
355 3.141592920.31415929210113
==⨯,m=1。 而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113
π-=-=- 所以
6617
355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005113110.510101022
π----=-=≤=⨯=⨯=⨯ 所以,355113
作为π的近似值有7个有效数字。 指出:
①实际上,本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限,而不是绝对误差和相对误差。
②为简单计,本题相对误差没有化为百分数。
③在求出绝对误差后,按定义求有效数字是基本功,必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此,本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。
实际上,根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法,由于不同的作者会提出不同的定理系统,因此,掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。
④ 祖冲之(公元429年─公元500年)是我国杰出的数学家,科学家。南北朝时期人,汉族人,字文远。生于宋文帝元嘉六年,卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县(今河北涞水县)。在世界上最早计算出π的真值在3.1415926(朒数)和3.1415927(盈数)之间,相当于精确到小数第7位,这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给出π的两个分数形式:227(约率)和355113
(密率),其中密率精确到小数第7位,在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现,比祖冲之晚了一千多年,数学史学界主张称“密率”为“祖率”。
⑤近似数的有效数字只能是有限位。
⑥近似数的误差分析中采用近似数x 而不是其准确数,准确数是未知的。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。 346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300
分析:本题实际上指出,按要求截取的近似数符合有效数字定义,相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单,直接写出就可以,不需要也不应该做形式转化(化为科学计数法形式)
解:346.7854≈346.79,
7.000009≈7.0000,
0.0001324580≈0.00013246,
0.600300≈0.60030。
指出:注意0。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数,试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。
分析:首先,本题的准确数未知,因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次,应当先求绝对误差限,再求相对误差限,最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。
解:由四舍五入的概念,上述各数的绝对误差限分别是
1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε====
由绝对误差和相对误差的关系,相对误差限分别是