2015年江苏卷数学试题及答案

2015年全国高等学校招生考试数学试题江苏卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______.2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3. 设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6. 已知向量(2,1),(1,2)a b ==-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为______.7. 不等式2224x -<的解集为________.8. 已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n a 前10项的和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 。

13.已知函数()|ln |f x x =，20,01,()|4|2,1,x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩ ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=∑g 的值为 。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值。

16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E ⋂=求证：（1）//DE 平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b=+（其中,a b 为常数）模型. （1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB的方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。

（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值。

20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。

附加题21、（选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A. [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆e O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆:AEB ∆B. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属于特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值。

C. [选修4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径.D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）解不等式|23|3x x ++≥[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23. （本小题满分10分）已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|n S a b a =，整除b 或b 整除,,}n a a X b Y ∈∈.令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明。

参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法。

每小题5分，共计70分。

1. 52. 6 4. 7 5. 566. -37. {|12}x x -<<（或（-1,2））8. 310. 22(1)2x y -+= 11. 2011 12. 2 13. 4 14.二、解答题： 15. 本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）由余弦定理知，2222cos BC AB AC AB AC A =+-g g 14922372=+-⨯⨯⨯=所以BC =（2）由正弦定理知，sin sin AB BC C A =，所以sin sin 7AB C A BC ===o g因为AB BC <，所以C 为锐角，则cos C ===因此sin 22sin cos 27C C C ==⨯=g 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）由题意知，E 为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点，因此//DE AC又因为DE ⊄平面11,AAC C AC ⊂平面11AAC C所以//DE 平面11AAC C（2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC因为AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥又因为1,AC BC CC ⊥⊂平面11,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C =I ，所以AC ⊥平面11BCC B又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥因为1BC CC =，所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥因为1,AC B C ⊂平面11,B AC AC B C C =I ，所以1BC ⊥平面1B AC又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥17.本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为（5,40），（20,2.5）. 将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5,400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩（2）①由（1）知，21000(520)y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000(,)t t， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得233000(,0),(0,)2t A B t. 故622224330003410()()(),[5,20]22t f t t t t t⨯=+=+∈.②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t ⨯'=-. 令()0g t '=，解得102t =当(5,102)t ∈时，()0,()g t g t '<是减函数；当(102,20)t ∈时，()0,()g t g t '>是增函数.从而，当102t =时，函数()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()153f t =答：当102t =时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米。

18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分解：（1）由题意，得2c a =且23a c c+=， 解得2,1a c ==，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y += （2）当AB x ⊥轴时，2AB =，又3CP =，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，将AB 的方程代入椭圆方程，得2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=， 则221,222(1)k k x ±+=，C 的坐标为2222(,)1212k k k k -++，且 2222221212122(1)()()(1)()k AB x x y y k x x +=-+-=+-=. 若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.从而0k ≠，故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k +=--++， 则P 点的坐标为2252(2,)(12)k k k +-+，从而PC =因为2PC AB =，所以22222(3)||(12)12k k k k k ++=++，解得1k =± 此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解：（1）2()32f x x ax '=+，令()0f x '=，解得1220,3a x x ==-当0a =时，因为2()30(0)f x x x '=>≠，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，2(,)(0,)3a x ∈-∞-+∞U 时，2()0,(,0)3a f x x '>∈-时，()0f x '<，所以函数()f x 在2(,),(0,)3a x ∈-∞-+∞上单调递增，在2(,0)3a -上单调递减； 当0a <时，2(,0)(,)3a x ∈-∞-+∞U 时，2()0,(0,)3a f x x '>∈-时，()0f x '<，所以函数()f x 在2(,0),(,)3a x ∈-∞-+∞上单调递增，在2(0,)3a -上单调递减； （2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为324(0),()327a fb f a b =-=+，则函数()f x 有三个零点等价于324(0)()()0327a f f b a b -=+<g ，从而 30,4027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40.27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<. 设34()27g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞U U ， 则在(,3)-∞-上()0g a <，且在33(1,)(,)22+∞U 上()0g a >均恒成立，从而(3)10g c -=-≤，且3()102g c =-≥，因此1c =此时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-，因函数有三个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以22(1)4(1)230a a a a ∆=---=+->，且2(1)(1)10a a ---+-≠， 解得33(,3)(1,)(,)22a ∈-∞-+∞U U .综上1c =20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解：（1）证明：因为11222(1,2,3)2n n n na a a d a n ++-===是同一个常数， 所以31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列.（2）令1a d a +=，则1234,,,a a a a 分别为,,,2(,2,0)a d a a d a d a d a d d -++>>-≠.假设存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列， 则43()()a a d a d =-+，且624()(2)a d a a d +=+ 令d t a =，则31(1)(1)t t =-+，且641(1)(12)(1,0)2t t t t +=+-<<≠， 化简得32220(*)t t +-=，且21t t =+.将21t t =+代入（*）式， 2(1)2(1)2313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =- 显然14t =-不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列（3）假设存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列， 则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+.分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +及2(2)1n k a +，并令11(,0)3d t t t a =>-≠， 则22()(12)(1)n k n k t t +++=+，且32(2)(1)(13)(12)n k n k n k t t t +++++=+.将上述两个等式两边取对数，得(2)ln(12)2()ln(1)n k t n k t ++=++， 且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)n k t n k t n k t +++++=++化简得2[ln(13)ln(1)][2ln(1)ln(12)]k t t n t t +-+=+-+，且3[ln(13)ln(1)][3ln(1)ln(13)]k t t n t t +-+=+-+再将这两式相除，化简得ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++（**）. 令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++， 则2222[(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)]()(1)(12)(13)t t t t t t g t t t t ++-+++++'=+++. 令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()6[(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1)]t t t t t t t ϕ'=++-+++++. 令1()()t t ϕϕ'=，则1()6[3ln(13)4ln(12)ln(1)]t t t t ϕ'=+-+++令21()()t t ϕϕ'=，则212()0(1)(12)(13)t t t t ϕ'=>+++. 由122(0)(0)(0)(0)0,()0g t ϕϕϕϕ'====>，知21(),(),(),()t t t g t ϕϕϕ在1(,0)3-和(0,)+∞上均单调.故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立.所以不存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列. 21. [选做题]A. [选修4-1：几何证明选讲]本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，又BAE ∠为公共角，可知ABD AEB ∆∆:.B. [选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 解：由已知，得2Aa a =-，即11212x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1 0， 则12,2,x y -=-⎧⎨=⎩即1,2,x y =-⎧⎨=⎩所以矩阵1A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12 0. 从而矩阵A 的特征多项式()(2)(1)f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1C. [选修4-4：坐标系与参数方程]本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C的极坐标方程为2)40ρθθ+--=， 化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即22(1)(1)6x y -++=，所以圆CD. [选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力.满分10分.解：原不等式可化为3,232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或3,2332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩解得5x ≤-或13x ≥-综上，原不等式的解集是{|5x x ≤-或1}3x ≥-.22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分. 解：以{,,}AB AD AP u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P .（1）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD u u u r 是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =u u u r .因为(1,1,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r .设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z ，设0,0m PC m PD ==u u u r u u u r g g ，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1,1z x ==.所以(1,1,1)m =是平面PCD 的一个法向量.从而||||3cos ,||||AD m AD m AD m <>==u u u r u u u r g u u u r ， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为3 （2）因为(1,0,2)BP =-u u u r ，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-≤≤u u u r u u u r ，又(0,1,0)CB =-u u u r ，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，又(0,2,2)DP =-u u u r ，从而cos ,||||CQ DP CQ DP CQ DP ==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 设12,[1,3]t t λ+=∈，则2222229cos ,15205109109()99t CQ DP t t t ==≤-+-+u u u r u u u r 当且仅当95t =，即25λ=时，|cos ,|CQ DP u u u r u u u r因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值又因为BP25BQ BP == 23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.解：（1）(6)13f =（2）当6n ≥时，2(),6,23112(),61,2322(),62,23()12(),63,2312(),64,23122(),65,23n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧+++=⎪⎪--⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪=⎨-⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪⎪--+++=+⎪⎩*()t N ∈ 下面用归纳法证明：① 当6n =时，66(6)621323f =+++=，结论成立； ② 假设(6)n k k =≥时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在(1,1),(2,1),(3,1)k k k +++中产生，分一下情形讨论：1）若16k t +=，则6(1)5k t =-+，此时有12(1)()32323k k f k f k k --+=+=++++ 11(1)223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有 (1)()12123k k f k f k k +=+=++++ (1)1(1)1(1)223k k k +-+-=++++，结论成立； 3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有 11(1)()22223k k f k f k k --+=+=++++ 1(1)2(1)223k k k ++-=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有2(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++ (1)11(1)223k k k +-+=++++，结论成立； 5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有 1(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++ 1(1)1(1)223k k k ++-=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有 1(1)()12123k k f k f k k -+=+=++++ (1)1(1)2(1)223k k k +-+-=++++，结论成立； 综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立.。