标量场梯度的定义与计算

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1.4标量场的梯度

其中，其中，
el = ex cos α + e y cos β + ez cos γ
cos α , cos β , cos γ 是 el 的方向余弦：的方向余弦：
dx dy dz cos α = , cos β = , cos γ = dl dl dl
3、方向导数的性质方向导数是标量场在点P处沿方向对距离的变化率。方向导数是标量场在点处沿方向 el 对距离的变化率。标量场中，在给定点处沿不同方向的方向导数不相同。标量场中，在给定点P处沿不同方向 el 的方向导数不相同。二、梯度 1、梯度的定义是一个矢量，标量场 u (r ) 的梯度 gradu ：是一个矢量，其方向为标量场变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率， u (r ) 变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率，即
§1.4 标量场的梯度
用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：标量场: 标量场 u (r ) 用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：一、等值面 1、等值面标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，由电位相同的点构成等位面。由电位相同的点构成等位面。 2、等值面方程
3、梯度的性质标量场的梯度是一个矢量场。标量场的梯度是一个矢量场。
标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。
标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向
u (r ) 增加的方向。增加的方向。

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。

梯度的数值有时也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

2.2数量场的方向导数和梯度.

3）在球面坐标系中：
3、梯度的性质
1）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的梯度运算时，算子与算子 ' 可以互换，但改变其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '

1.3标量函数的梯度

en
gradu gradu
记忆！！
（三）哈密顿（Hamilton）算子
➢ 引入一个算子
ex x ey y ez z 称为哈密顿算子。读作“del（德尔）”或
“nabla（那勃拉）”
直角坐标下的具体实例
u
(ex
x
ey
y
ez
)u z
u x
ex
u y
ey
u z
ez
gradu u
(四) 梯度运算基本公式
函数u(x,y,z) 沿其中哪个方向的变化率最大?
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u l
G el
G
cos G, el
u G l max
u(x,y,z)沿G方向变化率最大矢量G的模也正好就是该最大变化率。
(二)梯度的性质 ➢ 一个标量函数（标量场）的梯度是一个矢量函数。
在给定点，梯度的方向就是函数变化率最大的方向，它的模恰好等于函数在该点的最大变化率的数值。又因函数沿梯度方向的方向导数
22
cos
1
1
12 22 22 3
cos 2 cos 23
3
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z = 1 1 0 2 1 2 1 23 3 23 2
三、梯度(Gradient)
（一）梯度的定义：大小？方向？
el
l l
cos ex cos ey cos ez
1.3 标量函数的梯度
一、标量场？的等值面
➢ 在直角坐标系中，某一物理标量函数u可表示为
u ux, y, z
u u r, r = (x, y,z)

直角坐标系中梯度的计算公式

直角坐标系中梯度的计算公式直角坐标系中的梯度是一个非常重要的概念，它在数学和物理学中广泛应用。

在直角坐标系中，梯度通常被用来表示一个标量场在某一点上的变化率和方向。

梯度的计算公式可以帮助我们更好地理解和分析不同场的变化规律。

梯度的定义在直角坐标系中，对于一个标量场f(x,y)，我们可以定义其梯度为一个向量，记为ablaf(x,y)。

梯度的计算公式可以表示为：$$ \ abla f(x, y) = \\left( \\frac{\\partial f}{\\partial x}, \\frac{\\partialf}{\\partial y} \\right) $$其中，$$\\frac{\\partial f}{\\partial x}$$表示f(x,y)关于x的偏导数，$$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$$表示f(x,y)关于y的偏导数。

梯度的几何意义梯度求取的向量方向是函数变化最快的方向，其大小代表了函数在该方向上的变化率。

如果梯度向量为零向量，则表示该点为函数的极值点，可能是最大值、最小值或鞍点。

梯度的计算示例现在我们来看一个具体的例子。

假设我们有一个标量场f(x,y)=x2+2y，要求该标量场在点(1,2)处的梯度。

根据梯度的计算公式，我们可以计算出该点处梯度向量为：$$ \ abla f(1, 2) = \\left( \\frac{\\partial f}{\\partial x}(1, 2), \\frac{\\partial f}{\\partial y}(1, 2) \\right) $$计算偏导数，我们有：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x, \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 2 $$ 代入(1,2)，得到：$$ \ abla f(1, 2) = (2 \\cdot 1, 2) = (2, 2) $$因此，在点(1,2)处，该标量场f(x,y)=x2+2y的梯度向量为(2,2)。

梯度、散度、旋度表达式的推导

4. 曲线坐标系
柱坐标中的形式为：
1 ( ra r ) 1 aθ a z diva = + + r r r θ z
球坐标中的形式为：
1 (r 2 ar ) 1 (sin θ aθ ) 1 aλ diva = 2 + + r r r sin θ θ r sin θ λ
4. 曲线坐标系
e. 旋度在曲线坐标系中的表达式：旋度在曲线坐标系中的表达式：在如上图的单元体中，我们首先计算矢量沿 MM2N1M3 的环量：此时取 n 为 q1 的正方向；则：
(n , x ) = n x
i+ j+ k x y z
上式即为在直角坐标系中的表示。 h. 性质
dr = d
dxi = dx + dy + dz xi x y z
证明：
dr =
2. 散度
a . 通量给定一矢量 a(r , t)，在场内取一曲面 S,它可以是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线，令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点上的矢量函数的值，则
4. 曲线坐标系
1) 柱坐标在柱坐标系中，
q1 = r , q2 = θ , q3 = z
,r 由 0 变到
∞ ，由 0 变到 2∏，由 ∞ θ z
变到 +∞ ，此时与直角坐标的函数关系是：
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z
4. 曲线坐标系
2) 球坐标在球坐标系中， q1 = r , q2 = θ , q3 = λ ,r 由 0 变到 ∞ ， θ 由 0 变到∏，由 0 变到 2∏，此时与直角坐标的函数关系是：

梯度、散度和旋度——定义及公式

梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。

三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。

2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。

(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。

2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。

设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。

它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。

当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当=0div f ，该点无源。

4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

电动力学0.2-0.5 标量场的方向导数和梯度

个标量场来表示一个矢量场。个标量场来表示一个矢量场。
v 在矢量场 F中，如果一条曲线在空间各点都始终与矢 v v 相切，的方向，量 F 相切，而曲线切线方向总取为矢量 F 的方向，则 v r 这条曲线称为矢量场 F 的矢量线
矢量线的密度与矢量场的模成正比，矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
§0.3 矢量场的通量和散度
1 矢量线
v v 一般是空间坐标和时间的函数，矢量场 F 一般是空间坐标和时间的函数，可表示为 F v v v v v v v v v F = F ( r , t ) = ex Fx ( r , t ) + ey Fy ( r , t ) + ez Fz ( r , t ) ，即可以用三
v v F (M ) < F ( P)
P
M r F ( P)
F(M)
C
矢量场的通量 2 矢量场的通量
v v 在矢量场 F 中，任取一面元矢量dS，定 v v 义矢量F 通过面元矢量dS 的通量为
r r dΦ = F ⋅ dS
r en r dS
θ
r F
通过曲面 S 的通量为 Φ = ∫S
r r F ⋅ dS
r en θ
r l
P2
P0
标量场 ϕ ( P ) 在某一方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投
r 影，即 ∂ϕ = ∇ ϕ ⋅ e l . ∂l
证明：证明： ∂ϕ = ∂ϕ cos α + ∂ϕ cos β + ∂ϕ cos γ
∂l ∂x ∂y ∂z v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v v v = ex + ey + ez ⋅ e x cos α + e y cos β + ez cos γ ∂x ∂y ∂z r = ∇ ϕ ⋅ el

方向导数及梯度参考资料

1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
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§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
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而所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y

标量的梯度名词解释

标量的梯度名词解释在物理学、数学和工程学等领域中，我们经常会遇到标量和向量这两个概念。

标量是指只具有大小而没有方向的物理量，例如温度、质量和时间。

而向量则是既有大小又有方向的物理量，例如速度、位置和力。

在这两个概念中，标量的梯度是一个重要的概念。

梯度是一个向量，用于描述标量场在空间上的变化率和方向。

它的计算可以帮助我们理解标量场在各个方向上的变化情况，从而有助于解决一些实际问题。

标量的梯度可以通过求偏导数来计算。

偏导数是在多个变量中，只针对其中一个变量进行求导，而将其他变量视为常数。

偏导数表示了标量场相对于某个变量的变化率。

考虑一个二维平面上的标量场，例如高度场。

假设这个平面上每个点的高度可以用一个标量值表示。

我们可以将这个平面上的每个点作为一个坐标点(x, y)，而其对应的高度值记为z。

这样，我们就可以得到一个函数f(x, y)来描述这个标量场。

在这个场景中，梯度描述了标量场在各个方向上的变化情况。

梯度的计算公式为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，其中∂f/∂x表示在x方向上的变化率，∂f/∂y表示在y方向上的变化率。

这个梯度向量的大小表示了标量场变化最快的方向以及变化的速率。

以一个简单的例子来说明梯度的具体含义。

假设我们有一个标量场表示温度分布，我们需要知道某个位置处的温度上升最快的方向。

我们可以计算这个温度场的梯度向量，然后根据梯度向量的方向来确定温度上升最快的方向。

除了描述标量场的变化情况，梯度还可以用于解决优化问题。

在数学优化中，我们常常需要寻找函数的最大值或最小值。

通过计算函数的梯度，我们可以找到函数上的最陡上升和下降方向，并进一步找到极值点。

梯度的概念不仅适用于二维平面上的标量场，也可以推广到三维空间和更高维空间中。

在三维空间中，我们可以将标量场定义为一个函数f(x, y, z)。

标量的梯度向量可以表示为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。

总结起来，标量的梯度是一个向量，用于描述标量场在空间上的变化率和方向。

标量场的梯度课件

03
梯度的方向与最大增长速率方向一致，即与函数值增加最快的方向一致。
01
标量场中某一点的梯度方向指向该点处函数值增加最快的方向，梯度的长度等于该点处函数值增长速率的大小。
02
梯度的长度（也称为梯度的模）为：∣grad(f)∣=(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+(∂f∂z)2(2)
标量场中某一点的梯度值等于该点处函数值增长速率的大小，而梯度的方向则指向该点处函数值增加最快的方向。
总结词
在一维标量场中，梯度表示函数在该点的斜率，即函数值随空间坐标变化的速率。具体计算方法为对函数在该点的导数取负值，得到该点的梯度。
详细描述
总结词
二维标量场的梯度计算是标量场中一个重要的概念，它描述了标量场在某一点的变化率。
详细描述
在二维标量场中，梯度表示函数在该点的最大变化率方向和大小。具体计算方法为分别对x和y方向的偏导数进行向量运算，得到该点的梯度向量。
描述温度场中温度的变化情况和热流的方向。
总结词
在温度场中，梯度表示温度函数的变化率，即热流密度的大小和方向。通过计算温度函数的梯度，可以确定温度场中每一点温度的变化情况和热流的方向，进而分析热传导的规律和热能的分布。
详细描述
05
CHAPTER
标量场与流体的关系
标量场定义
标量场是一个数学概念，表示空间中某一物理量（如温度、压力、浓度等）随位置变化的场。
流体中的标量场
在流体中，标量场通常表示流体的物理属性，如温度、压力、密度等。这些属性随流体的流动而发生变化，形成标量场。
梯度场定义
梯度场是矢量场的一种，表示空间中某一物理量的变化率。在标量场中，梯度表示该物理量在空间中的变化方向和速率。

标量场函数的梯度

。
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
4
工程电磁场
主讲人：王泽忠
u lim u(M) u(M0 )
l M0
MMo
l
= lim u MMo l
du dl
M0
方向导数：标量场函数在一点M0 处沿某一方向 l 对距离的变化率
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
工程电磁场
主讲人：王泽忠
工程电磁场
王泽忠
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
1
工程电磁场
主讲人：王泽忠
1.3 标量场的方向导数和梯度
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
2
工程电磁场
主讲人：王泽
忠
1．方向导数的定义
要了解u M 沿任意方向的变化情况
需要计算u M 沿任意方向的导数
5
工程电磁场
主讲人：王泽
忠沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快
l
u
当
l
Mo 0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
1 8 ／4 ／ 25
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工程电磁场
主讲人：王泽
忠
u u u u
偏导数 x , y , z 是 l 的特例：
当 l 指向 x 轴正方向时， u u
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
9
工程电磁场
主讲人：王泽

《标量场的梯度》PPT课件

1.3 标量场的梯度
一、方向导数
1.方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值
u(r )
l
沿特定方向变化的规律。
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
方向导数的物理意义
M
M0 l
ul |M0是标量场u(M )在点M0处沿l 方向对距离的变化率
1) ul |M0 >0，标量场u在点M0沿l 方向是增加的；
l x y z
( x
ex
y
ey
z
ez
)
u ex u e y u ez u x y z u gradu
标量场u的梯度，
用 gradu 表示
u gradu el | gradu || el | cos | el |1 u | gradu | cos
l
l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，
r
从源点指向场点的矢量为
o
y
R r r
x
例3 求R,R, 1 , 1 ,f (R),f (R) RR
表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
R | r r | ( x x)2 ( y y)2 (z z)2
R R R
10
R ex x ey y ez z
R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2
设 l 方向的方向余弦是 cos, cos , cos ，即
x cos y cos z cos
l
l
l
则方向导数的计算公式为
u u cos u cos u cos
2
l x
y
z

标量场梯度的定义与计算

在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆy
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
aˆ
z
aˆz
在球坐标系中：
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：坐标变量 (u1, u2, u3) ，拉梅系数 (h1, h2, h3)
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu2
h3u3
aˆu3
小结：
1. 标量场的等值面
2.
标量场梯度的定义
grad
d
dn
aˆn
3.
标量场梯度的计算
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu2
h3u3
aˆu3
y
aˆy
z
aˆz
梯度也可表示： grad
0 d 0
例如：已知 (x, y, z) 3x2 yz3
求：P(1,2,1)点的梯度。
解：根据梯度计算公式
grad
x
aˆx
y
aˆy
z
aˆz
6xyz3aˆx 3x2z3aˆ y 9x2 yz2aˆz
grad P 12aˆx 3aˆy 18aˆz
d
dn
aˆn
P1
P2
dn dl
P
0 d 0
c.梯度的计算：
梯度
d
dl
d dn
dn dl
d cos
dn
d
dn
aˆn
aˆl
P1
P2
dn dl
d grad dl

梯度散度旋度公式大全

梯度散度旋度公式大全1. 梯度公式梯度是矢量场的一个重要概念，它表示了场在各个方向上的变化率。

对于一个标量场f(x, y, z)，梯度可以通过以下公式计算得到：∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k其中，∇表示梯度算子，i、j、k分别表示空间坐标轴的单位向量。

2. 散度公式散度描述了矢量场在某点的流入或流出情况，它是梯度的一种推广。

对于一个矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，散度可以通过以下公式计算得到：∇·F = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)其中，·表示点乘运算。

3. 旋度公式旋度用于描述矢量场的旋转情况，对于一个矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，旋度可以通过以下公式计算得到：∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k其中，×表示叉乘运算。

4. 梯度、散度和旋度的关系梯度、散度和旋度之间存在一定的关系，这是基于矢量分析的一个重要结论。

根据向量分析的基本定理，我们可以得到以下等式：∇×(∇f) = 0 （梯度的旋度为零）∇·(∇×F) = 0 （旋度的散度为零）这两个等式说明了梯度和旋度的性质，即梯度场是无旋场，旋度场是无散场。

5. 应用示例梯度、散度和旋度在物理学和工程学中具有广泛的应用。

以下是一些应用示例：5.1 流体力学在流体力学中，梯度场描述了流速在各个方向上的变化率，散度场描述了流体在某点的流入或流出情况，旋度场描述了流体的旋转情况。

这些概念对于流体的运动和力学特性的分析具有重要意义。

5.2 电磁学在电磁学中，梯度场描述了电势的变化率，散度场描述了电场的流入或流出情况，旋度场描述了磁场的旋转情况。

标量场的方向导数和梯度

y
方向导数 4
4 标量场的梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (P)在一点处的方向导数有无穷多个，在这无穷多个方向中方向导数在什么方向上最大？
4.1 梯度(gradient)的定义
c2 c1
r en
P1 r
l
P2
P0
lim ( p) ( p0 )
l l0 P0
l
标量场 (P)在点P0处的梯度是一个矢量，其方向为函数 (P)在点P0处方向导数取得最大值的方向，其模等于这个最大的方向导数，记作
rr
向外通过闭合曲面S 的通量为 ÑS F dS
➢
面元矢量
v dS
evn
dS
➢
v F
cos
dS
，以外法线方向为正
s
9
2 通量的物理意义
矢量场通过闭合曲面的通量的三种可能结果
0 正通量源
通过闭合曲面有净的矢量线穿出
0 负通量源
通过闭合曲面有净的矢量线进入
0 无通量源
进入与穿出闭合曲面的矢量线相等
Vi 0
Vi
12
Ñ 可得：
的矢量线
➢ 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单
位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
v F
M
Fv P
M
F P
P
F M
C
8
2 矢量场的通量
在矢量场
v F
中，任取一面元矢量dSv，定
F
义矢量Fv通过面元矢量dSv的通量为
en
d F dS
垂直通过某一面积的量
dS
rr
通过曲面S 的通量为 S F dS
闭合曲面的通量从的通量源的关系。 10

第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1

§1.2 三种常用的正交坐标系
一、坐标系的概念
1、坐标
确定一个空间点需要三个有序数 q1, q2 , q3 ，称为空间点的坐标。
由于空间点同时可用 x, y, z表示，因此
q1 q1x, y, z q2 q2 x, y, z q3 q3 x, y, z
q3 eˆ3
eˆ1 q1
q2 eˆ2
2、坐标面、坐标线
5、拉梅系数： h1 h3 1 ， h2 四、球坐标系
1、坐标变量： r,,
const
2、坐标面： r C1 ， C2 ， C3
坐标线：一条直线、两条曲线
r const
坐标变换： x r sin cos
x
y r sin sin
z
eˆr
Pr,, •
eˆ
r
θ
eˆ
o
y const
三标量场的梯度1梯度的概念梯度gradient是一个矢量它的方向表示标量场u变化率最大的方向大小等于最大的空间变化率用g等值面等值面p02梯度的计算公式梯度的定义与坐标系无关可以选择任意坐标系来计算
1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。难点：基矢的变化。讲授、练习学时：2 学时
矢量表示： A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az ，例：位置矢量 r eˆx x eˆy y eˆz z
(x,y,z)
y为常数平面
y
4、空间微元：
线元： dr eˆxdx eˆydy eˆzdz

梯度散度和旋转速度——定义及公式

梯度散度和旋转速度——定义及公式梯度是标量场的一个向量值函数，它描述了函数在其中一点的变化率和方向。

对于一个标量场 f(x, y, z)，其梯度可以表示为∇f 或grad(f)，其中∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）是称为向量微分算子的 nabla符号。

梯度的每个分量表示相应方向上的变化率，即变化最快的方向和速率的大小。

梯度的公式可以表示为：∇f=(∂f/∂x，∂f/∂y，∂f/∂z)其中，∂f/∂x，∂f/∂y和∂f/∂z是f对各个坐标的偏导数。

梯度的长度表示函数在其中一点的变化率大小，即梯度的模表示了函数在该点的变化速率。

因此，梯度可以用来描述场的变化方向和速率。

散度是矢量场的一个标量值函数，它描述了矢量场的发散和收敛情况。

对于一个矢量场 F(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)，其散度可以表示为∇·F 或 div(F)。

散度描述了矢量场在其中一点的源头和汇聚情况，即矢量场的流入和流出情况。

散度的公式可以表示为：∇·F=(∂F_x/∂x+∂F_y/∂y+∂F_z/∂z)其中，∂F_x/∂x，∂F_y/∂y和∂F_z/∂z分别是F_x，F_y和F_z对各个坐标的偏导数。

散度的大小表示了场在其中一点的流入和流出速率，正值表示流出速率大于流入速率，负值表示流入速率大于流出速率。

旋转速度是矢量场的一个矢量值函数，它描述了矢量场的旋转和曲率情况。

对于一个矢量场 F(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)，其旋转速度可以表示为∇×F 或 curl(F)。

旋转速度描述了矢量场的环流和涡旋情况，即矢量场围绕其中一点或曲线旋转的程度和方向。

旋转速度的公式可以表示为：∇×F=((∂F_z/∂y-∂F_y/∂z),(∂F_x/∂z-∂F_z/∂x),(∂F_y/∂x-∂F_x/∂y))其中，∂F_z/∂y-∂F_y/∂z，∂F_x/∂z-∂F_z/∂x和∂F_y/∂x-∂F_x/∂y分别是F_x，F_y和F_z对各个坐标的偏导数之差。