数学史参考文献

祖冲之（ZǔChōngzhī ，公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于未文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。

求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。祖冲之经过刻苦钻研，继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆周率的研究，就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
什么是圆周率呢？圆有它的圆周和圆心，从圆周任意一点到圆心的距离称为半径，半径加倍就是直径。直径是一条经过圆心的线段，圆周是一条弧线，弧线是直线的多少倍，在数学上叫做圆周率。简单说，圆周率就是圆的周长与它直径之间的比，它是一个常数，用希腊字母“π”来表示，为算式355÷113所得。在天文历法方面和生产实践当中，凡是牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。
如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。我国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为3.1547。东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术。他设圆的半径为1，把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的周长；然后依次作内接十二边形，二十四边形……，至圆内接一百九十二边形时，得出它的边长和为6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。在割圆术中，刘徽已经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆术，是探求圆周率数值的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩，把他求得的圆周率数值称为“徽率”或称“徽术”。




近代数学已经证明，圆周率л是一个不能用有限次加减

乘除和开各次方等代数运算术出来的数，就是所谓“超越数”。
中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，也就是л=3。很明显，这个数值非常粗糙，用它进行计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，“周三径一”就越来越不能满足精确计算的要求。因此，人们开始探索比较精确的圆周率。例如，据公元一世纪初制造的律嘉量斜(一种圆柱形标准量器)推算，它所取的圆周率是3.1547。公元二世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用≈3.1466，又在球体积公式中取用≈3.1622。三国时期吴人王蕃(228—266)在浑仪论说中取≈3.1556。上述这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中圆周率值还是世界上最早的记录。但是这些数值大多是经验结果，还缺乏坚实的理论基础，因此，研究计算圆周率的科学方法仍然是十分重要的工作。
魏晋之际的杰出数学家刘徽，在计算圆周率方商，作出了非常突出的贡献。他在为古代数学名著《九章算术》作注的时候，正确地指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值。用古法计算圆面积的结果，不是圆面积，而是圆内接正十二边形面积。经过深入研究，刘徽发现圆内接正多边形边数无限增加的时候，多边形周长无限逼近圆周长，从而创立割圆术，为计算圆周率和圆面积建立起相当严密的理论和完善的算法。
刘徽割圆术的主要内容和根据是：
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
第二，根据勾股定理，从圆内接正л边形每边的长，可以求出圆内接正2л边形每边的长。
第三，从圆内接正л边形每边的长，可以直接求出圆内接正2л边形面积。如右图，四边形OADB的面积等于半径OD和正л边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式
S2n<S<S2n+(S2n-Sn)。
如右图，四边形OADB的面积和刘徽割圆术示意图。△OAB的面积的差等于以AD和DB为弦的两个直角三角形面积。而OADB的面积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一部分超出圆周了。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”(《九章算术》方田章圆田术刘徽注)这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形，正二十四边形，……以至于正九十六边形每边的长，并且求出正一百九十二边形的面积。S192=。这相当于求得л=3.141024。他在实际计算中，采用了л=3.14=。不仅这样，刘

徽还继续求到圆内接正三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，并且得出更精确的圆周率值
л==3.1416。
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家阿基米德(前287—前212)用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简使得多，可以收到享半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵的。
祖冲之圆周率
在刘徽之后，南北朝时期杰出数学家祖冲之，把圆周率推算到更加精确的程度，取得了极其光辉的成就。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了圆周率的不足近似值是3.1415926，过剩近似值是3.1415927，真值在这两个近似值之间，就是
3.1415926<л<3.1415927。
同时，祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值：约率л=≈3.14，密率л=≈3.1415929。
祖冲之圆周率的不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，准确到小数点后七位，这在当时世界上非常先进，直到一千年以后，十五世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西(？—1436)和十六世纪法国数学家韦达(1540—1603)才打破了祖冲之的记录。
此外，在十进小数概念未充分发展以前，中国古代数学家和天文学家往往用分数表示常量的近似值。祖冲之提出的约率л=，前人已经用到过，密率 л=，是他所发现的。密率是分子分母都在1000以内的分数形式的圆周率最佳近似值。用这两个近似值计算，可以满足一定精度的要求，并且非常简便。祖冲之提出的密率也是一千年后才由德国人奥托(约1550—1605)和荷兰人安托尼兹(1527—1607)重新得到。但是，在西方数学史上，л=经常称为“ 安托尼兹率”。
我们知道，圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。祖冲之算得小数点后七位准确的圆周率，正是标志着我国古代高度发展的数学水平，引起了人们的重视。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以后，一些人就建议把л=称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。
祖冲之关于圆周率的研究工作和其他重大贡献记载在《缀术》一书中，可惜这部内容丰富的数学专著后来失传了。因此，祖冲之推算圆周率的方法现在已经无法查考。