圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

Revised on November 25, 2020

圆锥曲线解题方法技巧

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 21

21

y y k x x -=

- ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离

d =

③夹角公式：直线111222

::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则21

21

tan 1k k k k α-=

+

（3）弦长公式

直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离

①AB =

②12AB x =

-=

③12AB y =- （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）

111222

::l y k x b l y k x b =+=+

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且

（Ⅱ）

11112222:0:0

l A x B y C l A x B y C ++=++=

①1212120l l A A B B ⊥⇔+=

② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或

111

222

A B C A B C =≠者（2220A B C ≠）

两平行线距离公式

1122

::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩

距离d = 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩

距离d =2、圆锥曲线方程及性质

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如

方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22

22b x a y +＝1

（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。椭圆的方程的形式有几种（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+

=>>≠且

2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ==

若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___

）

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1

（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212

2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__

（答：)2

3

,1()1,( --∞）

（2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；

②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心

（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准

线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a

=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越

扁。

如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆

长轴的最小值为__（答：22）

（2）双曲线（以22

221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②

焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两

条准线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a

=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e

越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+

=⋅<

距离式方程：|2a =