精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第09课 二次函数综合复习
2024年初中九年级数学上册同步精品讲义(人教版)第09课 二次函数的定义(学生版)
第09课 二次函数的定义课程标准1、掌握二次函数的定义；2、根据二次函数的定义确定参数的值；3、会根据实际问题列出相应的二次函数；知识点01 二次函数的概念1、有关概念形如2y ax bx c =++(a ,b,c 是常数,a≠0)的函数为二次函数.其中，x 是自变量,a ,b,c 分别是函数解析式的 、 和 .2、二次函数的解析式必须满足的三个条件 （1）等号右边是 ;（2）自变量的最高次数必须是 ; （3）二次项系数不为 . 3、二次函数的结构特征等号左边是y ,等号右边是关于x 的 次多项式或 次单项式. (1)当b=0时,二次函数为 ;知识精讲目标导航(2)当c=0时,二次函数为 ; (3)当b=0,c=0时,二次函数为 . 【注意】(1)注意二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的异同.(2)在二次函数的概念中，0a ≠是二次函数概念的一部分,若a 为0，则函数2y ax bx c =++就是y bx c =+,这不符合二次函数的概念.(3)二次函数的出客教项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号,不要漏掉.知识点02 列二次函数解析式的一般步骤例题解释审题某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存,商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式. 找出已知量和未知量,分析它们之间的关系找等量关系找到两个未知量之间的关系,用等式表示列方程结合已给或设出的未知量的字母根据等量关系列出函数的解析式注意自变量的取值范围【注意】实际问题中自变量的取值范围的确定(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义. (2)确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组.考法01 二次函数的判断【例题1】下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x —l; (2)232y x =+ ; (3)3232y x x =+ ; (4)2221y x x =-+ ; (5)2()1y x x x =-+ ; (6)2y xx -=+考法02 根据二次函数的概念求字母的值【例题2】已知函数238()226m m y m x x --=+++ 是关于x 的二次函数,求满足条件的m 的值.【方法总结】要确定二次函数中待定字母的值， 需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.考法03 列二次函数的解析式【例题3】某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x 元,每天销售y 个,每天获得利润W 元. (1)写出y 与x 之间的函数解析式;能力拓展(2)求出W与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围).考法04 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式【例题4】某校为绿化校园,在一块长为15 m、宽为10 m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图,设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于15 m),并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路,设小路的宽为xm,花圃面积为y m2,求y关于x 的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围.【方法总结】解决此类问题时,一般利用“数形结合”的思想,在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”“周长法”“勾股法”。
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第04课二次函数的图象03
(4) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；
(5) 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；
时， y 随 x 的增大而减小 .
(6) 该函数图象可由 y 3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？
，对称轴是
，当 x=
时，
y 有最
值为
。当 x
时， y 随 x 的增大而增大 .
8. 若抛物线 y
a( x 1) 2
k 上有一点 A（ 3， 5），则点 A 关于对称轴对称点
/
A
的坐标为
____________
9. 一条抛物线的对称轴是 x=1，且与 x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式 为 ________________ 10. 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ，且抛物线过点 (3,0) ，则抛物线的关系式是 11. 若函数 y x2 mx m 2的图象经过 (3 ，6) 点，则 m=______
P 的坐标； P 的坐标；
P 的坐标。
课堂练习：
1. 要得到 y 2( x 2) 2 3 的图象，需将抛物线 y 2 x2 作如下平移 ( )
A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
1 x
2 2 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为
3
_______
，当 x＝
9. 若把函数 y
5x
2
2
3 的图象分别向下 , 向左移动 2 个单位 , 则得到的函数解析式为
。
10. 二次函数 y (x 1) 2 2的最小值为 ____________
沪科版数学九年级上册二次函数精品习题讲义
沪科版数学九年级上册二次函数[讲义]【考点一：二次函数定义】例1、下列函数中是二次函数的是（）、A. y=1x2B. y=2x+1 C. y=12x2+2x3 D. y=−4x2+5变式1-1、已知y=mx|m−2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A.0B.1C.4 D．0或4变式1-2、二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1,-6,-1 B. 1,6,1 C. 0,-6,1 D. 0,6,-1变式1-3、有下列函数：①y=5x−4②y=2x3−8x+3③y=3x2−1x−2④y=38x2−1x2−6x其中属于二次函数的是_____________（填序号）.⑤y=23变式1-4、函数y=2(m+2)x m2−2+2x−1（x≠0）当m＝________时，它是二次函数，当m＝___________时，它为一次函数.2．如图，正方形ABCD和圆O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm²．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系【考点二：列二次函数表达式】例2、若二次函数y=mx2+(2m+n)x+3n的二次项系数比一次项系数小12，一次项系数比常数项大8，则这个二次函数的解析式为___________.变式2-1．（2022秋·承德县期末）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件，已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（)A. w=(99−x)[200+10(x−50)]B.w=(x−50)[200+10(99−x)]×10]C. w=(x−50)[200+x−995D. w=(x−50)[200+x−995×10]变式2-1．（2023·金水区校级模拟）将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（c㎡），则y与x之间的函数关系式为（）A. y=−x2+50xB. y=x2−50xC. y=−x2+25xD. y=−2x2+25变式2-2（2023春·沈北新区期末）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（)A. y=x(12−x)2B. y=x(12−x) C. y=x(24−x)2D. y=x(24−x)变式2-3．（2022秋·亭湖区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s(m²)，垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：_____________（并写出自变量的取值范围）变式2-4（2023春·石景山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），ΔAPQ的面积为y.则y关于t的函数表达式为________1．（2022秋·蜀山区校级月考）若y=(a+1)x|a+3|−x+3是关于x的二次函数，则a的值是（)A. 1B. -5C. -1 D．-5或-12．（2022秋·石景山区期末）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD.设AP＝x cm，BP＝y cm，正方形APCD的面积为S cm²，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（)A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系3．（2020秋·龙凤区校级月考）已知函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．4．（2020秋·滨州月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第07课 二次函数图象性质
y ax 2 bx c 的值为 m 的自变量 x 的值．
例 2.如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，在下列说法中： ①ac＜0；②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上） ．
第 07 课 二次函数图象性质
知识点： ⑴ 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx c 0 的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数 y ax 2 bx c 与 的 .（即把 y 0 代入 y ax bx c ）
2
x 轴交点
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下： （一元二次方程的实数根记为 x1、x2 ）
例 5.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为 例 6.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 3 的解为
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。 。
课堂练习：
1.已知抛物线 y=ax +bx,当 a>0,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限
0
8.已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示，则 a___0，b___0，c___0， b 2 4ac ____0；
2
9.一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为____________
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10.抛物线 y ( x 2)( x 5) 与坐标轴的交点分别为 A、B、C，则△ABC 的面积为__________ 11.如图，是二次函数 y ax 2 x a 2 1 的图象，则 a=________
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数
第22章 二次函数第01课 二次函数图像性质 一知识点：定义：一般地，形如 ，（a,b,c 常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是_______，b 是_______，c 是_________．复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
抛物线2ax y =的性质(2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而 。
(3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： 。
由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。
(4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，a 越大，抛物线的开口越________。
函数k ax y +=2图象性质（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：（4）对称轴： 或（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______； （7）图象上下平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>+=k k ax y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0-2>=k k ax y上下平移与 有关 平移规律：例1.已知3-2)4-(2-3-2x m y m m+=是二次函数,求m 的值.例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．例3.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： (1)根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；(2)若菜农身高为1.69米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？例4.已知二次函数y=ax 2经过点A （-2，4） (1)求出这个函数关系式；(2)写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B 的坐标，并求出S △AOB ；(3)在抛物线上是否存在另一个点C ，使得△ABC 的面积等于△AOB 面积的一半？如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．课堂练习：1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A.y=x 2－1B.y=x －1C.y=8xD.y=8x22.函数2ax y =与b ax y +=-的图象可能是（ ）3.抛物线y=-x 2不具有的性质是（ ）A.开口向下B.对称轴是 y 轴C.与 y 轴不相交D.最高点是原点4.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y=200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+； ⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第06课 二次函数解析式求法
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10.已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积.
11.已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜， 从四月一日起开始上市的 30 天内， 大蒜每 10 千克的批发价 y （元）是上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
2
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日期：
1.已知 y mx m A.0，-3
课堂测试题 06 满分：100 分 姓名：
） C.0 ） B.x>0 时 y 随 x 增大而增大。 D.若 a>0 则 y 有最大值。
得分：
是二次函数，则 m 的值为（ B.0，3
D.-3
2.关于二次函数 y ax 2 b ，命题正确的是（ A.若 a>0,则 y 随 x 增大而增大 C.若 x>0 时，y 随 x 增大而增大
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9.如图：(1)求该抛物线的解析式；(2)根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0。
10.如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B=30°，若边长 AB=x(cm)。 (1)写出□ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。 (2)当 x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值。 (3)求二次函数的函数关系式
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例 4.已知二次函数 y
1 2 、B（0，－6）两点。 x bx c 的图象经过 A（2，0） 2
（1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连结 BA、BC，求△ABC 的面积。
九年级数学上册(二次函数2)同步练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校暑期专题第四讲——二次函数〔2〕【回忆与思考】二次函数应用【例题经典】用二次函数解决最值问题例1某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕•与产品的日销售量y〔件〕之间的关系如下表：假设日销售量y是销售价x的一次函数．〔1〕求出日销售量y〔件〕与销售价x〔元〕的函数关系式；〔2〕要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？【考点精练】1．二次函数y=x2+x-1，当x=______时，y有最_____值，这个值是________．2．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0〔m/s〕竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s〔m〕与抛出时间t〔s〕满足：S=V0t-12gt2〔其中g是常数，通常取10m/s2〕，假设V0=10m/s，那么该物体在运动过程中最高点距离地面________m．3．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．•有研究说明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V〔km/h〕的汽车的刹车距离S〔m〕可由公式S=1100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V2．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．4．〔〕在2006年崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：〔1〕在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对〔x，y〕所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；〔2〕假设樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？6．〔〕“健益〞超购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y〔千克〕•与销售单价x〔元〕〔x≥30〕存在如以下图所示的一次函数关系式．〔1〕试求出y与x的函数关系式；〔2〕设“健益〞超销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？〔3〕根据场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超确定绿色食品销售单价x的范围〔•直接写出答案〕．7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系〔如以下图〕．〔1〕直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；〔2〕求出这条抛物线的函数解析式；〔3〕施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．8．〔〕一条隧道的截面如以下图，它的上部是一个以AD•为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．〔1〕当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；〔2〕矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．①求隧道截面的面积S〔米〕关于半径r〔米〕的函数关系式〔不要求写出r的取值范围〕；②假设2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值〔 取4，结果精确到0.1米〕9．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，〔1〕建立如以下图的直角坐标系，求此抛物线的解析式；〔2〕现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，甲地到此桥280千米，〔桥长忽略不计〕货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，突然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时.0米的速度持续上涨，〔货车接到通知时水位在CD处〕，当水位25到达桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否平安通过此桥？假设能，请说明理由；假设不能，要使货车平安通过此桥，速度应超过多少千米？10．数学活动小组接受的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。
初三数学讲义（二次函数）（含答案）
初三数学讲义（二次函数）（含答案）（含答案） 知识梳理：知识梳理：一、二次函数概念：二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的基本形式1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．轴交点的位置． 二次函数解析式的确定：三个独立条件 四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，． 当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．注意：当定义域是m x n ££时，要判断对称轴是否在定义域内时，要判断对称轴是否在定义域内..若对称轴在定义域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值. . 五、二次函数图象的平移1. 平移步骤：平移步骤：方法一：⑴方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．六、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：轴的交点个数：① 当240b ac D =->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0D =时，图象与x 轴只有一个交点；轴只有一个交点； ③ 当0D <时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++¹本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：内在联系：0D > 抛物线与x 轴有两个交点两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根 0D =抛物线与x 轴只有一个交点有一个交点二次三项式的值为非负二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根 0D < 抛物线与x 轴无交点交点二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图1 重要题型： 1.1.基本问题：基本问题：1. 已知函数26(2)my m x-=-是二次函数，则m 值为（值为（ ）A.2 B. ±2C. ﹣ 2 D 6±2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c ><>000，， B ．a b c <<>000，， C ．a b c <><000，， D ．a b c <>>000，，3. 抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 4. 已知二次函数223y x x =--．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 5. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（） A ．第四象限．第四象限 B ．第三象限．第三象限 C ．第二象限．第二象限 D ．第一象限．第一象限6. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 7. 已知二次函数y=﹣x 22﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是________________.8.二次函数y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）中的（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3 ﹣4 ﹣ 3 0512给出了结论：给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣有最小值，最小值为﹣33； （2）当时，时，y y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B B．．2个C C．． 3个D D．．0个9.9.已知二次函数已知二次函数y ＝ax2＋bx bx＋＋c 图象的一部分如图，图象的一部分如图， 则a 的取值范围是的取值范围是______________________________．．10. 二次函数y =ax 2+bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是（值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜0 11. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ¹)的图象如图的图象如图所示，有下列结论：（ ）①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠ 0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c >0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a <0；②c >0；③a +b +c <0；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是其中所有正确结论的序号是 ．13. 函数2(2)5(1)y x x m =-+££中y 的范围是56y ££，则m 的取值范围是_____. 3.3.易错易做题：易错易做题：14.已知22224+3=12x y x x y +，则的最大值是（ ） A.9 B.10 C.12 D.15 15. 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元．元．16. 设二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋1(32x -££)有最大值4，则实数a 的值为________. Ox y 1x =1-2-17. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣（﹣33，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．）求此抛物线的解析式． （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；点的坐标； ②连接PA PA，以，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN APMN，随着点，随着点P 的运动，的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，恰好落在抛物线对称轴上时， 求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）（结果保留根号）18. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C . （1）求点B 的坐标的坐标 (用含m 的代数式表示)；求证：无论m 取何值时，取何值时， B 都在直线y x =-上；（2）D 为BO 中点，中点，直线直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛求抛 物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的 坐标. 备用图备用图x x m y 222-=CAOBxyCAOBxy课后作业：课后作业：1. 如图为抛物线2yax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2aD ． ac <0 2. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 3. 已知二次函数)0(2¹++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
初高中数学衔接教材：第9课 二次函数(2)及答案
一、应用题解应用题的基本步骤： 1．设出自变量x 与函数y ； 2．列出y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 3．求出自变量x 的取值范围；4．由y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 的范围，求出y 的最值或y 取得最值时对应的x 的值； 5．答题．例1 将长度为1米的铁丝做一个长方形，求这个长方形面积的最大值．例2 某人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现他采用提高销售价，减少销售量的办法增加每天的收入．已知这种商品每件涨1元，其每天的销售量就减少10件，问他将每件的销售价定为多少时，每天获得的利润最大．例3 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为15x ，35x (万元)[其中x 为投入的资金]现有3万元资金投入甲、乙两种商品，为获得最大利润时甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？ 二、给定区间的二次函数的最值问题例4 已知y ＝－2x 2－4x ＋7，根据下列x 的范围求函数y 的最值． (1)－3≤x ≤－2； (2)－3≤x ≤0； (3)－3≤x ≤3； (4)0≤x ≤3.例5 (1)求函数y ＝x 2－2x ＋k ，－2≤x ≤2的最小值； (2)求函数y ＝x 2－kx ＋2，－2≤x ≤2的最小值； (3)求函数y ＝x 2－kx ＋2，－2≤x ≤2的最大值． 例6 已知函数y ＝ax 2＋2x ＋3(－1≤x ≤1)，(a ≠0) 求函数y 的最小值．1．用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？2．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示：若日销售量y是销售价x价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件：(1)若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫要降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？4．已知：y ＝(x －1)2＋k 根据下列x 的范围，求函数y 的最值． (1)0≤x ≤1；(2)0≤x ≤32；(3)0≤x ≤2；(4)1≤x ≤3.5．(1)求函数y ＝x 2＋tx ＋1，－1≤x ≤1的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋tx ＋1，－1≤x ≤1的最大值．6．已知：函数y ＝x 2－2x ＋1,0≤x ≤t (t >0)，求y 的取值范围．答案精析例1 解 设长方形的一边长为x (m)，则另一边长为12－x (m)，长方形的面积为S (m 2)，则S ＝x (12－x )，x ∈(0，12)，＝－x 2＋12x ，对称轴为x ＝－122×(－1)＝14∈(0，12)，∴当x ＝14时，S max ＝－116＋18＝116(m 2)，答：这个长方形面积的最大值为116m 2.例2 解 设他将销售价定为10＋x 元/件，则销量为100－10x 件，每天获得的利润为y 元． 则y ＝(10＋x －8)(100－10x )＝10(2＋x )(10－x )＝10(－x 2＋8x ＋20)，0<x <10，对称轴为x ＝4， ∵a <0，∴当x ＝4时，y max ＝360元．答：他将销售价定为14元/件时，每天获得的利润最大．例3 解 设对乙商品投资x 万元，则甲商品投资3－x 万元，获得的利润和为y 万元． 则y ＝35x ＋15(3－x )(0≤x ≤3)＝－15x 2＋35x ＋35.令t ＝x ，则y ＝－15t 2＋35t ＋35，t ∈[0，3]，对称轴为t ＝32∈[0，3]，∴当t ＝32时，y max ＝2120，∴x ＝32，x ＝94，则3－94＝34.答：对甲商品投资34万元，乙商品投资94万元时，获得最大利润为2120万元．例4 解 对称轴为x ＝－1，a ＝－2<0，开口向下 (1)当－3≤x ≤－2时，x 越来越大时，y 也越来越大， ∴当x ＝－3时，y min ＝1. 当x ＝－2时，y max ＝7.(2)∵－1∈[－3,0]，∴当x ＝－1时，y max ＝9. 又0－(－1)<－1－(－3)，∴当x ＝－3时，y min ＝1.(3)－1∈[－3,3]，∴当x ＝－1时，y max ＝9. ∵3－(－1)>－1－(－3)，∴当x ＝3时，y min ＝－23. (4)当0≤x ≤3时，x 越来越大，y 越来越小． ∴当x ＝0时，y max ＝7.当x ＝3时，y min ＝－23. 例5 解 (1)对称轴x ＝1∈[－2,2]， ∴当x ＝1时，y min ＝k －1.(2)对称轴x ＝k2，∴y min＝⎩⎪⎨⎪⎧6＋2k k ≤－4－k24＋2 －4<k <46－2k k ≥4.(3)对称轴x ＝k2，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－2k k ≤06＋2k k >0.例6 解 1°a >0，对称轴x ＝－22a ＝－1a(1)－1a ≤－1,0<a ≤1且－1≤x ≤1时，x 越大，y 就越大，∴当x ＝－1时，y min ＝1＋a .(2)－1<－1a ，a >1时，－1a ∈[－1,1]，∴当x ＝－1a 时，y min ＝3－1a .2°a <0，－1a >0 ∴1－(－1a )<－1a ＋1∴当x ＝－1时，y min ＝a ＋1∴y min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1，a ≤1且a ≠03－1a ，a >1.强化训练1．解 长方形的一边长为x m ，另一边长为(32－5x4)m ，总面积S ＝x (32－5x )＝－5x 2＋32x,0<x <325，当x ＝165m 时，S max ＝2565(m 2)．答：当长方形一边(垂直于旧墙)为165m ，另一边为4 m 时猪舍面积最大，最大值为2565m 2.2．解 x ＋y ＝200，y ＝200－x ，每件的销售利润为x －120元/件，每天的销售利润为S .则S ＝(200－x )(x －120)，120<x <200. ∴当x ＝160时，S max ＝1 600元．答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．3．解 每件衬衫降价x 元，每天获利y 元，则每件盈利40－x 元，每天销量为20＋2x 件． ∴y ＝(40－x )(20＋2x )．(1)(40－x )(20＋2x )＝1 200，x ＝10或x ＝20， 答：每件衬衫要降价10元或20元．(2)对称轴x ＝15，∴当x ＝15时，y max ＝1 250元， 答：每件衬衫降价15元时每天盈利最多． 4．解 (1)y max ＝1＋k ，y min ＝k ， (2)y max ＝1＋k ，y min ＝k ， (3)y max ＝1＋k ，y min ＝k ， (4)y max ＝4＋k ，y min ＝k .5．解 (1)y min＝⎩⎪⎨⎪⎧2－t ， t ≥21－t24， －2<t <22＋t ， t ≤－2.(2)y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－t ， t ≤02＋t ， t >0.6．解 (1)0<t ≤1时，y ∈[t 2－2t ＋1,1]， (2)1<t ≤2时，y ∈[0,1]， (3)t >2时，y ∈[0，t 2－2t ＋1]．。
九上暑假先修班讲义二
九上先修班讲义二、二次函数的概念与性质（二）知识点：1、二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+4a24ac-b的形式,先确定顶点(-b2a,4a24ac-b),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2、理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y最小值=4a 24ac-b;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y最大值=4a24ac-b.例题精讲1、填空:根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.2、探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>03、归纳:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值巩固题组一1、巩固练习：（1）指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：222222)9(432)4(5.0 5)2(2143)1(5.2 5)3(2--=++=+-=--=+-=--=x y x y x y x y x y x y（2） 由抛物线y=2x ²向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3（3）函数y= 3(x - 2)2 +21的图象可以由抛物线 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到的。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数 第02课 函数的图象与性质01
第02课 函数k ax y +=2的图象与性质知识点：函数k ax y +=2图象性质（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：（4）对称轴： 或（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象上下平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>+=k k ax y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>-=k k ax y例1.分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)22222-=-=x y x y 与； (2)131322-=+=x y x y 与例2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象.22132212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（ 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
试说出函数22132212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（的图象所具有的共同性质。
上下平移与 有关平移规律：例3.抛物线y=2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线解析式为__________________； 抛物线y=2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线解析式为__________________． 例4.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴求该函数的表达式； ⑵若点)m ,2(-C ,)7n (，D 也在函数的上，求m 、n 的值。
例5.已知抛物线42+-=x y ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC,BC.（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点P 在此抛物线上，且△PAB 的面积是△ABC 的面积的23，求P 点坐标。
第09课 一元二次方程单元检测(二)(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
第09课一元二次方程单元检测（二）一、单选题1．若方程22(2)210m m x x --+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（）A ．2B ．-2C ．2±D ．3【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】由22(2)210mm x x --+-=是关于x 的一元二次方程，得222m -=，且20m -≠．解得：2m =-，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数0a ≠这一条件．2．用“配方法”解一元二次方程x 2﹣16x +24＝0，下列变形结果，正确的是（）A ．（x ﹣4）2＝8B ．（x ﹣4）2＝40C ．（x ﹣8）2＝8D ．（x ﹣8）2＝40【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．【详解】x 2﹣16x +24=0x 2﹣16x +64=﹣24+64（x ﹣8）2=40故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方．3．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（）A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.4．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（）A ．()9121x -=B ．()2911x -=C ．()9121x +=D ．()2911x +=【答案】B 【分析】等量关系为：2016年贫困人口()212018⨯-=下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：()2911x -=，故选B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．5．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A 【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】解： 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.6．一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【分析】利用方程根的定义可求得21131x x ∴=-，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系12b x x a +=-，12cx x a=是解题的关键．7．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k ＝0的两个实数根，则k 的值是（）A．8B．9C．8或9D．12【答案】B【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，∴△＝36−4k＝0，∴k＝9，此时两腰长为3，∵2＋3＞3，∴k＝9满足题意，②当等腰三角形的腰长为2时，此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，代入得4−12＋k＝0，∴k＝8，∴x2−6x＋8＝0求出另外一根为：x＝4，∵2＋2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，k＝9，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．8．方程2690+-=的根的情况是（）x xA．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根为1-D．没有实数根【答案】B【分析】利用根的判别式可求得答案．【详解】∵1a =，6b =，9c =-，∴()224641936360b ac =-=-⨯⨯-=+> ，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．9．向阳村2016年的人均收入为12000元，2018年的人均收入为14520元，则人均收入的年平均增长为（）A ．10%或－210%B ．12.1%C ．11%D ．10%【答案】D 【分析】设人均收入的年平均增长率为x ，根据向阳村2016年、2018年的人均收入，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设人均收入的年平均增长率为x ，根据题意得：12000(1+x )2=14520，解得：x =0.1=10%或x =－2.1(不合题意，舍去).∴人均收入的年平均增长率为10%.故选D.【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握解决增长率问题的做题方法.10．设m 、n 是一元二次方程x 2+3x ﹣7＝0的两个根，则m 2+4m +n ＝（）A ．﹣3B ．4C ．﹣4D ．5【答案】B 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：∵m +n ＝﹣3，mn ＝﹣7，m 2+3m ＝7，∴原式＝m 2+3m +m +n ＝7﹣3＝4，故选B ．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．11．目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x ，则根据题意可得方程（）A ．10000(12)10926x +=B ．210000(1)10926x +=C ．210000(12)10926x +=D ．10000(1)(12)10926x x ++=【答案】B 【分析】根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案.【详解】解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x ，则210000(1)10926x +=；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程.12．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B ．3C ．2D ．32【答案】B 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为32，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【详解】x 2+6x+m=0，x 2+6x=-m ，∵阴影部分的面积为36，∴x 2+6x=36，4x=6，x=32，同理：先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为32x 的矩形，得到大正方形的面积为36+（32）2×4=36+9=4533=．故选：B ．【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．二、填空题13．若关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的最大整数值是__________．【答案】0【分析】根据题意可知210,40a b ac -≠∆=->，代入数据求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根∴210,444(1)0a b ac a -≠∆=-=-->解得：2,1a a <≠∴a 的最大整数值是0故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是根的判别式以及一元二次方程的定义，需注意二次项系数不为0．14．对于实数,a b ，定义运算“◎”如下：a ◎b 22()()a b a b =+--．若()2m +◎()3m -24=，则m =_____．【答案】-3或4【分析】利用新定义得到22[(2)(3)][(2)(3)]24m m m m ++--+--=，整理得到2(21)490m --=，然后利用因式分解法解方程．【详解】根据题意得，22[(2)(3)][(2)(3)]24m m m m ++--+--=，2(21)490m --=，(2 m-1+7)(2 m-1-7)=0，2 m-1+7=0或2 m-1-7=0，所以123,4m m =-=．故答案为3-或4．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．已知关于x 的方程2()0(a x m b a ++=，b ，m 均为常数，且0)a ≠的两个解是13x =和27x =，则方程214()02a x mb ++=的解是____．【答案】132x =，272x =【分析】先根据题意得出()230a m b ++=或()270a m b ++=，再将214()02a x mb ++=变形为：()220a x m b ++=，进而根据23x =或27x =计算即得．【详解】∵关于x 的方程2()0(a x m b a ++=，b ，m 均为常数，且0)a ≠的两个解是13x =和27x =∴()230a m b ++=或()270a mb ++=∵214()02a x mb ++=∴()220a x m b ++=∴23x =或27x =∴32x =或72故答案为：132x =，272x =【点睛】本题是求解含参一元二次方程，主要考查换元法，解题关键是发现已知方程和未知方程的共同特点．16．设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______．【答案】2003【分析】把原方程整理成一般式，根据一元二次方程根与系数的关系求得12x x +，12x x 的值，代入()()()121212111x x x x x x ++=+++即可求解．【详解】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++= ，221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=，23662630x x ∴++=．∵3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-= 12000>，1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，．()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+= 2003．故答案为：2003．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12cx x a=是解题的关键．17．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程220x x --=是“倍根方程”；②若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=；③若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”；④若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m ，n 之间的关系；③当,p q 满足2pq =时，有23px x q ++=(1)()0px x q ++=，求出两个根，再根据2pq =代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当122x x =或122x x =时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【详解】①解方程220x x --=，得1221x x ==-，，122x x ≠ ，∴方程220x x --=不是“倍根方程”．故①不正确；②(2)()0x mx n -+= 是“倍根方程”，且12x =，因此21x =或24x =．当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，2245()(4)m mn n m n m n ∴++=++0=，故②正确；③2pq = ，23(1)()0px x q px x q ∴++=++=，121x x q p∴=-=-，2122x q x p∴=-=-=，因此230px x q ++=是“倍根方程”，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为12x ==若122x x ==2，即2022b b a a-+---⨯=，3402b a+∴=，0b ∴+=，b ∴=-，()2294b ac b ∴-=，229b ac ∴=，若122x x =2=2b a-，02b a-+∴=，0b ∴-+=，b ∴=，()2294b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．三、解答题18．解方程：（1）23(21)270x --=；（2）22510x x -+=．【答案】（1）12x =，21x =-；（2）154x =，254x =【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出24b ac -的值，再代入公式求出即可．【详解】（1）移项，得23(21)27x -=，化简，得2(21)9x -=，开平方，得213x -=±，12x ∴=，21x =-;（2）251a b c ==-= ，，，224(5)421170b ac ∴∆=-=--⨯⨯=>，x ∴==1x =∴，2x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力．19．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．【答案】(1)1k ≤；(2)k =.【分析】(1)根据一元二次方程22210x x k -+-=有两个不相等的实数根得到()()224210k ∆=---≥，求出k 的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴240b ac -≥，∴()()224210k ---≥，∴1k ≤.(2)∵1x ，2x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122x x +=，1221x x k ⋅=-，又∵211212x x x x x x +=⋅，∴22121212x x x x x x +=⋅⋅，∴()()221212122x x x x x x +-=⋅，∴()()22222121k k --=-，解之，得：1k =2k =经检验，都符合原分式方程的根，∵1k ≤，∴k =【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．20．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【答案】（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．【分析】（1）根据图象可得：当2x =，120y =，当4x =，140y =；再用待定系数法求解即可；（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当4x =，140y =；∴21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=，整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =，∵让顾客得到更大的实惠，∴9x =.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．21．已知关于x 的一元二次方程()24240x m x m +++=-，（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程只有一个小于4的根，求m 的取值范围；（3）若x 1，x 2为方程的两个根，且n ＝x 12+x 22﹣4，判断动点()P m n ，所形成的数图象是否经过点()5,9A -，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）m≥2；（3）经过，理由见解析.【分析】（1）由△=[-（m+4）]2-4（2m+4）=m 2≥0知方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m 的根大于等于4，即可求出m 的值；（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出x 1+x 2=m+4，x 1x 2=2m+4，代入n=x 12+x 22-4，从而将动点P （m ，n ）仅用含m 的代数式表示，再将点A （-5，9）代入验证即可．【详解】（1）证明：∵b 2﹣4ac ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+4）x+2m+4＝0∴a ＝1，b ＝﹣（m+4），c ＝2m+4∴由一元二次方程的求根公式得：x ＝(4)2m +±＝42m m +±∴x 1＝m+2，x 2＝2∵该方程只有一个小于4的根∴m+2≥4∴m≥2；（3）∵x 1+x 2＝m+4，x 1x 2＝2m+4∴n ＝x 12+x 22﹣4＝()212x x +﹣2x 1x 2﹣4＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4＝m 2+4m+4∴动点P （m ，n ）可表示为（m ，m 2+4m+4）∴当m ＝﹣5时，m 2+4m+4＝25﹣20+4＝9∴动点P （m ，n ）所形成的数图象经过点A （﹣5，9）．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．22．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分别比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a 的值．【答案】（1）50，25；（2）20【分析】（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有x 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x 名初中学生受到资助，由题意得一元一次方程，求解即可；（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t ，化为关于t 的一元二次方程，求解出t ，再根据a%＝t ，求得a 即可．【详解】（1）10.5万元＝105000元设该乡镇有x 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x 名初中学生受到资助，由题意得：20023006105000x x ⨯+⨯=解得：25x =∴250x =∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．（2）由题意得：5030%13%2001%2540%1%30012%10800a a a a ⨯⨯+⨯++⨯⨯+⨯+=∴1013%1%101%12%36a a a a ⨯+⨯++⨯+⨯+=设%a t ＝，则方程化为：22101431013236t t t t +++++=∴2253580t t +=﹣解得 1.6t =﹣（舍）或20%t =∴20a =．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23．如图，在长方形ABCD 中，6AB cm =，AD 2cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t ，问：(1)当1t =秒时，四边形BCQP 面积是多少？(2)当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？(3)当t =_________时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)【答案】（1）5厘米2；（2秒；（3秒或1.2秒.【分析】（1）求出BP ，CQ 的长，即可求得四边形BCQP 面积.（2）过Q 点作QH ⊥AB 于点H ，应用勾股定理列方程求解即可.（3）分PD=DQ ，PD=PQ ，DQ=PQ 三种情况讨论即可.【详解】（1）当t=1秒时，BP=6-2t=4，CQ=t=1，∴四边形BCQP 面积=()141252+⨯=厘米2.（2）如图，过Q 点作QH ⊥AB 于点H ，则PH=BP-CQ=6-3t ，HQ=2，根据勾股定理，得()2223263t =+-，解得t =∴当t =t =P 和点Q 距离是3cm.（3）∵()()222222222244,6,26393640PD t t DQ t PQ t t t =+=+=-=+-=-+，当PD=DQ 时，()22446t t +=-，解得63t -+=或63t --=（舍去）；当PD=PQ 时，224493640t t t +=-+，解得 1.2t =或6t =（舍去）；当DQ=PQ 时，()22693640t t t -=-+，解得32t =或32t =.综上所述，当63t -+=秒或 1.2t =秒或32t +=秒或32t =秒时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形.。
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第09课 二次函数综合复习
1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）
A.y=-(x-2 )2
-2 B.y=-(x-2 )2
+6 C. y =-(x+2 )2
-2 D. y=-(x+2 )2
+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=
12(x+2 )2 -2 B.y=12
(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2
-2 3.把二次函数215
322
y x x =++的图象向右平移2个单位，
再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）
A.21(5)12
y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.217
22y x x =+-
4.抛物线y=2x 2
-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1
2
6.二次函数522-+=x x y 有( )
A.最大值-5
B.最小值-5
C.最大值-6
D.最小值-6 7.抛物线2)1(2
1
2+-=
x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________
10.方程ax 2
+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线__________
11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2
平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________
12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。
13.二次函数y =ax 2
+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示， 求函数解析式．
14.如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)． ⑴ 求m 的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式m x c bx x +>++2
的解集．
15.右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．
16.将10cm 长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值。
17.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）已知砖墙在地面上占地总长度160m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大？并求这个最大面积。
18.如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D．
（1）求抛物线y1 的解析式；
（2）将△AOB绕点A顺时针旋转90°后，得到△AO/B/，将抛物线y1沿对称轴平移后经过点B/，写出平移后所得的抛物线y2 的解析式；
课堂测试题09
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.与y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A.y=1+
2
1x 2 B.y=(2x+1)2 C.y = (x-1)2 D.y=2x 2
2.抛物线()2
23y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 3.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值－1，有最大值0
C.有最小值－1，有最大值3
D.有最小值－1，无最大值
4.二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A.－1＜x ＜3 B.x ＜－1
C.x ＞3
D ．x ＜－1或x ＞3
5.如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( )
A.a ＋b=-1
B.a-b=-1
C.b<2a
D.ac<0 6.当m__________时，y=x 2-(m+2)x+4
1m 2
与x 轴有交点. 7.若()4
2
3---=a a
x a y 是二次函数，则二次函数解析式是__________
8.抛物线452+-=x x y 与x 轴交点的坐标为 。
9.抛物线122
12
---
=x x y 的顶点坐标是____________
10.抛物线c bx ax y ++=2中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0）， 则02>++c bx ax 的解是____________;02<++c bx ax 的解是___________ 11.抛物线y=
2
1x 2
向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为___________ 12.二次函数 2
53212++=
x x y 的图像是由221
x y =的图像先向 平移 个 单位，再向
平移 个单位得到的．
13.根据下面的条件，求二次函数的解析式：
(1)图象经过（1，-4），（-1，0），（-2，5） (2)图象顶点是（-2，3），且过（-1，5）
14.当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=-3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式
15.已知二次函数y=x 2+mx+m-5，求证:不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点.
16.体育课上，老师用绳子围成一个周长为40米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD ．设宽AB 的长为x （单位：米），图形ABCD 的面积为S （单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x为多少时，图形ABCD的面积为最大，其最大值为多少平方米？。