高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-(1)

圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1
，F 2
的距离的和等于常数2a ，且|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2
|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2
|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程
8表示的曲线是_____（）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b
y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22
22b x a y +＝1（0a b >>）。

若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2
2y x +的最小值是___
（2）双曲线：
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，
则C 的方程为_______（答：226x y -=）
（3）抛物线：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->，开口向上时
22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x 2
,y
2
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：
（2）双曲线：由x 2,y 2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a 最大，2
2
2
a b c =+，在双曲线中，c 最大，2
2
2
c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两
个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，
其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c
e a
=，椭圆⇔01e <<，
e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__
（2）双曲线；⑥两条渐近线：b
y x a
=±。

（3）抛物线（以2
2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(
,0)2
p
，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2
p x =-
； ⑤离心率：c
e a =，抛物线⇔1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线2
4ax y =的焦点坐标为________（；
5、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b +<
（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相
切；
（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 2
0tan ||2
S b c y θ
==，
当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线2
tan
2θ
b S =。

如
9、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB
12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB
12y -。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x b ；
弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：
11．了解下列结论
13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)
抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 时，距离和最小。

解：（1）（2，2）（2）（
1,4
1
） 1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1顶点分别是C 1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C 2的方程；
19(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点
0．椭圆22
219
x y a +
=与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分14分）
设0b >，椭圆方程为22
222x y b b
=1，抛物
线方程为x 2=8(y-b).如图
6所示，过点F （0,b+2）
作x 轴G ，已的平行线，与抛物线在第一象限的交点为点1F ， 知抛物线在G 点的切线经过椭圆的右焦
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； 图6
（2）设,A B 分别是椭圆的左右端点，试
探究
在抛物线上是否存在点P ,使ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由
（不必求出这些点的
19.（本小题满分14分）
已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
2
3
,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一F 1
Y X
O
F
G
B
A
点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :021422
2=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . (1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ∆的面积
(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由. 21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；
（2）已知T （1，-1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3）过点T （1，-1）且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜
率k 的取值范围。

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1
C
上．
（1） 求椭圆1C 的方程；
（2） 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22
:4C y x 相切，求直线l 的方程．。