初中数学二次函数的应用(二)

初中数学二次函数的应用(二)

二次函数的应用

◆目标指引

1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，•并在运用中体会二次函数的实际意义．2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．

3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，•学会运用这种“转化”的数学思想方法．

◆要点讲解

1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题．

◆学法指导

1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性

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3

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5t 2－12t+36的最小值，就可以求P ，Q 的最短距离． 【解】（1）设经过ts 后P ，Q 的距离最短，则： ∵22

BP BQ +22

(6)(2)t t -+251236

t t -+26144

5()55

t -+

∴经过65s 后，P ，Q 的距离最短． （2）设△PBQ 的面积为S ，

则S=12BP·BQ=12

（6－t ）·2t=6t －t 2

=9－（t －3）2

∴当t=3时，S 取得最大值，最大值为9． 即经过3s 后，△PBQ 的面积最大，最大面积为9cm 2．

【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．

【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并

投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？

（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）•应确定在什么范围？

【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生

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主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．

【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少1

10

（x－100）万件．

∴y=20－1

10（x－100）=－1

10

x+30．

即y与x之间的函数关系式是y=－1

10

x+30．（2）由题意可得：

z=（30－1

10x）（x－40）－500－1500=－1

10

x2+34x

－3200．

即z与x之间的函数关系式为z=－1

10

x2+34x－3200．

（3）∵当x=160时，

z=－1

10

×1602+34×160－3200=－320，

∴－320=－1

10

x2+34x－3200，

即x2－340x+28800=0．

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由x1+x2=－b

a

得，160+x=340，∴x=180．即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元．

当x=160时，y=－1

10

×160+30=14，

当x=180时，y=－1

10

×180+30=12．

所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．

（4）∵z=－1

10x2+34x－3200=－1

10

（x－170）2

－310，

∴当x=170时，z取得最大值为－310．

即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．

第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：

z′=（30－1

10x）（x－40）－310=－1

10

x2+34x－

1510．

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当z′=1130时，即1130=－1

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x2+34x－1510，解得x1=120，x2=220．

∴函数z′=－1

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x2+34x－1510的大致图象如图所示．

由图象可看出：

当120≤x≤220时，z≥1130．

∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．

◆练习提升

一、基础训练

1．函数2245

x x

++______．

2．炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v0tsinα－5t2，其中v是发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，α=30°时，炮弹飞行的最大高度为_______米，该炮弹在空中飞行了

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______秒落到地面上．

3．如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6

米时，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为______．

4．如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且

AB=OB=3，设直线x=t•截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为（ ）

5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门

地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，

现有