微专题22椭圆中两直线斜率积答案
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题例1、已知A，B，P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB 的斜率乘积k PA·k PB＝－2 3，则该椭圆离心率为________.变式训练已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，A，B是椭圆的左，右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则cos（α＋β）cos（α－β）＝________．例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的右焦点为(1 0)F，，离心率为2．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE EF=．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．例3：过椭圆C：x24＋y2＝1的上顶点A分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．变式：已知椭圆C：x28＋y24＝1.M(0，2)是椭圆的一个顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，求出直线AB恒过定点的坐标．例4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆C 的左右顶点。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l 交椭圆C 与M,N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//.F M F N 设直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值。
变式训练：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →.(1) 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2) 求OA 2＋OB 2的值．。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
椭圆中两直线斜率积专题
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了例题：过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．如图，已知椭圆E1方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆E2方程为x2＋y2＝a2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D＝2ak 21＋k 22，10分 当k 1k 2＝b 2a2时，x B ＝a （b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 1＋4k 2，即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)， 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0， 化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1 答案：⎝⎛⎭⎫65，0.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2＋b 2x 0，－a 2－b 2a 2＋b 2y 0. 变式2答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋14λ－1S A ，4λ＋14λ－1y A ，其中x A ，y A分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫λa 2＋b 2λa 2－b 2x 0，－λa 2＋b 2λa 2－b 2y 0. 发现并强调注意，此时λ≠b 2a2.结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)． 证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（80－m 2）80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（m 2－20）20＋m 2，－20m 20＋m 2. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2； (3)直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0.因为圆心H ⎝⎛⎭⎫1，m2，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋⎝⎛⎭⎫CD 22＝r 2，代入得m ＝±2.因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2， 由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b ＋1)(b ＋k －1)＝0， 由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ， 所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1， 所以直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．。
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椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定 点问题6、露 Nhomakorabea凝
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
小专题椭圆----斜率之积是定值
OxyPAB椭圆一个性质的应用性质 如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a-．证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+by a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212by y a x x --=-， 所以22212212a b x x y y -=--， 所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22142x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明 设(2,)M y ，由性质知12PA PBk k ⋅=-，即12MA PB k k ⋅=- ③图1图2直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2MO y y k a ==， 所以12MA MO k k =④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知1222PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211ab a x y a x y -=-⋅+ ⑤1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122ab a x y a x y -=-⋅+ ⑥ 比较⑤与⑥得1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 23＝1上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在． 求证：直线MN 的斜率为定值．证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-，即12MA NB k k ⋅=-， 12DA DB k k ⋅=-，即12NA MB k k ⋅=-．所以111222N M M N y y x x +-⋅=--+，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦xy AOB CDMN 图4图3111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点．记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k PA k ＝－34，所以k PA ＝－34k .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线PA 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－34k(x 2＋4)－y 2，因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2x 2－1.所以y M ＝－3x 2＋4x 2－14y 2－y 2.因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.所以y M y N ＝－3×x 2＋4x 2－1x 2－4y 22x 2.又因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22，所以y M y N ＝－3×x 2＋4x 2－1＋4－x 22x 2＝－9，图5所以y M y N为定值－9.由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
kADkPB＝ab22k1kPB＝ab22·xBy＋B a·xBy－B a＝ab22·x2B－y2B a2＝ab22－ba22＝－1，所以 PB ⊥AD，又 PD⊥AD.所以三点 P，B，D 共线，即直线 BD 过定点 P(a,0)．
7．已知椭圆x32＋y22＝1，过点 P(1,1)分别作斜率为 k1，k2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点．若 k1＋k1，求证 直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
y＝kx＋ 2－3 2k
3x62 ＋y42＝1
，
整理得(9k2＋1)x2＋18 2k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0， 得 x1＝18 92k23＋k21－k－3 2， 所以 x2＝18 92k23＋k21＋k－3 2， 整理得 x2－x1＝93k62＋2k1，
x2＋x1＝190k82＋21k2－6 2.
2．已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.则直线 OM 的
斜率与 l 的斜率的乘积为 －9
.
解析：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM
＝x1＋2 x2＝－k2k＋b 9，易得 yM＝k29＋b 9， 从而 kOM·k＝－9.
3．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭
圆上，且异于点 A，B 的直线 AP，BP 与直线 l：y＝－2 分别交于点
M，N.当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆经过的定点是
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中两直线斜率之积为定值的问题》
因为椭圆C的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×ac2＝8，所以a＝2，c ＝1，所以b2＝3，所以椭圆的方程为x42＋y32＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)
(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2. ①若m＝0，求k1k2的值； ②若k1k2＝－14，求实数m的值．
(1)求椭圆 C 的方程；
图 34－3
x42＋y22＝1； ∵椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的长轴长为 4，两准线间距离为 4 2， ∴由题意知 2a＝4，ac2＝2 2，解得 a＝2，c＝ 2.∵a2＝b2＋c2，∴b＝ 2， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
(2)若△ AEF 的面积为 10，求直线 l 的方程；
(1)如图 34-1，当 P，O，Q 三点共线时，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点， 求证：A→M·A→N为定值；
图 34-1
设点 P(x0，y0)，则点 Q(－x0，－y0)，点 A(－2,0)， 所以直线 AP 的方程为 y＝x0y＋0 2(x＋2)，所以点 M0，x02＋y02，所以A→M＝2，x02＋y02. 同理可得 N0，x02－y02，A→N＝2，x02－y02，所以A→M·A→N＝4＋x204－y204. 又点 P 在椭圆 C 上，故x420＋y320＝1，即 x20－4＝－34y20，所以A→M·A→N＝4＋x204－y204＝1(定值)．
在两条直线斜率之积为定值的前提下，一般是利用它证明直线过定点，或证某 个几何量是定值，解题的思路一般如下：先是将条件加以转化，得到某个关系式，然后 利用此关系式，通过代数恒等变形达到目的.
(江苏卷)如图 34-2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x92＋y52＝1 的左、右顶 点为 A，B，设过点 T(9，m)的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 其中 m＞0，y1＞0，y2＜0.
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题共42页文档
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
பைடு நூலகம்END
圆与椭圆两个几何性质的类比——椭圆中两直线斜率乘积为定值的应用
y －y
a
a
＝
２＝
２
x２
x２
１ －x２
１ －x２
２
１
２
２
b２ ２
－ ２(
x１ －x２
２)
a
b２
＝－
．
２
x２
a２
１ －x２
圆的性质 ２ 垂 径 定 理:平 分 弦 (非 直 径)的 直 径
垂直于弦 ．
如图 ５ 所示,圆 O 中若 M 是弦 AB (
AB 不
是直径)的 中 点,则 OM ⊥AB ．
a
,
)
,
(
证明 设 Q (
x１ y１ B x２ ,
y２ ),则 A (－x２ ,
y１－(－y２) y１＋y２
y１－y２
,
,
－y２),得 kAQ ＝
＝
k
BQ ＝
x１－(－x２) x１＋x２
x１－x２
所以
y１ ＋y２ y１ －y２
kAQ kBQ ＝
＝
x１ ＋x２ x１ －x２
x２
x２
１
２
b２(
１－ ２ )－b２(
０)．如 图 １１
所 示, 设 P (
x０ ,y０ ), 则
Q (－x０ ,－ y０ ),且 知
x２
０
＋
４
y２
０
２
＝１,即 x２
０ ＋２
y０ ＝４．
２
因为 A (－２,
０),所以
图 １１
y０
y２
y２
－y０
１
０
０
kAP kAQ ＝
＝－
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题简案
微专题34例题导引例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1解析： (1) 设点P (x 0，y 0)，则点Q (－x 0，－y 0)，点A (－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0＋2. 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4. 又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1， 即x 20－4＝－43y 20， 所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)． (2)设点P (x 1，y 1)，点Q (x 2，y 2)．设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4， 点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为－27； 当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21）， 直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)， 令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0， 所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0 变式2答案： (1) 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.又因为点M 在椭圆上，故 （x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0， 因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0， 所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值． (2)3.串讲激活串讲答案：定点(1，0)．新题在线例题答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)x ±y －1＝0； (3)证明：设直线l ：y ＝k (x －1)， 代入椭圆整理得(2k 2＋1)k 2－4k 2x ＋2k 2x ＋2k 2－4＝0，设E (x 1，k (x 1－1))，F (x 2，k (x 2－1))，∴x 1，2＝4k 2±16k 4－4（2k 2＋1）（2k 2－4）2（2k 2＋1）， ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 直线AE 的方程为y ＝k （x 1－1）x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，解得 M (3，5k （x 1－1）x 1＋2)，同理，得 N (3，5k （x 2－1）x 2＋2) ∵Q 为M ，N 的中点，∴y Q ＝5k 2(x 1－1x 1＋2＋x 2－1x 2＋2)＝5k －15k 2·x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋2x 2＋4， 将 x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 代入上式整理得y Q ＝－53k， ∴k ′＝－53k 3－1＝－56k， ∴k ·k ′＝－56为定值．。
微专题----椭圆中斜率乘积为的问题解析
椭圆中斜率乘积为22b a的问题【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b ab的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值.2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线03y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为.【例题精讲】例1：已知椭圆22:182xy，点(22,2),(22,2)A B ，O 为坐标原点．（I ）若P 是椭圆上任意一点，OPmOAnOB ，求22mn 的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上的两个动点，满足OM ONOA OB k k k k ，试探究OMN 的面积是否为定值，说明理由．变题1：,S T 椭圆2:14xy上异于顶点的点，若P 是椭圆上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT ，且221(0)mn mn，求OS OT k k 的值.变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e，一条准线的方程为22x .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OPOM ON ,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF 为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.变题3：已知椭圆2:14xy，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上异于顶点的两个动点，且OMN 的面积是1，试探究OM ON k k 是否为定值．【课后练习】1. 设点P 是椭圆22:14xE y上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线,PA PB 分别交直线10:3l x与点M,N ，求证:PN BM .2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14xC y上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x yy r 作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r. ①求证：1214k k ；②求OP OQ 的最大值；③试探究22OPOQ 是否为定值..xO·yM PQ【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b ab的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值.2a2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线03yx 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为.22163xy【例题精讲】例1：已知椭圆22:182xy，点(22,2),(22,2)A B ，O 为坐标原点．（I ）若P 是椭圆上任意一点，OPmOAnOB ，求22m n 的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上的两个动点，满足OM ONOA OB k k k k ，试探究OMN 的面积是否为定值，说明理由．解：（Ⅰ）2222,22OPmOA nOB m n mn ，得2222,22P m n mn ，221m n m n ，即2212mn（II ）（解法一）由条件得，121214y y x x ，平方得22222212121216(8)(8)x x y y x x ,即22128x x 122112OMNS x y x y 222212211212122x y x yx x y y =222222211212212(1)2(1)2884x xx x x x 221212222x x 故OMN 的面积为定值2（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN 的面积为2②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为ykxt22222114842082x ykxktx tykx t由1122(,),(,)M x y N x y ，可得2121222428,1414tktx x x x kk，2222121212122814tky y kx tkx tk x x kt x x xtk又121214OM ONy y k k x x ，可得2241tk因为2121MNkx x ，点O 到直线MN 的距离21t dk12122OMNt SMN dx x 2121242t x x x x 222216282214ktt k综上：OMN 的面积为定值 2变题1：,S T 椭圆22:14xy上异于顶点的点，若P 是椭圆上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT ，且221(0)mn mn，求OS OT k k 的值.解：设112200(,),(,),(,)S x y T x y P x y ，由OPmOSnOT ，有012012,x mx nx y my ny ，因为P 是椭圆22:14xy 上任意一点，所以有221212()()14mx nx my ny ，即222222121212122()()(2)1444x x x x m y n y mn y y 因为,S T 椭圆22:14xy上异于顶点的点，所以222212121,144x x y y ，所以2212122(2)14x x mnmn y y ，因为221(0)mnmn ，所以12122204x x y y ，因为,S T 椭圆22:14xy 上异于顶点的点，所以120,0x x ，所以120x x ，所以121214y y x x ，即14OS OTk k .变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e，一条准线的方程为22x .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OPOM ON ,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF 为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由22ac e，222ac a2c ＝22，解得2,2ac ，2222bac，故椭圆的标准方程为22142x y .（2）设1122(,),(,),(,)M x y N x y P x y ,则由2OP OMON ,得12122,2xx x yy y ，因为M,N 椭圆22:142xy上的点，所以222211221,14242xyx y ，故22221212(2)(2)4242x x y y xy2222112212121212()4()2524242x y x y x x y y x x y y 因为直线OM 与ON 的斜率之积为12，即12OM ONk k ，也即121212y y x x ，所以121220x x y y ，所以22542xy，即2212010xy，所以P 点是椭圆22221(25)(10)x y上的点．设该椭圆的左、右焦点为12,F F ，则由椭圆的定义有12PF PF 为定值45，又因为22(25)(10)10c ，因此两定点的坐标为12(10,0),(10,0)F F ．变题3：已知椭圆22:14xy，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上异于顶点的两个动点，且OMN 的面积是1，试探究OM ON k k 是否为定值．解：①当直线MN 的斜率不存在时，设:MN x t ,22(,1),(,1),44ttM t N t 则可得OMN 的面积为214tt ，所以2114tt ，即2t ，所以221114224OM ONtk k t，②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为ykx t2222211484104x y kxktx tykx t由1122(,),(,)M x y N x y ，可得2121222418,1414tktx x x x kk，2222121212122414tky y kx t kx t k x x kt x x xtk因为2121MN kx x ，点O 到直线MN 的距离21t dk12122OMNt SMN dx x 2121242t x x x x 222216141214ktt k可得22241tk，所以22222212222122441114441414114OM ONtky y tkt k k k x x t t tk，综上：OM ON k k 为定值14．1.设点P 是椭圆22:14xE y上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线,PA PB 分别交直线10:3l x与点M,N ，求证:PN BM .证明：设110(,),3M y 则134MBk y ，1316PAMAk k y ，所以4MB PA k k ，设(,)P x y ，则222211422444PA PBx y yyk k x x xx ，所以1PB MBk k ，即PNBM2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14xC y上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x yy r 作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r. ①求证：1214k k ；②求OP OQ 的最大值；③试探究22OPOQ 是否为定值.解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为(3,0)，所以圆心M 的坐标为1(3,)2，从而圆M 的方程为2211(3)()24xy.（2）①因为圆M与直线1:OP yk x 相切，所以10021||2551k x y k，即22201001(45)10450x k x y k y ，同理，有222020020(45)10450x k x y k y ，所以12,k k 是方程222000(45)10450x k x y k y 的两根，从而2220001222201545(1)1451444545454x x y k k x x x .②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214yk x xy，解得222111221144,1414kxy k k，同理，222222222244,1414k x y k k ，所以222112221114444,141414kk OPkk kxO·yM PQ222222212222111222222222221211114444441164411414144414k k k k k kk OQk kk kk kk k 2222112211441161414k k OP OQk k 221221520()252(14)4k k ，当且仅当112k 时取等号. 所以OP OQ 的最大值为52.③由②有所以22222111222111441165205141414k k k OPOQk kk。
第八章 第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论-解析版
第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论知识与方法1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅=-=-.推广：如图2所示，A 、B 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上关于原点对称的任意两点，P 为椭圆C 上的动点且直线PA 、PB 的斜率均存在，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅=-=-2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设AB 是椭圆2222:1x yC a b+=()0a b >>的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积2221OM AB b k k e a⋅=-=-.3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A 、B 分别为双曲线2222:1x yC a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅==-推广：如图5所示，设A 、B 为双曲线2222:1x yC a b-=()0,0a b >>上关于原点O 对称的任意两点，P 为双曲线C 上的动点，且PA 、PB 的斜率都存在，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅==-4．双曲线中点弦结论：如图6所示，设AB 是双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB 中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积2221OM AB b k k e a⋅==-.提醒：若是焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.典型例题【例1】设椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积为______.【解析】由题意，()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，02x ≠±220012x y +=，所以220012x y =-，所以20200022000011222222PA PBx y k k x x x x -⋅====---+-.【答案】12-变式1 设椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由题意，2112PA PB k k e ⋅=-=-，所以椭圆C 的离心率2e =.【答案】22变式2 设A 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上第一象限的一点，B 与A 关于原点对称，点P 在椭圆C 上且直线PA 、PB 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，则()11,B x y --，且2211221x y a b+=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设()22,P x y ，则2222221x y a b +=，所以()222222222221x b y b x a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，从而()()22222221222222121212222221212121PA PBb b x a x a a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎡⎤-----⎢⎥-+-⎣⎦⋅=⋅===--+--， 由题意，2212b -=-，所以222a b =，从而22222a ac =-，故椭圆C 的离心率2c e a ==.2【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，小题中可直接根据21PA PB k k e ⋅=-求得离心率.变式3 椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，点P 在C 上，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围是______.【解析】由椭圆第三定义，1212k k =-，所以2112k k =-，111111*********k k k ≤≤⇒≤≤⇒-≤-≤-，故2k 的取值范围是11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【答案】11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.变式4 已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，若椭圆C 上存在不与A 、B 重合的点P ，使得120APB =∠︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______. 【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，120APB =∠︒，记PAB α∠=，PBA β∠=，则18060APB αβ+=︒-∠=︒，所以()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ++==-从而)tan tan 31tan tan αβαβ+=-①，由椭圆第三定义，()2tan tan tan tan 1PA PB k k e απβαβ⋅=⋅-=-=-，所以2tan tan 1e αβ=-， 代入①可得2tan tan 3e αβ+=，显然α，β均为锐角， 所以tan 0α>，tan 0β>，223tan tan 2tan tan 21e e αβαβ=+≥- 当且仅当tan tan αβ=时取等号， 故42344e e ≥-，结合01e <<61e ≤<.【答案】6⎫⎪⎪⎣⎭【例2】不与坐标轴垂直且不过原点O 的直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则直线OM 与直线l 的斜率之积为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2222121202x x y y -+-=，整理得：1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以直线OM 与直线l 的斜率之积为12-. 【答案】12-【反思】上面的求解过程是用点差法推导中点弦结论，熟悉结论之后，小题中可直接根据21OM AB k k e ⋅=-求得结果.变式1 直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM与直线l 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21212OM AB k k e e ⋅=-=-⇒=.2变式2 已知直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，若AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的方程为______.【解析】由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=-，又AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12OM k =，故1AB k =-，显然M 在直线l 上，所以直线l 的方程为()112y x -=--，化简得：2230x y +-=【答案】2230x y +-=变式3 （2013·新课标Ⅰ卷）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 【解析】如图，设AB 中点为M ，由中点弦结论，22AB OM b k k a⋅=-，由题意，1OM k =-，由图可知，()011312AB MFk k --===-，所以()22112b a⨯-=-，整理得：222a b =又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b -=，故218a =，29b =，从而椭圆E 的方程为221189x y +=【答案】D【反思】看到椭圆的弦中点，联想到中点弦斜率积结论22AB OMb k k a⋅=-【例3】设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线221x y -=上的一点，若直线PA 的倾斜角为23π，则直线PB 的倾斜角为（ ） A.6π B.34π C.56π D.1112π 【解析】由题意，()1,0A -，()1,0B ，设()00,P x y ，则22001x y -=，所以22001y x =-， 从而220000220000111111PA PBy y y x k k x x x x -⋅=⋅===+---， 直线PA 的倾斜角为22tan 333PA k ππ⇒==- 所以13PB PA k k ==，故直线PB 的倾斜角为56π. 【答案】C变式1 已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积为1，则该双曲线的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，()11,B x y --，()22,P x y ，则2211221x y a b-=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，同理，()2222222b y x a a =-，从而()()()22222222222212121222b b b y y x a x a x x a a a-=---=-，故222212121222212121PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-，由题意，1PA PB k k ⋅=，所以221b a=，故b a =，不妨设1a b ==，则2c =22变式2 （2015·新课标Ⅱ卷）已知A 、B 是双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） 5B.232【解析】解法1：设双曲线2222:1x y E a b -=()0,0a b >>，如图，不妨设P 在第一象限，过M 作MN x ⊥轴于N ，由题意，120ABM =∠︒，2AB BM a ==， 所以18060MBN ABM ∠=︒-∠=︒，从而cos60BN BM a =⋅︒=，sin 603AB BM a =⋅︒=，故M 点的坐标为()23a a ， 代入双曲线方程得：())2222321a a a b -=，化简得：22a b =，所以222a c a =-，故离心率2ce a==. 解法2：设双曲线2222:1x y E a b-=()0,0a b >>，由题意，120ABM =∠︒，30BAM BMA ∠=∠=︒，18060MBN ABM ∠=︒-∠=︒所以直线AM 和直线BM 33由双曲线第三定义，23311MA MB k k e ⋅===-，所以离心率2e【答案】D【例4】过点()1,2M 作斜率为12的直线与双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>相交于A 、B 两点，若M 点恰为弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b ---=， 整理得：2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=+-，即22122OM AB b k k a ⋅=⨯=，所以22a b =，从而222a c a =-，故2ce a ==. 2变式1 已知双曲线22:122x y C -=，过点()1,2M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，221OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()2,1，所以12OM k =，故2k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为()122y x -=-，化简得：23y x =- 【答案】23y x =-变式2 已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 中点为()1,3M --，则双曲线C 的方程为______. 【解析】由中点弦结论，22303312OM ABb k k a--⋅=⨯==--，所以223b a =，又双曲线C 的右焦点为()2,0F ，所以224a b +=，从而21a =，23b =，故双曲线C 的方程为2213y x -=【答案】2213y x -=强化训练1.（★★★）过点()1,1M -作斜率为13的直线与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为______.【解析】用中点弦结论，21113AB OM k k e ⋅=-⨯=-，所以椭圆C 的离心率6e =.62.（★★★）已知椭圆22:162x y C +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]1,2，则直线PB 的斜率的取值范围是______.【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由椭圆第三定义，1213k k =-，所以2113k k =-，由题意，112k ≤≤，所以11112k ≤≤，故1111336k -≤-≤-，即直线PB 的斜率的取值范围是11,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】11,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3.（★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的离心率为2，A 、B 为双曲线C 的左、右顶点，P 为C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]2,3，则直线PB 的斜率的取值范围是______. 【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由双曲线第三定义，21213k k e =-=，所以213k k =， 由题意，123k ≤≤，所以13312k ≤≤，故直线PB 的斜率的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线2213y x -=上的一点，若直线PA 的斜率为1-，则直线PB 的斜率为______.【解析】由题意，1PA k =-，由双曲线第三定义，223PA PB b k k a⋅==，所以33PB PA k k ==-. 【答案】3-5.（★★★）设椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>上的A 和B 两点关于原点对称，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义的推广结论，2114PA PB k k e ⋅=-=-，所以椭圆C 的离心率3e =36.（★★★）直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM 与直线l 的斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21613OM AB k k e e ⋅=-=-⇒=.67.（★★★）已知双曲线22:13x C y -=，过点()3,1M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，2213OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()3,1，所以13OM k =，故1k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为13y x -=-，化简得：2y x =- 【答案】2y x =-8.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆C 上的动点，直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若12k k +的最小值为43，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义，21210k k e =-<，所以22121222121k k k k e e +≥=-=-当且仅当12k k =时取等号，结合120k k <知此时12k k =-，P 为椭圆短轴端点， 所以12k k +的最小值为221e -24213e -，解得：5e =59.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左右顶点分别为A 和B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，直线PA 与直线l 交于点M ，且OM PB ⊥，则椭圆C 的离心率为______.【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ， 由椭圆第三定义，2121k k e =-， 由图可知12tan 2tan 212OM MBMB MBk MOB MAB k OB ABAB =∠===∠=，因为OM PB ⊥，所以21OMk k ⋅=-，从而1221k k =-，即()2211e -=-，解得：2e .【答案】2210.（★★★）已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 中点M 的坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆E 的方程为______.【解析】易求得12OM k =，12AB MF k k ==-，由中点弦结论，22OM AB b k k a ⋅=-，所以2214b a -=-，故224a b =，又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b -=，从而212a =，23b =，故椭圆E 的方程为221123x y +=.【答案】221123x y+=11.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 为椭圆22195x y +=的左右顶点，O 为坐标原点，S 、Q 、T 为椭圆上不同于1A 、2A 的三点，且1QA 、2QA 、OS 、OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A.5B.35+C.9D.14【解析】解法1：125599QA QA OT OS k k k k ⋅=-⇒⋅=-，设直线OT 的斜率为k ，则OS 的斜率为59k-，联立225945y kx x y =⎧⎨+=⎩可求得224559x k =+，2224559k y k =+，所以()22245159k OT k +=+， 将k 替换成59k-整理可得：222812559k OS k +=+，从而()2222224518125145959k k OS OT k k +++=+=++. 解法2（极限位置分析法）：让点Q 无限接近1A ，此时S 无限接近1A ，T 无限接近椭圆的上顶点，所以22OS OT +无限接近9514+=，故选D.【答案】D12.（★★★★）如下图所示，直线l 交双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右支于M 、N 两点，交x 轴于点P ，M 在第一象限，N 在第四象限，O 为原点，直线MO 交双曲线C 的左支于点Q ，连接QN ，若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，过点Q 作x 轴的平行线交MN 于点T ，由题意，又60MPO ∠=︒，所以60MTQ ∠=︒，又30MNQ ∠=︒，所以30TQN ∠=︒，从而直线MN 和直线NQ 的斜率分别为3-3， 显然M 、Q 关于原点对称，由双曲线第三定义的推广，21MN NQ k k e ⋅=-，所以23131e ⎛-== ⎝⎭，故双曲线C 的离心率2e =213.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 分别是椭圆22162x y +=的上、下顶点，点P 是椭圆上不与1A 、2A 重合的动点，点Q 满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，则12PA A 与12QA A 的面积之比1212PA A QA A S S =_______.【解析】解法1：设直线1PA 的斜率为()0k k ≠，由椭圆第三定义的推广结论，1213PA PA k k ⋅=-，所以213PA k k=-，因为11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，所以11QA k k=-，23QA k k =，显然(12A ，(20,2A -，所以直线1A Q 的方程为12y x k=-，直线2A Q 的方程为32y kx =，联立直线1A Q 和2A Q 的方程可解得：22k x =，所以点Q 的横坐标22Q kx =，直线1PA 的方程为2y kx =+，代入22162x y +=消去y 整理得：()2231620k x kx ++=，解得：0x =或26231k k -+，所以点P 的横坐标26231p kx k =-+，由图可知121222623132231PA A P QA A QkS k x Sx k k -+==+.解法2（特值法）：不妨取P 为椭圆右顶点，此时P 、Q 的位置如图所示，易求得12OA =，6OP =所以11tan 3OP OA P OA ∠==，从而160OA P ∠=︒，结合11QA PA ⊥可得130OAQ ∠=︒，故116tan OQ OA OAQ =⋅∠12123PA A QA A S OP S OQ==【答案】314.（★★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，圆()222:2D x y a a +-=与双曲线C 在第一象限的交点为P ，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若212k k -=，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，记PAB α∠=，PBA β∠=，则1tan k α=，()2tan tan kπββ=-=-， 由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,D a ，所以ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，容易验证A 、B 两点都在圆D 上，所以124APB ADB π∠=∠=，从而tan 1APB ∠=，另一方面，()()tan tan tan tan tan 1tan tan APB αβπαβαβαβ+∠=--=-+=--，所以tan tan 11tan tan αβαβ+-=-①由双曲线第三定义，2121k k e =-，所以()2tan tan 1e αβ⋅-=-，从而2tan tan 1e αβ=-，又212k k -=，所以tan tan 2βα--=，故tan tan 2βα+=-，代入式①可得()22111e --=--，解得：2e =215．（★★★★）已知斜率为13-的直线l 与椭圆22197x y +=相交于不同的两点A 、B ，M 为y 轴上一点，且MA MB =，则点M 的纵坐标的取值范围是______.【解析】如图，设AB 中点为()00,N x y ，由中点弦结论，001739y x -⋅=-，所以0073y x =①，因为N 为AB 中点，所以点N 在椭圆内部，从而2200197x y +<将式①代入可解得：03232x < 因为M 在y 轴上，且MA MB =，所以点M 是AB 的中垂线与y 轴的交点，易求得AB 的中垂线的方程为()003y y x x -=- 即0033y x y x =+-，从而点M 的纵坐标003M y y x =-，将式①代入可得023M y x =-，因为0323244x -<<，所以2222M y <<.【答案】2222⎛ ⎝⎭。
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
椭圆中两直线斜率积(和)为 定值与定点问题
1. 掌握椭圆中常见斜率之积（和）为定值的结论和 常见图形；
2. 能证明斜率之积（和）为定值； 3．利用上述结论解决直线过定点问题； 4．加深对图形的理解，能够转化陌生问题．
例 1、已知 A，B，P 是椭圆xa22＋yb22＝1 上不同的三点，且 A，B 连线经过坐标原点，若 直线 PA，PB 的斜率乘积 kPA·kPB＝－23，则该椭圆离心率为________.
，B
点的横坐标为
2， 2k 2 1
同理，联立
y k (x 1)
x2 2
y2
1
，得
C
点横坐标为
2k
2
2k
2(k 2 2 1
1)
点
D
的横坐标为
2k
2
+ 2(k 2 2k 2 1
1)
设 A(x1, kx1), B(x2 , kx2 ),C(x3, k(1 x3)), D(x4, k(1 x4 )), 所以，直线 AC，BD 的斜率之和为
=
k
2(
2 2k 2 1
2(k 2k
2 2
1) ) 1
0
4k 2 2k 2 1
0
(x1 x3 )(x2 x4 )
所以直线 AC，BD 的斜率之和为 0（定值）
解法 2：设直线 AM：y k1(x 2) ， BN：y k2 (x 2) ，分别和椭圆联立得到
得到 (3
4k 2 )x2
8k 2x
4k 2
12
0 ，求得
x1
x2
8k 2 3 4k 2
,
x1x2
4k 2 3
12 4k 2
微专题22椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题答案
微专题221．答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN 分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝⎛⎭⎫－85，－35和N 坐标为⎝⎛⎭⎫85，－35，进而可求得MN 直线方程y ＝－35，然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝⎛⎭⎫0，－35. 2．答案：－9.解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，易得y M＝9bk 2＋9，从而k OM ·k ＝－9. 3．答案：()0，－2±23. 解析：设点P (x 0，y 0)，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 02－1x 02＝－14.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y ＝k 2x －1＝－14k 1x －1，所以 M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋3k 1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3k 1－4k 1x ＋4y －8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点 (0，－2±23)． 4．答案：x 225＋y 216＝1.解析：设动点M (x ，y )，由题意（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪253－x ＝35，化简得x 225＋y 216＝1，所以动点M 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1. 5．答案：13.解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k x 236＋y 24＝1，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k 2－k ）9k 2＋1－32，所以x 2＝182（3k 2＋k ）9k 2＋1－32，整理得x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 29k 2＋1－6 2.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k . ＝－108k 39k 2＋1＋122k ＝122k 9k 2＋1，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝122k9k 2＋1362k 9k 2＋1＝13为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解法1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a )＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D ＝2ak 21＋k 22，当k 1k 2＝b 2a 2时，x B ＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－b4a 2k 22b 2＋b 4a 2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0)．解法2直线BD 过定点(a ，0)，证明如下：设P (a ，0)，B (x B ，y B )，则x B 2a 2＋y B 2b 2＝1(a ＞b＞0)，k AD k PB ＝a 2b 2k 1k PB ＝a 2b 2·y B x B ＋a ·y B x B －a ＝a 2b 2·y B 2x B 2－a 2＝a 2b 2⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＝－1，所以PB ⊥AD ，又PD ⊥AD .所以三点P ，B ，D 共线，即直线BD 过定点P (a ，0)．7．答案：直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 解析：依题设，k 1≠k 2.设M (x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 12)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是，x M ＝－3k 1k 22＋3k 12，y M ＝2k 22＋3k 12.同理，x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 12＋3k 22.当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 22＋k 2k 1＋k 12）－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1.直线MN 的方程为y －2k 22＋3k 12＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 12，即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－6k 2k 1－9k 2k 1·3k 1k 22＋3k 12＋2k 22＋3k 12， 亦即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23.综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 8．答案：(1)椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59. 解析：(1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ，①.又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋（－2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k （x －2），得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）1＋3k 2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。
微专题22椭圆中两直线斜率积
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了例题：过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．如图，已知椭圆E1方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆E2方程为x2＋y2＝a2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D＝2ak 21＋k 22，10分 当k 1k 2＝b 2a2时，x B ＝a （b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分。
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微专题22例题答案：)53,0(-.解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k )418(2k kx ++， 即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点)53,0(-.解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P )53,0(-. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P )53,0(-.解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1.y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0，化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点)53,0(-.变式联想变式1 答案：)0,56(.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点),(0222202222y b a b a x b a b a +--+-. 变式2 答案：)y 1414,1414(A A S -+-+λλλλ，其中x A ，y A 分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N 两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点),(0222202222y ba b a x b a b a -+--+λλλλ.发现并强调注意，此时λ≠b 2a 2. 结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)．证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M )8040,80)80(3(222m m m m ++-，N)2020,20)20(3(222m mm m +-+-. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1； (2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为)24,(2t t -，)24,(2t t --.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(3) 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2；(3)直线PQ 过定点，定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0. 因为圆心H )2,1(m，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋2)2(CD ＝r 2，代入得m ＝±2. 因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2，由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b＋1)(b ＋k －1)＝0，由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ，所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1，所以直线PQ 过定点，定点为(1，1)．。