全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学历年真题详解【圣才出品】
全国硕士研究生考试农学门类联考数学题库(章节题库-随机变量及其分布)【圣才出品】
第12章随机变量及其分布一、选择题1．设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()=-x x ϕϕ，()F x 是随机变量X 的分布函数，则对于任意的实数a，有（）．A．()()01aF a x dxϕ-=-⎰B．()()012aF a x dx ϕ-=-⎰C．()()F a F a -=D．()()21F a F a -=-。
【答案】B【解析】()()()()001122aaa F a x dx x dx x dx ϕϕϕ---∞--==-=-⎰⎰⎰．2．设随机变量ξ的密度函数为()1sin ,0=0,x x x ϕπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他，则ξ的分布函数为（）．A．()0,01cos ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩B．()()1cos ,,F x x x =-∈-∞+∞C．()cos ,020,x x F x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他D．()1cos ,020,x x F x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他【答案】A【解析】由分布函数的定义可得，()0,01cos ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩．3．设连续型随机变量ξ的分布函数为()F x ，12ηε=-，则随机变量η的分布函数()G y =（）．A．122y F ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．1122y F ⎛⎫--⎪⎝⎭C．112y F ⎛⎫-+⎪⎝⎭D．122y F ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】(){}{}11112112222y y y G y P y P y P PP F ηεεε--⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤=≥=-≥=--⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭．4．设随机变量ξ的分布函数为()20,0,05251,5x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，则()21204x x εε+++=有实根的概率为（）．A．1B．2125C．925D．425【答案】B【解析】方程()21204x x εε+++=有实根的条件为()220εε-+≥，解得2ε≥．()()()4212121212525P P F εε≥=-≤=-=-=．5．数列()(),1,2,1kap k k k ==+ 为离散型随机变量的概率分布，则a 的取值为（）．A．12B．2C．1D．13【答案】C【解析】()1111111k k a a a k k kk +∞+∞==⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭∑∑．6．设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若()519P X ≥=，则()1P Y ≥=（）．A．1927B．827C．13D．23【答案】A【解析】()()()2511119P X P X p ≥=-=--=，解得13P =，故()()()33219110111327P Y P Y p ⎛⎫≥=-==--=-= ⎪⎝⎭．7．设函数()f x 与()F x 分别为正态随机变量()~1,1N ε的密度函数与分布函数，则必有（）．A．()()(),,f x f x x =-∈-∞+∞B．()()()1,,F x F x x -=-∈-∞+∞C．()00.5F =D．()112F π=【答案】D【解析】随机变量()~1,1N ε，因此其密度函数为()()2122x f x π--=，因此有()12f π=8．在下列函数中，可作为某随机变量ξ的分布函数()()F x P x ε=≤的是（）．A．()()1,,1-=∈-∞+∞+xF x x e B．()()21,,1=∈-∞+∞+F x x xC．()0,01,0121,1x F x x x x <⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩D．()221,01,01x x F x x x x ⎧≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪+⎩【答案】A【解析】根据分布函数的性质，()()01,F F -∞=+∞=及()F x 连续可知()()1,,1-=∈-∞+∞+xF x x e 符合分布函数的要求．9．设()x ϕ为连续型随机变量的密度函数，()F x 为分布函数，则（）．A．()01x ϕ≤≤B．()()P X x x ϕ==C．()()P X x F x =≤D．()()'P X x F x ==【答案】C【解析】密度函数()0x ϕ≥，连续型随机变量X 有()0P X x ==．10．下列函数中不可能作为连续型随机变量的密度函数是（）．A．sin ,20,x x ππ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他B．22,00,xc x e x c-⎧⎪>⎨⎪⎩其他C．2,00,Ax A xx A⎧>>⎪⎨⎪≤⎩D．2,010,x x <<⎧⎨⎩其他【答案】B【解析】B 项，参数c 可能取负值，不能满足()0x ϕ≥．11．设()()12,F x F x 分别为随机变量12,X X 的分布函数，要使()()()12F x aF x bF x =-也为某个随机变量的分布函数，则,a b 应取（）．A．32,55==-a b B．25==a b C．13,22=-=a b D．13,22=-=-a b 【答案】A【解析】()1+∞=-=F a b ．。
2011年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
0 1
1 1 1
0
E 1
0 1
1
1 1
1
0
.
6．设 A 为 4×3 矩阵，1,2 ,3 是非齐次线性方程组 Ax 的 3 个线性无关的解，
k1, k2 为任意常数，则 Ax 的通解为（ ）.
A． 1
2 2
k1 (2
1 )
B． 1
2 2
k1 (2
1 )
C． 2
3 2
k1 (3
I1
4
I2
.
4．设函数 z arctan exy ，则 dz ＝（ ）.
A．
exy 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy B． 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy C． 1 e2xy
( xdy
ydx)
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e xy D． 1 e2xy
( ydx
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.
1．当 x O 时，下列函数为无穷大量的是（ ）.
【答案】B
【解析】因为 0 P( A) 1， A B ，故 0 P( A) P(B) 1，又 A U B B ，
AB A ，所以
.
8．设总体 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布， X1，X，2，L X n (n 2) 为来自总体
的简单随机样本，则对于统计量T1
全国硕士研究生考试农学门类联考数学题库(章节题库-常微分方程)【圣才出品】
第5章常微分方程一、选择题1．设非齐次线性方程()()'y p x y q x +=有两个不同的解()()12,y x y x ，C 为任意常数，则该方程的通解为（）．A．()()12c y x y x -⎡⎤⎣⎦B．()()12c y x y x +⎡⎤⎣⎦C．()()()1213122c y x y x y x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D．()()()212y x c y x y x +-⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】通解的形式为：齐次方程的通解＋非齐次方程的特解，由解的性质可知：解的线性表示的系数之和为0时，线性组合为齐次线型方程的解；解的线性表示的系数之和为l 时，线性组合为非齐次线型方程的解．2．设()()12,y x y x 是非齐次方程的两个解，则下列仍为非齐次方程的解为（）．A．()()12y x y x +Ｂ．()()12y x y x -Ｃ．()()1212y x y x +⎡⎤⎣⎦Ｄ．()()121134y x y x +【答案】C【解析】设12,,,m y y y 一阶线性非齐次微分方程的解，12,,,m k k k 为常数，则1122n n y k y k y k y =+++ 为非齐次线性方程的解的充要条件为121n k k k +++= ．3．设f（x）连续且满足0()2()1xf x f t dt =+⎰，则满足条件的f（x）为（）．A．xe B．2xeC．12xe +D．xxe【答案】B【解析】等式两边对x 求导得2dyy dx=，解方程得到通解为2x y e c =+，故2x y e =为特解．4．设非齐次线性微分方程()'()y p x y q x +=有两个不同的解1y 和2y ，C 为任意常数，则该方程的通解为（）．A．()12c y y -B．()112y c y y +-C．c（12y y +）D．112()y c y y ++【答案】B【解析】因为12y y ≠，故12y y -为其对应的齐次线性微分方程的非零解，由一阶齐次线性微分方程的解的性质l 可知()112y c y y +-为非齐次线性微分方程的通解．5．设12,y y 为非齐次方程()'()y p x y q x +=的特解，则下列仍为非齐次方程()'()y p x y q x +=的特解的是（）．A．12y y +B．12y y -C．12y y -+D．123122y y -【答案】D【解析】1122y k y k y =+为非齐次线性方程的解的充要条件为121k k +=．二、填空题1．设'xy ry e +=（r 为常数）的特解为3xe y =，则其通解为__________．【答案】23xx e ce -+【解析】将3xe y =代入原方程得到r＝2，再将r＝2代入方程得到2x dy y e dx +=，利用公式()()(())p x dx p x dxy e c q x e dx -⎰⎰=+⎰，得到原问题的通解为23xx ece -+．2．微分方程()240ydx x x dy +-=的通解为__________．【答案】4(4)y x cx-=【解析】分离变量得()21104dx dy y x x +=-，两边同时积分可得()12114dx dy c y x x +=-⎰⎰，即114ln ln 4x y c x-+=，化简得4(4)y x cx -=（c 为任意常数）．3．设()()12,y x y x 为线性非齐次微分方程()()'y p x y q x +=的两个特解，则()()12y ay x by x =+为()'0y p x y +=的特解的充要条件为__________．【答案】0a b+=【解析】()()12,y x y x 为线性非齐次微分方程的解，故()()()11'()y x p x y x q x +=，()22'()()()y x p x y x q x +=，将()()12y ay x by x =+及上式代入齐次方程得()()()()()1122'''()()()()y p x y a y x p x y x b y x p x y x a b q x +=+++=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以()()12y ay x by x =+为齐次线性方程的解0a b ⇔+=．4．设123,,y y y 为()'()y p x y q x +=的解，且2222212312,2x x x y y x e y x e e ---+==+则它的通解为__________．【答案】222x xy cex e --=+【解析】不难验证()23122x y y y e --+=为该非齐次线性微分方程对应的齐次线性方程的解，()221212x y y x e -+=为该方程的解．根据一阶线性微分方程的性质，其通解为222x x y ce x e --=+．5．方程'sin ln y x y y =且满足0ln 1lim2x y x →=的y＝__________．【答案】tan 2xy e=【解析】原式化为ln sin dy dxy y x=，等式两边同时积分得1cos ln ln ln ln 1cos x y c x -=++，即ln tan 2x y c =，又由0ln 1lim2x y x →=得C＝1，故原问题的解为tan 2xy e =．6．设12,y y 分别为()()'y p x y q x +=的解，则1122c y c y +为非齐次的解，1122c y c y -为齐次方程的解，则1c ＝__________，2c ＝__________．【答案】12；12【解析】由题意得11221122112211221122'()()'()()''()()()''()()0y p x y q x y p x y q x c y c y c p x y c p x y q x c y c y c p x y c p x y +=⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪-+-=⎩1212c c ⇒==三、计算题．1．求()()0x yx x y y ee dx e e ++-++=的通解．解：因为(,),(,),x yx x y y x yP Q P x y e e Q x y e e e y x+++∂∂=-=+==∂∂故原题为全微分方程(,)(,0)(,)x y yx y y u x y P x dx Q x y dy e e dy+=+=+⎰⎰⎰故所求通解为(1)(1)x ye e c +-=．2．解方程[]'sin(ln )cos(ln )y x x a y =++．解：原方程可化为[]sin(ln )cos(ln )dyx x a dx y=++对等式两边分别积分得ln sin(ln )y x x ax c=++故所求通解为sin(ln )x x axy ce+=．3．求方程22(22)0x dx y xy x dy +-+=，且y（1）＝2的特解．解：原方程可化为2122dy y dx x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，应用公式()()(())p x dx p x dxy e c q x e dx -⎰⎰=+⎰，得到其通解为1222xy cx e x =+，再将y（1）＝2代入上式得到c＝0，故原方程的解为22y x =．4．求1'cos sin 2y x y y=+的通解．解：原方程可化为cos sin 2dxx y y dy=+，将y 看作自变量，利用公式()()(())p y dy p y dyx e c q y e dy -⎰⎰=+⎰，得到原方程的通解为sin 2(1sin )yx cey =-+．５．求方程(1)'x xe yy e +=当y（1）＝1时的特解．。
全国硕士研究生考试农学门类联考数学题库(章节题库-矩阵)【圣才出品】
故 ( A B)2 A B 的充要条件是 AB＋BA＝0，即 AB BA ．
2．设 a1, a2 , a3 均为 3 维列向量，记矩阵 A (a1, a2, a3), B (a1 a2 a3, a1 2a2 4a3, a1 3a2 9a3) ，
A
1 0
1 2
，则
An
．
1 2n 1
【答案】 0
2n
【解析】
2．设 a1、a2 为 2 维列向量，又 A (2a1 a2, a1 a2 ), B (a1, a2 ), 若行列式 A 6 ， 则 B ．
【答案】－2
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【答案】D
【解析】由于 ( A1 B1)1 A( A B)1 B (E B1A)( A B)1 B B1(B A)( A B)1 B ＝E．所以， ( A1 B1)1 A( A B)1 B ．
2．设 A 是任一 n(n 3) 阶方阵， A* 是其伴随矩阵，又 k(k 0,1) 为常数，则 (kA)*
A． BAB B． ABA C． ABAB D． BABA
【答案】B
【解析】由 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵知， A A', B B' ，从而对于选项 B， 有 ( ABA)' A'B' A' A(B) A ABA ，即有矩阵 ABA 是反对称矩阵．
二、填空题．
1．设
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2008年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．设函数
f
(x)
sin x 1
x2 1
，则（
）。
A．x＝－1 为可去间断点，x＝1 为无穷间断点
B．x＝－1 为无穷间断点，x＝1 为可去间断点
D． ex f (1 ex )dx
【答案】D
【
解
析
】
dy df (1 ex ) f (1 ex )(1 ex )dx ex f (1 ex )dx 。
3．设函数 f (x) 连续， F (x)
0 x2
f (t)dt
，则 F (x) ＝（
）。
A． f (x2 )
B． f (x2 )
C． 2xf (x2 )
由期望和方差的性质可得
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．函数 f (x) ex ex 2 的极小值为______。
【答案】－2
【解析】令 f (x) ex e 0 可得 x＝1， f (x) ex , f (1) e 0 ，根据
6 / 15
极值的第二充分条件可得 x＝1 为函数 f (x) ex ex 2 的极小值点，极小值为 f (1) 2 。
lim
x1
sin(x 1) x 1
lim x1
1 x 1
1 2
所以 x＝1 为可去间断点。
2．设函数 f (x) 可微，则 y f (1 ex ) 的微分 dy ＝（ ）。
A． (1 ex ) f (1 ex )dx
B． (1 ex ) f (1 ex )dx
全国硕士研究生考试农学门类联考数学题库(章节题库-矩阵的特征值和特征向量)【圣才出品】
0 0
1 0
01
【答案】D
【解析】设 是矩阵 A 的特征值，由
2 0 0 E A 0 1 ( 2)( 1)( 1) 0 ，
0 1
2 0 0
可得
A
的特征值为 1
2, 2
1, 3
1 ，则
A
的对角化矩阵为
0
1
0
D．上述结论都不正确 【答案】B
【解析】特征值 0 只需满足 0E A 0 即可，可以是数 0 也可以不是数 0，但特征
向量一定不能是零向量．
0 1 1
2．关于矩阵
A
1 1
0 0
1 0
的特征值和特征向量，下面哪一个结论是正确的（）．
A． 2 ，对应的特征向量为 (1,1, 1)T
．
0 0 1
6．下面结论正确的是（）．
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A．实对称矩阵一定可以对角化，但对称矩阵不可以对角化 B．实对称矩阵一定可以对角化 C．非对称矩阵一定不能对角化 D．对称矩阵一定可以对角化 【答案】B 【解析】n 阶实对称矩阵一定有 n 个线性无关的特征向量，所以一定可以对角化．
3
0
，
得
A
的特征值为
1
1
，
2
3
，对应的特征值向量分别为
p1
1, 2
1 T 2
，
p2
1, 2
1 2
T
．
令
P
2009年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
3．函数 f (x) xx2 et2 dt 的极值点为 x＝（ 0
）.
A． 1 2
B． 1 4
C．－ 1 4
D．－ 1 2
【答案】A
【解析】因 f (x) e xx2 2 (x x2 ) (1 2x)exx2 2
令 f (x) 0 ，得 x 1 ，又 2
f (x) 2exx2 2 (1 2x) e xx2 2
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内. 1．在（－π，π）内，函数 y x 的可去间断点的个数为（ ）. tan x A．0
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【答案】 4 3
【解析】由于
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，所以
原式
12．设 f（u，v）为二元可微函数， Z
f (sin(x
y)，e
xy
)
，则
z x
____.
【答案】 fu cos(x y) yfvexy
【解析】函数 z z(x, y) 由 z f (u, v),u sin(x y), v exy 复合而成，根据复合函
A 项， P AB P( A U B) 1 P( A U B) ，因为 P( A U B) 不一定等于 1，所以
P( AB) 不一定等于 0. B 项，只有当 P（A），P（B）为 0 或事件 A，B 相互独立时才成立. C 项，只有当 A，B 互为对立事件的时候才成立.
D 项， P( A U B) P AB 1 P( AB) 1.
全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题模拟题及详解【圣才出品】
14．设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则 【答案】 【解析】
三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 10 分）
求
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：利用等价无穷小和洛必达法则有
16．（本题满分 10 分）
求函数
的极值．
解：当
D．
【答案】C
【解析】
．则 Y 的概率密度
（ ）．
8．设 （ ）．
A． B．
为来自总体
的简单随机样本， 分别为样本均值和样本标准差，则
C． D． 【答案】B 【解析】
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9． 【答案】
________ .
【解析】
10．曲线 【答案】 【解析】
11．函数 【答案】 【解析】令 令
第 1 部分 历年真题及详解
2017 年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
求．）
1．当
时，下列变量中与 x 等价的无穷小量是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以当
时，x 的等价的无穷小量是
．
在点（0，1）处的切线方程为 ________ .
，所以切线方程为
．
的单调递减且其图形为凹的区间为 ________ .
得 ，得
； ．所以
单调递减且其图形为凹的区间为
12．曲线 【答案】 【解析】令
2019年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
所以 B 项等式是错误的，答案应选 B。
8．设随机变量 X～N（0，9），Y～N（0，4），且 X 与 Y 相互独立，则 D（2X－Y） ＝（ ）。
A．14 B．22 C．32 D．40 【答案】D
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【
解
析
】
1
lim(1 sin 2x) x
lim(1
sin
2
x)
1 sin
sin 2x x
2
x
,
而
lim
sin
2
x
2
，所以
x0
x0
x0
x
1
lim(1 sin 2x) x e2 。
x0
10．曲线 y 1 2x 的水平渐近线方程是______。 x2
【答案】y＝－2
【解析】 lim 1 2x x x 2
2
，所以曲线
y
1 2x x2
的水平渐近线方程式
y＝－2。
11．设函数
f
(x)
x sin
1 x
，则
f
2
______。
【答案】－π3/8
【解析】
f
'( x)
sin
1 x
1 x
cos
1 x
,
f
''( x)
1 x3
sin
1 x
，所以
f
''(2 )
3 8
。
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x2
12．设平面区域 D {(x, y∣) 0 x 2, 0 y x} ， e 2 dxdy ______。
全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学模拟试题详解【圣才出品】
求解，得驻
点 ．
D 项，点 (1,1) ，计算得 在点 (1,1) 处有极大值 1．
，又 A = -2 ，所以函数
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5．设 Amn 为实矩阵，则线性方程组 Ax 0 只有零解是矩阵 AT A 为正定矩阵的（ ）．
6．设1,2 ,3,4 是齐次方程组 Ax 0 的基础解系，下列解向量组也是方程组 Ax 0
的基础解系的是（ ）．
A．1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1 B．1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1 C．1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1 D．1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1
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第 2 部分 模拟试题及详解
全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学模拟试题及详解（一）
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内． 1．当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是（ ）． A．1 e x
x
轴的交点为
(
n
,
0)
，则
lim
n
f (n ) ＝
_______．
【答案】 lim f n
n
=e－1
【解析】由题设知
f
x =xn
在点（1，1）处的切线为
y-1=n x-1 ，令
y＝0，得 n =
n-1 n
，
则
lim
n
f
n
=
lim
n
1－
1 n
n
=e－1
2013年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
j ．
又T
1 n n i1
X2 i 1
n
n
X
2 i
2
i 1
i 1
X
i
X
j
，故
ET
2 2
22
2 ．
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
sin
kx
,
x
0
f (x) 3x
9．设函数
e3x cos 3x, x 0 在 x＝0 处连续，则常数 k＝
．
积为
．
【答案】 2 2
【解析】由题意知，平面图形的面积
S
sin x cos x dx
0
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx 2 4
2
12．设函数
z
1 exy
2y
,则
z y
(1, 1)
．
1 【答案】 e2 2
z 【解析】由题意知， y
ex y (ex y
3．曲线 y f (x) 如图所示，函数 f (x) 具有连续的 2 阶导数，且 f (a) 1，则积分
a x f (x)dx
0
（ ）．
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．ab
【答案】C
【解析】由上图可知 f 0 b, f a 0 ，则
a xf '' (x)dx 0
a 0
xd
f
' (x)
0
【解析】
2
2
00
2
20 1 0
3 3 0
0 3 0
0033 0 0 33
4 0 4 4 4 4
2011年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
2011年考研农学门类联考《数学》真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．当x →0时，下列函数为无穷大量的是（）。
A．sin 3x xB．cot x C．1cos xx-D．1xe 【答案】B【解析】A 项，00sin 33sin 3lim lim 33x x x xx x →→==；C 项，20002sin 1cos 2lim lim limsin 02x x x xx x x x →→→-===；D 项，1100lim 0lim x xx x e e -+→→==+∞，。
2．设函数()f x 可导，(0)0f =，30(sin )1(0)1lim 2k x f x f x λ→'==，，则（）。
A．k＝2，2λ=B．k＝3，3λ=C．k＝3，2λ=D．k＝4，1λ=【答案】C【解析】因为所以2λ=，k＝3。
3．设441200sin sin x x I dx I dx x x ππ==⎰⎰，，则（）。
A．124I I π<<B．124I I π<<C．124I I π<<D．214I I π<<【答案】A【解析】当04x π<<时，0sin 1x x <<<，故sin 1sin x x x x<<，所以有即124I I π<<。
4．设函数arctan xy z e -=，则dz ＝（）。
A．2()1xy xy e ydx xdy e-++B．2()1xy xy e ydx xdy e-+C．2()1xy xy e xdy ydx e-+D．2()1xy xy e ydx xdy e++【答案】A 【解析】22()()11xy xy xy xye e dz xdy ydx xdy ydx e e ----=+=+++。
2018年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
x3
2 12
。
10．∫（2x＋cos2x）dx＝______。
【答案】2x/ln2＋sin2x/2＋C
【解析】
2x cos 2x
dx
2xdx
cos
2xdx
2x ln 2
1 2
sin
2x
C
z
x 11．已知函数 z＝xesin（x－y）＋ylnx，则
＝______。
1,1
【答案】3
【解析】求 x 的偏导，可以先将 y＝1 代入 z（x，1）＝xesin（x－1）＋lnx
10
Xi 2
i2
所以 Q 不是统计量且服从分布 t（9）。答案选 D。
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．已知函数 y arctan
x2
1 ，则
dy dx
x3
＝______。
6 / 17
【答案】 2 12
【解析】
dy dx
1
1 x2 1
x x2 1
dy ，所以 dx
2018 年考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求。）
1．函数 f（x）＝sinx/x 是（ ）。 A．有界的奇函数 B．有界的偶函数 C．无界的奇函数 D．无界的偶函数 【答案】B 【解析】f（－x）＝sin（－x）/（－x）＝sinx/x＝f（x），所以 f（x）是偶函数。因为 |sinx|≤|x|，x∈（－∞，＋∞），所以|f（x）|≤1，即 f（x）为有界函数。
Xi ～ N （ μ ， σ 2 ）， i ＝ 1 ， 2 ，．．．， 10. （ Xi － μ ） / σ ～ N （ 0 ， 1 ）， 所 以
2014年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
由中值定理得：存在 ( ,) {( x, y) x y 2} 使得
x y 2 2 cos2
1 x cos2
dxdy y
f
(,) 1dxdy
x y 2
2f
( , )
所以
1 2
|x| y 2
2
cos2
1 x
cos2
y
dxdy
1
．
5．设向量组1 ,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）． A．1 2 ，2 3 ，3 1 B．1 2 ，2 3 ，3 1 C．1 2 ，2 3 ，3 1 D．1 2 ，2 3 ，3 1
【解析】令 x a ，则
f (a) 2 f (a) a1ektdt a1ektdt 0
a
a
所以 f (x) 在 x a 处取得极小值．
3．函数 f (x, y) cos x 在点 ( , 2) 处的全微分为（）． y
…… 依次进行下去有
f (n) (x) (1)n2 (n 1)! f ' (x)e(n1) f (x) (1)n1(n 1)!enf (x)
e 把 x＝0 代入，有 f (n) (0) ＝ (1)n1(n 1)! nf (0) ＝ (1)n1(n 1)! ．
【答案】B
【解析】由题设条件可知：
，两边同时求逆，有
7．设随机变量 X 的概率分布为
则 D(X 0.7) （）．
A．0 B．0.7 C．1.4 D．2.1 【答案】C
【解析】由已知得 EX 0， D(X 0.7) D X EX 2 (EX )2 ＝0.4＋0.3＋0.3＋0.4
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.1．设函数，则（ ）.3()(3)()x e e f x x x e -=--A ．x ＝3及x ＝e 都是的第一类间断点()f x B ．x ＝3及x ＝e 都是的第二类间断点()f x C ．x ＝3是的第一类间断点，x ＝e 是的第二类间断点()f x ()f x D ．x ＝3是的第二类间断点，x ＝e 是的第一类间断点()f x ()f x 【答案】C【解析】，由于函数在点x ＝3没有定义，因此x ＝3为第一类可去间断点；又，因此函数在x ＝e 点为第二类无穷间断点.3lim (3)(1)x x e e e x x →-=∞--2．曲线的凸弧区间是（ ）.2(4)x y x =-A ．（，－8）-∞B ．（－8，－4）C ．（－4，4）D ．（4，＋∞）【解析】由.3．设函数具有二阶导数，，则()()f x g x ，00()()0()0g x a g x g x '''==<，，在取极大值的一个充分条件是（ ）.(())f g x 0x A ．()0f a '<B ．()0f a '>C ．()0f a ''<D ．()0f a ''>【答案】B【解析】由于于是因为，则即可满足条件，在取极0()0g x '=0(())0f g x ''>[]0()0f g x '''⎡⎤<⎣⎦0x 大值.4．设函数在区间上连续，，且，记()f x []0,10()1f x <<101()2f x dx <⎰则（ ）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．213I I I <<D ．321I I I <<【答案】D【解析】由于0()1f x <<()1()f x f x >>-因此即．12I I >又由于且所以所以，所以．5．设向量组：可由向量组Ⅱ：线性表示．下列命题I 12r ααα⋅⋅⋅，，，12s βββ⋅⋅⋅，，，正确的是（ ）.A ．若向量组线性无关，则I r s≤B ．若向量组线性相关，则I r s>C ．若向量组Ⅱ线性无关，则r s≤D ．若向量组Ⅱ线性相关，则r s>【答案】A【解析】由于向量组I 能由向量组Ⅱ线性表示，所以r （I ）≤r（II ），即()()1212r s r r sαααβββ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，若向量组I 线性无关，则，所以()12r r r ααα=L ，，，,即.()()1212r s r r r s αααβββ=⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，r s ≤6．设A 为4阶实对称矩阵，且，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.2A A O +=A ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C ．1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭D ．1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设A 的特征值为，因为，所以，即λ20A A +=20λλ+=或，又因为A 为实对称阵，故A 必可相似对角化，又由于(1)00λλλ+=⇒=1λ=-r （A ）＝3，所以是三重特征根，即.1λ=-1110A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭:7．设随机变量X 服从（－1，1）上的均匀分布，事件A ＝{0＜X ＜1}，，则（ ）.14B X ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A ．P （AB ）＝0B ．P （AB ）＝P （A ）C ．P （A ）＋P （B ）＝1D ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）⋅【答案】D【解析】8．设是来自总体的简单随机样本，记统计量12n X X X ⋅⋅⋅，，，2(,)(0)N μσσ>，则E （T ）＝（ ）.211n i i T X n ==∑A ．2σB ．2μC ．22σμ+D ．22σμ-【答案】C【解析】由题意知，，则有2222,EX DX EXμσμσ==⇒=+二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在题目中的横线上．9．＝____.lim xx x x a →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】a e 【解析】.。
2014年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
【解析】由题意可知
f ' (x) e f (x) , f '' (x) f ' (x)e f (x) e2 f (x)
……
依次进行下去有
f (n) (x) (1)n2 (n 1)! f ' (x)e(n1) f (x) (1)n1(n 1)!enf (x)
把 x＝0 代入，有
f (n) (0) (1)n1(n 1)!
x y 2
2 f ( ,)
所以
3 / 17
1 2
|x| y 2
2
cos2
1 x
cos2
y
dxdy
1
5．设向量组1 ，2 ，3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 A．1 2 ，2 3 ，3 1 B．1 2 ，2 3 ，3 1 C．1 2 ，2 3 ，3 1 D．1 2 ，2 3 ，3 1
DX i
n
ET E(a X ) E( X )2
aE X D( X ) (E X )2 a 2 2
n
解得
a
1 n
。
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．当 x 0 ， ln(1 2 x2) 与1 ekx 是等价无穷小，则常数 k ______。
1 n
n i 1
Xi
，T
aX
( X )2 ，其中 a 为常数，若 ET
2，
则 a （ ）。
5 / 17
A． 1 n
B． 1 n
C．－1
D．1
【答案】A
【解析】 X P(), 所以
EX , DX
E X
1 n
n i 1
EX i
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17．（本题满分 10 分） 求微分方程
满足初始条件
解：由初始条件知当
时，方程可化为
7 / 139
的特解． ．
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计算得
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又
，得
从而微分方程
满足初始条件
的特解为
18．（本题满分 10 分）
设函数
具有二阶连续偏导数，
解：由题意计算得
解：（I）计算得
（II）计算得 （III）计算得
12 / 139
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13 / 139
（III）
23．（本题满分 11 分）
设随机变量 X 与 Y 分别服从参数为 1 和参数为 2 的指数分布，且 X 与 Y 相互独立 （I）求二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度 f (x, y) ； （II）求 P{X Y 1} ； （III）求 ( X ,Y ) 的分布函数 F (x, y) ．
．则 Y 的概率密度
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（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】
8．设
为来自总体
样本标准差，则（ ）．
A．
B．
C．
D． 【答案】B 【解析】
的简单随机样本， 分别为样本均值和
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
【解析】令
令
其图形为凹的区间为
．
得 ，得
； ．所以
单调递减且
12．曲线 【答案】 【解析】令
与直线
及
围成的有界区域的面积为 ________ .
，得到
，所以面积
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13．行列式 【答案】－15 【解析】利用行列式的性质及相关定理知
14 ． 设 随 机 事 件 A 与 B 相 互 独 立 ， 且 P （ A ） ＝ 0.6 ， P （ B ） ＝ 0.5 ， 则 【答案】 【解析】
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三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 10 分）
4 / 139
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9．
________ .
【答案】
【解析】
10．曲线 【答案】 【解析】
在点（0，1）处的切线方程为 ________ .
，所以切线方程为
．
11．函数 【答案】
的单调递减且其图形为凹的区间为 ________ .
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第 1 部分 历年真题及详解
2017 年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求．）
1．当
时，下列变量中与 x 等价的无穷小量是（ ）．
求
．
解：利用等价无穷小和洛必达法则有
16．（本题满分 10 分）
求函数
的极值．
解：当
时，
．
（1）当
时，
；
（2）当
时，
；
（3）当
时，
；
综上，知函数 f (x) 在区间 (, 0) 上单调递减，在区间 (0,1) 上单调递增，在区间 (1, )
上单调递减，因此
当 x＝0 时，有极小值 f (0) 0 ； 当 x＝1 时，有极大值 f (1) e1 ．
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【解析】因为
，所以 x＝1 不是 f（x）可去间断点：又
，所以
而函数 f（x）在 x＝－1 无定义．所以 x＝－1 是 f（x）可去间断点．
3．
，则（ ）．
A．a＝1，b＝1 【答案】A
B．a＝1，b＝0
式
（ ）．
A．0
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【解析】
而两边同时去行列式得：
，则 A 的行列 ，从
6．设
，
．可以由
，
线性表示，则（ ）．
A． a＝1，b＝1 ＝－1
【答案】C
B．a＝1，b＝－1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝－1，b
【解析】令
，由题意可知
，即
7．设随机变量 X 的概率密度为
，
3 / 139
9 / 139
，求矩阵 ．
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解：因为
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，易证得
可逆，则
21．（本题满分 11 分）
设向量
是矩阵
的特征向量．
（I）求 a，b 的值；
（II）求方程组
的通解．
解：（I）设 所对应的特征值为 ，则
，得
（II）
从而
即得
，取
为自由未知量，得基础解系为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以当
时，x 的等价的无穷小量是
．
2．已知函数
，则（ ）．
A．x＝1，x＝－1 都是 f（x）的可去间断点 B．x＝1，x＝－1 都不是 f（x）的可去间断点 C．x＝1 是可去间断点，x＝－1 不是可去间断点 D．x＝1 不是可去间断点，x＝－1 是可去间断点 【答案】D
，求
19．（本题满分 10 分） 计算二重积分
及直线
围成．
，其中区域 D 由曲线
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解：积分区域 D 如下图黑色部分所示，令
，易得
所以
因为 In 的定积分公式
所以
20．（本题满分 11 分）
设矩阵
，矩阵 满足等式
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特解为
，故
的通解为
22．（本题满分 11 分）
设离散型随机变量 X 的分布函数为
（I）求
；
（II）求 X 的方差
；
（III）求
解：（I）计算得
所以 （II）计算得
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C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
【解析】由
及
知
得 b＝1，于是
4．设函数 f（x）连续， A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由导数公式
，得 a＝1．
，则
（ ）．
2 / 139
即可解得
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5．设 A 为 3 阶矩阵，E 为 3 阶单位矩阵，且