《数学分析》第七章 实数的完备性

若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
•定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设 H 为闭区间 [a, b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可
选出有限个开区间来覆盖 [a, b] .
•定理的证明
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
(ii) lim(b - a ) = 0,
[ 则称{a , b ]} 为闭区间套, 简称区间套.
n n
n
n
n
说明:
定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即 闭区间的端点满足不等式:
a1 a2 L an L bn L b2 b1.
•定理的证明
a 为递增有界数列， 由区间套定义知{ }
{ 有极限x， 且有 a x，n = 1,2,L. a 依单调有界定理， }
b 也有极限，并按区间套的条件(ii )有 同理，递减有界数列{ }
n n n
n
lim b = lim a = x , 且 b x，n = 1,2, L. n n
n n n
从而有 a 源自文库 x b ，n = 1,2, L.
这与M为f ([a, b])的上确界(最小上界)相矛盾. 所以必x [a, b], 使f (x ) = M .即f在[a, b]上有最大值. 同理可证f在[a, b]上有最小值.
三 介值性定理
设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f (a) f (b) ,若 为介于
f (a) 和 f (b) 之间任何实数, 则存在 x 0 (a, b) , 使得 f ( x0 ) = .
无穷多个点， 记其为[a 3 , b3 ], 则
1 M [a 2 , b 2 ] [a 3 , b3 ], 且 b3 - a3 = (b2 - a2 ) = . 2 2
无限进行， 则得区间列{[ an , bn ]}, 满足
[a n , b n ] [a n +1 , b n +1 ], n = 1,2,L,
若 x 的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,则称x 为 S 的聚点.
说明:
聚点概念和下面两个定义等价:
的点,即 U 。(x ; ) , ,则称 x 为
对于点集 S , 若点 x 的任何 邻域都含有 S 中异于 x
S
的聚点.
若存在各项互异的收敛数 {xn } S ,则其极限 lim xn = x 称为 S 的聚点.
四 一致连续性定理
若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续,则 f 在 [a, b] 上一致连续.
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由f在[a, b]上的连续性
0, x [a, b], x 0,当x ' U ( x; x )时有
f ( x ' ) - f ( x) .
有限个开区间来覆盖， 由区间套定理
x [an , bn ], n = 1,2,L,由于H是[a, b]的一个开覆盖
故 ( , ) H , 使x ( , ), 于是由区间套定理推论
当n充分大时有 [an , bn ] ( , ).
这表明[an , bn ]只须用H中的一个开区间( , )就能覆盖， 与挑选[an , bn ]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”矛盾.
H中有限个开区间来覆盖. 记其为[a2 , b2 ], 则 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], 且b2 - a2 = 2 (b - a). 2 不断进行下去， 则得到一个闭区间列{[ an , bn ]}, 它满足
[an , bn ] [an+1 , bn+1 ], n = 1,2,L, 1 bn - an = n (b - a) 0 (n ). 2 即{[ an , bn ]}是区间套， 且其中每一个闭区间都不能用H中有限个
n n
下面证明满足题设条件的x是唯一的. 设x '也满足a x ' b , n = 1,2, L ,
n n
则 x - x ' b - a , n = 1,2,L.
n n
由区间套定义(ii )得 则 x - x ' lim (b - a ) = 0,
n n n
故有 x = x ' .
考虑开区间集 H = {U ( x ' ; x' ) x ' [a, b]},
显然H是[a, b]的一个无限开覆盖， 由有限覆盖定理，
存在H的一个有限子集 H = {U ( xi ; i ) xi [a, b], i = 1,2,L, k}
覆盖了 a, b]， 且存在正数M1 , M 2 ,L, M K , 使得 [
1 g ( x) = , x [a, b]. M - f ( x)
则g ( x)在[a, b]上连续， 故g ( x)在[a, b]上有界， 设G是g的一个上界，
1 则 0 g ( x) = G, x [a, b]. M - f ( x)
1 从而推得 f ( x) M - , x [a, b]. G
一 有界性定理
若函数 f 在闭区间 [a, b]上连续,则 f 在 [a, b] 上有界.
证明:
(应用有限覆盖定理证明)
由连续函数的局部有界性，
x ' [a, b], U ( x ' ; x' ), M x' 0使得
f ( x) M x ' x U ( x ' ; x ' ) [a, b].
开区间来覆盖[a, b]. 将[a, b]等分为两个子区间， 则其中至少有一个子区间不能用H
中有限个开区间来覆盖. 记其为[a1 , b1 ], 则
1 [a1 , b1 ] [a, b], 且b1 - a1 = (b - a). 2 将[a1 , b1 ]等分为两个子区间， 同样其中至少有一个子区间不能用
若函数 f 在闭区间 [a, b]上连续,则 f 在 [a, b] 上有最大值和最小值.
证明:
(应用确界原理证明)
由于已证得f在[a, b]上有界.故由确界原理, f ([a, b])有上确界，
记为M .
以下证明: x [a, b], 使f (x ) = M .
假设x [a, b] 都有f ( x) M , 令
从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a, b].
四 小结
(1)
(2) (3)
区间套的概念;
区间套定理; 聚点的概念;
(4)
(5) (6)
Weierstrass聚点定理;
开覆盖的概念; Heine-Borel有限覆盖定理;
五 作业
P168: 1, 2, 3, 5, 6.
第七章 实数的完备性 7.2 闭区间上连续函数性质的证明
M bn - an = n -1 0, (n ), 2 即{[a n , bn ]}是区间套， 且其中每个闭区间都含有S中无穷多外点.
由区间套定理及推论，
x [a n , bn ], n = 1,2,L, 0, N 0, n N有[an , bn ] U (x ; ).
将上述过程不断进行下去， 将出现两种情形 :
(i) 在某一区间的中点ci 上有g (c i ) = 0, 则ci即为所求; (ii ) 在任一区间的中点ci 上均有g (c i ) 0, 则得到闭区间列{[ an , bn ]}
满足g (an ) 0.g (bn ) 0, 且
1 [an +1 , bn +1 ] [an , bn ]，bn - an = n (b - a), n = 1,2,L. 2
x U ( xi ; i ) [a, b]. 有 f ( x) M i i = 1,2,L, k.
令 M = max M i
1i k
则x [a, b], x必属于某U ( xi ; i ) f ( x) M i M .
从而f在[a, b]上有界.
二 最大最小值定理
1 则有g (a1 ) 0，g (b1 ) 0, 且[a1 , b1 ] [a, b]，b1 - a1 = (b - a). 2
再从[a1 , b1 ]出发， 重复上述过程， 得到 : 或者在[a1 , b1 ]的中点c1上有g (c1 ) = 0, 或者在[a2 , b2 ]上满足g (a2 ) 0, g (b2 ) 0, 且 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], b2 - a2 = 2 (b - a). 2
证毕.
•推论 若x [a, b](n = 1,2,)是闭区间套 {[an , bn ]} 所确定的点， 则
0, N N + , n N , 有[an , bn ] U (x ; ).
说明:
区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
二 聚点定理
•定义 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于 S ,也可以不属于 S
考虑开区间集合 H = {U ( x,
x
2
) x [a, b]},
显然H是[a, b]的一个开覆盖， 由在限覆盖定理
存在H的一个有限子集 H = {U ( xi ,

i
2
) i = 1,2,L k},
覆盖了[a, b].记
i = min 0. 1 k k 2
即U(x ; )内含有S中无穷多个点，
从而x为S的一个聚点.
证毕.
•推论(致密性定理)
有界数列必含有收敛子列.
三 有限覆盖定理
•定义
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个
元素都是形如 ( , )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个
开区间内,则称 H为 S 的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
x ' , x '' [a, b], x ' - x '' , x '必属于H 中某个开区间，
设x U ( xi ,
' '' ''
i
2
), 即 x - x
' '
第七章 实数的完备性


关于实数完备性的基本定理 闭区间上连续函数性质的证明


第七章 实数的完备性
7.1 关于实数完备性的基本定理
一 区间套定理
•定义
设闭区间列
n n
{a [
n
具有如下性质 , b ]}
n
:
(i) [a , b ] [a , b ], n = 1,2,L;
n +1 n +1
n
•定理 (Weierstrass聚点定理)
实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点.
•定理的证明
因S为有界点集， 故M 0, 使得S [-M, M], 记[a1 , b1 ] = [-M, M]
现将[a1 , b1 ]等分为两个区间， 因S为无限点集， 故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点 ， 记此子区间为 [a 2 , b 2 ], 则 1 [a 1 , b1 ] [a 2 , b 2 ], 且 b2 - a2 = (b1 - a1 ) = M . 2 将[a 2 , b2 ]等分成两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有S中
由区间套定理， x0 [a, b], n = 1,2,L.
下证g ( x0 ) = 0. 假设g ( x0 ) 0.不妨设g ( x0 ) 0,由局部保号性 U ( x0 ; ), 使在其内有g ( x0 ) 0, 由区间套定理推论， 当n充分大时有[an , bn ] U ( x0 ; ), 因而有g (an ) 0. 这与[an , bn ]选取时g (an ) 0矛盾. 故必有g ( x0 ) = 0.
证明:
(应用区间套定理证明)
不妨设f (a) f (b), 令g ( x) = f ( x) - ,
则g是[a, b]上的连续函数， 且g (a) 0, g (b) 0
即证 x0 (a, b), 使得g ( x0 ) = 0 (根的存在性定理).
将[a, b]等分为两个子区间[a, c]与[c, b]， 若g (c) = 0, 则c即为所求; 若g (c) 0, 则当g (c) 0时记[a1 , b1 ] = [a, c]， 当g (c) 0时记[a1 , b1 ] = [c, b]，