随机变量的几种收敛及其相互关系

论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。

概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。

主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。

给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。

本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。

关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性。

概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。

特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。

概率论中的重要概念——概率的收敛性，寻找概率收敛中的随机变量序列收敛性的相互性质以及收敛性之间的相互关系，弄清楚它们之间的关系在理论和应用上都是很有意义的。

1 几种收敛性定义定义1.1 (r 阶收敛)设对随机变量n X ,及X 有||,||r r n E X E X <+∞<+∞,其中0r >为常数,如果lim 0rn n E X X →∞-= 则称{n X }r 阶收敛于X ,并记为r n X X −−→. 当2p =是，2lim 0n n E X X →∞-=，称{,1}n X n ≥均方收敛到X 。

记为..m s n X X −−→. 例 1.1 设{,1k X k n ≤≤}相互独立，且满足1(1)n P X n==，1(0)(1)n n P X n n -==≥，()0X ω≡。

则21(0)0n E X n-=→，故2lim 00n n E X →∞-=，即..0m s n X −−→. 定义1.2 (几乎处处收敛)如果(lim )1n n P X X →∞== 则称{n X }以概率1收敛于X ,又称{n X }必乎处处收敛于X ,并记为..a s n X X −−→.例1.2 设{n X ，1n ≥}，,X Y 是定义在[0,1]上博雷尔概率空间(,,)F P Ω= ([0,1],[0,1],)F P 上的随机变量，满足：[0,1]ω∀∈，()1Y ω=。

而()1X ω=，若B ω∈={[0,1]上理点}；()0X ω=，若B ω∈={[0,1]上有理点全体}。

而()1X ω=，若1,12ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()0n X ω=，若10,2n ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

则易知(:()())()0P X Y P B ωωω≠==。

(:lim ()())n n X Y ωωω→∞==Ω；(:lim ()())n n X X B ωωω→∞==≠Ω，但1B =，故..a s n X X −−→。

定义1.3 （依分布收敛）设随机变量n X ,X 的分布函数分别为()n F x 及()F x 。

若对()n F x 的每个连续点x 有lim ()(),n n F x F x →∞=则称{n X }依分布函数收敛于X （()n F x 弱收敛到()F x ）。

记为L n X X −−→，或者()()W n F x F x −−→。

例 1.3 n Z ，n Y 的记号同林德伯格-莱维（Lindeberg-Levy ）定理，令Z ~2(0,1)N ，则L n Z Z −−→，即x R ∀∈，有lim ()()n n P Z x x →∞≤=Φ。

定义1.4 （依概率收敛）如果对于任意ε>0,lim (||)0n n P X X ε→∞-≥= 则称{X n }依概率收敛于X ，并记为P n X X −−→或lim n n p X X →∞=. 例 1.4 设｛,1k Y k n ≤≤｝独立同分布，且1Y ~[0,1]U ，令1/nn k k X Y n ==∑，则由大数定律可知1()2P n X n −−→→∞. 2 依概率收敛与依分布收敛的关系随机变量序列依概率收敛和依分布收敛是概率论中两种较重要的收敛形式,弄清楚它们之间的关系是本节要讨论的.本节约定所涉及定义1.3，定义1.4。

定理2.1 若随机变量序列{}n X 依概率收敛于某随机变量X ,则{}n X 依分布收敛于X .但定理2.1的逆不成立。

证明 设x x '<，则{n X x '≤}={n X x ≤,X x '≤}{n X x >,X x '≤}⊂{}{,}n n n X x X x X x '≤>≤从而 ()()(,)n n n F x F x P X x X x ''≤+>≤设P n X X −−→，则 (,)(||)0n n n P X x X x P X X x x ''>≤≤-≥-→因而有()lim ()n n n F x F x →∞'≤ 同理可证，对x x ''<，有lim ()()n n n F x F x →∞''≤ 所以对x x x '''<<，有()lim ()lim ()()n n n n n n F x F x F x F x →∞→∞'''≤≤≤ 如果x 是()F x 的连续点，则令x '，x ''趋于x ，得()lim ()n n F x F x →∞= 即L n X X −−→. 反之不然，例如，若样本空间12{,}ωωΩ=，12()()1/2P P ωω==，定义随机变量()X ω如下：12()1,()1X X ωω=-=，则()X ω的分布律为(())1/2P X k ω==，1k =-,1,如果对一切n ，令()()n X X ωω=-，则显然()()L n X X ωω−−→。