北师大版八年级数学上册--第五单元 《应用二元一次方程组-里程碑上的数》典型例题练习题(含答案)
初中数学八年级上册(北师大版) 5. 5应用二元一次方程组—里程碑上的数课件
A.
x y 8
xy
18
yx
B.
x y 8
x
10
y
18
10x
y
C.
x y 8 10x y 18
yx
x y 8 D. 10(x y) yx
周瑜寿属
大江东去浪淘尽, 千古风流数人物; 而立之年督东吴, 早逝英年两位数; 十位恰小个位三, 个位平方与寿符; 哪位学子算得快, 多少年华属周瑜?
典型例题
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的 两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的 两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数 大2178，求这两个两位数.
等量关系： １．较大的两位数 + 较小的两位数 ＝68, ２．前一个四位数 – 后一个四位数＝2178
x y
随随堂堂检检测测
组际批阅法
要求： 1.每个小组第一个完成的同学，由老师 批阅后，去其他小组的批阅. 2.批阅后反馈结果，解答疑问. 3.将分数填写在学案的分数栏上. 4.每组记分员算出本组的平均得分，计 入本节课小组的最终得分.
八年级数学上册第5章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数预学课件新版北师大版
＝
，
( + .) + . = ，
依题意，得ቊ
解得൞
＋( + ) = .
＝ .
所以甲的速度是
千米/时，乙的速度是 千米/时.
变式2【2024重庆合川中学月考情境题·生活应用】甲、乙两
( − ) = ，
＝ ，
依题意，得ቐ
解得൞
(＋) = ，
＝ .
所以甲的速度是 米/秒，乙的速度是
米/秒.
人相约去环行运动场进行跑步锻炼，绕环行运动场跑步一
圈的里程为400米.甲、乙同时同起点出发(甲、乙两人分别
以一定的速度匀速跑步).若同向而行，640秒后两人第一次
相遇；若相向而行，
秒后两人第一次相遇.已知甲比乙
跑得慢，求甲、乙两人的速度.
解：设甲的速度是 x 米/秒，乙的速度是 y 米/秒.
与这个两位数的和是146；如果用这个两位数除以这个一位
数，那么商为6、余数为2，则这个两位数是 56
.
知识点2 用二元一次方程组解决行程问题
甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行.如果甲比乙先
走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走
2小时，那么在甲出发后2小时相遇.求甲、乙两人的速度.
位数.
解：设原来的两位数的个位数字为 x ，十位数字为 y ，由题
＋ = ，
意，得ቊ
＋ + = ＋，
= ，
解得ቊ
所以原来的两位数为34.
八年级数学上册第5章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数课件新版北师大版
跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？
则风速是( A )
A. 50里/分
B. 150里/分
1
2
3
4
5
C. 200里/分
6
7
8
9
10
D. 250里/分
5. 甲、乙两地相距960 km，小轿车从甲地出发，2 h后，大
客车从乙地出发，相向而行.又经过4 h两车相遇.已知小
= ，
即ቊ
解得 b ＝9.
+ = ，
所以既是“长平数”又是“长久数”的数为199、299、399、
499、599、699、799、899.
又因为既能被3整除，又能被7整除，所以此数为399.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(3)求最小的“长久数”.
解：由(2)可知199为“长久数”，所以最小的“长久数”
如：123≠1＋2＋3＋1×2＋2×3＋1×3＋1×2×3，所以
123不是“长久数”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
；999 是
(1)最小的“长平数”为 122
(填“是”或“不
是”)“长久数”；
(2)若一个三位数既是“长平数”又是“长久数”，且它既能
被3整除，又能被7整除，求满足这些条件的所有三位数；
1
2
书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的
空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3
个数之和相等，则 x ＋ y 的值为
北师大版初中八年级数学上册第5章5应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
x
y
10x+y
原两位数
y
x
10y+x
新两位数
相等关系:①个位数字+十位数字=7;②原来的两位数+45=对调后组成的
两位数.
解 设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意,得
+ = 7,
= 1,
解得
= 6.
10 + + 45 = 10 + ,
所以原两位数是16.
知识点二
工程问题
【例2】 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完
成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的
生产进度在客户要求的期限Leabharlann 只能完成订货的45
;现在工厂改进了人员组
织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200套,这样不仅比规定时间少
用1天,而且比订货量多生产25套,求定做的工作服是几套?要求的期限是几
所以定做的工作服是3 375套,要求的期限是18天.
【规律总结】
解决工程问题关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作
效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷
工作时间”.其次注意当题目与工作量的大小、多少无关时,通常用“1”表示
总工作量.
二元一次方程组
5
应用二元一次方程组——里程碑上的数
核心·重难探究
知识点一
数字问题
【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,如果这个两位数加上
45,则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数,求这个两位数.
思路分析 设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,用下表表示:
北师大版数学八年级上册应用二元一次方程组—里程碑上的数课件
X=1 Y=6
答：小明在12：00时看到里程碑上的数是16
NBA之神——迈克尔·乔丹
乔丹在他的NBA生涯中用过的球
衣号码，有两个号码之和为68而
且都是两位数，在较大的数的右
??
边接着写较小的数，得到一个四
位数；在较大的数的左边写上较
小的两位数，也得到一个四位数，
已知前一个四位数比后一个四位
数大2178，你能通过计算，知道
3、在很多实际问题中，都存在着一些等量关系， 因此我们可以借助列方程组的方法来处理这些问题。对于 复杂的问题可以列出提纲或图表分析，可运用化归等数学 思想方法，根据具体问题灵活选用．
作业： B组．122页习题5.6 2.3.4题; A组. 习题5.6 1.2.3.4题
了个0。
小明14:00时看到的数可表示为 100x+y ，
里程碑
x 0y
公 里
13:00~14:00间摩托车行使的路是(100x.+y)—(10y+x)
4、12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车 的行使路程有什么关系？你能列出方程吗？
路程是相等的
x ＋ y ＝７
{ （１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）.
本来的两位数可表示为:
________1__0_x_+__y_____
新的两位数可表示为:
_______1_0_y_+_x________
所列方程组为：
??
x+y=9
(10y+x)-(10x+y)=27
第二关
一个两位数，减去它的 各位数字之和的3倍，结果是 23；这个两位数除以它的各 位数字之和，商是5，余数是 1.这个两位数是多少？
八年级数学上册第五章二元一次方程组5应用二元一次方程组——里程碑上的数作业课件(新版)北师大版
【素养提升】 12．(16分)在期末一节复习课上，八(1)班的数学老师要求同学们列二元一次方程 组解下列问题： 在某市“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3 000 m 的村路，甲队每天修建150 m，乙队每天修建200 m，共用18天完成．
(1)粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记
解：设乙的速度为x m/min，环形场地的周长为y m，则甲的速度为2.5x m/min.
y＝2.5x×4－4x，
x＝150，
由题意，得y＝4x＋300， 解得y＝900， 所以2.5x＝2.5×150＝375，所以甲、
乙两人的速度分别为375 m/min，150 m/min，环形场地的周长为900 m
第五章 二元一次方程组
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
用二元一次方程组解数字问题
1．(4பைடு நூலகம்)已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列的方程组正确的是
( C)
x＋y＝10， A．y＝3x＋2
x＋y＝10， C．x＝3y＋2
x＋y＝10， B．y＝3x－2
x＋y＝10， D．x＝3y－2
4．(10分)有一个三位数，它的百位数字的9倍比将这个三位数的百位数字去掉后得 到的两位数小3，若将它的百位数字移到最右边，得到的新的三位数比这个三位数小 45，试求这个三位数．
解：设这个三位数的百位数字为x，将这个三位数的百位数字去掉后得到的两位数为
9x＝y－3，
x＝4，
y，根据题意，得10y＋x＝100x＋y－45，
（1 000x＋y）－（100y＋x）＝12 600， 解得 y＝125.
这个三位数是125
所以这个两位数是25，
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数++课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册
——里程碑上的数
1.数字问题
(1)一个两位数,若十位数字是a,个位数字是b,则这个两
位数可表示为= 10a+b .
(2)一个三位数,若百位数字是a,十位数字是b,个位数字
是c,则这个三位数可表示为= 100a+10b+c .
(3)一个五位数,若末三位数字组成的数为b,前两位数字
(1)相遇问题:两人走的路程和等于两地间的距离.
(2)追及问题:①两人同地但不同时出发,同向而行,直到
后者追上前者,两人所走的路程相等;
②两人异地同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两
人所走的路程差等于两地间的距离.
例:在笔直的道路上,甲、乙两人相距4 km,以各自的速度同时
出发.若同向而行,则甲2 h追上乙;若相向而行,则两人0.5 h后
所以原来的两位数为52.
1.已知两数x,y之和是10,x比y的3倍大2,则下面所列方程
组正确的是( C )
+ = 10,
A.
= 3 + 2
+ = 10,
C.
= 3 + 2
+ = 10,
B.
= 3 − 2
+ = 10,
D.
= 3 − 2
2.一个三位数与一个两位数的差为85,在这个三位数的右
2 − 2 = 4,
0.5x+0.5y=4 .因此,可列方程组为
.
0.5�� + 0.5 = 4
(3)环形问题:①两人同时同地同向而行,首次追及,两
人所走的路程之差为环形周长;
②两人同时同地反向而行,首次相遇,两人所走的路
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数.课件+2024—2025学年北师大版数学八年级上册
较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写
上较小的两位数,也得到一个四位数.若这两个四位数的和
是5050,设较大的两位数为x,较小的两位数为y,根据题意列
方程组为
− = 10,
(100 + ) + (100 + ) = 5050
.
课
堂
小
结
与
检
测
2.一个两位数,它个位上的数字与十位上的数字的和是10,把
;
图5-5-1
探
究
与
应
用
(3)14:00时小明看到的数可表示为 100x+y ,13:00~14:00间
摩托车行驶的路程是
(100x+y)-(10y+x)
;
(4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程
有什么关系?你能列出
相应的方程吗?
图5-5-1
探
究
与
应
用
解:12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程相
探
究
与
应
用
学 方法
列二元一次方程组解数字问题
一般采用间接设未知数法,通常设组成这个多位数的各个数
位上的数字为未知数.如若一个两位数,个Байду номын сангаас数字为a,十位数
字为b,则这个两位数表示为10b+a.
探
究
与
应
用
例2 (教材典题)两个两位数的和是68,在较大的两位数的右
边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数
这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调,所得的数
5.5应用二元一次方程组里程碑上的数 课件北师大版数学八年级上册
思考
你能归纳列方程组解决实际问题的一般步骤吗？
1. 审题，找 等量关系
2. 设未知数
3. 列方程组
4. 解方程组
5. 检验
任务三：波浪公路之旅
一段波浪公路开始离结束 2.7千米，其中有几段为上坡路，剩下为下坡 路，开完全程共用 5分钟. 已知汽车上坡时的平均速度是 30 千米/时， 下坡时的平均速度是 60千米/时.问这段波浪公路上、下坡各多少千米？
解方程 组
检验
随堂练习
1. 李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨 7:00 时看到里程碑上的数是 一个两位数，它的数字之和为 9；8:00 时看到里程碑上的两位数与 7:00 时看到的个位数字和十位数字互换了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8 倍，李刚在 7:00 时看到的数字为多少？
x
y
新三位数
y
x
表达式 100x + y 10y + x
解：设原三位数百位数字为 x，后两位数字为 y. 得方程组：9x = y - 3 100x + y - 45 = 10y + x
9x = y - 3 化简得，
11x - y= 45
解得： x = 4 y = 39
答：原三位数为 439.
3. 汽车在上坡时速度为 28 km/h，下坡时速度 42 km/h，从甲地到乙
解：设乙队每分钟作业长度为 x m，甲每分钟作业长度为 y m.
据题意得： y=x+50
6x 4( x
50)
,
化简得，
y=x+50 x 100
,
解得：
x=100
y
150
,
因此乙队每分钟作业长度为 100 m，甲每分钟作业长度为150 m.
北师大版数学八年级上册应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
目录
01 本课目标 02 课堂演练
本课目标 1. 会分析复杂问题中的数量关系，建立方程组并解决实际问题.
2.进一步探索和体验列方程组解决实际问题的过程.
知识重点 知识点一：数字问题 两位数=10×__十__位__数__字____+___个__位__数__字___.
y= n-16.
因为n为正整数，且两个两位数均大于40，
所以 x1=33，(不符题意，舍去)，x2=62， x3=91，
y1=13
y2=42， y3=71，
x4=120， （不符题意，舍去）. y4=100 答：这两个两位数分别为62，42或91，71.
典例精析 【例2】从A地到B地全程290 km，前一路段为国道，其余路段为 高速公路.已知汽车在国道上行驶的速度为60 km/h，在高速公路 上行驶的速度为100 km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了 3.5 h.求A,B两地间国道和高速公路各多少千米.
解：设甲班组平均每天掘进x m，乙班组平均每天掘进y m.根据 x-y＝0.5，
题意，得 6(x+y)＝57.
x＝5， 解得
y＝4.5.
答：甲班组平均每天掘进5 m，乙班组平均每天掘进4.5 m.
典例精析 【例4】某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺 钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母.为了使每天 的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生 产螺母？
对点范例 2.临沂至济南全长约338 km，一辆小汽车和一辆客车分别从临沂 、济南两地同时相向开出，经过2 h相遇，相遇时，小汽车比客车 多行驶32 km.设小汽车和客车的平均速度分别为x km/h和y km/h
最新北师大版数学八年级上册《5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数》精品教学课件
整理得
x y 7 6x y 0
解得xBiblioteka 1,y6答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.
小结：对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题 中的未知量，已知量以及等量关系，使其条理清楚， 将复杂问题转化为简单问题.
探究新知
素养考点 1 列二元一次方程组解答数字问题
例 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的 两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的 两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数 大2178, 求这两个两位数.
探究新知
知识点 1 列二元一次方程组解答数字问题
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是 小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到 的里程碑上的数吗？
是一个两位数， 它的两个数字
之和为7．
十位与个位数字 与12:00时所看 到的正好互换
了．
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0．
北师大版 数学 八年级 上册
5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
导入新知
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟. 归时四分行六百，风速多少才称雄？
素养目标
3. 能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组 解决问题. 2. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题 的过程.
1. 利用二元一次方程解决数字问题和行程问题.
根据题意，得
x 10 x
y
11, y 10
y
x
9,
解这个方程组得: 10y＋x＝56.
x
y
6, 5.
答：原来的两位数为56.
归纳小结: 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设 这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设 为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适 的等量关系，列出方程组，再进行求解．
5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数 课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册
反思
甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米， 再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍． 求甲、乙两人的平均速度．
解：设甲的平均速度为 x 千米/时，乙的平均速度为 y 千米/时． 3x＋3y＝30－3，
根据题意，得 30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]， x＝4，
写出原数
目标二 会用二元一次方程组解决行程问题
例2 教材补充例题 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设她始终 保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，那么她从 家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.请问小华家离学校多远．
解：设平路有 x m，坡路有 y m. x ＋ y ＝10， 60 80
3x＋3y＝30－3， 根据题意，得 30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，
x＝4， 解得 y＝5.
(2)若两人相遇之后相距 3 千米， 3x＋3y＝30＋3，
根据题意，得 30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，
x＝513， 解得 y＝523. 综上，甲的平均速度为 4 千米/时，乙的平均速度为 5 千米/时，或甲的平均 速度为 5 13千米/时，乙的平均速度为 5 23千米/时．
解得 y＝5. 所以甲的平均速度为 4 千米/时，乙的平均速度为 5 千米/时． 上面的解答过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．
解：不正确． 理由：错解在于对“经过 3 小时后相距 3 千米”理解不透，是指甲、乙两人相遇之前 相距 3 千米，还是他们相遇之后相距 3 千米，条件没有明确交代，造成解题错误． 正解：设甲的平均速度为 x 千米/时，乙的平均速度为 y 千米/时． (1)若两人相遇之前相距 3 千米，
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《应用二元一次方程组---里程碑上的数》典型例题例1有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
例2下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：（收盘价：股票每天交易结束时的价格）
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股．
例3 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99．求这个三位数．
例4一个两位数除以它各位数字之和的商为7，余数为6，如果它十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数去除以各位数字之和，商为3，余数为5，求这个两位数．
参考答案
例 1 分析 若设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，则这个两位数是x y +10．再根据“个位上的数比十位上的数大5”，“新数与原数的和为143”可以列出两个方程．
解 设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得
⎩⎨⎧=+++=-.143)10()10(,5x y y x x y 整理，得⎩⎨⎧=+=-.
13,5y x x y 解得⎩⎨⎧==.9,4y x 答：这个两位数是49．
说明：本题若设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为)5(+x ，列出一元一次方程求解也很方便．
例2 解 设该人持有甲、乙股票分别是x 、y 股，根据题意，得
⎩⎨⎧=-+-=-+-,1300)3.139.13()5.129.12(,200)5.133.13()125.12(y x y x 解得⎩
⎨⎧==.1500,1000y x 答：该人持有甲、乙股票分别为1000，1500股．
例3 分析：这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上的数字．有三个相等关系：
（1）百位上数字 ＋ 十位上数字＋个位上数字=13
（2）十位上的数字=个位上数字＋2
（3）百位上数字与个位上数字交换后的三位数=原三位数＋99
解：设这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上数字为z ，
根据题意，得 ⎪⎩
⎪⎨⎧+++=+++==++991010010100213x y z z y x x y z y x
解方程组，得 ⎪⎩
⎪⎨⎧===364z y x
答：这个三位数是364．
例4 分析：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，那么这个两位数是10x ＋y ，两个数字之和是（x 十y ），个位数字与十位数字对调后的两位数是10y
十x ，由题意可列出两个等式．
解：设两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，
根据题意，得⎩⎨⎧++=+++=+)
2(5)(310)1(6)(710y x x y y x y x )4(2)3(-⨯得 ,93=y 3=y ，
把3=y 代入（3），得8=x ．
答：这个两位数是83．
说明：数字问题要善于抓住其特征，正确地表示出三位数，然后找出等量关系，列出方程组．。