2017 年天津市十二区县重点校高考第一次模拟考试理科数学试卷及答案精品精品

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天津市武清区2016-2017学年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析

天津市武清区2016-2017学年高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．23．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．154．设a=log412，b=log515，c=log618，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a5．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知关于x的不等式（ab＞1）的解集为空集，则的最小值为（）A．B．2 C． D．4AM 8．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则DC 的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．（1，0），点H（2，）在椭圆上．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PFQ的2周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足：b 1=，b n+1=b n （n ∈N +），记数列{b n }的前n 项和为T n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ；（2）求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和公式T n ；（3）记集合M={n|≥λ，n ∈N +}，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围．20．设函数f （x ）=﹣aln （1+x ），g （x ）=ln （1+x ）﹣bx ．（1）若函数f （x ）在x=0处有极值，求函数f （x ）的最大值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式g （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn ≤（n=1，2．…）．天津市武清区2016-2017学年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．3．已知如程序框图，则输出的i 是（）A ．9B ．11C ．13D ．15【考点】循环结构．【分析】写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C4．设a=log 412，b=log 515，c=log 618，则（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】由于a=1+log 43，b=1+log 53，c=1+log 63，而log 43＞log 53＞log 63，即可得出．【解答】解：∵a=log 412=1+log 43，b=log 515=1+log 53，c=log 618=1+log 63，而log 43＞log 53＞log 63，∴a ＞b ＞c ．故选：A ．5．已知f （x ）=2x+3（x ∈R ），若|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），则a ，b 之间的关系是（）A ．B ．C ．D ．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】化简|f （x ）﹣1|＜a 得＜x ＜．化简|x+1|＜b 得﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1，由题意可得（，）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1），故﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，由此求得a ，b 之间的关系．【解答】解：|f （x ）﹣1|＜a 即|2x+2|＜a ，即﹣a ＜2x+2＜a ，即＜x ＜． |x+1|＜b 即﹣b ＜x+1＜b 即﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1．∵|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），∴（，）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1），∴﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，解得b ≥，故选A ．6．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，b ），B 2（0，﹣b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），且a 2+b 2=c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b 2c 2=a 2（b 2+c 2），即有c 4+a 4﹣3a 2c 2=0，由e=，可得e 4﹣3e 2+1=0，解得e 2=，可得e=，（舍去）．故选：A ．7．已知关于x 的不等式（ab ＞1）的解集为空集，则的最小值为（）A ．B ．2C ．D ．4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选D．8．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出与，然后求解的表达式，求出最大值即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，﹣2），设D（2cosα，2sinα）．∴=（4，﹣2），=（2﹣2cosα，﹣2sinα）．•=4×（2﹣2cosα）+4sinα=8﹣8cosα+4sinα=8+4sin（α﹣θ），其中tanθ=2．sin（α﹣θ）∈[﹣1，1]，∴的最大值是8+4，故选：A．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】射线画出函数图象，明确f（x）与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（x的）与x轴围成封闭图形如图，其面积为：==；故答案为：．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是以侧视图为底面，高为2的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是以侧视图为底面，高为2的四棱锥体积V==2，故答案为：2．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】分别把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式：弦长=2，即可得出．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程： =4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为﹣20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得=（1﹣x2）6开式中x6的系数为﹣，计算求的结果．【解答】解：（1+x）6（1﹣x）6=（1﹣x2）6开式中x6的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AB，利用切割线定理先求出PC，进而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC2=AC2+AB2①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一组公共角，可证△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；两式联合可求AC．【解答】解：连接AB，根据切割线定理有，PA2=PB•PC，∴102=5×（5+BC），解得BC=15，又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，∴PA：AB=PC：AC，∴10：AB=20：AC①；∵BC是直径，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2=152②；①②联立解得AC=．故答案为：．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．【考点】平面向量的坐标运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求．【解答】解：（1）∵，∴===∴令∴∴f（x）的单调区间为，k∈Z．（2）由f（A）=4得∴又∵A为△ABC的内角∴∴∴∵∴∴c=2∴∴（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴，∴，2 3数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；（Ⅲ）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为60°转化为两向量所成的角为60°，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED．（Ⅱ）解：因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．如图建立空间直角坐标系，因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．所以，，设为平面FGH的一个法向量，则，即，=1，得．再令y1，设为平面PBC的一个法向量，则，即，=1，得．令z2所以=．所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为．（Ⅲ）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°．依题意可设，其中0≤λ≤1．由，则．又因为，所以．又直线FM 与直线PA 成60°角，，所以，即，解得：．所以，．所以，在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60°，此时PM 的长为．18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问：△PF 2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上，建立方程组，可得a 值，进而求出b 值后，可得椭圆方程；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），分别求出|F 2P|，|F 2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得结论．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上，∴由题意，得，…解得a=3，b=2…∴椭圆方程为．…（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），（|x 1|≤3）∴|PF 2|2=（x 1﹣1）2+y 12=（x 1﹣9）2，∴|PF 2|=3﹣x 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x 12+y 12﹣8=x 12，∴|PM|=x 1，∴|PF 2|+|PM|=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 同理可求|QF 2|+|QM|=3∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=6为定值．…19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足：b 1=，b n+1=b n （n ∈N +），记数列{b n }的前n 项和为T n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ；（2）求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和公式T n ；（3）记集合M={n|≥λ，n ∈N +}，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，得到数列{b n }的通项公式，再利用错位相减法求出前n 项和公式T n ；（3）根据函数的的单调性，得到不等式，n ∈N +继而求实数λ的取值范围【解答】解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得，解得，∴a n =n ，∴．（2）由题意得，累乘得．由题意得①②②﹣①得：∴（3）由上面可得，令，则f（1）=1，，，，．下面研究数列的单调性，∵，∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．∵集合M的子集个数为16，∴M中的元素个数为4，∴不等式，n∈N+解的个数为4，∴20．设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn≤（n=1，2．…）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值，得a=1，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；（2）由已知得：再对b分情况讨论：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1综合得出b的取值范围是x∈[1，+∞）；（3）由前两问综合得出．【解答】解析：（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值∴，∴a=1∴，∴当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；∴函数f（x）的最大值为f（0）=0．（2）由已知得：①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在[0，+∞）上为减函数，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx＜g（0）=0在（0，+∞）上恒成立；②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在[0，+∞）上为增函数，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；③若0＜b＜1，则时，，当时，g'（x）≥0，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在上为增函数，此时g（x）=ln（1+x）﹣bx＞g（0）=0，∴不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；综上所述，b的取值范围是b∈[1，+∞）．（3）由（1）、（2）得：取得：．令，则，．因此．又，故．。

2017高考天津卷数学卷(理)及答案

2017天津卷（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C = （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23（B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -=（B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市十二区县重点中学2017高三毕业班联考(数学理)(含答案)word版

• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号二三15 16 17 18 1920总分分数得分评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为，求 DE 的直线方程．7得分评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．答案： 43 511．已知离心率为的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________．答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是．（用数字作答）答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ，四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ，代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分（Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分评卷人已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分（Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。

[精品]2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷及解析答案word版(理科)

2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．24．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，且b n﹣b n=．+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：B2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．1【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由解得A（0，1）化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：根据题意，得a=2017，i=1，b=﹣，i=2，a=﹣，b=，i=3，a=，b=2017，不满足b≠x，退出循环，输出i的值为3．故选：C．4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”⇔△=a2﹣4＜0，⇔“|a|＜2”．∴“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π【解答】解：由题意，cosA=，∴sinA=．由正弦定理：，可得：2RsinBcosC+2RsinCcosB=2．即R（sinBcosC+sinCcosB）=1．RsinA=1．∴R=3．圆的面积为：πR2=9π．故选：C．6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，∵故选D．7．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]【解答】解：函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，x∈R，∴f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）•（﹣x）=（e x﹣e﹣x）x=f（x），∴f（x）是定义域R上的偶函数；又f（x）=f（﹣log 3x）=f（log3x），∴不等式f（log 3x）+f（log x）≤2f（1）可化为f（log3x）≤f（1）；又f′（x）=（e x﹣e﹣x）+（e x+e﹣x）x，当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；∴原不等式可化为﹣1≤log3x≤1，解得≤x≤3；∴x的取值范围是[，3]．故选：B．8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=﹣2．【解答】解：复数z===+i是纯虚数，则=0，≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体左边是半圆柱，右边是四棱锥．∴该几何体的体积V=+=．故答案为：．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为240．【解答】解：a=cosxdx==2，则的展开式中通项公式：T r==26﹣r，+1令3﹣=0，解得r=2．∴常数项==240．故答案为：240．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程：=4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．【解答】解：抛物线（t为参数），消去参数化为：y2=4x．设直线l的方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=1，（*）可得线段AB的中点M．∵|AF|=3|FB|，∴=3，∴1﹣x1=3（x2﹣1），与（*）联立可得：k2=3，取k=．∴M，∴过AB的中点且垂于l的直线方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得G，∴点G到直线l的距离d==．|AB|===．∴△ABG的面积S=•d•|AB|=×=．故答案为：．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为3．【解答】解：由向量共线定理可得：=m+（1﹣m）=+（1﹣m）×．==+．∴，（1﹣m）×=．化为：a﹣1=．∴+=b﹣2+≥2，当且仅当b=a=3时取等号．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．根据正切函数的性质可得x+≠，k∈Z，可得：x≠，k∈Z，函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠，k∈Z}．将函数f（x）化简可得：f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+．=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cso2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x﹣）当x∈[﹣，0]上时，可得：2x﹣∈[，]．当2x﹣=时，f（x）取得最小值为﹣．当2x﹣=时，f（x）取得最大值为．故得函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有1名倾向于选择实体店的女性购物者”为事件A，则P（A）=+=；（Ⅱ）根据题意，X的取值为0，1，2，3，4；则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴随机变量X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=2．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AE的中点F，连接DF、PF，∵P为BE中点，∴PF∥AB，且PF=，又直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，可得DC∥AB，且DC=，∴PF∥DC，且PF=DC，则四边形DCPF为平行四边形，可得PC∥DF．而DF⊂平面EAD，PC⊄平面EAD，∴CP∥平面DAE；（II）解：∵∠BAE=90°，平面ABCD平面ABE，在平面ABCD内过A作Az⊥AB．∴以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴，Az为z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=AD=AE=2，由已知，得E（2，0，0），C（0，2，），D（0，1，）．∴，，设平面ECD的法向量为=（x，y，z），则，取z=2，得平面ECD的一个法向量为=（，0，2）．又∵平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．∴cosθ=|cos＜＞|=，即平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值为；（Ⅲ）解：线段EC上存在点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，此时=或=．设Q（x，y，z），且，则（x﹣2，y，z）=（﹣2），∴，即Q（2﹣2λ，2λ，），P（1，1，0），则．∵直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=．解得：或．∴=或=．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，﹣b n=．且b n+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．﹣b n=．∴，，【解答】解：（Ⅰ）∵b n+1解得a1=1 （负值舍去）即数列{a n}是公差为2，首项为1的等差数列，∴a n=2n﹣1b n+1﹣b n==．，，…由累加法得：，∴（Ⅱ）∵（2﹣b n）2=∴c n==，T n=…①T n=++…+++…②①﹣②得﹣==∴T n=．令f（n）=，∵f（n+1）﹣f（n）=∴令f（n）=，当n∈N+时递减，则T n=递增．∴，即≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在x轴上，抛物线x2=4y的准线，y=﹣1，由椭圆的顶点在抛物线的准线上，则b=1，椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y，得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|==，点O到直线y=kx+m的距离d=，S△MON=×丨MN丨×d=2，∵k 1k2=﹣，∴k1k2=====﹣，∴4k2=2m2﹣1，=2=2=1．∴S△MON∴△MON的面积1．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．【解答】（I）解：f（x）=lnx+ax2，（x＞0），f′（x）=+2ax．设切点为，则f′（x0）=+2ax0=0，lnx0+=﹣，解得x0=1，a=﹣．（II）解：对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），⇔函数f（x）的值域A是函数g（x）的值域B的子集，即A⊆B．（i）由（I）可得：f（x）=lnx﹣x2，x∈[1，]，f′（x）=﹣x=．可知：函数f（x）在x∈[1，]单调递减，∴f（x）=f（1）=﹣，f（x）min=f（）=．max∴A=．（ii）g′（x）=1﹣=．b≤1时，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[1，4]单调递增，g（1）=b+1，g（4）=4+．∴B=．∵A⊆B．∴，解得，满足条件．b＞1时，g（x）=x+＞0，不满足A⊆B，舍去．综上可得：实数b的取值范围是．（III）证明：方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），∴lnx1﹣=cx1，lnx2﹣=cx2，∴lnx2﹣lnx1+﹣=cx2﹣cx1，∴2c=﹣（x2+x1）．（*）b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，∴+（x2+x1）+m+2c=0，把（*）代入上式可得：++m=0，即﹣m=+，证明m＜0⇔+＞0，∵x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，ln＞ln1=0，∴+＞0，因此m ＜0．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2017年天津市河西区高考数学一模试卷(理科) 有答案

2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．13．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b ﹣2|＜q”，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．36．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．﹣2 C．D．﹣7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是（）A．18 B．20 C．22 D．248．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为．12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求的取值范围．20．已知函数f （x ）=lnx ﹣x 2+x ．（I ）求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤（﹣1）x 2+ax ﹣1恒成立，求整数a 的最小值；（Ⅲ）若正实数x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）+2（x+x ）+x 1x 2=0，证明x 1+x 2≥．2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】分别求出M、N的范围，在求交集．【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，∴M∩N={x|0＜x＜1}，故选C．2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y 对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，（1，1）=﹣1，∴z最大值=F故选：C3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b ﹣2|＜q”，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．【解答】解：若a，b为实数，且|a﹣b|＜2q，则﹣2q＜a﹣b＜2q，故命题甲：﹣2q＜a﹣b＜2q；若a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q，则2﹣q＜a＜2+q①，2﹣q＜b＜2+q②，由②得：﹣2﹣q＜﹣b＜﹣2+q③，①+③得：﹣2q＜a﹣b＜2q，故命题乙：﹣2q＜a﹣b＜2q，故甲是乙的充分必要条件，故选：C．5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S △ABC =2，则absinC=2，即为ab=8，又a +b=6，由c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a +b ）2﹣2ab ﹣ab=（a +b ）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C ．6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆x 2+y 2﹣4y +3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A． B ．﹣2 C ． D ．﹣ 【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线y=x 与圆x 2+y 2﹣4y +3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r ，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线y=x ，即bx ﹣ay=0．由圆x 2+y 2﹣4y +3=0化为x 2+（y ﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x 2+y 2﹣4y +3=0相切，∴=1化为3a 2=b 2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D ．7．如图在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5， =3， •=2，则•的值是（）A ．18B ．20C ．22D ．24【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）【考点】函数的图象；分段函数的应用．【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．由于函数f（x）=，则其图象如图所示，从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，又（t，s）满足：，解得t=e，∴斜率k=a==，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=1．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为23﹣×22×1=8﹣=．故答案为：．11．若（x +）n 的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n 的值为 8 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（x +）n 的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n 的值．【解答】解：∵（x +）n 的二项展开式的通项公式为T r +1=•x n ﹣r •=••x n ﹣2r ，前三项的系数为1，，，∴n=1+，解得n=8或n=1（不合题意，舍去）， ∴常数n 的值为8．故答案为：8．12．已知x ＞0，y ＞0，且，若x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ﹣4＜m ＜2 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】先把x +2y 转化为（x +2y ）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x +2y ＞m 2+2m 求得m 2+2m ＜8，进而求得m 的范围．【解答】解：∵，∴x +2y=（x +2y ）=4++≥4+2=8∵x +2y ＞m 2+2m 恒成立， ∴m 2+2m ＜8，求得﹣4＜m ＜2故答案为：﹣4＜m＜2．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是（0，）∪（，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log2）＜f（﹣），∴不等式等价为f（|log2|）＜f（），即|log2|＞，即log2＞或log2＜﹣，即0＜a＜或a＞，故答案为：（0，）∪（，+∞）．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．【解答】解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，所以当A，P，F三点共线时，其和最小，最小为|AF|=，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1=sin（2x+）+sin2x﹣1=cos2x +sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x++）﹣1=2cos（2x+）﹣1的图象，在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=π时，即x=时，函数取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；当2x+=时，即x=0时，函数取得最大值为﹣1．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，∴恰好抽到两张A的概率p==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列为：E（X）==．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小；（Ⅲ）设出Q的坐标，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四边形ABCD 是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD 的中点，OP⊥CD．OP=．建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．则O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P（0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴•═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．设平面BPA的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一个法向量为=（0，1，）．取=（0，0，1），设平面PAD的法向量为=（a，b，c），则，取b=1，则=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由图可以看出：二面角B﹣PA﹣D 是一个钝角，故其余弦值为﹣，正弦值为．（Ⅲ）解：假设存在Q，直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，直线AQ与平面ABP的法向量所成角的余弦值为．设Q（m，（1﹣m），0），则=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程无解，∴在线段CP上不存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）再写一式，两式相减得2a n﹣a n﹣1=2，整理，即，数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用裂项法，即可证明结论．【解答】（1）解：∵a n+S n=2n+1，令n=1，得2a1=3，．∵a n+S n=2n+1，∴a n﹣1+S n﹣1=2（n﹣1）+1，（n≥2，n∈N*）两式相减，得2a n﹣a n﹣1=2，整理，（n≥2）∴数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列∴．（2）证明：∵∴==．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求f′（x），而使f′（x）≤0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）构造函数，求g′（x）=，容易判断当a≤0时不合题意；而a＞0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+∞）上为减函数，并且h（1）＞0，h（2）＜0，从而得到整数a最小为2；（Ⅲ）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t﹣lnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）；∴x≥1时，f′（x）≤0；∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；（Ⅱ）令；所以=；（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；又g（1）=；∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；∴这种情况不存在；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；∴函数g（x）的最大值为=；令；∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；∴当a≥2时，h（a）＜0；所以整数a的最小值为2；（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；∴h（t）≥h（1）=1；∴，又x1+x2＞0；因此成立．。

天津五区县2017届高三一模理科数学试题及答案

2 1 C7 C3 6 7 6 3 21 ； 3 C10 2 10 9 8 40
2 C1 673 7 7 C3 P ( X 2) 3 ； C10 10 9 8 40
所以 X 的分布列为
C3 6 1 P ( X 3) 33 . C10 10 9 8 120
所以 sin(2 x

，
..............2
分
) [0,1] ，.................................................................................................10 分 6 5 故当 x 时，函数 f ( x) 的最大值为；当 x 时，函数 f ( x) 的最小值为 3 4 12 3 . .......................................................................................................................................13 分 4
（16）（本小题满分 13 分）
1 1 1 2C1 4 C3 C3 C3
解：（ Ⅰ ）从 10 名学生随机选出 2 名的方法数为 C10 ，选出 2 人中不属于同一班级的方法数为 …………………4 分设 2 名学生不属于同一班级的事件为 A
1 AD ， BC // AD ， 2 ∴ EF // BC 且 EF BC ； ∴ BE // CF ． …………………………3 分又 BE 平面 PCD ， CF 平面 PCD ， ∴ BE // 平面 PCD ．…………………………4 分（Ⅱ）（方法一）以 P 为坐标原点， PD, PA 所在直线分别为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 BC 1 ，则 1 3 P (0, 0, 0), A(0, 3, 0), D (1, 0, 0) , C (1, 0,1), B ( , ,1), 2 2 1 3 PA (0, 3, 0), AB ( , ,1), AD (1, 3, 0) .……………………………6 分 2 2 n PA 0, 设平面 PAB 的一个法向量为 n = ( x, y, z ) ，则从而 n AB 0, 3 y 0, 1 3 y z 0. x 2 2

2017高考模拟试卷理数及答案

高三（2017届）数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2） 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（）A. 1B. iC. -1D. - i{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0, |φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（）A ．f (x )=5sin(3πx -6π Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π)Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ． f (x )=5sin(6πx +6π)6.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A.a b c >>B.a cb >>C.b ac >> D. b c a >>8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）x －5y O 5 2 5A ．433 B ．533 C ．23 D ．833x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．95 B. 75 C. 58 D. 6512、已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为/()f x ，满足/()f x <()f x ,且()(2)f x f x -=+，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A. ()2,-+∞B. (0，+∞)C.(1, +∞)D.(2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）. 13. (4y x 的展开式中33x y 的系数为。

【精品】2017年天津市塘沽一中、育华中学联考高考数学模拟试卷及参考答案(理科)

2017年天津市塘沽一中、育华中学联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.在每题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣123．（5分）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的K和S的值分别为（）A．9，B．11，C．11，D．13，4．（5分）下列关于命题的叙述，错误的个数为（）①p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞1”是“log（x+2）＜0”的必要不充分条件③若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成的封闭图形的面积为（）A．B．4﹣ln3 C．D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4 B．2 C．2 D．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）8．（5分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，=1，则•的范围是（）A．[2，4]B．[，4]C．[3﹣，2] D．[，3﹣]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z满足（1+2i3）z=1+2i，则z的虚部是．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的表面积为，体积为．11．（5分）二项式（2﹣）n展开式中所有二项式系数和为64，展开式中的常数项为﹣160，则a=．12．（5分）直角坐标xOy中，直线l参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ，P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，则点P的直角坐标是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F，准线交x轴于点H，过H作直线l交抛物线于A，B两点，且|BF|=2|AF|，则△ABF的面积为．14．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=，且当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的取值范围是．（ 1.414，≈5.477）三、解答题（共6小题，满分80分，解答时赢写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最小值．16．（13分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：（Ⅰ）求x，y，z，M的值；（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正弦值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求二面角G﹣BD﹣A的余弦值．18．（13分）如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，点A，B，C为椭=3．圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A，C），且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求直线PQ的斜率．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，{a n}的前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{c n}，满足c39=a1007，且存在正整数k，使c1，c39，c k成等比数列，若数列{c n}的公差为d，求d的所有可能取值之和．20．（14分）已知函数f（x）=，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．（1）求a，b的值；（2）若∃x0∈[1，e]使得不等式f（x0）﹣k＜0能成立，求实数k的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．2017年天津市塘沽一中、育华中学联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.在每题给出的四个选项中。

【数学】天津市河东区2017届高考一模试卷(理)

天津市河东区2017届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．03．某程序框图如图所示，则输出的结果S=（）A．26 B．57 C．120 D．2474．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若A=，cos B=，b=8，则a=（）A．B．10 C．D．56．设a=2ln、b=log2、c=（）﹣0.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c7．过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则•+•的最大值等于（）A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣168．已知函数y=5cos（πx﹣）（其中k∈N），对任意实数a，在区间[a，a+3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或3 D．8或3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）.9．设复数z满足关系z•i=﹣1+i，那么z=．10．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是．11．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为．12．若（x2+）n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为．（用数字作答）13．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．14．边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的范围．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cos x，x∈[，π]．（1）若sin x=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．16．（13分）一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．17．（13分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m 的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=ln x﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B2．B3．B4．C5．D6．D7．D8．A二、填空题9．+i10．11．12．1013．14．[，3﹣]三、解答题15．解：（1）函数f（x）=2sin（x+）﹣2cos x=2sin x cos+2cos x sin﹣2cos x=sin x﹣cos x=2sin（x﹣），由x∈[，π]，且sin x=，∴cos x=﹣=﹣；∴函数f（x）=sin x﹣cos x=×﹣（﹣）=；（2）由函数f（x）=2sin（x﹣），x∈[，π]，∴x﹣∈[，]，∴sin（x﹣）∈[，1]，∴f（x）在x∈[，π]的值域是[1，2]；且f（x）=2sin（x﹣）对称轴是x=kπ+，k∈Z，x∈[，π]，∴对称轴是x=．16．解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）==．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX==．17．（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，则AM⊥BM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；（2）解：取M中点O，连接DO，则DO⊥平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，设，，．设平面AME的一个法向量为，则，取y=1，得．由cos＜＞=，解得．∴E为BD上靠近D点的处．18．解：（1）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．19．解：（1）由题意，b=1，=，∴a=2，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为=1；（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，∵（x，）在椭圆上，∴=1，∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣，=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k•+ =0，∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．20．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=x ln x﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=ln x+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=ln x+1﹣2ax，，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[）．。

2017天津河东区高考一模数学理科试题及答案

2017年天津市河东区高三一模理科试卷解析一、选择题1.B解析：集合:-33Q x ≤≤,{}:1,2,3,4P ,所以{}=1，2，3P Q 所以选择B点评：本题主要考察集合的运算以及解绝对值不等式的基础，属于基础题。

2.C解析：做出可行域为：可行域为三角形ABC 及其内部，其中()()()-1,1，2,1，1,0A B C 由2z x y =-可知，1122y x z =-，所以平移得到过点（1,0）时取到最大值为1，故选C.点评：本题考查不等式中的直线的线性规划的问题，主要先把可行域画准确，然后平行过程中要注意每个经过的点的情况，虽然有点复杂，但不难，属于基础题。

3.B解析：S=1，k=1，k=1+1=2，S=2×1+2=4k<4S=4，k=2，k=1+2=3，S=2×4+3=11k<4S=12，k=3，k=1+3=4，S=2×11+4=26k=4S=26，k=4，k=1+4=5，S=2×26+5=57k>4故选B.4.C解析：1213(3)003(0,3)(1,3)x x x x x -<⇒-<<-<⇒<<⊆-，故选C.5.D解析：34a 由已知条件cos ,得sin ，由正弦定理55sin sin bB B A B===，直接求得a=5，所以选择D.点评：本题主要考察在三角形中正弦定理的应用，已知两角与一角的对边求另一角的对边，直接应用正弦定理求解即可，属于简单题.6.D解析：39因为02lnln ln 1,24a e <==<=3434340.30.3211l o g 0,21,32b c -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭所以b<a<c ，所以选D.点评：本题考查指数与对数的函数值的大小比较，考查基本知识的应用.7.B解析：如图所示，由抛物线x2=4y 可得焦点F（0，1）．设直线AB 的方程为：y=kx+1，（k≠0）．∵AB⊥CD，可得直线CD 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．联立y＝kx+1，x2＝4y化为x2-4kx-4=0，得x1+x2=4k，x1x2=-4．同理可得x3x4=-4．∴FA•FB=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2=-4（1+k2）．同理可得FC•FD=−4(1+1k2)．∴FA•FB+FC•FD=−4(2+k2+1k2)≤−4(2+2k2•1k2)=-16，当且仅当k=±1时取等号．∴FA•FB+FC•FD 的最大值等于-16．故选：B．点评：设直线AB 的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD 的方程，分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出。

天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案(1)

2017 届山西省三区（县）八校联合高考模拟
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 .
1. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 则“ a b ”是“ sin A sin B ”的
.
17. （本题满分 12 分）
已知函数 f x
3 sin 2x
cos2 x
1 ,x
R.
2
2
（ 1 ）求函数 f x 的最小值和最小正周期；（ 2 ）设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 c 3, f C 0,sin B 2sin A ，求 a,b 的值 .
18. （本题满分 12 分）山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的
直线 y
5 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 PM
NQ ？若存在，求出直线 l 的
3
方程；若不存在，说明理由 .
21. （本题满分 12 分）
已知函数 f x ln x ax2 bx （其中 a, b 为常数，且 a 0）在 x 1 处取得极值 . （ 1 ）当 a 1时，求 f x 的单调区间；（ 2 ）若 f x 在 0,e 上的最大值为 1，求 a 的值 .
5 的概率为，求 x, y 的值 .
39
19. （本题满分 12 分）如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， EA
1 且 FD EA 1.
2
（ 1 ）求多面体 EABCDF 的体积；（ 2 ）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值；（ 3 ）记线段 BC 的中点为 K, 在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图的痕迹，但不要求证明 .

天津市滨海新区2017届高三一模考试数学(理)试题Word版含解析

天津市滨海新区2017届高三一模考试数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．已知集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜4}，则A∪B=B，则实数a的取值范围是（）A．2，3] B．（2，3） C．0，5] D．（0，5）2．设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．B．5 C．D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）A．B．C．D．4．已知a，b，c∈R，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，∠BCD=30°，则线段CE的长为（）A．1 B．C．D．6．己知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则ab的值为（）A．B．C．D．7．若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0的一个根在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是（）A． C．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=x﹣a，其中a∈R，若函数y=f（x）﹣g （x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（1，）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．复数z满足条件：z﹣3i=，其中i是虚数单位，则z= ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．11．曲线y=cosx（﹣≤x≤）与x轴所围成的封闭图形的面积等于．12．已知（﹣）8的展开式中x项的系数为﹣14，则a的值为．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=，B=，则c的值为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若=λ， =λ2，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知f （x ）=sin （2x ﹣）．（Ⅰ）求f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若α∈（，π），f （+）=cos （α+）cos2α，求sin α﹣cos α的值．16．盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．（Ⅰ）从盒子中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X 为取出3个球所得的分数之和，求X 的分布列和数学期望．17．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SC ⊥平面ABC ，SC=3，AC ⊥BC ，CE=2EB=2，AC=，CD=ED ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面SCD ；（Ⅱ）求二面角A ﹣SD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）求点A 到平面SCD 的距离．18．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =2n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1=3，b n+1﹣b n =2n+3，且c n =，求数列{c n }的通项公及前n 项和T n ．19．已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间1，3]上单调递减，求m的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l 的倾斜角为，|AF|=2|FB|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若|AF|=，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D为椭圆C上一点，当△ABD面积取得最大值时，求D点的坐标．天津市滨海新区2017届高三一模考试数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．已知集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜4}，则A∪B=B，则实数a的取值范围是（）A．2，3] B．（2，3） C．0，5] D．（0，5）【分析】解不等式求出集合A，结合A∪B=B，可得A⊆B，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|＜1}=（a﹣1，a+1），B={x|1＜x＜4}=（1，4），若A∪B=B，则A⊆B，则a﹣1≥1，且a+1≤4，解得：a∈2，3]，故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，绝对值不等式的解法，难度中档．2．设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．B．5 C．D．12【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象得到直线过A时z的值最大，代入求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线过A时z的值最大，z的最大值是z=2×+=，故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，不满足退出循环的条件，c=2，a=1，b=2，第二次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=3，a=2，b=3，第三次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=5，a=3，b=5，第四次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=8，a=5，b=8，第五次执行循环体后：S=，满足退出循环的条件，故输出的S值为：，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．已知a，b，c∈R，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据一元二次不等式解法及充要条件的定义【解答】解：“a＞0且b2﹣4ac＜0”能推出“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”，但是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”，则a＞0，b2﹣4ac≤0，故“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题通过△与一元二次不等式ax2+bx+c≥0情况考查充分条件、必要条件的含义．5．如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，∠BCD=30°，则线段CE的长为（）A．1 B．C．D．【分析】由正弦定理可得，CE=6sinB，AC=4sinB，△ACE中，由余弦定理求出sinB，即可求出线段CE的长．【解答】解：连接AC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=30°，∴∠ACE=60°．由正弦定理可得，∴CE=6sinB，∵AC=4sinB，∴△ACE中，由余弦定理可得1=（4sinB）2+（6sinB）2﹣2×4sinB×6sinB×，∴sinB=，∴CE=6sinB=．故选：D．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确求出sinB是解题的关键所在．6．己知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则ab的值为（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0），利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（1，0）∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）离心率为2，∴a=，∴b=，∴ab=．故选：D．【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．7．若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0的一个根在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是（）A． C．【分析】若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两相等的实根，则x=﹣2，不在区间（2，3）内，令f（x）=x2+（1﹣k）x﹣2（k+1），若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两不相等的实根，且一个根在区间（2，3）内，则f（2）f（3）＜0，进而得到答案．【解答】解：若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两相等的实根，则△=（1﹣k）2+8（k+1）=0，解得：k=﹣3，此时x=﹣2，不在区间（2，3）内，令f（x）=x2+（1﹣k）x﹣2（k+1），若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两不相等的实根，且一个根在区间（2，3）内，则f（2）f（3）＜0，即（4﹣4k）（10﹣5k）＜0，解得：k∈（1，2），故选：D．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的零点与对应方程根的关系，难度中档．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=x﹣a，其中a∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（1，）【分析】由y=f（x）﹣g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由y=f（x）﹣g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，则A（1，），当g（x）经过点A时，f（x）与g（x）有2个交点，此时g（1）=﹣a=，此时a=1，当g（x）与f（x）在x＞1相切时，此时f（x）与g（x）有2个交点由﹣x2+4x﹣=x﹣a，即x2﹣x+﹣a=0，由判别式△=0得（）2﹣4（﹣a）=0，得a=，要使f（x）与g（x）有3个交点，则g（x）位于这两条线之间，则a满足a∈（，1），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．复数z满足条件：z﹣3i=，其中i是虚数单位，则z= 2+2i ．【分析】根据复数的定义与运算法则，进行化简、计算即可．【解答】解：∵复数z满足条件：z﹣3i=，i是虚数单位，则z=3i+=3i+=3i+（2﹣i）=2+2i．故答案为：2+2i．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．【分析】该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱．∴该几何体的体积=π×22×2+×（22+2×1+12）×2=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了三视图的有关计算、圆柱与圆台的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．曲线y=cosx（﹣≤x≤）与x轴所围成的封闭图形的面积等于 2 ．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解．积分的上下限分别为区间的两个端点，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为：S=cosxdx=sinx=1﹣（﹣1）=2，所以围成的封闭图形的面积是2．故答案为：2．【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、导数的应用、定积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．已知（﹣）8的展开式中x项的系数为﹣14，则a的值为 2 ．==（﹣a）r x4﹣r，令【分析】（﹣）8的展开式的通项公式Tr+14﹣r=1，解得r=3．可得T=x，利用已知即可得出．4==（﹣a）r x4﹣【解答】解：（﹣）8的展开式的通项公式Tr+1r，令4﹣r=1，解得r=3．∴T=x4∵（﹣）8的展开式中x项的系数为﹣14，∴=﹣14，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=，B=，则c的值为．【分析】根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，A=，B=，a=2∴由正弦定理得，即c===2cos+2×=2×+2×=，故答案为：【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若=λ， =λ2，则的最大值为．【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），设E（，n），F（m，2），运用向量共线的坐标表示，解得m，n，再由向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），设E（，n），F（m，2），由=λ，可得m=λ，即F（λ，2），由=λ2，可得n=2﹣2λ2，即E（，2﹣2λ2），则=（λ，2）（﹣λ，﹣2λ2）=2λ（1﹣λ）﹣4λ2=﹣6λ2+2λ=﹣6（λ﹣）2+，当λ=时，则取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的最值的求法，注意运用坐标法，考查二次函数的最值的求法，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知f（x）=sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若α∈（，π），f （+）=cos （α+）cos2α，求sin α﹣cos α的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递减区间．（Ⅱ）由题意可得sin α+cos α=0 或（cos α﹣sin α）2=，再根据α∈（，π），可得α=或cos α﹣sin α=﹣，由此求得sin α﹣cos α的值．【解答】解：（Ⅰ）对于f （x ）=sin （2x ﹣），令2k π+≤2x ﹣≤2k π+，求得k π+≤x ≤k π+，可得f （x ）的单调递减区间为k π+，k π+]，k ∈Z ．（Ⅱ）若α∈（，π），f （+）=cos （α+）cos2α，则sin （α+）=cos （α+）cos2α，即（sin α+cos α）=（cos α﹣sin α）（cos 2α﹣sin 2α），∴sin α+cos α=0 或（cos α﹣sin α）2=．∵α∈（，π），∴α=或cos α﹣sin α=﹣，∴sin α﹣cos α= 或sin α﹣cos α=．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，两角和差的三角公式，属于基础题．16．盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．（Ⅰ）从盒子中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X 为取出3个球所得的分数之和，求X 的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）设A 表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，利用互斥事件加法公式能求出从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率．（Ⅱ）依题意，X 的所有可能取值为3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A 表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，则P （A ）==，∴从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率为．（Ⅱ）依题意，X 的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，P（X=7）==，∴X的分布列为：EX=+=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，SC=3，AC⊥BC，CE=2EB=2，AC=，CD=ED．（Ⅰ）求证：DE⊥平面SCD；（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点A到平面SCD的距离．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量的坐标，得到DE⊥CD，DE⊥CS，求出线面垂直即可；（Ⅱ）设平面SAD的法向量为=（x，y，z），求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；（Ⅲ）作AH⊥平面SCD，垂足为H，求出的坐标，从而求出点A到平面SCD的距离．【解答】解：如图示：，以C为原点建立空间直角坐标系，由题意得：A（，0，0），C（0，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），S（0，0，3），（Ⅰ）证明：∵ =（﹣1，1，0），=（1，1，0），=（0，0，3），∴=﹣1+1+0=0，=0+0+0=0，即DE⊥CD，DE⊥CS，∵CD∩CS=C，∴DE⊥平面SCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣1，1，0）为平面SCD的一个法向量，设平面SAD的法向量为=（x，y，z），而=（﹣，1，0），=（﹣，0，3），则，即，不妨设x=2，可得=（2，1，1），易知二面角A﹣SD﹣C为锐角，因此有|cos＜，＞|==，即二面角A﹣SD﹣C的余弦值是；（Ⅲ）解： =（﹣，0，0），=（﹣，1，0），=（﹣，0，3），作AH⊥平面SCD，垂足为H，设=x+y+z=（﹣x﹣y﹣z，y，3z），且x+y+z=1，由⊥，⊥，得：，解得，∴=（﹣，，0），||=，即点A 到平面SCD 的距离是．【点评】本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．18．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =2n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1=3，b n+1﹣b n =2n+3，且c n =，求数列{c n }的通项公及前n 项和T n ．【分析】（1）采用累加法求得，求得{a n }的通项公式，（2）采用累加法求得数列{b n }的通项公式，整理写出数列{c n }的通项公式，c n =（n+2）2n ﹣1，数列{c n }是由等差数列和等比数列乘积的形式，采用乘以公比错位相减法，求得T n ．【解答】解：（Ⅰ），a 2﹣a 1=1， a 3﹣a 2=2， a 4﹣a 3=4， …，以上各式相加，得：，∴，∵a 1=1，∴．（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =2n+3， b 2﹣b 1=5，b 3﹣b2=7，b 4﹣b3=9，…b n ﹣bn﹣1=2n+1，以上各式相加得：b n ﹣b1=5+7+9+…+2n+1，=n2+2n﹣3，b1=3，∴，cn==，cn=（n+2）2n﹣1，Tn=3×20+4×21+5×22+…+（n+2）2n﹣1，2Tn=3×21+4×22+5×23+…+（n+1）2n﹣1+（n+2）2n，两式相减，得：﹣Tn=3×20+（21+22+…+2n﹣1）﹣（n+2）2n，=3+（2n﹣2）﹣（n+2）2n=﹣（n+1）2n+1，∴Tn=（n+1）2n﹣1．【点评】本题考查采用累加法求数列的通项公式及采用错位相减法求数列的前n项和，过程复杂，属于中档题．19．已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间1，3]上单调递减，求m的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由．【分析】（Ⅰ）将m=﹣2代入f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，得到g（x）=﹣（x+1）+，求出函数g（x）的导数，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）假设f（x）单调，求出f（x）的导数，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣2时，f（x）=（x2﹣2x）e x，f′（x）=（x2﹣2）e x，令f′（x）≥0，解得：x≥或x≤﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增；（Ⅱ）∵f′（x）=x2+（m+2）x+m]e x，由题意得f′（x）≤0对于x∈1，3]恒成立，∴x2+（m+2）x+m≤0，即m≤﹣=﹣（x+1）+，令g（x）=﹣（x+1）+，则g′（x）=﹣1﹣＜0恒成立，=g（1）=﹣，∴g（x）在区间1，3]递减，g（x）max∴m的范围是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）假设f（x）为R上的单调函数，①若f（x）在R递增，则f′（x）≥0对x∈R恒成立，即x2+（m+2）x+m]e x≥0对x∈R恒成立，∵e x＞0，∴x2+（m+2）x+m≥0对x∈R恒成立，而△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，不满足x2+（m+2）x+m≥0对x∈R恒成立，∴f（x）不是R上的单调递增函数；②若f（x）在R递减，则f′（x）≤0对x∈R恒成立，即x2+（m+2）x+m]e x≤0对x∈R恒成立，∵e x＞0，∴x2+（m+2）x+m≤0对x∈R恒成立，而函数h（x）=x2+（m+2）x+m的图象是开口向上的抛物线，故x2+（m+2）x+m≤0不可能恒成立，∴f（x）不是R上的单调递减函数，综上，不存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．20．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为，|AF|=2|FB|．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若|AF|=，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D 为椭圆C 上一点，当△ABD 面积取得最大值时，求D 点的坐标．【分析】（I ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＜0，y 2＞0，由|AF|=2|FB|，可得：﹣y 1=2y 2．设直线l 的方程为：y=（x ﹣c ），其中c=．直线方程与椭圆方程联立化为：（3a 2+b 2）y 2+2b 2cy ﹣3b 4=0，分别解得y 1，y 2，即可得出．（II ）由|AF|=，|AF|=2|FB|．可得|AB|=|AF|+|FB|=，y 2﹣y 1=|AB|=，又，b 2=a 2﹣c 2，解得a ，b ，c ，即可得出椭圆C 的方程．（III ）当D 点在平行于直线l 的椭圆的切线上的切点处时，△ABD 的面积最大，设切线方程为y=x+t ，可得32x 2+18tx+9（t 2﹣5）=0，令△=0，解得t ，即可得出x ．【解答】解：（I ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＜0，y 2＞0，∵|AF|=2|FB|．﹣y 1=2y 2．设直线l 的方程为：y=（x ﹣c ），其中c=．联立，化为：（3a 2+b 2）y 2+2b 2cy ﹣3b 4=0，解得y==，y 1=，y 2=，∴﹣=2×，∴=．（II ）∵|AF|=，|AF|=2|FB|．∴|AB|=|AF|+|FB|==，y 2﹣y 1=|AB|=×==，又，b 2=a 2﹣c 2，解得a=3，b=，c=2．∴椭圆C 的方程为=1．（III ）当D 点在平行于直线l 的椭圆的切线上的切点处时，△ABD 的面积最大，由，可得32x 2+18tx+9（t 2﹣5）=0，令△=﹣4×32×9（t 2﹣5）=0，解得t=4．解得x=，y=，∴D ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017年天津市十二所重点中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年天津市十二所重点中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则N∩∁R M＝（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z＝2x+4y的最小值是（）A．6B．﹣2C．4D．﹣63．（5分）阅读如图程序框图，当输入x的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（）A．5B．11C．23D．474．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”；③若，则￢p是q的充分不必要条件．A．0B．1C．2D．35．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5＝90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6B．8C．9D．106．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sin A＝2 sin B，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，若对于任意x∈R，f（log2a）≤f（x2﹣2x+2）恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．C．（0，2]D．[2，+∞）8．（5分）已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）＝f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|＝f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）i为虚数单位，则复数的模为．10．（5分）向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．13．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|＝2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．14．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝2．在等腰直角三角形CDE中，∠C＝90°，点M，N分别为线段BC，CE上的动点，若，则的取值范围是．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列及数学期望EX．17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．18．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于A、B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线AC交y轴于点D（Ⅰ）当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b＝，2|AB|＝|AC|时，求k的取值范围．20．（14分）设函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间（Ⅱ）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2（i）求满足条件的最小正整数a的值（ii）求证：F′（）＞02017年天津市十二所重点中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则N∩∁R M＝（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【解答】解：∵集合M＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，N＝{x|1＜x＜3}，∴∁R M＝{x|﹣2≤x≤2}，N∩∁R M＝{x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z＝2x+4y的最小值是（）A．6B．﹣2C．4D．﹣6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），化目标函数z＝2x+4y为y＝x+，由图可知，当直线y＝x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12＝﹣6，故选：D．3．（5分）阅读如图程序框图，当输入x的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（）A．5B．11C．23D．47【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝2，n＝1满足条件n≤3，执行循环体，x＝5，n＝2满足条件n≤3，执行循环体，x＝11，n＝3满足条件n≤3，执行循环体，x＝23，n＝4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为23．故选：C．4．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”；③若，则￢p是q的充分不必要条件．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①若p∧q是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正确；③若x＞1＞0，则，反之，若，则x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要条件，故③正确．∴正确命题的个数是2个．故选：C．5．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5＝90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5＝2a3＝90，∴a3＝45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴＝45，∴m＝10，故选：D．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sin A＝2 sin B，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，△ABC中，若sin A＝2sin B，则有a＝2b，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝5b2﹣4b2cos＝16，解可得b＝，则a＝2b＝，＝ab sin C＝，则S△ABC故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，若对于任意x∈R，f（log2a）≤f（x2﹣2x+2）恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：由题意f（log2a）≤f（1），则f（|log2a|）≤f（1），∵在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴|log2a|≤1，即﹣1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选：B．8．（5分）已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）＝f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|＝f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）＝f（x1），∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，b＝m．∵|f（x）|＝f（m）有4个不相等的实数根，∴0＜f（m）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0＜am+b＜﹣m，即0＜（a+1）m＜﹣m，∴﹣2＜a＜﹣1．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）i为虚数单位，则复数的模为．【解答】解：＝＝1﹣i，故1﹣i的模是：＝，故答案为：．10．（5分）向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域E的面积S＝＝＝，区域D的面积为S1＝2×2＝4，∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P＝＝，故答案为．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为：x﹣y+4＝0．圆C的极坐标方程为，即ρ2＝2ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x+2y．配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．∴圆心（1，1）到直线的距离d＝＝2则圆上的点到直线l的最大距离为d+r＝3．故答案为：．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【解答】解：由题意，直观图是三棱柱与三棱锥的组合体，体积为+＝．故答案为：．13．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|＝2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．【解答】解：如图所示，M是AC的中点，则x+＝p，∴x＝p，∴AB＝p，∴CD＝MB＝p，∵三角形CDF的面积为，∴，∴，故答案为：．14．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝2．在等腰直角三角形CDE中，∠C＝90°，点M，N分别为线段BC，CE上的动点，若，则的取值范围是[，﹣1]．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，2），直线BC的方程为y＝2﹣x，设M（m，2﹣m），N（1，n），（1≤m，n≤2），由，可得m+n（2﹣m）＝，即有n＝∈[1，2]，解得1≤m≤，则＝（﹣m，m﹣1）•（1，n﹣1）＝﹣m+（m﹣1）（n﹣1）＝﹣m+•，可令t＝2﹣m（≤t≤1），则＝t﹣2+•＝t+﹣≥2﹣＝，当且仅当t＝，即t＝∈[，1]，m＝2﹣时，取得最小值，由t＝1可得1+﹣＝﹣1；t＝时，+1﹣＝﹣1．可得最大值为﹣1．则的取值范围是[，﹣1]．故答案为：[，﹣1]．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）＝，由得f（x）的定义域为{x|x≠2π+4kπ（k∈Z）}故f（x）的最小正周期为，（Ⅱ）∵﹣π≤x≤0，∴，∴，∴，∴，∴，∴16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为．…（5分）（Ⅱ）由题可知X可能取值为0，1，2，3．…（6分）P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，．…（10分）则随机变量X的分布列为…（11分）…（13分）17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ∥AF∥BE，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，…（2分）所以PE∥BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，则PE∥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平面ABEF…（4分）作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则…（5分）于是，设平面DEF的法向量，则令x＝1，则…（6分）平面AEF的法向量…（7分）所以…（8分）又因为二面角D﹣EF﹣A为锐角，所以其余弦值为．…（9分）（Ⅲ），则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是…（11分）于是，．…（13分）18．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a1+a3＝20，a2＝8．则，…（1分）∴2q2﹣5q+2＝0…（2分）∵公比q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．…（5分）（Ⅱ）解：∴S n＝∴…（7分）∴S n＝＝…（9分）∴对任意正整数n恒成立，设，易知f（n）单调递增．…（10分）n为奇数时，f（n）的最小值为，∴得，…（11分）n为偶数时，f（n）的最小值为，∴，…（12分）综上，，即实数a的取值范围是．…（13分）19．（14分）已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于A、B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线AC交y轴于点D（Ⅰ）当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b＝，2|AB|＝|AC|时，求k的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线AB的方程为直线AC的方程为，令x＝0，…（2分）…（3分）于是a2+b2＝4b2，…（5分）（Ⅱ）直线AB的方程为y＝k（x+a），联立并整理得，（3+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣3a2＝0解得x＝﹣a或，…（7分）…（8分）…（9分）因为2|AB|＝|AC|，整理得，．…（11分）因为椭圆E的焦点在x轴，所以a2＞3，即，…（13分）整理得，解得．…（14分）20．（14分）设函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间（Ⅱ）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2（i）求满足条件的最小正整数a的值（ii）求证：F′（）＞0【解答】解：（Ⅰ）．…（1分）当a≤0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），此时f（x）无单调减区间．…（2分）当a＞0时，由f'（x）＞0，得，f'（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．…（3分）（Ⅱ）（i）．因为函数F（x）有两个零点，所以a＞0，此时函数f（x）在单调递增，在单调递减．…（4分）所以F（x）的最小值，即．…（5分）因为a＞0，所以．令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且，所以存在a0∈（2，3），h（a0）＝0．…（6分）当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0，所以满足条件的最小正整数a＝3．…（7分）又当a＝3时，F（3）＝3（2﹣ln3）＞0，F（1）＝0，所以a＝3时，f（x）有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．…（8分）（ii）证明：不妨设0＜x1＜x2，于是，即，．所以．…（10分）因为，当时，F'（x）＜0，当时，F'（x）＞0，故只要证＞即可，即证明，…（11分）即证，也就是证．…（12分）设．令，则．因为t＞0，所以m'（t）≥0，…（13分）当且仅当t＝1时，m'（t）＝0，所以m（t）在（0，+∞）上是增函数．又m（1）＝0，所以当m∈（0，1），m（t）＜0总成立，所以原题得证．…（14分）。