有趣的计算题
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小学四年级“希望杯”数学竞赛辅导讲义——《有趣的计算题》
第一讲：有趣的计算题
【探究新知】
例1、计算199999＋19999＋1999＋199＋19
分析与解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）
＋（19＋1）－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22225
例2、观察下列算式：
2＋4＝6＝2×3，
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝。（第四届希望杯试题）
分析与解：思路一：观察规律。50×51=2550
思路二：等差数列求项数及求和公式
求项数：（末项－首项）÷公差＋1
求和：（首相＋末项）×项数÷2
思路三：偶数列求和公式：个数×（个数＋1）
例3、计算（2＋4＋6＋……＋2006）－（1＋3＋5+7+……2005）（第四届希望杯试题）
分析与解：思路一：分组法
原式＝（2-1）+（4-3）+（6-5）+……+（2006-2005）
＝1+1+1+……+1
＝1×（2006÷2）
＝1003
思路二：复习等差数列求和公式，偶数列求和公式、奇数列求和公式。（略）
例4、计算 9999×2222＋3333×3334
分析与解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
例5、如果12=1×1，22=2×2，32=3×3……252=25×25，且12＋22＋32＋……252=5525，
那么32＋62＋92＋……752等于多少？（第二届希望杯试题）
分析与解：32＋62＋92＋ (752)
=3×3×12＋3×3×22＋3×3×32＋……3×3×252
=3×3×（12＋22＋32＋……252）
=9×5525
=49725
注：本题还可以渗透平方数列求和公式:
12＋22＋32＋……n2=n×（n＋1）×（2n＋1）÷6
例6、如果25×□÷3×15＋5=2005，那么□等于多少？（第三届希望杯试题）分析与解：还原法解题。□=16
例7、比较下面两个积的大小：
A＝987654321×123456789，
B＝987654322×123456788.
分析与解：经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.
解：A＝987654321×123456789
＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
B＝987654322×123456788
＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因为987654321＞123456788，所以A＞B.
（练习：不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由。
241×249 242×248 243×247244×246 245×245.）
※例8、2005年，小张有一次出差的几天的日期数加起来恰好是60。问：小张出差了几天?是哪几天?(注：日期数指a月b日中的b，如4月16日的日期数是16)（第四届希望杯试题）
分析与解：先考虑日期数是连续整数的情况。
因为1+2+3+……+11=66>60，
所以小张出差不会超过10天。
显然，小张不可能只出差1天。
假设出差2天，且第1天的日期数是a，则
a+(a+1)=60，2a=59，
a不是整数，因此，小张不可能出差2天。
同理，有
a+(a+1)+(a+2)=60．
a=19，可能出差3天；
a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=60，
4a=54，不可能出差4天;
a+(a+1)+……+(a+4)=60，
a=10，可能出差5天;
a+(a+1)+……+(a+5)=60，
6a=45，不可能出差6天；
a+(a+1)+……+(a十6)=60，
7a=39，不可能出差7天；
a+(a+1)+……+(a+7)=60，
a=4，可能出差8天；
a+(a+1)+……+(a+8)=60，
9a=24，不可能出差9天;
a+(a+1)+……+(a+9)=60，
lOa=15，不可能出差10天。
再考虑跨了两个不同月份的情况．
2005年各月的最大日期敛有28，30，31三种．
因为 27+28+1+2<60，
27+28+1+2+3>60，
28+1+2+……+7<60，
28+1+2+……+8>60，
所以不可能跨过最大日期数是28的月份。