精选题库高一习题 数学8-7

第8模块 第7节

[知能演练]

一、选择题

1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是

( )

A ．双曲线

B ．双曲线左边一支

C ．双曲线右边一支

D ．一条射线

解析：∵|PM |－|PN |＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM |>|PN |， ∴动点P 的轨迹为双曲线的右支． 答案：C

2．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是

( )

A.x 29－y 2

＝1 B ．x 2

－y 2

9

＝1

C.x 23－y 2

7

＝1

D.x 27－y 2

3

＝1

解析：由MF 1→·MF 2→＝0，可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|＝t 1，|MF 2→

|＝t 2，则t 1t 2＝2.

在△MF 1F 2中，t 21＋t 22＝40，

∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a .

∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2

＝1.

答案：A

3．已知双曲线x 2m －y 2

n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y 2＝4x 的焦点，

则此双曲线的渐近线方程是

( )

A.3x ±y ＝0

B ．x ±3y ＝0

C ．3x ±y ＝0

D ．x ±3y ＝0

解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)． ∴m ＋n ＝1.

又双曲线的离心率为2，∴1

m

＝2. ∴m ＝14，n ＝34

.

∴双曲线的方程为4x 2

－4y 2

3

＝1.

∴其渐近线方程为3x ±y ＝0.故选A. 答案：A

4．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，

则双曲线的离心率的取值范围为

( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞)

解析：如右图，设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ≤π)， 当P 在右顶点处，θ＝π，

e ＝2c 2a

＝ m 2＋(2m )2－4m 2cos θ

m

＝5－4cos θ.

∵－1

5．已知双曲线x 2n －y

2

12－n

＝1的离心率为3，则n ＝________.

解析：a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12，离心率e ＝c a ＝12

n ＝3，所以n ＝4.

答案：4

6．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________．

解析：圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，由方程知与y 轴没有交点， 再令y ＝0?x 2－6x ＋8＝0，得圆C 与x 轴的交点分别为(2,0)，(4,0)， 则a ＝2，c ＝4，b 2

＝12，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2

12

＝1.

答案：x 24－y 2

12＝1

三、解答题

7．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点(15

4

，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.

(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π

3

.

解：(1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为(15

4，－5)，而3<|－5|，故双曲线

的焦点在x 轴上，

设其方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，

由?

????

(154)2a 2－32

b 2＝1，b 2a 2＝(－43

)2.解得?

????

a 2

＝9，b 2＝16.

故所求的双曲线方程为x 29－y 2

16

＝1.

(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∴PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6， ∴2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，∴c ＝6.

又P 与两顶点连线夹角为π

3

，

∴a ＝|OP |·tan π

6＝23，∴b 2＝c 2－a 2＝24.

故所求的双曲线方程为x 212－y 2

24

＝1.

8．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π

3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲

线的方程．

解：设双曲线的方程为 x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0)，

F 1(－c,0)，F 2(c,0)，在△PF 1F 2中， 由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－ 2|PF 1|·|PF 2|cos π

3

＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23， ∴12|PF 1|·|PF 2|sin π3

＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8,4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23，

∴所求双曲线的方程为3x 22－y 2

2

＝1.

[高考·模拟·预测]

1．双曲线x 24－y

2

12

＝1的焦点到渐近线的距离为

( )

A ．2 3

B ．2 C. 3

D ．1

解析：双曲线x 24－y 2

12＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x .由双曲线的对称

性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|

3＋1

＝2 3.

答案：A

2．已知双曲线x 22－y 2

b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，

点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→

＝

( )

A ．－12

B ．－2

C ．0

D ．4

解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2，点P (3，y 0)代入x 22－y 2

b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，

1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)，∴PF 1→·PF 2→

＝(2－3，－1)·(－2－3，－1)＝3－4＋1＝0.

答案：C

3．已知F 是双曲线x 24－y 2

12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |

的最小值为__________．

解析：设右焦点为F 1，依题意，

|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋4＋|P A |＝ |PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：9

4．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为__________．

解析：如下图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，

∠B 1F 1O ＝30°，在△B 1OF 1中，b c ＝tan30°，∴b c ＝3

3，

∴c 2－a 2c 2＝13，∴1－a 2c 2＝13?a 2c 2＝2

3，

∴e 2

＝c 2a 2＝32，∴e ＝62

.

答案：

62

5．已知双曲线x 2－2y 2＝2的左、右两个焦点为F 1、F 2，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求动点P 的轨迹E 的方程； (2)设D (

3

2

，0)，过F 2且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，若以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形，求直线l 的方程．

解：(1)双曲线方程可化为x 22

－y 2

＝1，则|F 1F 2|＝

23，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，所以P 点的轨迹E 为以F 1、F 2为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)设l 的方程为y ＝k (x －3)，k ≠0，代入椭圆方程可得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝83k 2

1＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－23)＝－23k 1＋4k 2. ∵以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形， ∴(DA →＋DB →)⊥AB →.

∵DA →＋DB →

＝(x 1－32，y 1)＋(x 2－32，y 2)＝(x 1＋x 2－3，y 1＋y 2)＝(83k 21＋4k 2－3，－23k 21＋4k 2)，

AB →的方向向量为(1，k )，∵(DA →＋DB →)·AB →

＝0，

∴

83k 21＋4k 2－3－23k 2

1＋4k

2＝0，解得k ＝±22，∴l 的方程为y ＝±2

2(x －3)． [备选精题]

6．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．

解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)．

由已知得a ＝3，c ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2

＝1.

(2)联立?????

y ＝kx ＋m x 2

3－y 2

＝1整理得 (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，

∴?

????

1－3k 2

≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2

)>0， 可得m 2>3k 2－1且k 2≠13

①

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)． 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km

1－3k 2， y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2.

由题意，AB ⊥MN ，

∵k AB ＝m

1－3k 2＋13km 1－3k

2

＝－1

k

(k ≠0，m ≠0)．