备战中考数学二次函数-经典压轴题及答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(

3

2

-，15

4

)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，

D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【解析】

【分析】

(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、

C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．

【详解】

解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴点A(1，0)，

∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，

∴

30

9330

a b

a b

++

⎧

⎨

-+

⎩

＝

＝

，解得：

1

2

a

b

-

⎧

⎨

-

⎩

＝

，

＝

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，

∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，

∴

223

1

y x x

y x

⎧--+

⎨

-

⎩

＝

＝

，解得：1

1

4

5

x

y

-

⎧

⎨

-

⎩

＝

＝

，2

2

1

x

y

＝

，

＝

⎧

⎨

⎩

∴点B(﹣4，﹣5)，

如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，

∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA

＝1

2

(﹣m2

﹣3m+4)(m+4)+

1

2

(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)

＝-

5

2

（m+

3

2

）2+

125

8

，

∴当m＝3

2

-时，P最大，

∴点P(3

2

-，

15

4

).

(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴点E(﹣1，﹣2)，

如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，

∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，

联立

53

3

y x

y x

+

⎧

⎨

+

⎩

＝

＝

得D1(0，3)，

同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．

2．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.

（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；

（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.

【答案】（1）－1，3；（2）0

【解析】

【分析】

（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；

（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得

ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.

（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

【详解】

解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；

（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，

因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0

（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2

b

a =-