类比探究题

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类比探究(习题及答案)

➢例题示范类比探究（习题）例1：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G．（1）尝试探究：如图1，若AF= 3 ，则CD的值是．EF CG（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF=m （m＞EF0），则CD的值是CG解答过程．（用含m 的代数式表示），试写出（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC∥AB，点E是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F．若AB=a ，CDBC=b（a＞0，b＞0），则AF的值是（用含a，b 的代BE EF 数式表示）．1【思路分析】根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问．问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，考虑通过相似传递比例关系，进而求 CD的值．CG构造相似利用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB 交 BG于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型相似△EFH ∽△AFB ，结合 AF= 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，故EFCD = 3 ．CG 2类比第一问思路，解决第二问．分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m．CG 2照搬思路解决第三问．虽然此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，依然可利用相似来整合条件，可照搬前面思路处理，依然构造平行．过点 E 作 EH ∥AB 交 BD 的延长线于点 H ，可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽△EFH ，可得 BC = CD，BE EHAF = AB ，结合 AB = a ， BC = b ，可知 EF EH CD BE AF = AB = a ⋅CD = ab ． EF EH EH212 3➢巩固练习1.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当CE=1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA并给出证明．（2）如图3，当CE= 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE=m时，EAEP 与EQ 满足的数量关系式为．3，=2.如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过点D 的直线B1C1⊥AC 于C1，交AB 的延长线于B1．（1）请你探究：AC =CD AC1 C1D 是否都成立？AB BD AB1DB1（2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC=CD一定成立吗？并证明AB BD你的判断．（3）如图3，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=40，3E 为AB 上一点且AE=5，CE 交其内角角平分线AD 于F．试求DF的值．FA43.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图 2，固定△ABC ，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：①线段 DE 与 AC 的位置关系是；②设△BDC 的面积为 S 1，△AEC 的面积为 S 2，则 S 1 与 S 2 的数量关系是．图 1图 2（2）猜想论证当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究如图 4 ，已知∠ ABC =60°，点 D 是其角平分线上一点， BD =CD =4，DE ∥AB 交 BC 于点 E ．若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF =S △BDE ，请直．接．写．出．相应的 BF 的长．5➢思考小结总结类比探究问题中的常见结构①旋转结构始终含有等腰结构（正方形、等腰直角三角形等），并且经过旋转后，能将各条件重新组合应用．②中点结构平行夹中点（类）倍长中线中位线始终含有中点，常考虑利用中点结构补全图形，然后将所证目标放在一个较大的背景下（等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等）研究．③直角结构始终含有直角，常构造直角与斜直角配合，得到同角的余角相等；再配合构造的其他直角证明相似，所求目标往往和比例关系相关．6④平行结构所求目标为线段间的比例关系，题目中没有相似三角形，往往考虑利用平行线构造相似求解．78 3 3 【参考答案】 ➢ 巩固练习1. （1）EP =EQ ，证明略；（2） EP = 1EQ ，证明略；2 （3） EP = 1EQ ．m2. （1）都成立，证明略；（2）一定成立，证明略；（3） DF = 5 ．FA 83. （1）①DE ∥AC ；②S 1=S 2．（2）证明略；（3） BF 的长为4 3或．38。

类比探究专题(一)——平行结构(含答案).docx

学生做题前请先回答以下问题问题1:类比探究问题的处理思路是什么？类比探究专题（一）一一平行结构一、单选题（共6道，每道16分）1.如图1, D是厶ABC的边BC上一点，过点D的一条直线交AC于点F,交BA的延长线于点E.AE（1）若BD二CD, CF=2AF,则巧童的值为（）£A.2B. 21羽C. WD. 3答案:B 解题思路:如图，过点川作?tG" EC,交DE于点G,易得ZUFaAC肋，A A EG^ABED,.AG_AF _\ AG _ AE** ~CD~CF = 29 ~BD~~BE f设BD=CD=a,^\AG = -f2a.AE _ AG _ 2^ _ 1BE BD a 2即空的值为二BE 2难度：三颗星知识点：平行结构AE2.（上接第1题）（2）如图2,若BD=CD, CF=mAF,则巧应的值为（（用含m的代数式表示）A.叨B.血丄C.2/D•加图2答案：D解题思路：如图，过点川作？1G" EG交DE于点G,易得△MGSACFZ), /\AEG^/\BED f.AG _,4F _ 1 AG _ AE** ~CD~CF = m9丽一旋’ 设BD=CD=a,则AG = -,ma.AE _AG _ 1即空的值为丄.BE m试题难度：三颗星知识点：平行结构3.（上接第1, 2题）（3）如图3,将原题改为“过点D的一条直线交AC的延长线于点F,交AEAB 于点E",若BD=nCD, CF=mAF,则的值为（）（用含m, n的代数式表示）答案：c解题思路：如图，过点M 作AGllBC,交DE 的延长线于点G,易得厶0妙厶677), AAEG^ABED,.AG_AF _ 1 AG _ AE"~CD = CF~m 9 ~BD~1E 9设 BD= nCD=na f 则AG =—,ma・血 ■ ■ 卫G…BE BD na即竺的值为 1---- ■BE mn 试题难度：三颗星知识点：平行结构4. 已知AD 是△ ABC 的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转°角，交AB 边于点M’交射线AC 于点N,设观二如'泗=陀（存0,尸0）1+1=2丄+丄显C.X 尹D.x 尹 °答案：c解题思路： (1)如图1, X 歹满足的函数关系式为（1+1 = 42B .X歹图11如图，过点C作CEllAB,交胚V于点£,则厶NCES△也4胚・CN _ CE…AN = AM'・・・血)是厶ABC的中线，・\BD=CD・'/CEll BM,易得△3D遊△(?%,/. CE=BM,・CN _ BM"AN = AM'*.* AAf = xAB f AN = JL4C (x h 0, y h 0),BAI = AB—AAI = AB—x^4B , CN — AN— AC — \-AC- AC,•r.vAC — AC AB一xABvAC xAB整理得丄+丄=2,x y即丄与丄满足的函数关系式为2+丄=2・X V X V试题难度：三颗星知识点：平行结构5.（上接第4题）（2）如图2,当G是AD上任意一点时（点G不与点A重合），过点G的直线交AB 边于点皿' ,交AC 边于点“，设丄与丄AG=mAD,AM i = x i AB f百旷*^0（x70,”工0）,则卍"满足的函数关系式为（）丄+丄=2丄+丄工A.卅才 B .X ，X 21 12 —+ —=—— D 卅 y' m答案:D解题思路：如图，过点D 作MM"交43的延长线于点交47于点N,AM AD AN•' AG = utiD , AXf — x f AB , AV = X'r AC (x r h 0, y r h 0), JAf = AN = y^AC (x^O, y 0)由(1)可知，-+- = 2, x y.1 1 1 12 ..—+ — = ----- + ---- =—. x r v r wx mv m即丄与丄满足的函数关系式为1+1=- x v x v m6. （上接第4, 5题）（3）如图3,当G 是AD 上任意一点时（点G 不与点A 重合），过点G 的直线交 AB 边于点加，交 AC的延长线于点“，设CT难度：三颗星知识点：平行结构图2丄+丄乜丄+丄/C.0 0D.* 歹" 答案：D解题思路：如图，过点。

类比探究题

类比探究题五年动态几何类比探究题动态几何类比探究题是一类综合性题目，常以三角形、四边形为背景，结合几何变换、几何模型、似结构、三线合一、面积等进行考查。

这类题目由特殊情形到一般情形，由简单情形到复杂情形逐步深入，问与问之间属递进关系，往往一题三问，第一问猜结论，第二问证结论，第一问用结论。

解决类比探究问题的一般方法是根据题干条件，结合分支条件先解决第一问，然后用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法，也就是知识的迁移。

题型特征动态几何类比探究题中常见的题型特征有：1.动点问题：需要分析起点、终点、状态转折点，确定分段，常以速度已知的几何问题为主。

2.几何综合问题：常以三角形、四边形为背景，结合几何变换、几何模型、似结构、三线合一、面积等进行考查。

解题方法解决动态几何类比探究题的方法包括研究基本图形，找特征（中点、特殊角、折叠等）、找模型（相似、图形结构类似、问法类似等），常见不变结构及方法有直角，作横平竖直的线，找全等或相似；中点，作倍长，通过全等转移边和角；平行，找相似，转比例；旋转，找等边等角，证全等、相似或特殊图形等。

例题如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离。

2、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D和E分别是边BC和AC的中点，连接DE。

类比探究问题(习题及答案)

类比探究问题（习题）＞例题示范例1：如图1,在正方形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的点, 且ZE4F=45。

，则有结论EF=BE+DF成立.（1）如图2,在四边形ABCD中，AB=AD. ZB=ZD=90。

, E, F分别是BC, CD上的点，且ZEAF是ZB4D的一半，那么结论EF二BE+DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理山.⑵ 如图3,若恪（1）中的条件改为：在四边形ABCD 4^，AB=AD.ZB+上ADC=180。

，延长SC到点E,延长CD到点F,使得ZEAF 仍然是ZBAD的一半，则结论EF二BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.图1D图2F思路分析：1.题目中有旋转结构，可以类比.题U结论思路：如图1,延长CB到G,使BG二DF,根据已知条件容易证明^ ABG幻△ADF,由此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF』ABAD.2 所以得到ZDAF+ZBAE二ZEAF,进一步得到ZEAF二上EAG, 所以故EF=EG=BE+BG=BE+DF ・2.类比上面思路，解决笫一问•如图2,延长CB到G,使BG=DF, 根据已知条件容易证明^ABG^^ADF.山此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF=_ ZBAD,2 所以得到ZDAF+ZBAE二ZEAF,进一步得到ZEAF二上EAG, 所以△故EF=EG=BE+BG=BE+DF ・3.照搬思路解决第二问•结论EF=BE+DF不成立，应为EF=BE-DF.如图3,在BC上截取BG=DF, 山于ZB+ZAQC=180。

，Z/1DF+Z/IDC=18O^ 可以得到ZB=ZADF,所以△ABG幻△ADF,山此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF』ZBAD.2 所以得到ZEAF=ZEAG,所以△AEF竺△AEG,A)90。

△ADF空△ABG (SAS)I AAEF^AAEG (SAS)I故EF=EG=BE-BG=BE-DF ・D>巩固练习1.如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF (CG>BC)中，点C, G在同一直线上，M是AE的中点.(1)探究线段MD, MF的位置关系及数量关系，并证明.(2)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D, C, G三点在同一直线上，如图2,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.(3)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边在同一直线上，如图3,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图2E2.在△ABC中，已知BC >AC.动点D绕△ABC'的顶点A逆时针旋转，丄LAD=BC,连接CD. E, F分别为AB, CD的中点，直线EF与直线AD眈分别交于点M, N.如图1,当点D旋转到BQ 的延长线上时，点N恰好与点Fifi合，取AC的中点H,连接HE, HF.根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论ZAMF二ZBNE (无需证明).(1)当点D旋转到图2中的位置时，ZAMFLj ZBNE有何数量关系？请写出猜想，并给出证明.(2)当点Q旋转到图3中的位置时，ZAMF与ZBNE有何数量关系？请直接写出结论.3.已知AABC,以△ABC的边4C为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD AB=AE. AC=AD. ZBAE= ZCAD=90\ M 是BC中点，连接AM, DE.(1)如图1,在△ABC中，当ZB4C二90。

专题：动点引起的类比探究综合题

专题四十二：动点引起的类比探究综合题方法点睛解决动点引起的类比探究题的一般思路通常需要先分析点在线段上运动的情况，运用相关知识，得到相关结论，再将问题进行升华，探究点在线段延长线上或反向延长线上的情况，抓住运动过程中不变的量和探究对象之间的关系，通过研究基本图形，分析运动过程，从特殊再到一般来解决问题．典例分析例．（2022鄂尔多斯中考）（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．（1）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ．①BD ，CE 是△ABC 的角平分线．求证：BD ＝CE ．②点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．（从①②两题中选择一题加以证明）（2）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边AC 上一动点（不与点A ，C 重合）．对于点D 在边AC 上的任意位置，在另一边AB 上总能找到一个与其对应的点E ，使得BD ＝CE ．进而提出问题：若点D ，E 分别运动到边AC ，AB 的延长线上，BD 与CE 还相等吗？请解决下面的问题：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AC ，AB 的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD ＝CE ，并证明．（3）探究：用数学的语言表达如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠A ＝36°，E 为边AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），F 为边AC 延长线上一点．判断BF 与CE 能否相等．若能，求CF 的取值范围；若不能，说明理由．专题过关1.（2022威海中考）回顾：用数学的思维思考（1）如图1，当点G 在BC 边上时，写出PG 与PC 的数量关系．（不必证明）（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．2.（2022牡丹江中考）在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60ABC ∠=︒，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ．点B C 、重合），过点D 作DE AD ⊥，交射线AB 于点E．（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE 与BE 的数量关系，并说明理由；①点E 在线段AB 的延长线上且BE BD =；②点E 在线段AB 上且EB ED =．（2）若6AB =．①当2DE AD =时，求AE 的长；②直接写出运动过程中线段AE 长度的最小值．3.（2022扬州中考）如图1，在ABC ∆中，90,60BAC C ∠=︒∠=︒，点D 在BC 边上由点C 向点B 运动（不与D 从O 点出发，沿OM 方向运动．当点D 不与点A 重合时，将线段CD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到CE ．连接BE ，DE．（1）如图1，当点D 在线段OA 上运动时，线段BD 、BE 、BC 之间的数量关系是______，直线AD 和直线BE 所夹锐角的度数是______；（2）如图2，当点D 运动到线段AB （不与A 点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；（3）如图3，将ABC 改为等腰直角三角形，其中斜边6AB =，其它条件不变，以CD 为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE ，连接BE ，请问BE 是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．4.（2022河南西平一模）如图1，ABC 是边长为6cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且9OA =cm ．点BE 与CD 交于点P ．试判断：①∠BPD 的度数为______；②线段PB ，PD ，PE 之间的数量关系：PB______PD+PE ．（填写“>”或“<”或“=”）（2）若点E 是边AC 所在射线AC 上一动点（102CE AC <<）．按下列步骤画图：（ⅰ）连接BE ，作点A 关于BE 所在直线的对称点D ，连接BD ；（ⅱ）作射线DC ，交BE 所在直线于点P ．小明所做的图形如图2所示，他猜想：PB PD PC =+．下面是小明的思考过程：如图2，延长PD 到F ，使得DF PC =，连接BF ．发现BPC BFD △△≌，从而得到BP BF =，又因为60ABC ∠=︒所以可得60PBF ∠=︒，进而得到PBF △为等边三角形，从而得到线段PB ，PC ，PD 之间关系是PB PD PC =+．小华同学画图时，把点E 标在了边AC 的延长线上，请就图3按要求画出图形，猜想线段PB ，PC ，PD 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图4，在ABC 中，若90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 是射线AC 上一动点（102CE AC <<），连接BE ，作点A 关于直线BE 的对称点D ，连接DC ，射线DC 与射线BE 交于点P ，若PC m =，PB n =，请直接用m ，n 表示PD的长．5.（2022平顶山二模）（1）如图1，已知△ABC 是等边三角形，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连接BE ，CD ，直线MN 上一点，连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90得到线段PQ ，连接AQ ，CQ．（1）【问题发现】如图1，当点P 与点M 重合时，线段CQ 与PN 的数量关系是，∠ACQ=°．（2）【探究证明】当点P 在射线MN 上运动时（不与点N 重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图2中的情形给出证明．（3）连接PC ，当△PCQ 是等边三角形时，请直接写出AB PN的值．6.（2022郑州外国语三模）在△ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，点P 是一点，连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM．（1）问题发现如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是，∠ACM ＝°．（2）探究证明当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．（3）问题解决连接PC ，当△PCM 是等边三角形时，请直接写出AC PE 的值．7.（2022信阳三模）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上不与点A ，B 重合），以CD 为边作正方形CDEF ，连接AE ，AF．（1）观察猜想当点D 在线段AB 上时，线段BD 与AF 的数量关系是______，∠CAE 的度数是______．（2）探究证明当点D 不在线段AB 上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题当BD AE 的长．8.（2022河南天一大联考）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 是直线AB 上一动点（点D连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF 的面积．9.（2022河南社旗一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），10.（2022三门峡一模）问题情境：如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形．AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD，取AB中点E，CD中点F，连接EF（1）观察猜想：如图2，当点M与点E重合时，EF与CD之间的数量关系为______；（2）延伸探究：如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；AB ，线段EF是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说（3）应用提升：如图3，若2cm明理由．线AD、EC上的动点，且AP，连结BP，PQ，过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．（1）当点P在线段AE上（不包含端点）时，①求证：四边形BFQP是正方形；②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长；（2）如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）11.（2022苏州中学三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8，点E是边AD的中点.连结EC，P、Q分别是射点，连接BE ，过点C 作BE 的垂线交AD 于点F ，试猜想BE 与CF 的数量关系．【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AB 上的一个点，E 为边CD 延长线上的一个点，连接GE 交AD 于点H ，过点C 作GE 的垂线交AD 于点F ，试猜想GE 与CF 的数量关系并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在正方形ABCD 中，点E 从点B 出发沿射线BC 运动，连接AE ，过点B 作AE 的垂线交射线CD 于点F ，过点E 作BF 的平行线，过点F 作BC 的平行线，两平行线交于点H ．当点E 运动的路程为8时，请直接写出点H运动的路径长度．12.（2022南阳淅川一模）【问题发现】（1）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 为边DC 上的一个其中∠ECF ＝90°，过点F 作FG ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，连接DF 交CG 于点H．（1）发现如图1，若AB ＝AD ，CE ＝CF ，猜想线段DH 与HF 的数量关系是______（2）探究如图2，若AB ＝nAD ，CF ＝nCE ，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展在（2）的基础上，若FC 的延长线经过AD 的三等分点，且AD ＝3，AB ＝4，请直接写出线段EF 的值13.（2022平顶山一模）点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上一动点（不与点B 重合），在矩形ABCD 外作Rt △ECF（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE，求CE的长．14.（2022驻马店六校联考二模）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．不与点B 、点C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF．（1）观察发现：如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 、CF 的位置关系为___________；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为___________．（2）探究证明：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）问题解决：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若AB =，4BC CD =时，直接写出GE 的长．15.（2022河南新野一模）在ABC 中，22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，D 是BC 所在直线上的一个动点（点D（1）△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE=1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（1）所示．则CF 的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（2）所示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连结CF ，∵△ABC 、△BEF 都是等边三角形∴BA=BC ，BE=BF ，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE ≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E 在点A 处时，点F 与点C 重合．当点E 在点C 处时，CF=CA ．∴③点F 所经过的路径长为．（3）△ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图（3）所示．在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N所经过的路径长．16.（2022河南方城一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．作正方形BFGH ，其中点F ，G 都在直线AE 上，如图（4）．当点E 到达点B 时，点F ，G ，H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点。

四边形之类比探究(一)(习题及答案)

四边形之类比探究（一）（习题）例题示范例1：已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB 的延长线上时，如图1所示，易证MF +FN =1BE ．2（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．1【思路分析】1.里面有多个中点，考虑中位线，先证明易证的思路．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以MF +FN =1BE ．22.照搬易证的思路解决第一问．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以NF -MF =1BE ．23.照搬易证的思路解决第二问．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以MF -NF =1BE ．2【过程书写】证明：（1）不成立，理由如下：连接AD ，在△AED 中，M 是DE 的中点，N 是AE 的中点，∴MN 是中位线∴MN =1AD2在等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°∴AC =CB ，∵∠ACB =90°，∠DEC =45°∴CD =CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD =BE∴MN=1BE 2∴FN-MF=1BE 2（2）MF-FN=1BE 2巩固练习1.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，求证：①BD=CF；②AC=CD+CF．（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，结论AC=CD+CF是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AC，CD，CF之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点D在CB的延长线上时，其他条件不变，探究AC，CD，CF之间的数量关系．图1图2图32.如图1，C是线段BG上一点，分别以BC，CG为边，向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使点D落在线段CF上，M是AE的中点，连接DM，FM．（1）求证：DM=FM，DM⊥FM．（2）如图2，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．（3）如图3，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度，其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．图1图2图33.（1）如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，AB⊥AC，BD⊥DE，点D在AB边上．取CE的中点F，连接AF，DF，猜想AF，DF之间的数量关系和位置关系，并加以证明．（2）将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，判断（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．图1图2【参考答案】巩固练习1．（1）证明略．提示：证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，进而得到AC=CD+CF．（2）AC=CF-CD，理由略．（3）AC=CD-CF．2．（1）证明略．提示：延长DM，交EF于点H．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，进而得到△DFH是等腰直角三角形，所以DM=FM，DM⊥FM．（2）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：延长DM，交CE于点H，连接DF，HF．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，再证明△CDF≌△EHF（SAS），得到DF=HF，∠CFD=∠EFH，进而得到△DFH是等腰直角三角形，则可得证．（3）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：过点E作EH∥AD，交DM的延长线于点H，连接DF，HF．3．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明略．提示：延长DF，交AC于点H．证明△DEF≌△HCF，得到DE=HC，DF=HF，进而得到△ADH是等腰直角三角形，所以AF=DF，AF⊥DF．（2）（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系不发生变化，证明略．提示：过点C作CH∥DE，交DF的延长线于点H，连接AD，AH．。

类比探究问题(含答案)

类比探究问题（讲义）➢ 课前预习1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________， _________________．3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢ 知识点睛1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例①旋转结构AB=AC DCD'A②中点结构ABCE MDA BMCNM A（类）倍长中线平行夹中点中位线➢ 精讲精练1. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，易证EF =BE +DF ．图1B C DEF A（1）类比引申：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由．AF E DCB 图2（2）联想拓展：如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程．图3B DEF A2. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A < 45°，O 为AB 的中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．（1）如图1，当∠A =30°时，求证：222MC AM BC =+．（2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由．（3）如图3，将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与线段AC 的延长线相交于点M ，直线OE 与线段CB 的延长线相交于点N ，连接MN ，则MN 2=AM 2+BN 2成立吗？请说明理由．N图3E BC O MD A图1EBCOMD AADM OCBE图23.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，B向直线C P作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___________，QE与QF的数量关系是______________．图1B CQ(P)EFA（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．A FEPQCB 图2（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．4.某校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是___________．（填写序号）①12AF BA AG==；②MD=ME；③MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明．（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED是_____________三角形．图1CD EF GMBA图2C DEMA图3AB CMDE【参考答案】➢课前预习2.（1）分支条件（2）第一问；照搬字母，照搬辅助线，照搬思路➢知识点睛1.类比字母，类比辅助线，类比思路，不变特征➢精讲精练1.（1）原题中的结论仍成立，理由略提示：延长CD到点G，使DG=BE，证明△ABE≌△ADG（SAS）；再证明△AEF ≌△AGF（SAS），得EF=FG=BE+DG。

类比探究(人教版)(含答案)

类比探究（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．如图1，易证AB=AP，且AB⊥AP.（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点O，连接AP，BO．则BO与AP所满足的数量及位置关系是( )A.相等但不垂直B.不相等但垂直C.相等且垂直D.不相等也不垂直答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）（2）将△EFP沿直线l继续向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC 的延长线于点O，连接AP，BO．此时，BO与AP的数量关系和位置关系是( )A.相等但不垂直B.不相等但垂直C.相等且垂直D.不相等也不垂直答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.已知：如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于点E，F，图1，图2是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）如图1，当点E和点F分别在AB和BC边上时，OE和OF的大小关系是( )A.OE＞OFB.OE=OFC.OE<OFD.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.（上接第3题）（2）如图2，当点E和点F分别在AB和BC边的延长线上时，OE和OF的大小关系是( )A.OE＞OFB.OE=OFC.OE<OFD.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点。

（1）探究线段MD，MF的位置关系，并证明。

解题思路：（1）小明猜测MD⊥MF，看到图1中M是AE的中点，并且AD∥EF，考虑延长DM交EF于点H，如下图，先利用全等三角形的判定定理_____，证明_____，由全等的性质可以得到_____，所以CD＝EH，进而可以得到FD＝FH，在等腰△DFH中，由等腰三角形三线合一可以得到_____，从而证明结论。

类比探究综合测试(通用版)(含答案)

类比探究综合测试（通用版）试卷简介:测试学生在处理类比探究问题过程中，有没有类比照搬的意识，能否根据题干或者问与问之间的联系，照搬辅助线，照搬思路来解决问题，同时考查学生对于类比探究中中点结构、旋转结构、平行结构这三种特殊结构的处理思路。

一、单选题(共6道，每道16分)1.如图1，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上．连接EC，取EC的中点F，连接AF，DF．为了证明AF⊥DF，AF=DF，我们只需要延长DF交线段AC于点G，说明AF是等腰直角三角形ADG的中线即可．现将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，类比上面的做法，为了证明AF⊥DF，AF=DF，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CG⊥DF，交DF的延长线于点GC.延长DF交AC的延长于点G，连接ADD.延长DF到G，使DF=FG，连接CG，AD，AG答案：D解题思路：在图1中，给出的辅助线达到的一个效果就是保证F是等腰直角三角形ADG斜边的中点，满足DF=FG．若在图2中达到同样的效果，需要延长DF到G，使DF=FG，这样再连接AD，AG之后才能保证F是等腰直角三角形ADG斜边的中点．试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）在试题1图2的证明中，说明△ADG是等腰直角三角形之前，证明AD=AG 需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：要证明AD=AG，我们需要证明△ABD≌△ACG．根据上一题的分析，如图，延长DF到G，使DF=FG，连接CG，AD，AG，容易证明△DEF≌△GCF，∴CG=ED=BD，∠DEF=∠GCF，∴DE∥CG，∴∠GCD=∠BDE=90°，∴∠GCA=∠DBA=135°．又∵AC=AB，∴△ABD≌△ACG（SAS）．（为了证明AF⊥DF，AF=DF，接下来需要根据得出的条件，说明∠DAG=90°，进而说明AF是等腰直角三角形ADG斜边上的中线）试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF．利用旋转的思想很容易证明DE+BF=EF；如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．则DE，BF，EF之间的数量关系为( )A. B.C.DE+2BF=EFD.DE+BF=EF答案：D解题思路：在图1中，旋转思想考虑了两个方面，一个是AB=AD，能够实现旋转，一个是，能够将角度放在一起，所以图1中的证明是将△DAE旋转，使得AD 与AB重合，这是一种思想，作辅助线的时候是延长CB到点G，使得BG=DE，最后证明GF=EF．图2中有同样的两个结构：AB=AD，，所以照搬分析图1的思路来研究数量关系．如图，延长CB到点G，使得BG=DE，连接AG．易证△ADE≌△ABG，∴AE=AG，BG=DE，∠DAE=∠BAG，∴∠DAE+∠BAF=∠BAG+∠BAF=∠GAF．∵，∴∠GAF=∠EAF．又∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF，∴GF=EF，∴EF=GB+BF=DE+BF，即DE，BF，EF满足的数量关系是DE+BF=EF．试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，当∠ABC与∠ADC满足( )时，可使得DE+BF=EF．A.∠ABC=∠ADCB.∠ABC+∠ADC=180°C.∠ABC=2∠ADC-180°D.∠ABC+2∠ADC=270°答案：B解题思路：试题3中图1和图2的证明，都是利用旋转的思想来证明DE+BF=EF，从作辅助线开始到结束，整个分析有以下几点：延长CB到点G，使得BG=DE，证明△ABG≌△ADE（SAS），导出∠GAF=∠EAF，进而证明△GAF≌△EAF（SAS），之后导出线段关系．若在图3中用此方法证明，首先延长CB到点G，使得BG=DE，要证明△ABG和△ADE全等，需要保证∠ABG=∠ADE，也就是需要∠ABC+∠ADC=180°，所以需要添加的条件是∠ABC+∠ADC=180°．添加条件之后的证明如下：如图，延长CB到点G，使得BG=DE，连接AG．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，∴∠ABG=∠ADE．又∵AB=AD，BG=DE，∴△ADE≌△ABG，∴AE=AG，BG=DE，∠DAE=∠BAG，∴∠DAE+∠BAF=∠BAG+∠BAF=∠GAF．∵，∴∠GAF=∠EAF．又∵AF=AF，∴GF=EF，∴EF=GB+BF=DE+BF．试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.如图，D是△ABC的边BC上一点，过点D的一条直线交AC于点F，交BA的延长线于点E．若BD=2CD，CF=mAF，则的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，过点D作DG∥AC，交AB于点G．设CD=a，BD=2a，AF=b，CF=mb．∵△BDG∽△BCA，∴∴，BG=2AG．设AG=c，BG=2c，∴，即∴∴试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.如图，D是△ABC的边BC上一点，过点D的一条直线交AC的延长线于点F，交AB于点E．若BD=aCD，CF=bAF，则的值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，过点D作DG∥AC，交AB于点G．设CD=m，BD=am，AF=n，CF=bn．∵△BDG∽△BCA，∴∴，BG=aAG．设AG=c，BG=ac，∵△EAF∽△EGD，∴，即∴∴．试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

中考复习数学--类比探究专题

类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°．（2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由．（3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________．（2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1．（3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________．（2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数．（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补．（1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°．（1）问题发现： AGBE的值为__________．（2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________；探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。

四边形类比探究问题(可编辑修改word版)

四边形类比探究问题一．解答题（共11 小题）1.已知，如图1，正方形ABCD 和正方形BEFG，三点A、B、E 在同一直线上，连接AG和CE（1）线段AG 和线段CE 的数量关系为；（2）将正方形BEFG，绕点B 顺时针旋转到图2 的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）若在图2 中连接AE 和CG，且AE＝5，CG＝2，求AC2+GE2＝．（直接写出结果）2.问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH于点O．求证：AE＝DH；类比探究：（2）已知：如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，则线段EF 与HG 有什么数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）已知：如图3，在（2）问条件下，若HF∥EG，BE＝EC＝3，EO＝3FO，求HG 的长．（写出求解过程）3．（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD、BE 之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD＝2，若点P 满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4.如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN，连结AM、BD．（1）AM 与BD 的关系是：．（2）如果将正方形BCMN 绕点C 顺时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求AB2+DM2的值．5.如图①，在▱ABCD 中，点E、F 分别在AD、BC 上，且AE＝CF，连接AF、BE 交于点G，连接CE、DF 交于点H．（1）求证四边形EGFH 为平行四边形．（2）提出问题：在AD、BC 边上是否存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形？小明从特殊到一般探究了问题．【特殊化】如图②，若∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝6．在AD、BC 边上是否存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形？若存在，求出此时AE 的长度；若不存在，说明理由．【一般化】如图③，若∠ABC＝60°，AB＝m，BC＝n．在AD、BC 边上是否存在点E、F 使得四边形EGFH 为矩形？根据点E、F 存在（或不存在）的可能情况，写出对应的m、n 满足的条件，存在时直接写出AE 的长度．（用含m、n 的代数式表示）6.问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE＝DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由．拓展应用：（3）已知，如图3，在（2）的条件下，若BC＝4，点E 为BC 的中点，DF＝3AF，连结FH，HE，EG，GF．求四边形HEGF 的面积．7.已知AC，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，直线AE 与直线BF 交于点H（1）观察猜想如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，线段AE 和BF 的数量关系是；∠AHB＝．（2）探究证明如图2，当四边形ABCD 和FFCG 均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG 绕点C 旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F 三点共线时，请直接写出点B 到直线AE 的距离．8.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC 于点M，N，则①OM+ON ＝MB+NB；②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．【片断】小化说：将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．如图（2），若以A 为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD 于点M，N．交对角线BD 于点E、F，我发现：BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．请你在图2 中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：．【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．如图（3），设顶点为E 的45°角位于正方形的边AD 上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED，那么线段EB，EC，ED 也存在确定的数量关系：（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．9．（1）[方法回顾]证明：三角形中位线定理．已知：如图1，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．证明：如图1，延长DE 到点F，使得EF＝DE，连接CF；请继续完成证明过程：（2）[问题解决]如图2，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，G、F 分别为AB、CD 边上的点，若AG＝3，DF＝7，∠GEF＝90°，求GF 的长．（3）[思维拓展]如图3，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，∠D＝120°，E 为AD 的中点，G、F 分别为AB、CD 边上的点，若AG＝2，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF 的长．10.如图1，图2，△ABC 中，BF，CE 分别为AC，AB 边上的中线，BF⊥CE 于点P．（1）如图1，当BC＝6，∠PCB＝45°时，PE＝，AB＝；（2）如图2，猜想AB2、AC2、BC2 三者之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，▱ABCD 中，点M，N 分别在AD，BC 上，AD＝3AM，BC＝3BN，连接AN，BM，CM，AN 与BM 交于点G，若BM⊥CM 于点M，AB＝4，AD＝3，求AN 的长．11.【探索发现】如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，连接CE．小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段CD，CF，AC 之间的数量关系：；【理解运用】如图2，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D．将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF，延长FE 与BC 交于点G．（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；【拓展迁移】（4）在（3）的前提下，如图3，将△AFE 沿AE 折叠得到△AME，连接MB，若AD＝6，BD＝2，求MB 的长．四边形类比探究问题参考答案与试题解析一．解答题（共11 小题）1.【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等AG＝CE；（2）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，证出∠ABG＝∠CBE，由SAS 证明△ABG≌△CBE，得出AG＝CE；（3）连接AC、EG，设AG、CE 交点为H，由由角的互余关系得出∠2+∠BCE＝90°，得出∠ AHC＝90°，得出AG⊥CE；再由勾股定理求出AC2+EG2＝C G2+AE2，求出AC2+EG2，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可．【解答】解：（1）如图1 所示：延长AG 交CE 于H，∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，在△ABG 和△CBE 中，∵，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE，故答案为：AG＝CE；（2）AG＝CE，且AG⊥CE 仍然成立．理由如下：如图2 所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠EBG＝90°，∵∠ABG＝∠ABC+∠CBG，∠CBE＝∠EBG+∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，在△ABG 和△CBE 中，∵，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE；（3）如图2 所示：连接AC、EG，∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG＝∠BCE，∵∠1+∠BAG＝90°，∴∠1+∠BCE＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BCE＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AG⊥CE；在Rt△CGH 中，CG2＝CH2+GH2，在Rt△AEH 中，AE2＝AH2+EH2，∴CG2+AE2＝CH2+GH2+AH2+EH2＝（CH2+AH2）+（GH2+EH2）＝AC2+EG2，∵AE＝5，CG＝2，∴AC2+EG2＝22+52＝29．故答案为：29．【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．2.【分析】（1）由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DH；（2）EF＝GH．将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF，将GH 平移到DN 处，则DN∥ GH，DN＝GH．根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC＝3 得AF＝1，过F 作FP⊥BC 于P，根据勾股定理得EF，因为FH∥EG，所以，【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．∴∠HAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠HAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH．（2）EF＝GH．将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF．将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN＝GH．∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD∴∠AHO＝∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO＝∠EGO∴∠AHF＝∠CGE∴△AHF∽△CGE∴，∵EC＝3∴AF＝1过 F 作FP⊥BC 于P，根据勾股定理得EF＝，∵根据（2）知EF＝GH，∴GH＝2 ．【点评】本题考查了四边形的综合知识．用到正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．3.【分析】问题发现：（1）①由等边三角形的性质可得AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝120°即可求∠AEB 的度数；（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE；拓展研究：（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD＝BE；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM＝DM＝ME，可得AE＝2CH+BE；解决问题：（3）由题意可得点P 在以D 为圆心，2 为半径的圆上，同时点P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【解答】解：问题发现（1）①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED∵点A、D、E 在同一条直线上，∴∠ADC＝120°∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠CEB＝120°∴∠ABE＝∠CEB﹣∠CED＝60°②∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E 在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P 满足PD＝2，∴点P 在以D 为圆心，2 为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴如图，点P 是两圆的交点，若点P 在AD 上方，连接AP，过点A 作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P 四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB 中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2 ﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P 在CD 的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A 到BP 的距离为：+1 或﹣1【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【分析】（1）利用正方形的性质和已知条件证明△AMC≌△DBC，从而求出AM 与BD相等且垂直；（2）如果将正方形BCMN 绕点C 逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，先求出∠ACM＝∠DCB，然后利用“边角边”证明△AMC 和△DBC 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据AM⊥BD，得相交的角为直角，由勾股定理计算可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ACDE 和四边形BCMN 都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CM，在△AMC 和△DBC 中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，延长AM 交BD 于F，∵∠AMC＝∠DMF，∴∠ACM＝∠DFM＝90°，∴AM⊥BD；故答案为：AM＝BD 且AM⊥BD；（2）如果将正方形BCMN 绕点C 逆时针旋转锐角α，其它不变，（1）中所得的结论仍然成立，理由如下：在正方形ABCE 和正方形BCMN 中，AC＝CD，CM＝BC，∠ACD＝∠MCB＝90°，∵∠ACM＝90°+∠MCD，∠DCB＝90°+∠MCD，∴∠ACM＝∠DCB，在△ACM 和△DCB 中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，∵∠AFC＝∠DFG，∴∠ACF＝∠DGF＝90°，∴AM⊥BD．（3）如图2，连接AD、BM，∵AC＝4，BC＝2，由勾股定理得：AD2＝42+42＝32，BM2＝22+22＝8，∵AM⊥BD，∴∠AGB＝∠DGM＝∠AGD＝∠BGM＝90°，∴AB2+DM2＝AG2+BG2+DG2+GM2，∵AD2+BM2＝AG2+DG2+BG2+MG2＝32+8＝40，∴AB2+DM2＝40．【点评】本题考查了四边形的综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．5.【分析】（1）由条件可证明四边形AECF 和四边形EDFB 为平行四边形，可得到EH∥GF，GE∥FH，可证明四边形EGFH 为平行四边形；（2）由矩形的性质得出AB＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，证出∠ABE＝∠DEC，得出△ABE∽△DEC，得出＝，即可求出AE 的长；（3）作AP⊥AD 于P，CQ⊥AD 于Q，则BP＝CQ，PQ＝BC＝AD，由直角三角形的性质得出AP＝AB＝m，BP＝CQ＝AP＝m，设AE＝x，则PE＝x+m，AQ＝n﹣x﹣m，同（2）得：△BPE∽△EQC，得出＝，得出方程整理得：x2+（m﹣n）x+m2﹣＝0，由判别式△＝n2﹣3m2，当△≥0，即n2﹣3m2≥0 时，方程有解，得出m、n 满足的条件和AE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形AECF、四边形EDFB 为平行四边形，∴EH∥GF，GE∥FH，∴四边形EGFH 为平行四边形；（2）解：存在，如图②所示，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，四边形EGFH 为矩形时，∠BEC＝90°，则∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴＝，即＝，解得：AE＝3±；即在AD、BC 边上存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形，此时AE 的长度为3±；（3）解：存在，如图③所示，理由如下：作AP⊥AD 于P，CQ⊥AD 于Q，则BP＝CQ，PQ＝BC＝AD，∴AP＝DQ，∵AD∥BC，∴∠PAB＝∠ABC＝60°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝m，∴BP＝CQ＝AP＝m，设AE＝x，则PE＝x+m，AQ＝n﹣x﹣m，同（2）得：△BPE∽△EQC，∴＝，即＝，整理得：x2+（m﹣n）x+m2﹣＝0，∵△＝（m﹣n）2﹣4（m2﹣）＝n2﹣3m2，当△≥0，即n2﹣3m2≥0 时，方程有解，即m、n 满足n≥m 时，在AD、BC 边上存在点E、F 使得四边形EGFH 为矩形，此时AE＝．【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及判别式的运用等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．6.【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，利用ASA 定理证明△ABE≌△DAH，根据全等三角形的性质得到AE＝DH；（2）过得A 作AM∥EF 交BC 于M，过点D 作DN∥GH 交AB 于N，由（1）的结论证明即可；（3）过点F 作FP⊥BC 于点P，根据勾股定理求出EF，由（2）的结论求出HG，根据四边形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，∴∠HAO+∠OAD＝90°，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∴∠HAO＝∠ADO，在△ABE 和△DAH 中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH；（2）解：EF＝GH．理由：如图2，过得A 作AM∥EF 交BC 于M，则四边形AMEF 为平行四边形，∴AM＝EF，过点D 作DN∥GH 交AB 于N，同理，DN＝GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）解：如图3，过点F 作FP⊥BC 于点P，∵四边形ABCD 是正方形，BC＝4，∴AD＝BC＝AB＝FP＝4，∵E 为BC 的中点，DF＝3AF，∴BE＝2，AF＝1，∴PE＝2﹣1＝1，在Rt△FPE 中，EF＝＝，由（2）得：HG＝EF，∴HG＝，∵EF⊥HG，∴四边形HEGF 的面积＝×EF×GH＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.【分析】（1）由正方形的性质得出＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，得出∠ACE＝∠BCF，证出△CAE∽△CBF，得出∠CAE＝∠CBF，＝＝，因此＝，求出∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，再由三角形内角和定理求出∠AHB 的度数即可；（2）不成立；由矩形的性质和已知条件得出＝＝，∠ACE＝∠BCF，得出△CAE ∽△CBF，因此∠CAE＝∠CBF，求出＝＝，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+ ∠EAB＝60°，再由三角形内角和定理即可得出∠AHB 的度数；（3）分两种情况：①如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，在Rt△ABC 和Rt△CEF 中，由三角函数求出AC＝6 ，EF＝2，在Rt△ACF 中，由勾股定理求出AF＝6，得出AE＝AF﹣EF＝6﹣2 ，再由（2）的结论＝，求出BF＝3 ﹣3，在Rt△BFM 中，由直角三角形的性质求出BM 即可；②如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，同②得：AE＝6+2，BF＝3+3，由直角三角形的性质求出BM 即可．【解答】解：（1）如图1 所示：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，∴＝，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，∵∠CBA＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：＝，45°；（2）不成立；理由如下：∵四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°，∴＝＝，∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝60°，∵∠CBA＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°﹣60°＝30°；（3）分两种情况：①如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，在Rt△ABC 和Rt△CEF 中，∵∠ACB＝∠ECF＝30°，∴AC＝＝＝6 ，EF＝CF×tan30°＝6×＝2 ，在Rt△ACF 中，AF＝＝＝6 ，∴AE＝AF﹣EF＝6 ﹣2，由（2）得：＝，∴BF＝（6﹣2）＝3﹣3，在△BFM 中，∵∠AFB＝30°，∴BM＝BF＝；②如图3 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，同②得：AE＝6+2，BF＝3 +3，则BM＝BF＝；综上所述，当A、E、F 三点共线时，点B 到直线AE 的距离为．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．8.【分析】【片断一】如图1 中，①错误．结论：OM2+ON2＝BM2+BN2．②正确．只要证明△MOB≌△NOC 即可解决问题；【片断二】如图2 中，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．理由勾股定理即可证明；【片断三】如图3 中，过点C 作EC 的垂线交EB 延长线于F，构造全等三角形即可解决问题；【解答】解：【片断一】：如图1 中，①错误，②正确；理由：如图1 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠ABO＝∠OCN＝45°，∵∠MON＝∠BOC，∴∠MOB＝∠NOC，∴△MOB≌△NOC，∴BN＝CN，∴AM+CN＝AM+BM＝AB＝OA＝OD，①正确的结论：OM2+ON2＝BM2+BN2．理由：∵OM2+ON2＝MN2，BM2+BN2＝MN2，∴OM2+ON2＝BM2+BN2．【片断二】：如图 2 中，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．理由：∵AF＝AF，∠GAF＝∠EAF＝45°，AG＝AE，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝GF，∵∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝45°，∴∠FDG＝90°，∴GF2＝DF2+DG2，∴EF2＝BE2+DF2．故答案为：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．【片断三】：如图 3 中，过点C 作EC 的垂线交EB 延长线于F，∵∠ECF＝∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵CD＝CB，CE＝CF，∴△CDE≌△CBF，∴ED＝FB，∴EB+ED＝EB+FB＝EF，又因为EC2+FC2＝EF2，∴（EB+ED）2＝2EC2．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9.【分析】（1）用“倍长法”将DE 延长一倍：延长DE 到F，使得EF＝DE，利用“边角边”证明△ADE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，然后判断出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA），进而判断出EF 垂直平分GH，即可得出结论；（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，先求出AG＝HD＝2，进而判断出△PDH 为30 度的直角三角形，再用勾股定理求出HF 即可得出结论．【解答】（1）证明：（1）如图1，延长DE 到点F，使得EF＝DE，连接CF，在△ADE 和△CFE 中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC．（2）解：如图2，延长GE、FD 交于点H，∵E 为AD 中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，在△AEG 和△DEH 中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝3，EG＝EH，∵∠GEF＝90°，∴EF 垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝3+7＝10；（3）解：如图3，过点D 作AB 的平行线交GE 的延长线于点H，过H 作CD 的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝2 ，∵∠ADC＝120°，∴∠HDF＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠HDP＝30°，∴PH＝DH＝，PD＝3，∴PF＝PD+DF＝3+4＝7，在Rt△HFP 中，∠HPF＝90°，HP＝，PF＝7，∴HF＝＝＝2，∴GF＝2 ．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形和直角梯形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE ≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF 垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线，是一道比较典型的中考题．10.【分析】（1）证明△BPC 是等腰直角三角形，计算BP＝PC＝6，先根据三角形中线可知：EF是△ABC 的中位线，得EF∥BC，EF＝BC，证明△EPF∽△CPB，列比例式可得PE和AB 的长；（2）设PF＝m，PE＝n，则PB＝2m，PC＝2n，在Rt△PBC，Rt△PBE 和Rt△PCF 中，根据勾股定理列方程后，相加可得结论；（3）本题介绍两种解法：法一：证明△AGM≌△NGB（AAS），得BG 是△ABN 的中线，作辅助线，构建全等三角形和中线，得NF，BG 都为△ABN 的中线，由（2）知，AB2+AN2＝5BN2，代入可得结论；法二：如图4，作BP⊥DA 延长线于点P，CQ⊥AD 于点Q，易知四边形PBCQ 为矩形，设PA＝QD＝x，PB＝CQ＝y，表示PM＝x+，MQ＝2﹣x，证明△PBM∽△QMC，列比例式得方程：y2＝﹣x2+ x+12 ①，根据勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2，y2＝42﹣x2＝16﹣x2②，根据①②得：﹣x2+ x+12＝16﹣x2，解出可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵BF⊥CE，∴∠BPC＝90°，∵∠PCB＝45°，∴△BPC 是等腰直角三角形，∵BC＝6 ，∴PC＝BP＝6，∵BF，CE 分别为AC，AB 边上的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△EPF∽△CPB，∴＝，∴，∴EP＝3，由勾股定理得：BE＝＝＝3，∴AB＝2BE＝6 ，故答案为：3，6；（2）猜想：AB2+AC2＝5BC2；证明：∵BF，CE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，＝＝，设PF＝m，PE＝n，则PB＝2m，PC＝2n，在Rt△PBC 中，（2m）2+（2n）2＝BC2①在Rt△PBE 中，②在Rt△PCF 中，③由①，②，③得：AB2+AC2＝5BC2；（3）法一：在△AGM 与△NGB 中，，∴△AGM≌△NGB（AAS），∴BG＝MG，AG＝NG，∴BG 是△ABN 的中线，如图3，取AB 的中点F，连接NF，并延长交DA 的延长线于E，同理，△AEF≌△BNF，∴AE＝BN，EM＝2BN＝NC，∵EM∥NC，∴四边ENCM 是平行四边形，∴EN∥CM，∵BM⊥CM，∴EN⊥BM，即BG⊥FN，∵NF，BG 都为△ABN 的中线，由（2）知，AB2+AN2＝5BN2，∵AB＝4，BN＝AD＝，∴42+AN2＝5×，∴AN＝．法二：如图4，作BP⊥DA 延长线于点P，CQ⊥AD 于点Q，在▱ABCD 中，AD＝BC，易知四边形PBCQ 为矩形，∴PQ＝BC，∴PA＝QD，依题意：AM＝BN＝，MD＝2，设PA＝QD＝x，PB＝CQ＝y，∴PM＝x+ ，MQ＝2﹣x，∵BM⊥CM 于点M，∠BMC＝90°，∴∠BMP+∠CMQ＝90°，又∠BMP+∠PBM＝90°，∴∠PBM＝∠CMQ，又∵∠BPM＝∠MQC＝90°，∴△PBM∽△QMC，∴，即，化简得：y2＝﹣x2+ x+12 ①，作AH⊥BC 于点H，则BH＝PA＝x，AH＝y，在Rt△ABH 中，AH2＝AB2﹣BH2，∴y2＝42﹣x2＝16﹣x2②，由①②得：﹣x2+ x+12＝16﹣x2，∴x＝，y2＝，在Rt△AHN 中，AN＝＝＝＝．【点评】本题是四边形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、矩形和平行四边形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、三角形中线，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，并运用类比的方法解决问题，属于中考常考题型．1.【分析】（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB＝BC＝CE＝AE，则四边形ABCE是菱形；（2）先证明C、F、E 在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB＝∠AFC，BD ＝CF，可得AC＝CF+CD；（3）先根据∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（4）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM＝DE 及勾股定理可得结论．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠CAE＝60°，AC＝AE，∴△ACE 是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∴AB＝BC＝CE＝AE，∴四边形ABCE 是菱形；（2）线段CD，CF，AC 之间的数量关系：CD+CF＝AC，理由是：由旋转得：∠DAF＝60°＝∠BAC，AD＝AF，∴∠BAD＝∠CAF，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ADB＝∠AFC，BD＝CF，∵∠ADC+∠ADB＝∠AFC+∠AFE＝180°，∴C、F、E 在同一直线上，∴AC＝BC＝BD+CD＝CF+CD，故答案为：CD+CF＝AC；（3）四边形ADGF 是正方形，理由如下：∵Rt△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF，∴AF＝AD，∠DAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°，∴四边形ADGF 是矩形，∵AF＝AD，∴四边形ADGF 是正方形；（4）如图3，连接DE，∵四边形ADGF 是正方形，∴DG＝FG＝AD＝AF＝6，∵△ABD 绕点A 逆时针旋转90°，得到△AEF，∴∠BAD＝∠EAF，BD＝EF＝2，∴EG＝FG﹣EF＝6﹣2＝4，∵将△AFE 沿AE 折叠得到△AME，∴∠MAE＝∠FAE，AF＝AM，∴∠BAD＝∠EAM，∴∠BAD+∠DAM＝∠EAM+∠DAM，即∠BAM＝∠DAE，∵AF＝AD，∴AM＝AD，在△BAM 和△EAD 中，∵，∴△BAM≌△EAD（SAS），∴BM＝DE＝＝＝2．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。

类比探究(教师用)

类比探究(教师用)类比探究一）直角结构问题1：类比探究是几何综合题，类比（相似、全等、等腰）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变量。

若属于类比探究常见的结构类型，可以调用结构类比解决。

若不属于常见结构类型，可以先根据题干条件，结合已知条件先解决第一问，然后类比解决下一问。

如果不能，可以分析条件变化，寻找不变量。

结合所求目标，依据猜想、尝试、验证的思路大胆猜测，尝试，验证。

问题2：类比探究问题常见的不变结构有：勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理、函数背景下考虑、圆背景下考虑等。

处理方式是根据所求目标和已知条件，结合不变结构进行类比，寻找解题思路。

问题3：直角结构的思考角度有：1.边：勾股定理；2.角：直角三角形两锐角互余；3.面积：直角边看成高（等面积结构）；4.固定模型和用法：直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理；5.函数背景下考虑；6.圆背景下考虑：直径所对的圆周角是直角，垂径定理。

在类比探究之直角结构中，常用的结构有勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正等。

例如，对于Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，将一块三角板的直角顶点放在△ABC斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，可以利用不变结构进行类比解题。

为折痕EF上的任一点P，作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H。

已知AD=8，CF=3，求PG+PH的值。

解题思路：根据垂足定理，PG=PE-EG，PH=PF-FH。

由于EF是折痕，所以PE=PF，EG=FC，FH=AD。

因此，PG+PH=PE+FC-AD=PE+CF-AD=PE-ED+CF。

类比探究专项训练(六)(含答案)

类比探究专项训练（六）一、单选题(共5道，每道20分)1.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2CD，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_____，AC的长为_____．( )A.65°，3B.C.75°，3D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2DE，则BC的长为( )A.6B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF．关于证明上述结论的辅助线的作法，有如下说法：①延长FD到G，使DG=BE，连接AG；②过点A作AG⊥EF于点G；③将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADG（之后证明点G，D，F在同一条直线上）．其中可以证明结论的是( )A.①B.②③C.①③D.①②③答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质4.（上接第3题）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是边BC，CD上的点，且，则当∠B和∠D满足什么条件时，EF=BE+DF成立？( )A.∠B=∠DB.∠B+∠D=180°C.∠B=2∠DD.∠B+∠D=120°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.（上接第3，4题）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，则此时两舰艇之间的距离为( )海里．A. B.210C.300D.条件不够，无法计算答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

类比探究(讲义及答案)

图1AB C D GEFM图2ABCDGEFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1. 小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用．经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF ，MD =MF等腰Rt △DFH ，M 为DH 中点FD =FH ，∠DFH =90°DM =MH ，AD =EH △ADM ≌△EHM延长DM ，交EF 于点H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？扫一扫看视频对答案2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________．提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BDCEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．M FE DC B A➢知识点睛类比探究问题的处理思路1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．2.若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢精讲精练1.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作□PCQD，则当点P与点A重合时，PQ的长为__________．（2）如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．A(P)DQCB图1AP BCQD图2AB C D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空： ①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD =2．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现 ①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，AEBD=______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCD ECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）25．（2）存在，最小值为4．（3）存在，最小值为5．（4）存在，最小值为2(4)2n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略．（3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP 的距离为312+或312-． 4. （1）①52；②52．（2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为45或1255．。

第三讲类比探究类试题

第三讲类比探究类试题1.基础讲练（1）.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．(2).已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．（1）如图1，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN，AM=AN；（2）如图2，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN 和AM=AN是否仍然成立？请说明理由．(3).1.如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB 于F，QM交AD于E．（1）猜想：ME与MF的数量关系；（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠QMN=∠ABC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为“平行四边形”，且∠QMN=∠ABC，AB:BC=m，其他条件不变，求出ME:MF的值．（直接写出答案）答案：(4).如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是射线BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接FC，观察并猜测tan∠FCN的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=m，BC=n（m，n为常数），E是射线BC上一动点（不含端点B），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，当点E沿射线CN运动时，请用含m，n的代数式表示tan∠FCN的值．答案：2.提升练习(1).已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则（填“<”或“=”或“>”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得=成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA="BC=" 3，DA="DC=" 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．则的值为．图1图2图3（1）=；（2）∠B=∠EGC；（3）.试题分析：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴，即=.（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴，∴，∴，即当∠B+∠EGC=180°时，成立．（3）解：．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，∵AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM=CN，AN=CM，∵在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠CBM=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴∴在Rt△CMB中，，BM=AM﹣AB=x﹣6，由勾股定理得：，∴，解得x=0（舍去），x=∴CN=，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF=90°，∴△AED∽△NFC，∴。

类比探究之探究(一) (北师版)(含答案)

类比探究之探究（一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．在图1中，D是BC边上的中点，请判断DE+DF与BG的关系．( )A. B.C. D.无法判断答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）在图2中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系仍然成立．下列3种思路中你认为可行的是( )思路①：连接AD，借助S△ABD+S△ACD=S△ABC思路②：过点D作DM⊥BG于点M，然后证明△BMD≌△DEB思路③：连接EF，证明EF=BGA.①②③B.①③C.②③D.①②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）在图3中，D是线段BC延长线上的点，探究DE，DF与BG的关系，你认为正确的是( )A. B.C. D.无法判断答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且CE=DE．为判断AE和BD 之间的关系，小明准备分情况进行讨论．当E是AB中点时，如图1，小明发现，由于E是AB边的中点，利用三线合一可以得到AE=BE，∠ECB=30°，再由CE=DE 可以得到∠D=30°，进而得到∠BED=30°，就可以得到BD=BE=AE．但是当E不是AB中点时，就不能照搬上述方式进行证明，此时小明想到了另外一种方式：过点E作EF∥BC，交AC于点F，也能证明AE=BD．（1）当E是线段AB上除端点和中点外的任一点时，如图2，按照上述辅助线证明AE=BD，证明过程中需要使用一对三角形全等，则证明此对三角形全等不能使用的条件是( )A.AASB.ASAC.SASD.SSS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）（2）当点E在BA的延长线上时，如图3，点D在BC边上，且CE=DE，按照下面的操作，能够证明AE=BD的是( )A.直接证明△EAC≌△BDEB.①过点A作AF∥BC，交EC于点F；②△AEF是等边三角形；③△AFC≌△BDEC.①过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；②△AEF是等边三角形；③△EFC≌△DBED.①过点A作AF∥BC，交EC于点F，连接DF；②四边形FDBE是等腰梯形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。

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