高中数学数列递推与放缩问题专题训练试题

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2024年高考数学专题10 数列不等式的放缩问题 (练习)(原卷版)

(1)证明：对 "x Î[0, +¥), f (x) ³ 0 恒成立；
(2)是否存在
n
Î
N*
，使得
ln
2
<
sin
1 1´
3
+
sin
2
1 ´
4
+
×
×
×
+
sin
1 n(n +
2)
<
3 4
成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知
专题 10 数列不等式的放缩问题
目录
01 先求和后放缩 .................................................................................................................................1
明理由；
a
-
1
£0
(3)对任意正整数
n
，不等式
1 +
1 b1
1 +
1 b2
××
×
1
+
1 bn
n - 2 + an
都成立，求实数 a 的取值范围．
n
06 å ai < (>)b 型不等式的证明 i =1
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = sin x - x + 1 x3 ． 6
等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求an 的通项公式；

高三数学必做题数列放缩法典型试题

高三数学必做题数列放缩法典型试题Prepared on 22 November 2020数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =．（1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)(K12教育文档)

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用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ，试求：（1)数列{}n a 的通项公式; （2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解:（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ,得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：（06全国1卷理科22题）设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ)求首项1a 与通项n a ;（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =,证明:132ni i T =<∑. 解：（Ⅰ)由 S n =错误!a n －错误!×2n+1+错误!, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 错误!a 1－错误!×4+23所以a 1=2 再由①有 S n －1=错误!a n －1－错误!×2n +错误!， n=2，3，4，…将①和②相减得： a n =S n －S n －1= 错误!(a n －a n －1)－错误!×（2n+1－2n ）,n=2,3， …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2，3， … ，因而数列{ a n +2n ｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n ， n=1，2,3, …，因而a n =4n －2n ， n=1，2，3, …,(Ⅱ）将a n =4n －2n 代入①得 S n = 错误!×（4n －2n )－错误!×2n+1 + 错误! = 错误!×(2n+1－1)（2n+1－2）= 错误!×（2n+1－1）（2n －1）T n = 错误!= 错误!×错误! = 错误!×（错误! －错误!）所以, 1ni i T =∑= 321(n i =∑错误! －错误!) = 错误!×（错误! － 1121n +-）〈错误!二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-,前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设n n n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2:（06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式； (II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.（I)解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II)证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列,再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证:11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得: n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22nn n a a S +=.(1）求证：2214n n n a a S ++<;（2）求证<⋅⋅⋅+< 解:(1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1。

数列的放缩(含答案)

数列的放缩题型一:单调性法例1：证明：11115123136n n n n ++++>++-，2n n N *≥∈，.因为1111111112313233233n a n n n n n n n n =++++<++++++-++++ 所以n a 单调递增，156n a a >=例2：证明：1111121313n n n n<++++<+-，n N *∈.右边：11111(31)213231n n n n n n n++++<•-+=+--左边：1111112313n a n n n n n=+++++++-可以证明：11232n x n x n+>+- 44()(3)2*2n nn x n x n n>+-所以倒叙相加可得 1111111111()()1231333121n n nn n n n nn n++++++++++++++--+ 2*n >422*2nn n = 所以1n a >题型二:裂项法例1：证明：222211117147(32)6n +++<-，n N *∈.211(32)(34)(31)n n n <---例2：证明：2611151(1)(21)493n n n n ≤++++<++ 解析: 一方面⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一21111111111492334(1)11n n n n n n ++++>++++=-=⨯⨯+++方面:当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例3：证明：11112477121017(31)(52)25n n +++<⨯⨯⨯++提示：1313615(31)(52)55(31)(3)(3)(3)522n n n n n n =<++++-+例4：求证：22211171135(21)62(21)n n ++++>---，2n n N *≥∈，. 提示：211(21)(21)(21)n n n >--+例5：证明：222233131312n+++<---，n N *∈ 方法一:13123n n --≥⨯方法二:1111122323113()31(31)3(31)(31)3131n n nn n n n n n +++++⨯⨯=<=-------例6：已知当0x >时sin x x >，求证:211sinln 2(1)nk k =<+∑例7：已知函数()()cos sin 10f x x x x x =-+>。

高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)

数列综合题 1、已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： S n （1）求数列 an 的通项公式；（2）若 a
a an 1 ， a 为常数，且 a 0 ， a 1 ． a 1
1 1 an a ，设 bn n 1 ，且数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn ． 3 3 1 an 1 an1
1 1 2 ． a1a2 a2 a3 3
1 n (1)n1 ，其中 n 2 ． bn n an
②是否存在实数，使得数列 {bn } 为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S n （1）求数列 an 的通项公式；（2）若 bn
3、已知 a n 是等差数列， a 2 3 ， a 3 5 ． ⑴求数列 a n 的通项公式； ⑵对一切正整数 n ，设 bn
(1) n n ，求数列 b n 的前 n 项和 S n ． a n a n 1
4、设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a1 2 , an1 2S n 2 n 1,2,3 （1）求 a2 ；（2）数列 a n 的通项公式；（3）设 bn
2、已知数列 an 的前 n 项和 S n
n 1 an ，且 a
2
1
1．
（1）求数列 an 的通项公式；（2）令 bn ln an ，是否存在 k (k 2, k N ) ，使得 bk 、bk 1 、bk 2 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的 k 值；若不存在，请说明理由．
．
a n 1 1 ,求证： b1 b2 bn ． 2 S n 1 S n

放缩法数列练习题

放缩法数列练习题在数列的学习中，放缩法是一种常用的求解数列问题的方法。

通过逐步放缩数列的项，我们可以找到数列中的规律，并进一步推导出数列的通项公式。

本篇文章将为您介绍一些放缩法数列练习题，帮助您更好地掌握这一方法。

练习题一：等差数列的放缩已知数列{a_n}满足 a_1 = 2，a_2 = 5，a_3 = 8，...，a_100 = ?，其中数列的公差为 3。

请利用放缩法找出 a_100 的值。

解析：我们可以观察到每个项之间的差都是 3，因此这是一个等差数列。

我们可以使用放缩法来找到通项公式并计算 a_100。

首先，我们将数列放缩三次：第一次放缩：令 b_n = a_n + 1，我们可以得到一个新的等差数列{b_n}，满足 b_1 = a_2 = 5，b_2 = a_3 = 8，b_3 = a_4，...第二次放缩：令 c_n = b_n + 1，得到等差数列{c_n}，满足 c_1 = b_2 = 8，c_2 = b_3，...第三次放缩：令 d_n = c_n + 1，得到等差数列{d_n}，满足 d_1 = c_2 = 11，...通过这一系列的放缩，我们可以发现新的数列{d_n}是一个公差为 3 的等差数列，且 d_1 = 11。

我们知道等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n-1)d，将 d_n 还原回 a_n，我们可以得到 a_n = d_n - 1。

因此，我们可以计算 a_100 = d_100 - 1 = 11 + (100-1)3 - 1 = 11 + 99× 3 - 1 = 307。

练习题二：等比数列的放缩已知数列{b_n}满足 b_1 = 2，b_2 = 6，b_3 = 18，...，b_10 = ?，其中数列的公比为 3。

请利用放缩法找出 b_10 的值。

解析：我们可以观察到每个项之间的比都是 3，因此这是一个等比数列。

我们可以使用放缩法来找到通项公式并计算 b_10。

专题20 放缩法证明数列不等式(练习及答案)-高考数学二轮专题必考点专练

专题20：放缩法证明数列不等式题型一：先求和再证明不等式典型例题例1(2021·全国乙)设{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<S n2．变式训练练1已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，b2=a1+a2，a3=2b3−6．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=1b n b n+2，数列{c n}的前n项和为T n，证明：15≤T n<13．练2已知数列{a n }的首项a 1=3，前n 项和为S n ，a n+1=2S n +3，n ∈N *． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 3a n ，求数列{b n a n}的前n 项和T n ，并证明：13≤T n <34．题型二：先放缩再求和证明不等式典型例题例2(2014·全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1． (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32．变式训练练3已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *．(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1．练4已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n<710(n ∈N *)．专题训练1.数列{a n}中，a1＝12，a n+1=a n2a n2−a n+1(n∈N∗)．(1)求证：a n＋1<a n；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n<1．2.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1a n=2S n,n∈N∗（1）求证：数列{S n2}是等差数列（2）记数列b n=2S n3,T n=1b1+1b2+⋯+1b n，证明：1√n+1<T n≤32−√n.3.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2(1+1n )2a n,n∈N+（1）求证：数列{a nn2}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n ，求证：c1+c2+⋯+c n<1724.4.已知数列{a n}的前n项和S n=na n−3n(n−1),n∈N∗，且a3=17.（1）求a1；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}的前n项和T n，且满足b n=√nS n ，求证：T n<23√3n+2.5.已知数列{a n}满足a1=14,a n=a n−1(−1)n a n−1−2(n≥2,n∈N).（1）试判断数列{1a n+(−1)n}是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=a n sin(2n−1)π2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：对任意的n∈N∗,T n<47.。

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+= ③21(1)20.n n nb n b ++-++= ④③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+；（Ⅲ）∵21111(22)22123nc n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

2025年高考数学一轮复习-数列中的不等式证明及放缩问题-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-数列中的不等式证明及放缩问题-专项训练一、基本技能练1.已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＝7，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n＝1－12b n (n ∈N *).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a 2＝4，S n ＋1＋2S n －1＝3S n －2(n ≥2).(1)证明：数列{a n －2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2n －1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：112≤T n <13.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足对任意的正整数n ，b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n a n＝(n ＋1)2恒成立，求证：b n ≥4.二、创新拓展练4.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，4S n ＝a n a n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.参考答案与解析一、基本技能练1.(1)解因为数列{a n}是等差数列，a2＝3，a4＝7，设数列{a n}的公差为d，1＋d＝3，1＋3d＝7，1＝1，＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*).对于数列{b n}，S n＝1－12b n(n∈N*)，当n＝1时，b1＝1－12b1，解得b1＝23；当n≥2时，b n＝S n－S n－1－12b－12b n－整理得b n＝13b n－1，所以数列{b n}是首项为23，公比为13的等比数列，所以b n＝23×－1＝23n(n∈N*).(2)证明由题意得c n＝a n b n＝2（2n－1）3n＝4n－2 3n，所以数列{c n}的前n项和T n＝23＋632＋1033＋…＋4（n－1）－23n－1＋4n－23n，则3T n＝2＋63＋1032＋…＋4n－23n－1，两式相减可得2T n＝2＋43＋432＋…＋43n－1－4n－23n＝2＋4×31－13－4n－23n＝4－4n＋4 3n，所以T n＝2－2n＋2 3n.所以T n<2.2.证明(1)当n≥2时，由S n＋1＋2S n－1＝3S n－2可变形为S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)－2，即a n＋1＝2a n－2，即a n＋1－2＝2(a n－2)，所以a n＋1－2a n－2＝2(n≥2)，又因为a1＝3，a2＝4，可得a1－2＝1，a2－2＝2，所以a2－2a1－2＝2，所以数列{a n－2}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n－2＝2n－1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2＋2n－1(n∈N*). (2)由a n＝2＋2n－1，可得b n＝2n－1a n a n＋1＝2n－1（2＋2n－1）（2＋2n）＝12＋2n－1－12＋2n，所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝13－14＋14－16＋16－110＋…＋12＋2n－1－12＋2n＝13－12＋2n，因为12＋2n>0，所以13－12＋2n<13，即T n<13，又因为f(n)＝13－12＋2n，n∈N*，单调递增，所以T n≥b1＝1（2＋1）（2＋2）＝112，所以112≤T n<13.3.(1)解因为S n ＝n 2＋n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足a n ＝n ，所以{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *).(2)证明因为b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b na n＝(n ＋1)2，所以当n ≥2时，b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n －1a n －1＝n 2，所以b n a n ＝（n ＋1）2n2(n ≥2)，又n ＝1时，b 1a 1＝22＝4，满足b n a n ＝（n ＋1）2n 2，所以对任意正整数n ，b n a n ＝（n ＋1）2n2，由(1)得，a n ＝n ，所以b n ＝（n ＋1）2n ＝n 2＋2n ＋1n＝n ＋1n＋2≥2n ·1n ＋2＝4，当且仅当n ＝1时，等号成立.二、创新拓展练4.(1)解∵4S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4，当n ≥2时，4S n －1＝a n －1a n ，得4a n ＝a n a n ＋1－a n －1a n .由题意知a n ≠0，∴a n＋1－a n－1＝4，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4，∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)，a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k，∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2.综上可知，a n＝2n，n∈N*.(2)证明∵1a2n＝14n2>14n（n＋1）∴T n＝1a21＋1a22＋…＋1a2n>－12＋12－13＋…＋1n－＝n4n＋4.又∵1a2n＝14n2<14n2－1＝1（2n－1）（2n＋1）∴T n＝1a21＋1a22＋…＋1a2n<－13＋13－15＋…＋12n－1－<12.即得n4n＋4<T n<12.。

2023年考数学----数列放缩真题练习(含答案解析)

2023年考数学----数列放缩真题练习（含答案解析）1、（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax xf x x =−．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <−，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n ++>++．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =−，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞−，增区间为()0,∞+. （2）设()e e 1ax x h x x =−+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+−，设()()1e e ax xg x ax =+−，则()()22e e ax xg x a a x '=+−，若12a >，则()0210g a '=−>，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=−，与题设矛盾. 若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+−=−，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+−，故()11011x S x x x−'=−=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++−<−=−≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=−+<−+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=. 综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10xx x −+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln xt t x t >==，故22ln 1t t t <−即12ln t t t<−对任意的1t >恒成立. 所以对任意的*n ∈N，有整理得到：()ln 1ln n n +−<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n+>−+−+++−+()ln 1n =+，故不等式成立.2、（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<．【解析】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+−=,∴()23nn n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S −−+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,整理得：()()111n n n a n a −−=+, 即111n n a n a n −+=−, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=−−，显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==− ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−=−< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3、（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =−=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c −是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【解析】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+−=−∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==−=−−，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b −*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+−+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−，所以220nn c c ≠−，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅−−，所以数列{}22n n c c −是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +−+−==<−⋅⋅⋅，12n n −，所以112nn k k k−==，设10121112322222nn k n k k n T −−===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T −⎛⎫⋅− ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+−=−=−−，所以1242n n n T −+=−，所以1112422nn k n k k n −−==+⎫−<⎪⎭4、（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【解析】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q −+=，解得13q =，所以11()3n n a −=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n nn nT −−=++++， 012111111223333−⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T −⎛⎫⎛⎫−=++++−++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333−−−++++111233−−−+n n n n ．设0121111101212222Γ3333−−−−−−=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333−−−−−=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313−−⎛⎫−−− ⎪⎛⎫⎝⎭=−++++−=−+− ⎪⎝⎭−n n n n n n n ．所以211312Γ432323−−−−=−−=−⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323−−=−=−<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯−==−−，211213333n n nn nT −−=++++，① 231112133333n n n n nT +−=++++，② ①−②得23121111333333n n n n T +=++++− 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++−=−=−−−，所以31(1)4323n n nnT =−−⋅，所以2n n S T −=3131(1)(1)043234323n n n n n n −−−−=−<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭nn b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=−n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=−=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1−=++++=−n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−−⨯−−+−+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==−−−⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+−+−+=++++='−n n n nx n x f x x x nxx ．又1111333−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n −⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+−+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−+=−+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=−n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。

高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 :a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑=321(ni =∑12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n nn n a a 证明：因为n n n a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅ 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+；（Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)精选. - 副本

数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =．（1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

7、已知数列{}n a 满足112a =，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈．（1）求证：数列1{}1n a -是等差数列；（2）求证：231223411n n a a a a n n n a a a a +<+++<+.8、已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}nb 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n n n b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．9、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=⋅∈，其中11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1132n n a b +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <最新文件仅供参考已改成word 文本。

数列放缩大题及详细解析

2015年度高二数学理科模拟考试卷试卷副标题1.(本小题满分14分)设数列｛a n｝满足：a i=1, a n+i=3a n, n€ N.设S n为数列｛b n｝的前n 项和，已知b" 0, 2b n- b1=S?S, n€ N*.(I)求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(n)设C n=b n?log s a n,求数列｛c n｝的前n项和T n；* 1 1 13(川)证明：对任意n € N且n>2, 有--------- + ----------- + + ------------- v—.a2 b2 a s b s a. b n 22 .(本小题满分12分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,且ai 2@ 8,a s 24 , ｛a n 1 2a n｝为等比数列.(I)求证：｛》｝是等差数列；1 一(n)求的取值范围.S n3. (本小题满分14分)已知S n为数列a n的前n项和，S. na n 3n(n 1)( n N*),且a211.(1)求a1的值；(2)求数列a n的前n项和S n；(3)设数列｛b n｝满足b n/—，求证：b1 b2 L b n2~2 .VS n 34. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是等比数列，首项a1 1，公比q 0 ,其前n项和为S n,且S a1, S3 a3, S> a2成等差数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足a n 1 (^)anbn, T n为数列｛g｝的前n项和，若T n m恒成立，2求m的最大值.5 .(本小题满分16分)设各项均为正数的数列a n的前n项和为S n，满足a n+12=4S n + 4n 3，且a 2,a 5,a i 4恰好是等比数列 b n 的前三项.(1)求数列 a n 、 b n 的通项公式；*3 (2)记数列b n 的前n 项和为T n ，若对任意的n N ,仃n —)k 3n 2求实数k 的取值范围.(2)证明：日2 a 22a n 2 -4a n S n 2n 1 .6 •已知数列 a n 满足a n 0, a 11 a n 1a n32a n a n 1 n 2,n(1)求证:是等差数列;7 .(本小题满分14分)已知数列a n 的前n 项之和为S n ( n),且满足(1)求证：数列 a n 2是等比数列，并求数列a n 的通项公式;(2)求证:2a 1 a ?1 2 a ?a 31n2a n a n 16恒成立,参考答案 1. (I) &=3n -1. b n =2n -1. (H) T n =( n - 2)2n +2.(川)见解析【解析】试题分析： (I)由已知｛a n ｝是公比为3，首项a 1=1的等比数列；讨论知，｛b n ｝是公比为2,首项b i =1的等比数列•得到它们通项公式. (H)已有 C n =b n ?log 3a n =2n -1log 33n - 1=(n - 1)2n -",故利用"错位相减法”求和 (川)由 a n b nn 2 n 2、 2(3 2 ) 故可利用 “放缩法” 1 + + + v a 2 b 2 a 3 b 3 a nb n 1 1 1 + + + — 30 31 3" 2 1 、歼)v 32 . • a n+1 =3a n , — {a n }是公比为 3, n -1= 3(1 -2试题解析：(I) •••通项公式为a n =3" '. 2 •/ 2b n - b 1=S?S n ,.・.当 n=1 时，2b 1 - b 1=S?S , S 1=b 1, b 1 丰 0, • b 1=1.3 ••当 n > 1 时，b n = Si — S - 1=2b n — 2b n - 1 ,.• b n =2b n• {b "}是公比为2，首项b 1=1 •通项公式为b n =2"-1. (H) C n =b n ?log 3a n =2" 1log 33" T n =0?20+1?21+2?22+ +(n— 2)2' 2T n =0?2 +1?2 +2?2 + +(n — 2)2 " '+(n — 1) 2 ①-②得：-T n =0?20+21+22+23+ +2 "-1 — (n — 1)2 =2"— 2— (n - 1)2" = — 2 — (n — 2)2" n • T n =( n — 2)2 +2. 的等比数列, 一 1 n =(n - 1)2 -2+(n - 1)2-n-1 , . 5 -1 -1 10首项 (川)— a na 1=1的等比数列,分= 1 = 1b " = 3n1 2" 1=3 3" 2 2"1 3" 2 2(3" 2 2" 2) 1 +—— a 2 b 2 a 3 1 1 + + — b 3 a n b n 31 1 3n 2 =3(1 2 考点： 1 、 3 nr )v 3n 1 21.数列的通项; 142.等比数列及其通项公式；3.数列的求和、“错位相减法”2. (I)见解析；(H)1 1S"(0,1]【解析】试题分析：（I ）由｛a n12a n ｝为等比数列可得 a n12务 4 2n 1，两边同除 2n 1得【解析】数列，再利用等差数列的通项公式可得数列a n 的通项公式，进而即可得数列 a n 的前n 项2 j ____和S n ；（3）先将b n 放缩，化简，利用裂项法，即可证明 b a L b n\3n 2 . 3 试题解析：（1）解：由 S 2 a h a 2 2a 2 3 2（2 1）和a 211 可得a 1 5 2分（2）解法1：当n 2时，由a n S * S n 1 得 a n na n 3n(n 1) (n 1)a n 1 3(n 1)(n 2)a n 12* 1 是等差数列；（n ）典型的用错位相减法求解,Q a n2nS n 2S n1 22 23 3 24S n(n 1)2n2，当1时,S n1 S n(n 1)2n｛S n ｝从第1项开始递增，试题解析：（ I)a 2 2印 4 , a 32a 2 8, a .1 2a n2* 1a n 1a nn 1 n2 2分是以1为首项, 公差d 1的等差数列2S n分考点: Q a n1 221时, 2n S n 2 22 3 23 L n2n23242n1..②，由①-②得S n(n 1)2nS n 1S n(n n 11)20 , ｛S n ｝从第1项开始递增，丄S*1 (0,-]12等差数列的定义、错位相减法求数列的和 3. (1) 5； (2) S n23n 2n ；（3）证明见解析.试题分析：（1）令n2即可求出a 1的值；（2）先利用a nS nS n 1n 2）转化为等差a 1，故2&3n 2 42） 2J3n 2 3 3命题得证 14 分考点：1、等差数列的通项公式； 2、等差数列的前n 项和公式；3、数列的求和；4、不等式的证明.n 114. (1) a n — ； (2) m 的最大值 1.2【解析】试题分析：⑴等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了；（ 3）一般地，如果数列a n 是等差数列，b n 是等比数列，求数列a nb n 的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列(n 1)a n (n 1)a n 16( n 1)a n a n 16(n2,n N )•••数列{a n }是首项ai 5，公差为 6的等差数列二 a n a 1 6(n 1) 6n 17 分…S nn(a 1 a n )勺22n8分2［解法2 :当n 2时，由 S nna n 3n(n 1)n(S n S n 1) 3n(n可得（n11)S n nS n 13n(n 1)S n Sn 13 6分nn 1•数列｛主｝是首项色5,公 •差为 3的等差数列n 1S n5 3(n 1) 3n2, 即S n 3n 2 2n8分］1)（3）证明:1、3n 22 2,3n 2、3n 1 一3n 2io2( .. 3n 2 、. 3n 1)2 ■ ------ ； ------ --- ------- > -------- = — ( 2 v3n(；3n 2+ ,3n 1)( .3n 2 -3n 1) 3••• $ b 2 L"(I 5) L严分 1)11、3n 1)]13b n 的公比，然后做差求解；（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论:【解析】试题分析：（1）利用数列和项与通项关系，求数列递推关系：Qmax ,( 2) af x 恒成立a f x min.试题解析：（1）由题意可知:2(S 3a s )(S ia i )(S 2a 2)i 时, 不符合题意;1时, 32(^2(1(1) a f x 恒成a 1(2)a n 1q2,a n (2)n2 / 1 \ a n b n1(2)，1 （2）（2）a nb n2'b nT n 22(1)2T n1 2 2 22 3 23 n 2n(2)(2)得：T n 12 222nn1 2 nn “n 2(1 n)211 2T n 1 (n 1)2n T nm 恒成立，只需（T n ） minT n 1T nn 1nn 2 (n 1) 2(n 1) 2n｛「｝为递增数列,当n 1时,(T n ) min1，11m 1 ， m 的最大值为1.考点：1、等比数列的前n 项和公式;122、错位相减求数列的和;分3、恒成立的问题.a n5. ( 1)2,n 1 2n 1,n 2b n 32 n+1=4S n +4 n 3，当 n 2(Cn )maxC「k 227 ，27 .试题解析 :(1)Q 2a n+1 =4S n +4 n 3当I 2时，2a n =4 S n 1 + 4 n 1 32 an + 12 / an=4S nS n 1 4=4 a n 42 2a n+1a n4a n 42a nQ a n 0恒成立,a n+1 a n 2,n2当I 2时，an是公差d 2的等差数列.3分Q a 2, a 5,a 14构成等比数列， 2 a5a 2 a 〔4a 2 28a 2 a 2 24解得比3,5 分当 n 2 时，a n 3 2 n 2 2n 1由条件可知，2a 2 =4a 1+43 a 126 分数列9na n的通项公式为2,n 1 2n 1,n 28分，时a n 2=4§1+4 n 1 3a n+12a n 2 =4 S S . 14=4a n 42 a n + 12 2a n 4a n 4 a n 22，n 2，利用递推关系求数列通项公式:Qa n a n恒成立，an+1an是2时,公差 d 2的等差数列.32 n 2 2n 1，由条件可知，比2=4&+4a i 2因此2,n 12n 1，n 2，最后根据等比数列通项公式，利用待定系数法求解:b nT nb i (1 q n ) 3(1 3n ) 1 33n13決3nN恒成立，2n 42n 4N恒成立,再研究数列的最值，这首先需研究其单调性:C n2n2n 6 2(2n 7) 3n，当n3 时，cn01 1，当n 4 时，cnc n 1b 3,b2 9 数列｛b n｝的通项公式为b n3nT n (2)d(1 q n)1 q3(1 3n)1 3—?)k2 2 3n恒成立, 2n 4N恒成立, 11令C n2n 4 2nn2nn3n12(2 n 7)3n3 时，C n c n 1 当n 4时, 13 分(c n ) m ax C3 227 . 16 分考点：由数列和项求通项，等比数列通项及和项6. （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）证明数列为等差数列只需按数列定义证明即证：当2时, —为a n 1常数即可；（2）根据（1 ）可知数列1的通项公式，可得到:a na n2n 12 a n122n 114n2——利用裂项相消法证明4n2a2 2a n试题解析: (1) Q a n 1 a n 2a n a n 1 n 22 n 2a n 1是以3为首项, 2为公差的等差数列.(2 )由(1)知: 1 2 2na n 2n2a n2n 4n214n 4n2a1 2a2 2a n12考点: 7.( D a n1.等差数列的定义; 1尹【解析】试题分析: (1) 由题意a 1 2.数列求和. 由a nS 1 S n S na n 2 n=1可求数列a n 的通项公式1 2 a .a n 1 1 2n 2 12n12n 2 1 ~2* 1 ~ 2n 1 1 2n 2n2求和即可得到结论试题解析：（1 ） Q a n S n 2n 1 Q a n S! 2n 1 a n 1 S! 12 n 1 1, n 2, n N 整理 1a n 1a n2 2n两式相减，得2a n a n 1 2a 〔 3,32,1 21 a n2 2(a n 1 2)，n 数列a n 2是首项为 a 1 公比为丄的等比数列2a n 2 a n (2) n 2 a .a n1 n 12n ——11 2n2 1 2* 2*12n12n1 1 2n2 11 1 122&a2 2 a2 a3 n 2 a n Q n 11 1 1 1 1 1221 23 1 231 241 2n 11 2n 211 1 13 2n 2 1 3考点：数列的通项公式，裂项求和法。

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（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和
参考答案：
例题7：1） 2）提示：
3）提示：或
练习1：提示：或
数列递推与放缩问题专题训练试题
一、递推公式为与的关系式（或）
例1．设数列的前项和为，已知
（1）求的值；（2）求数列的通项公式；(3)证明：
二、递推公式为
例2．已知数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的最小。
三、递推公式为
例3．已知为数列的前项和，，求数列的通项公式
(1)求的通项公式；(2)证明；(3)证明 .
八、分式放缩
例8. .证明:
练习：1设数列满足，且 .
(1)求证是等比数列；(2)求的通项公式；(3)求证 .
练习2．设为数列的前项和，对任意的，都有（为常数，且）
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；
四、递推公式为（其中均为常数，）
例4．已知数列列满足，证明：数列是等差数列
（3）证明：
五：拆项放缩（和拆项，积拆项）
例题5：求证
（1） .（2） ,求证：
六、裂项放缩（二次型）
例6.求证:
七：伪等比放缩（指数型）
例题7.已知数列的前项和为，点在直线上.