向量练习题及答案
高三向量练习题及答案
高三向量练习题及答案向量是数学中重要的概念之一，它广泛应用于各个领域，尤其在几何学和物理学中。
本文将为高三学生提供一些向量练习题，并附上详细的答案和解析，以帮助他们更好地理解和掌握向量的相关知识。
1. 练习题一已知向量A = (3, -2) 和向量B = (-1, 4)，求向量A + B的结果。
答案解析：向量A + B的结果等于将A和B的对应分量相加，所以A +B = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。
2. 练习题二已知向量C = (5, -3) 和向量D = (-2, 1)，求向量C - D的结果。
答案解析：向量C - D的结果等于将C和D的对应分量相减，所以C -D = (5 - (-2), -3 - 1) = (7, -4)。
3. 练习题三已知向量E = (2, 5)，求向量E的模长。
答案解析：向量E的模长等于它的分量平方和的平方根，所以|E| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29。
4. 练习题四已知向量F = (3, -4)，求向量F的单位向量。
答案解析：向量F的单位向量等于将F除以它的模长，所以F的单位向量 = (3/|F|, -4/|F|) = (3/5, -4/5)。
5. 练习题五已知向量G = (1, 2) 和向量H = (3, -1)，求向量G和向量H的数量积。
答案解析：向量G和向量H的数量积等于将G和H的对应分量相乘，然后再相加，所以G·H = (1 * 3) + (2 * (-1)) = 3 - 2 = 1。
6. 练习题六已知向量I = (2, -3) 和向量J = (-4, 5)，求向量I和向量J的向量积。
答案解析：向量I和向量J的向量积等于将I和J的对应分量相乘，然后再相减，所以I × J = (2 * 5) - ((-3) * (-4)) = 10 - 12 = -2。
通过以上的练习题，我们可以看到向量的运算方法和性质。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
向量基础练习题(含答案)
;
三点共线，
，解得 ，
, ， 。
故答案为 .
【点睛】
本题考查向量的线性运算和三点共线的综合应用,三点共线的运用是解题关键。
三点共线的判定方法：
(1)共线定理： ， ；
（2）平面内任意一点 ， ；
（3）平面内任意一点 ， ，其中
19．
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得: ，据此确定x的值即可.
直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】
∵ 为 所在平面内一点， ，
∴B，C,D三点共线。若 ∴ ，
化为： = + ,与 =− + ，比较可得： ,解得 。
即答案为—3.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
22．
【解析】
【分析】
分别表示出 和 的坐标,而 ，根据 和 的坐标特点，求出 的值，得到答案。
根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得， ,解出向量 ．
【详解】
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，
有 ．
故选 ．
【点睛】
本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力。
9．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将 用 表示，由此即可得到 的值，从而可求 的值.
【点睛】
本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解,属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
逐一分析选项，得到答案。
【详解】
A。单位向量的方向任意,所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
完整版向量相关练习题及答案
向量相关练习一：选择题(共12题，每题5分，共60分), rrr»_rrrr r r uu uu ur o1.设向量a,b,c满足 a b c 0,a b,|a| 1,|b| 2,则|c| ()A. 1B.2C.4D.52. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA（上B丄C）, |AB| |AC|定通过△ ABC K（）A.外心B.内心C. 重心D. 垂心3.已知平面向量a(1,2),b(2, m)，且a// b，则2a3b =( )A . (-2 , -4 ) B.(-3 , -6 ) C. (-4-8) D.(-5 , -10)4、已知平面向量a=(1, —3), b= (4〔，一2）, a b与a垂直，则是()A. -1B. 1C. —2D. 25.已知向量a、b满足a| 1, b 4,，且agD 2，则a与b的夹角为（）A. — B60，+ ，则P的轨迹一6.设向量a=(1, —2),b=( —2,4),c=( —1, —2),若表示向量4a,4b—2c,2（a—c）,d的有向线段首尾相接能构成四边形，贝卩向A.(2,6)B.( —2,6)C.(2, —6)D.( —2,—6)7•如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )8. 在平行四边形ABC ［中，AC 与 BD 交于点O, E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC a , BD b ,则AF( )1 r i r2 r 1 r 1 r 1 r 1 r 2 r A . — a —b B. —a —b C. —a —b D. —a - b4 2 3 3 — 4339. 已知点M — (6, 2)和M — (1, 7),直线y=mx — 7与线段M — M —的交点分有向线段M —M —的比为3: 2,则m 的值为 3 2 1 A -B -C —D 423410. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v (4, 3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为 v 个单位).设 开始时点P 的坐标为(一10, 10),则5秒后点P 的坐标为() A (-2, 4)B(-30, 25) C (10, -5)D (5, -10)11. ( 2007上海)直角坐标系 xOy 中，r , r 分别是与X , y 轴正方向同向的单位向量.在直角 三角形ABC 中，若AB 2i j, AC 3i k j ，则k 的可能值个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4十八，， t - uur uuu uuu UUU uuur uuu r 「uur uuuuir _ uuu12. 设 D 、E 、F 分别是△ ABC的三边BC 、CA 、AB 上的点，且 DC 2BD,CE 2EA, AF2FB,则 AD BECF 与 BC ( )A. AB = DCB. AD + AB = ACC. AB — AD = BDD. AD + CB = 0A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直二：填空题(共四题，每题4分，共14分)13.若三点 A(2,2), B(a,0), C(0,b)(ab 0)共线，则--的值等于a b14.已知直线ax +by + c = 0与圆O : x 1 2 + y 2= 1相交于A 、B 两点，且|AB| = .3，则OA OB15-已知向量(1'0),°B (1 cos ,3 sin)，则向量与向量的夹角的取值范围是韦.16.关于平面向量a, b, c .有下列三个命题: ①若 ag) = aop ，贝卩 b c .②若 a (1，k)， b ( 2,6)， a // b ，贝S k 3。
(完整版)向量相关练习题及答案
2
6．设向量 a= (1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向
量 d 为( )
A.(2,6)
B.( － 2,6)
C.(2,－ 6)
D.( － 2,－ 6)
7.如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是
解：（１）由已知得
G(x , y)
,
uuur
又 GH
33
uuur AB
，∴
H
(
x
,0)
3
∵ CH=HA
∴ (x x ) 2 y2 ( x ) 2 4 即 x2 y2 1(x
3
3
12 4
2 3)
（2）设 l 方程为 y=k(x-2)，代入曲线 E 得（ 3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0
2
2
2
2
2 2 cos 2x 2sin x
（ 2） f ( x) 2 sin x cos3x cos x sin 3x sin x 2sin x cos2x
22
22
2
2sin x 2sin x 1
12 3 2(sin x )
22
因为： 0 x ，所以： 0 sin x 1
2
所以，只有当： x 1 时， f max）求 a b
（ 2）设函数 f ( x) a b + a b ，求函数 f ( x) 的最值及相应的 x 的值。
解：（I ）由已知条件： 0 x ， 得：
2
3x
x 3x
x
a b (cos cos ,sin sin )
空间向量练习及答案解析
空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)， 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23， 故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页 共 11 页 所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66， 所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。
平面向量的运算 练习(含答案)
6.2平面向量的运算练习一、单选题1．化简OP PS QS +-的结果等于（ ）． A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ2．如图，M 在四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，且13MN OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列向量与AN 相等的向量是（ ）A ．1133a b c -++B ．1133a b c ++C ．1166a b c -++D ．1166a b c ++3．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（ ）A ．AC 与CBB ．OB 与ODC ．AB 与DCD ．AO 与OC4．已知平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AC 与BE 相交于点F ，若EF xAB y AD =+，则（ ）A ．11,36x y ==-B ．11,24x y ==-C ．11,33x y ==-D ．11,23x y ==-5．()()32a b a b a +---=（ ） A ．5aB ．5bC ．5a -D ．5b -6．已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线7．已知向量a 、b 满足2a =，5b =，且a 与b 夹角的余弦值为15，则()()23a b a b +⋅-=（ ） A ．30-B ．28-C ．12D ．728．如图，在ABC 中，12AN NC =，P 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A ．19B ．29C ．23D ．13二、多选题9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是A ．AB AD AC += B ．AC CD DO OA ++= C ．++=AB AC CD ADD ．0AC BA DA ++=10．如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF DB -等于（ ）A ．FDB ．EC C ．BED ．DF11．在ABC 中，12,33AE AB AD AC ==，记,BC a CA b ==，则下列结论中正确的是（ ） A ．()13AE a b =-- B ．AD b =-C ．()13DE b a =- D ．AB a b =+12．设a ，b ，c 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b =，则()()a b a b +⊥- C ．若a c b c ⋅=⋅，则a b -不与c 垂直D ．()()b c a a c b ⋅-⋅不与c 垂直三、填空题13．在ABC 中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，则AE DB -=___________. 14．下列四个等式：①a ＋b ＝b ＋a ；①－(－a )＝a ；①AB ＋BC ＋CA ＝0；①a ＋(－a )＝0. 其中正确的是______(填序号)．15．已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足__________．16．已知m 、n 是夹角为120°的两个单位向量，向量()1a tm t n =+-，若n a ⊥，则实数t =______．四、解答题17．如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB ++； (2)EG CG DA EB +++.18．化简：(1)BA BC-；(2)AB BC AD+-；(3)AB DA BD BC CA++--．19．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设AB=a→，AO=b→.（1）用向量a→与b→表示向量OC;（2）若35OE OA=，判断C，D，E是否共线，并说明理由.20．已知2,3,,a b a b ==的夹角为60︒，53,3c a b d a kb =+=+，当实数k 为何值时， (1)→→d//c(2)c d ⊥21．已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，22b =． (1)求a b ⋅，()(2)a b a b +⋅-； (2)求a b +；(3)a 与a b +的夹角的余弦值．22．已知向量,,a b c 满足：2a =，()R c a tb t =-∈，,3a b π=．(1)若1a b ⋅=，求b 在a 方向上的投影向量； (2)求||c 的最小值．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D 9．AD 10．BCD 11．AC 12．AB 13．AF 14．①①①① 15．513λμ+=. 16．2317．（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE +++++===； （2）0EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE ==+=++++++. 18．(1)BA BC CA -=.(2)AB BC AD AC AD DC +-=-=.(3)AB DA BD BC CA AB BD AD AC CB AD AD AB AB ++--=+-++=-+=. 19．解(1)①AB =a →，AO =b →，点A 是BC 的中点，∴AC =-a →.①OC OA AC =+=-a →-b →. (2)假设存在实数λ，使CE =λCD .①CE CO OE =+=a →+b →+35(-b →)=a →+25b →，11(33CD CB BD CB BO CB BA AO =+=+=++)=2a →+13(-a →+b →)=53a →+13b →，①a →+25b →=λ5133a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，①5131235λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，此方程组无解， ①不存在实数λ，满足CE =λCD . ①C ，D ，E 三点不共线. 20．（1）若→→d//c ，得c d λ=，即53(3)a b a kb λ+=+，即35,3,k λλ=⎧⎨=⎩解得53λ=，95k =．（2）若c d ⊥，则0c d ⋅=，即53)(3)0(a b a kb +⋅+=，得()22159530k k ++⋅+=a a b b ， ()115495233902k k ⨯++⨯⨯⨯+⋅=，解得2914k =-． 21．（1）已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，22b =，则3πcos364a b a b ⎛⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭， 所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-；（2）()(222292a b a b a ab b +=+=+⋅+=+⨯-（3）a 与a b +的夹角的余弦值为()296cos ,535a a baa ba ab a a ba a b⋅++⋅-+====⨯⋅+⋅+ 22．（1）由数量积的定义可知：cos ,a bb a b a⋅=，所以b 在a 方向上的投影向量为： 11||cos ,||||||224a ab a a b a b a a a a ⋅<>=⋅=⋅=； （2）()()2222c a tb a tb a ta b tb =-=-=-⋅+又2a =，,3a b π=，所以()224c t bt b =-+令R x t b =∈所以22c x =-=所以当1x t b ==时，c 取到最小值为。
初中数学向量练习题(含答案)
3．已知平面向量
，
A．2
B．3
【解答】解：由平面向量
，且 C．4
，可得| |＝
，则
＝（ ）
D．5
＝2，
由
，可得 •（ ﹣2 ）＝0，
即 2＝2 • ＝4，
则 • ＝2，
＝
＝
＝
＝4，
故选：C． 4．在△ABC 中，已知 BC＝2，| + |＝| ﹣ |，cos2C+2sin2
＝1，则 • ＝
（） A．1
∵
t t，
t，∴E ， ，F t ， t ，
∴
，，
t， t ，
∴
．
故选：C． 4．如图所示，已知在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则
| |＝（ ）
13
A．
B．
【解答】解：
tt tt t
t
t，
∴| | t t t
．
tt t
故选：C．
C． tt
t
tt t
t
8．在四边形 ABCD 中，AD＝2，BC＝3，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且 MN
t t
，若
•t
t，则 t•
的值为 ． t
【解答】解：如图，
令t
，即 t
①，
t
t
由①+②得，
t
t，
在四边形 ABCD 中，因为 M，N 分别为 AB，CD 的中点，所以
平方得，
t，
t②，
t
t ，两边
∴ t，即 t
t t，若
λ
，则
λ+μ的值是（ ）
A．4
空间向量练习及答案解析
空间向量练习及答案解析1.已知平面α的一个法向量为(2,-1,1)，且α∥β，则平面β的一个可能的法向量是哪个？A。
(4,2,-2) B。
(2,0,4) C。
(2,-1,-5) D。
(4,-2,2)2.在如图所示的正方形ABCD中，过点A作线段EA垂直于平面AC，若EA=1，则平面ADE和平面BCE所成的二面角大小是多少？A。
120° B。
45° C。
150° D。
60°3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,2)，向量c=(1,1,2)，点Q在直线OP上移动，当a·Q+b·Q取得最小值时，点Q的坐标是多少？A。
B。
C。
D.4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直角二面角A-BD-C，以下哪个结论是错误的？A。
AC⊥BDB。
△ACD是等边三角形C。
∠ABC与平面BCD所成的角为60°D。
∠ABD与CD所成的角为60°5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E和F分别是棱AB和BB1的中点，直线EF和BC1的夹角是多少？A。
45° B。
60° C。
90° D。
120°6.在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设∠AOM=a，∠BOM=b，∠CON=c，则a+b-c等于多少？A。
a+b-c B。
-a+b+c C。
a-b+c D。
a+b-c7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，AB1和D1E所成角的余弦值是多少？A。
B。
C。
- D。
-8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱CC1、BC和A1B1上的点，若∠B1MN=90°，则∠PMN的大小是多少？A。
等于90° B。
小于90° C。
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。
高中数学向量专项练习(含答案)
高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则（）A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是（）A. B. C. D.3．已知向量, 若与垂直, 则（）A. -3B. 3C. -8D. 84．已知向量, , 若, 则（）A. B. C. D.5．设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6．在菱形中, 对角线, 为的中点, 则（）A. 8B. 10C. 12D. 147．在△ABC中, 若点D满足, 则（）A. B. C. D.8．在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 489．已知向量若, 则（）A. B. C. D.10．已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11．已知向量, 则A. B. C. D.12．已知向量, 则A. B. C. D.13．的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314．已知向量, 向量, 且, 则实数等于（）A. B. C. D.15．已知平面向量, 且, 则实数的值为（）A. 1B. 4C.D.16．是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是（）A. B. C. D.17．已知菱形的边长为, , 则（）A. B. C. D.18．已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19．已知向量=（1, 3）, =（-2, -6）, | |= , 若（+ ）·=5, 则与的夹角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20．已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121．如图, 平行四边形中, , 则（）A. B. C. D.22．若向量 , , 则 =（ ）A. B. C. D.23．在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.25．已知向量 , , 则A. （5,7）B. （5,9）C. （3,7）D.（3,9） 26．已知向量 , 且 , 则实数 ＝（ ）A. －1B. 2或－1C. 2D. －227．在 中, 若 点 满足 , 则 （ ）A. B. C. D.28．已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.29．在矩形ABCD 中, 则 （ ）A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 （ ）.A. B. C. D.31．若向量 与 共线且方向相同, 则 （ ）A. B. C. D.32．设 是单位向量, 且 则 的最小值是（ ）A. B. C. D.33．如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.34．如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 （ ）ADCB35．已知平面向量的夹角为, （）A. B. C. D.36．已知向量且与共线, 则（）A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB＝2, AC＝1, D为BC的中点, 则＝_____________.38．设, , 若, 则实数的值为（）A. B. C. D.39．空间四边形中, , , 则（）A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=（1, 2）, •=10, | + |=5 , 则| |= .44．如图, 在中, 是中点, , 则．45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。
高三数学向量专项练习题及答案
高三数学向量专项练习题及答案一、选择题1. 设向量a = (2, 3)、b = (4, -1)，则a + b的坐标表示为：A. (6, 2)B. (2, 2)C. (6, -2)D. (2, -2)答案：A. (6, 2)2. 设向量a = (3, 2)，则2a的坐标表示为：A. (3, 2)B. (6, 4)C. (2, 3)D. (6, 2)答案：B. (6, 4)3. 已知向量a = (5, -3)和b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. 1C. -7D. -1答案：C. -74. 向量a, b的夹角θ满足sinθ = 1/2，则θ的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C. 60°5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的面积为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B. 6二、填空题1. 设向量a = (2, 5)，则|a|的值为________。
答案：sqrt(29)2. 设向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = 1/√2，则θ的大小为________。
答案：45°3. 平面直角坐标系中，若点A(3, 4)到点B(-2, -3)的距离为√k，则k= ________。
答案：504. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，则向量a - b = (_______,_______)。
答案：(-2, 4)5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的周长为________。
答案：约9.21三、解答题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积为：a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5。
(完整版)向量相关练习题及答案
向量相关练习一：选择题（共12题，每题5分，共60分）1．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c = （）A ．1 B.2 C.4 D.52． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)||||(AC AB OA OP +=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心3.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=（ ）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 4、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 25．已知向量a b 、满足1,4,a b ==，且2a b =，则a 与b 的夹角为 ( )A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π6．设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2,6)B.(－2,6)C.(2,－6)D.(－2,－6) 7.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）A.→--AB ＝→--DCB.→--AD ＋→--AB ＝→--AC C.→--AB －→--AD ＝→--BD D.→--AD ＋→--CB ＝→8.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D. 1233a b +9.已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =m x －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 A 32- B 23- C14D 4 10.点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（ ） A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）11. （2007上海）直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．412.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 二：填空题（共四题，每题4分，共14分）ABD13.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则a b+的值等于_________.14．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅ ＝ 15．已知向量(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是[,]32ππ．16.关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题•填空题。
1. AC DB CD BA 等于_______________ •2. 若向量a=( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是_________________ .3. ____________________________________________________________________________平面上有三个点A( 1,3)，B (2, 2), C( 7，x)，若/ ABC = 90°,则x的值为__________________ . 4•向量a、b满足|a|=1,|b|= J2 ,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹角为____________ .1 一5.已知向量a=( 1, 2), b =( 3, 1),那么向量2a —© b的坐标是_______________ .6 .已知A (—1, 2) , B (2 , 4), C (4, —3) , D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD | 的值等于 _____________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a=(—5 , —2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是________ .8. 已知a=(1, —2), b =(1,x),若a丄b,则x 等于_____9. 已知向量a, b 的夹角为120,且|a|=2,| b |=5,则(2a- b) • a= ________10. 设a=(2, —3), b =(x,2x),且3a • b =4,则x 等于_____11. 已知AB (6,1), BC (x,y),cD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为_________________12. 已知向量a+3 b, a-4 b分别与7a-5 b,7a-2 b垂直，且|a|z 0,| b |工0，则a与b的夹角为 ______uuu uuu imr13. 在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最小值是.2 214•将圆x y 2按向量v=(2 , 1)平移后，与直线x y 0相切，则入的值为—.二.解答题。
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
平面向量专题练习(带答案详解) (3)
平面向量专题练习(带答案详解)一、单选题1．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，则a b ⋅=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知向量()1,2a =-，()2,x b =，若//a b ，则x 的值是（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．43．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1B ．15C ．35D ．754．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．45．设,a b 是非零向量，则2a b =是a ba b=成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中,4,3A b c E F π=+=、为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅的最小值为（）A ．932B ．83C ．269D ．37．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．已知非零向量,a b 满足||6||a b =，,a b 的夹角的余弦值为13，且()a a kb ⊥-，则实数k 的值为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．369．已知向量, m n 的夹角为60︒，且13213m m n -==，,则n =（ ）A ．3212-B ．3212+C ．2132-D ．210．已知向量0.52logsin log cos OA OB OC θθ=⋅+⋅，若A 、B 、C 三点共线，则sin cos θθ+=（ ）A ．355-B ．355C ．55-D ．5511．在ABC ∆中，22AB AC ==，60BAC ∠=︒，且2BD DC =，则AD BC ⋅=（ ）． A ．1-B ．1C ．7D ．7212．已知椭圆222:19x y C b +=的离心率为223，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅的取值范围为（ ）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--13．已知向量()2,a m =-，()1,b n =，若a b b ∥，且2b =，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或414．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-15．已知向量a ，b 满足22a a b a b =⋅=-，，当a ，b 的夹角最大时，则a b ⋅=（ ） A ．0B ．2C ．22D ．416．已知O 是ABC ∆的重心，且20OA OB BC λ++=，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．1D ．1217．设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为4π时，a 在e 方向上的投影为（ ）A ．22-B ．12C ．22D ．3218．若向量a ，b 满足||3a =，||26b =，且满足(2)a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3πB ．23πC ．4πD ．34π19．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8二、填空题20．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ，则3r s +的值为__________.21．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是________. 22．已知在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，()()()1,,3,1,4,AC m AB BD n ===，若B 、C 、D 三点共线，则m +n ＝_____.23．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________.24．已知向量(4,3)a =-，若向量(2,1)b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影是_____． 25．已知()3,4a =，()2,1b =，则a 在b 方向上的投影为______.26．设向量(1,)AB m =，(2,1)BC m =-，其中[1,)m ∈-+∞，则AB AC ⋅的最小值为__________．27．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则⋅=a b ___________28．已知||1,||2,0,()()0a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=,则||c 的最大值为_________________.三、解答题29．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.30．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设122327a b MN ⎡⎤==∈⎣⎦，，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.参考答案1．C直接根据向量数量积的坐标表示即可得出结果. 【详解】∵()1,2a =-，()1,1b = ∴11211a b ⋅=-⨯+⨯=， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 2．A利用向量平行的坐标表示直接求解即可. 【详解】∵向量()1,2a =-，()2,x b =，//a b ， ∴()122x ⨯=-⨯，解得4x =-， ∴x 的值为4-， 故选：A . 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 3．D由ka b +与2a b -互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-求解即可. 【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒= .故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 4．D 【解析】【分析】将CP 用CA 与CB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难. 5．B利用||aa 的意义，即a 方向上的单位向量，再根据充分条件与必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】由2a b =可知,a b 方向相同，||a a ，||b b 表示,a b 方向上的单位向量，所以||||a ba b =成立；反之不成立. 故选：B . 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量共线、简易逻辑知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的方向. 6．C 【解析】()22122125 (33339)9AE AF AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()22222251212126992969649b c c b bc b c bc b c +=++⨯=+-≥+-⨯=（b c = 时等号成立），即AB AC 的最小值为269, 故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．B根据相互垂直的向量数量积为零，求出a 与b 的夹角. 【详解】由题有()20a b a a b a -⋅=-⋅=，即22b a a ⋅==，故2cos 2cos 2b a a b θθ⋅=⨯⨯=⇒=，因为[]0,θπ∈，所以4πθ=.故选：B. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题. 8．A根据向量垂直关系和数量积运算公式()0a a kb ⋅-=，可得关于k 的方程，解得k . 【详解】由||6||a b =可设||b t =，则||6(0)a t t =>.因为221()||36603a a kb a ka b t k t t ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以18k =.故选：A . 【点睛】本题考查平面向量数量积及其运算，同时考查向量垂直关系的运算，属于简单题. 9．D把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解． 【详解】222232(32)912cos 60413m n m n m m n n︒-=-=-+=，又1m=，∴22320n n--=，解得2n=，故选：D【点睛】本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键．10．B由A、B、C三点共线和对数的运算性质，可得sin1cos2θθ=，再结合三角函数的基本关系式，求得12sin,cos55θθ==，即可求解.【详解】由题意，向量0.52log sin log cosOA OB OCθθ=⋅+⋅，若A、B、C三点共线，根据平面向量的基本定理，可得0.52log sin log cos1θθ+=，即0.50.5log sin log cos1θθ-=，即0.5sinlog1cosθθ=，可得sin1cos2θθ=，且sin0,cos0θθ，又由22sin cos1θθ+=，解得12sin,cos55θθ==，所以sin cosθθ+=355.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理，以及同角三角函数的基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．A由向量的运算法则，可得1233AD AB AC=+，BC AC AB=-，结合向量的数量积的运算，即可求解，得到答案.【详解】由向量的运算法则，可得2212()3333AD AB BC AB AC AB AB AC=+=+-=+，BC AC AB =-，又由22AB AC ==，60BAC ∠=︒，所以AD BC ⋅=2212112()()33333AB AC AC AB AB AB AC AC +⋅-=--⋅+22112221cos6011333=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的基本定理，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．A根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅的坐标表示，得到关于x 的函数，结合x 的范围，得到答案. 【详解】椭圆222:19x y C b +=的3a =， 其离心率为223，所以223c a =，所以22c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-，则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-2PM PN PM=⋅-因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =，所以当94x =时，取得最大值为12-当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题. 13．C根据已知得到a b -的坐标，然后根据a b b ∥，2b =得到关于m ，n 的方程组，从而得到答案. 【详解】向量()2,a m =-，()1,b n =， 所以()3,a b m n -=--， 因为a b b ∥，2b =，所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2. 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题. 14．D构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点， 又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．15．D先建系, 设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,利用0∆=求出,即可(,)b x y =,即可解得所求.【详解】设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,因为2||a b a b ⋅=-,所以2222(2)x x y =-+,即24(1)y x =-,为点B 的轨迹方程. 由上图易知,当直线OB 与抛物线相切时,,a b 的夹角最大.由24(1)y kx y x =⎧⎨=-⎩消去y 得22244016160,1k x x k k -+=∆=-==±，. 所以2x =,即点(2,2)B 或1(2,2)B -时，即(2,2)b =或(2,2)b =-时，,a b 的夹角最大.此时，4a b ⋅=.故选:D .【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.16．C 将BC 用OA ，OB 表示出来，根据O 是重心，即可列方程求得参数的值.【详解】()()2220OA OB BC OA OB OC OB OA OB OC λλλλ++=++-=+-+= 因为O 是ABC ∆的重心，所以211λλ-=⎧⎨=⎩，解得1λ=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.17．C 利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得a 在e 方向上的投影.【详解】a 在e 方向上的投影为2cos 42a e a eπ⋅=⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.18．D【解析】利用向量垂直关系，可得a b ⋅，然后根据向量夹角公式，可得结果.【详解】由(2)a b a +⊥，所以(2)0a b a +⋅=则220a a b +⋅=，又||3a =，所以6a b ⋅=-，由||26b =则2cos ,2ab ab a b⋅==-， 又[],0,a b π∈，所以3,4a b π= 故选：D【点睛】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题. 19．D由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】 ∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 20．85根据4CD DB =得到4455CD AB AC ，再由CD r AB sAC =+，根据平面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.【详解】如图所示，由4CD DB =，可得444555CD CB AB AC ==-，又由CD r AB sAC =+，所以44,55r s ==-，所以44833555r s +=⨯-=， 故答案为：85. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 21．4π根据()a a b ⊥-得到1a b =，再带入夹角公式即可.【详解】因为()a a b ⊥-，所以()0a a b ⋅-=.即20a a b -⋅=，10a b -⋅=，1a b ⋅=. 12cos 22a b a b θ===.所以夹角是4π. 故答案为：4π【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握夹角公式为解题的关键，属于简单题。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题(附答案)平面向量练题一．填空题。
1.XXX等于0.2.若向量a=(3,2)，b=(-1,1)，则向量2b-a的坐标是(-7,-3)。
3.平面上有三个点A(1,3)，B(2,2)，C(7,x)，若∠ABC=90°，则x的值为-16.4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为90°。
5.已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，那么向量2a-1b的坐标是(1,3)。
6.已知A(-1,2)，B(2,4)，C(4,-3)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|的值等于5.7.将点A(2,4)按向量a=(-5,-2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是(-3,2)。
8.已知a=(1,-2),b=(1,x)，若a⊥b，则x等于-1.9.已知向量a,b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5，则(2a-b)·a=-6.10.设a=(2,-3),b=(x,2x)，且3a·b=4，则x等于-2/3.11.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3)，且BC∥DA，则x+2y的值为-5.12.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为60°。
13.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OAOB+OC的最小值是5.14.将圆x+y=2按向量v=(2,1)平移后，与直线x+y+λ相切，则λ的值为-1.二．解答题。
15.设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)。
1）向量2AB+AC=(3,4)，其模为5.2）向量AB=(1,-1)，向量AC=(1,5)，则它们的夹角为arccos[(1*(-1)+5*1)/(sqrt(2)*sqrt(26))]≈69.4°。
3）向量BC=(2,4)，与向量(-4,2)垂直，故与向量(1,-1)垂直的单位向量为(1/sqrt(2),1/sqrt(2))。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量练习题及答案
一．选择题（共16小题）
1．（2016•湖南模拟）已知，，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量等于（）
A．B．C．D．
2．（2015春•建瓯市校级期末）已知=（2，0），=（1，1），则下列结论正确的是（）A．∥B．||=||
C．﹣与垂直 D．与的夹角为
3．（2015秋•淄博校级期末）已知向量，若
，则k等于（）
A．﹣12 B．12 C． D．
4．（2015秋•广安期末）与向量=（3，4）共线反向的单位向量=（）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，）
C．（﹣，﹣），（，）D．（，）
5．（2016•广州模拟）已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．
6．（2016•宝鸡一模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）
A．|•|=|||| B．|+|=||+丨丨C．（•）=（•）D．•=||2 7．（2016•镇江一模）已知||=||=1，|﹣|=，则|+|=（）
A．1 B．C．D．2
8．（2016•淄博一模）已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．3
9．（2016•山东模拟）已知向量，|，则＜等于（）
A．B．C．D．
10．（2016•江西模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，||=2，则•等于（）
A．﹣6 B．6 C．﹣2D．2
11．（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）
A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2
12．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2
13．（2015•嘉峪关校级三模）已知向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=
（）
A．B．2C．3D．4
14．（2016•吉林三模）函数（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+）•=（）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
15．（2016•郴州二模）直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=
（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
16．（2016•徐汇区一模）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）
A．向量与垂直B．向量与垂直
C．向量与垂直D．向量与平行
二．解答题（共2小题）
17．（2016•宜宾模拟）已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
18．（2015•江苏一模）已知向量=（sin（α+），3），=（1，4cosα），α∈（0，π）．（1）若⊥，求tanα的值；
（2）若∥，求α的值．
2016年04月16日向量高中数学组卷
参考答案
一．选择题（共16小题）
1．B；2．C；3．C；4．A；5．C；6．D；7．B；8．A；9．D；10．A；
11．D； 12．B； 13．C； 14．D； 15．A； 16．A；
二．解答题（共2小题）
17．；18．；。