高校大学物理电势电势差课件
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23
r
例8 无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长 度上电量为λ，求电势分布。 解 由高斯定理，得
,r R E 0 E , r R 2 π 0 r
取 u B= 0
R
o
r
P B
r
r0
r0 r R , uP E dr r
24
r0 r0 ln ,rR up dr r 2 π ε0 r 2 π ε0 r
u 外 E 2 dr
P
+ +
+
+ r
+ +
R P
u内
P1
R E dr r E1dr R E2 dr
分段积分
q
8 0 R
(3R r ) 3
2 2
+ P1 + + + + +
15
R
例4 求电荷线密度为的无限长带电直线空 间中的电势分布。 解: 取无穷远为势能零点
在实际问题中, 常常选地球的电势为零 电势。 电势差与电势的零点选取无关。
4
二、电势的叠加原理 • 点电荷的电势 q u p E dl
p
r
p
dl
E
r
1 q up 4 0 r
q 1 dr 2 4 0 r
q 1 0 0 E r dl dr r 2 4 0 r
8.5 电势 电势差
一、电势 电势差 1.电势
将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势能 为零的Q点时, 电场力所作的功。 ApQ W pQ Q up E dl p q0 q0
up
Q p
E dl
1
通常把uQ 称为参考电势, 原则上uQ可以 取任意值。在电荷分布为有限空间的情况时, 一般设点 Q 在无限远处, 并令无限远处的电 势能和电势都为零。
B
R+Q
+
AB
r
1. 球外任意两点间的电势差
u A uB
rB rA
+ +
r E dl r
rR
19
U AB
Q 1 1 u A uB 4 π 0 rA rB
rR
+ +
R +Q
A +B
球外任一点的电势 Q Q u (r ) dr 2 r 4 π r 4 π 0 r 0 2.球内任意两点间的电势差 在 r < R 的球内空间 E 0 rB u A u B E dl 0 r R
U pQ u p uQ
Wp
q0 Q E dl p Q U pQ E dl
p
WQ q0
ApQ q0
单位: 伏特 (V ) 。
3
当已知电势分布时,可用电势差求出点 电荷在电场中移动时电场力所作的功：
APQ q0
Q
P
E dl
q0 (u P uQ )
r0 u P E dr E dr r R r0 ln , r R 2 π ε0 R
R
问题：能否选
u 0 ?
25
e dS u ( r ) 4 π 0 r S
e dl 电荷线密度为λe 的带 u (r ) 电体产生的电势： 4 π 0 r L
8
电势的计算方法
（1）利用
已知在积分路径上 E 的函数表达式。 有限大带电体，选无限远处电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为零。
（2）利用点电荷电势的叠加原理
ua
Q1 u1 4πε0 r Q1 u1 4πε0 R1
(r R1 )
R2
o
Q1
R1
Q2
(r R1 )
Q2 Q2 u2 (r R2 ) , u2 (r R2 ) 4πε0 r 4πε0 R2
22
u u1 u2
u
Q1 Q2 r R2 o R1 R2 4 π ε r 0 电势分布 Q1 Q2 R1 r R2 4 πε0 r 4 πε0 R2 Q1 Q2 r R1 4 πε0 R1 4 πε0 R2
4
18
r
r r
例6 求均匀带电球壳电场中，壳外任意两点的 电势差与电势;壳内任意两点的电势差和电势。 已知球壳半径为R, 总带电量为Q 。 解 设无限远处为零电势,由高斯定理知, 在 r >R 的球外空间电场分布为：
E 1 Q e 2 r 4 π 0 r
+ +
Q dr 2 A 4 π r 0
正点电荷周围场的电势为正, 离电荷越 远,电势越低。负点电荷周围场的电势为负, 离电荷越远, 电势越高。
5
• 点电荷系的电势 u P E dl
P
q1
r1
P
r2 q2 P ( E1 E2 ) dl P E1 dl P E2 dl q2 q1 dr dr 2 2 r2 4 r r1 4 r 0 0 1 q1 1 q2 4 0 r1 4 0 r2
离带电直线的距离
17
例5 计算电偶极子电场中任一点P 的电势。
当 r l 可做如下近似：
q q u p ui ( p ) 4 π 0 r 4 π 0 r i
P
l l r r cos r r cos 2 2 q q r r q l up ( ) 4 π 0 r r 其中 Pe r q l cos Pe r0 ql r0 2 3 4 π 0 2 l 2 (r cos ) 4 π 0 r ql cos
E2 E1
6
qi 对 n 个点电荷: u p i 1 4 0 ri
dq 对连续分布的带电体：u p Q 4 0 r
n
电势叠加原理 在点电荷系产生的电场中, 某点的电势 是各个点电荷单独存在时, 在该点产生的电 势的代数和。
7
注意 电势是标量, 只有大小、正负之分而无方 向, 所以只需求代数和即可。 e dV 电荷体密度为ρe的 u (r ) 带电体产生的电势： 4 π 0 r V 电荷面密度为σe 的 带电体产生的电势：
4 π 0 x r
2
1 u du 4 π 0
R
0
2 0
x R x
2 2
x
2 πr d r
2
dq
2
1
P
2
r
2
1
2
r
R
O
dq
12
u 2 0
当 x>>R 时
x R x
2 2
2 R x2 R2 x 2x R2 Q u 2 0 2 x 4 π 0 x
在离圆盘很远处, 可以把圆盘看成一个 点电荷。
13
例3 半径为R,带电量为q 的均匀带电球体。 求:带电球体的电势分布。 解:根据高斯定理可得：
+ +
+
+ r
qr E1 3 4 0 R
+ +
R P
rR
E2
q 4 0 r
2
rR
14
对球外一点 P：
qdr q 2 r 4 r 4 0 r 0 对球内一点 P1：
"0 "
a
E dl
1 dq ua 4 πε 0 r
9
例1均匀带电圆环半径为R，电量q 。
求 圆环轴线上一点的电势。 解 建立如图坐标系， 选取电荷元 dq
q
dq
r R o
P x
dq u p du 0 4 π r 0 q q 4 π 0 r 4 π 0 R 2 x 2
10
另解
dq dl
dl dq du 4 0 r 4 0 R 2 x 2 dq
uP
2 R
dl
r
R
O P x
0
4 0 R x
2
2
2R q 2 2 4 0 R x 4 0 R 2 x 2
11
例2 利用以上结果, 可以计算均匀带电圆盘轴线 上 p 点的电势。 x 在盘上取一小圆环, 带电量为 ： dE dq 2 πrdr 圆环在p点的电势 du
于是
或
u P E dl p u P E dl 单位:伏特 (V )
p
电场中某点P 的电势, 在数值上等于把单 位正实验电荷从P 点移动到无限远处时, 静电 场力所作的功。
2
2. 电势差 将单位正电荷从电场中P 点移到 Q点, 静电场力所作的功，称为静电场中两点间 的电势差: UPQ 。
E 2π 0 x u P dx 2π 0 x xP (ln ln xP ) 2 π 0
x
P
O
xp
16
取a点为电势零点, a点距离带电直线为xa
x u P E dl
(a)
a
(P)
xP
dx 2π 0 x
x
a
P
O
xa xp (ln xa ln xp ) 2 π 0 取 xa 1, ln xa 0 (场中任意一点P 的 电势表达式最简捷) uP ln x 2 π 0
rA
rR
p r
+ +
20
球内任一点的电势
Q u ( r ) Edr dr 2 r R 4 π r 0 Q u u r rR 4 π 0 R
R
+ +
R +Q
p+
r
+ +
带电球壳是个等势体。
O
r
在球面处场强不连续, 而电势是连续的。
21
例7两个半径分别为R1 ，R2的球面同心放置, 所 带电量为Q1和Q2, 皆为均匀分布。求电势分布。 解
r
例8 无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长 度上电量为λ，求电势分布。 解 由高斯定理，得
,r R E 0 E , r R 2 π 0 r
取 u B= 0
R
o
r
P B
r
r0
r0 r R , uP E dr r
24
r0 r0 ln ,rR up dr r 2 π ε0 r 2 π ε0 r
u 外 E 2 dr
P
+ +
+
+ r
+ +
R P
u内
P1
R E dr r E1dr R E2 dr
分段积分
q
8 0 R
(3R r ) 3
2 2
+ P1 + + + + +
15
R
例4 求电荷线密度为的无限长带电直线空 间中的电势分布。 解: 取无穷远为势能零点
在实际问题中, 常常选地球的电势为零 电势。 电势差与电势的零点选取无关。
4
二、电势的叠加原理 • 点电荷的电势 q u p E dl
p
r
p
dl
E
r
1 q up 4 0 r
q 1 dr 2 4 0 r
q 1 0 0 E r dl dr r 2 4 0 r
8.5 电势 电势差
一、电势 电势差 1.电势
将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势能 为零的Q点时, 电场力所作的功。 ApQ W pQ Q up E dl p q0 q0
up
Q p
E dl
1
通常把uQ 称为参考电势, 原则上uQ可以 取任意值。在电荷分布为有限空间的情况时, 一般设点 Q 在无限远处, 并令无限远处的电 势能和电势都为零。
B
R+Q
+
AB
r
1. 球外任意两点间的电势差
u A uB
rB rA
+ +
r E dl r
rR
19
U AB
Q 1 1 u A uB 4 π 0 rA rB
rR
+ +
R +Q
A +B
球外任一点的电势 Q Q u (r ) dr 2 r 4 π r 4 π 0 r 0 2.球内任意两点间的电势差 在 r < R 的球内空间 E 0 rB u A u B E dl 0 r R
U pQ u p uQ
Wp
q0 Q E dl p Q U pQ E dl
p
WQ q0
ApQ q0
单位: 伏特 (V ) 。
3
当已知电势分布时,可用电势差求出点 电荷在电场中移动时电场力所作的功：
APQ q0
Q
P
E dl
q0 (u P uQ )
r0 u P E dr E dr r R r0 ln , r R 2 π ε0 R
R
问题：能否选
u 0 ?
25
e dS u ( r ) 4 π 0 r S
e dl 电荷线密度为λe 的带 u (r ) 电体产生的电势： 4 π 0 r L
8
电势的计算方法
（1）利用
已知在积分路径上 E 的函数表达式。 有限大带电体，选无限远处电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为零。
（2）利用点电荷电势的叠加原理
ua
Q1 u1 4πε0 r Q1 u1 4πε0 R1
(r R1 )
R2
o
Q1
R1
Q2
(r R1 )
Q2 Q2 u2 (r R2 ) , u2 (r R2 ) 4πε0 r 4πε0 R2
22
u u1 u2
u
Q1 Q2 r R2 o R1 R2 4 π ε r 0 电势分布 Q1 Q2 R1 r R2 4 πε0 r 4 πε0 R2 Q1 Q2 r R1 4 πε0 R1 4 πε0 R2
4
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r
r r
例6 求均匀带电球壳电场中，壳外任意两点的 电势差与电势;壳内任意两点的电势差和电势。 已知球壳半径为R, 总带电量为Q 。 解 设无限远处为零电势,由高斯定理知, 在 r >R 的球外空间电场分布为：
E 1 Q e 2 r 4 π 0 r
+ +
Q dr 2 A 4 π r 0
正点电荷周围场的电势为正, 离电荷越 远,电势越低。负点电荷周围场的电势为负, 离电荷越远, 电势越高。
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• 点电荷系的电势 u P E dl
P
q1
r1
P
r2 q2 P ( E1 E2 ) dl P E1 dl P E2 dl q2 q1 dr dr 2 2 r2 4 r r1 4 r 0 0 1 q1 1 q2 4 0 r1 4 0 r2
离带电直线的距离
17
例5 计算电偶极子电场中任一点P 的电势。
当 r l 可做如下近似：
q q u p ui ( p ) 4 π 0 r 4 π 0 r i
P
l l r r cos r r cos 2 2 q q r r q l up ( ) 4 π 0 r r 其中 Pe r q l cos Pe r0 ql r0 2 3 4 π 0 2 l 2 (r cos ) 4 π 0 r ql cos
E2 E1
6
qi 对 n 个点电荷: u p i 1 4 0 ri
dq 对连续分布的带电体：u p Q 4 0 r
n
电势叠加原理 在点电荷系产生的电场中, 某点的电势 是各个点电荷单独存在时, 在该点产生的电 势的代数和。
7
注意 电势是标量, 只有大小、正负之分而无方 向, 所以只需求代数和即可。 e dV 电荷体密度为ρe的 u (r ) 带电体产生的电势： 4 π 0 r V 电荷面密度为σe 的 带电体产生的电势：
4 π 0 x r
2
1 u du 4 π 0
R
0
2 0
x R x
2 2
x
2 πr d r
2
dq
2
1
P
2
r
2
1
2
r
R
O
dq
12
u 2 0
当 x>>R 时
x R x
2 2
2 R x2 R2 x 2x R2 Q u 2 0 2 x 4 π 0 x
在离圆盘很远处, 可以把圆盘看成一个 点电荷。
13
例3 半径为R,带电量为q 的均匀带电球体。 求:带电球体的电势分布。 解:根据高斯定理可得：
+ +
+
+ r
qr E1 3 4 0 R
+ +
R P
rR
E2
q 4 0 r
2
rR
14
对球外一点 P：
qdr q 2 r 4 r 4 0 r 0 对球内一点 P1：
"0 "
a
E dl
1 dq ua 4 πε 0 r
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例1均匀带电圆环半径为R，电量q 。
求 圆环轴线上一点的电势。 解 建立如图坐标系， 选取电荷元 dq
q
dq
r R o
P x
dq u p du 0 4 π r 0 q q 4 π 0 r 4 π 0 R 2 x 2
10
另解
dq dl
dl dq du 4 0 r 4 0 R 2 x 2 dq
uP
2 R
dl
r
R
O P x
0
4 0 R x
2
2
2R q 2 2 4 0 R x 4 0 R 2 x 2
11
例2 利用以上结果, 可以计算均匀带电圆盘轴线 上 p 点的电势。 x 在盘上取一小圆环, 带电量为 ： dE dq 2 πrdr 圆环在p点的电势 du
于是
或
u P E dl p u P E dl 单位:伏特 (V )
p
电场中某点P 的电势, 在数值上等于把单 位正实验电荷从P 点移动到无限远处时, 静电 场力所作的功。
2
2. 电势差 将单位正电荷从电场中P 点移到 Q点, 静电场力所作的功，称为静电场中两点间 的电势差: UPQ 。
E 2π 0 x u P dx 2π 0 x xP (ln ln xP ) 2 π 0
x
P
O
xp
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取a点为电势零点, a点距离带电直线为xa
x u P E dl
(a)
a
(P)
xP
dx 2π 0 x
x
a
P
O
xa xp (ln xa ln xp ) 2 π 0 取 xa 1, ln xa 0 (场中任意一点P 的 电势表达式最简捷) uP ln x 2 π 0
rA
rR
p r
+ +
20
球内任一点的电势
Q u ( r ) Edr dr 2 r R 4 π r 0 Q u u r rR 4 π 0 R
R
+ +
R +Q
p+
r
+ +
带电球壳是个等势体。
O
r
在球面处场强不连续, 而电势是连续的。
21
例7两个半径分别为R1 ，R2的球面同心放置, 所 带电量为Q1和Q2, 皆为均匀分布。求电势分布。 解