浮点数表示方法与运算
软考-浮点数的知识点
软考中浮点数的知识点主要包括以下几个方面：1、浮点数的基本概念和表示方法：浮点数是一种用科学计数法表示实数的方法，主要用于计算机中对实数的近似表示。
浮点数的表示方法分为单精度和双精度，其中单精度用32位表示，双精度用64位表示。
2、浮点数的运算：浮点数在计算机中的运算包括加、减、乘、除等基本运算，同时还有取模、取整、四舍五入等高级运算。
需要注意的是，浮点数的运算可能会产生精度误差，因此在实际应用中需要谨慎处理。
3、浮点数的异常情况：浮点数在计算中可能会出现一些异常情况，比如除以0、溢出、下溢等，这些情况需要特殊处理。
4、浮点数的应用：浮点数广泛应用于科学计算、金融计算、图像处理等领域，比如地球物理学中的测量数据处理、金融学中的股票交易计算、计算机游戏中的物理引擎等。
细节：阶符、阶码和数符阶符、阶码和数符都是计算机中用于表示浮点数的重要概念。
阶符用来表示浮点数的指数部分的符号，通常为0或1，表示正数或负数。
阶码是指数部分的值，采用补码表示，其位数与精度有关。
对于单精度浮点数，阶码采用8位补码表示；对于双精度浮点数，阶码采用11位补码表示。
阶码的值由指数部分的二进制表示得到，如单精度浮点数的指数部分是8位，则阶码的范围为-127到+128，双精度浮点数的指数部分是11位，则阶码的范围为-1023到+1024。
数符用来表示浮点数的符号部分，通常为0或1，表示正数或负数。
假设有一个单精度浮点数，其二进制表示为：0 10000100 11011000000000000000000其中，第1位为数符位，0表示正数，1表示负数；接下来的8位为阶码，这个数的阶码为10000100，最后的23位为尾数，为11011000000000000000000。
阶符位指的是阶码的符号位，因为阶码可以是正数或负数，阶符位为0表示阶码为正，为1表示阶码为负。
阶码是指尾数左移或右移的位数，由于计算机中浮点数的科学计数法表示方式，阶码的范围通常是有限的，例如单精度浮点数的阶码范围为-126到127，阶码的实际值是阶符位和剩余位的组合。
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中一种表示实数的数据类型，其特点是可以表示带有小数部分的数字。
在进行浮点数的运算时，需要考虑到浮点数的精度问题、舍入误差以及运算顺序等因素。
浮点数的表示方法为：±m×be，其中m为尾数（即小数部分的数值），b为基数或底数，e为指数（表示位移的量）。
1.浮点数加法运算：-对两个浮点数的指数进行比较，将较小指数的浮点数的尾数左移指数之差的位数，使两个浮点数的小数点对齐。
-对齐后的尾数相加，得到一个和。
-对和进行规格化，即将结果的尾数进行处理，使其满足指定的位数限制。
-对规格化后的结果进行舍入运算，得到最终结果。
2.浮点数减法运算：-先将减数的指数调整与被减数的指数相等。
-对齐后的尾数相减，得到一个差。
-对差进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
3.浮点数乘法运算：-将两个浮点数的指数相加，得到加法的和，并相应地调整两个浮点数的尾数。
-尾数相乘，得到一个乘积。
-对乘积进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
4.浮点数除法运算：-将被除数的指数减去除数的指数，得到差，并相应地调整两个浮点数的尾数。
-尾数相除，得到一个商。
-对商进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
在进行浮点数运算时需要注意一些问题：-浮点数的精度问题：由于浮点数的尾数有限位数，所以会存在精度丢失的问题。
这就意味着进行浮点数运算时，可能会出现舍入误差，导致结果有微小的偏差。
-运算顺序：浮点数的运算顺序可能会影响最终结果。
在连续进行多次浮点数运算时，可能会得到不同的结果。
这是因为浮点数的运算不满足交换律和结合律。
因此，在编程中需要谨慎选择运算顺序，以避免结果的不确定性。
-溢出和下溢问题：由于浮点数的范围限制，可能会出现溢出（结果超出浮点数的表示范围）或下溢（结果过小，无法表示）的情况。
针对这些情况，需要进行特殊处理，如返回特定的错误码或进行科学计数法表示。
在实际编程中，可以使用编程语言提供的浮点数运算库或内置函数来进行浮点数运算，以确保运算结果的准确性和可靠性。
浮点数的表示方法
浮点数的表示方法
一、浮点数表示
一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：
N = M × 2E
其中:M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：
浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码的位数决定。
为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XXXX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XXXX的形式。
二、机器零
当浮点数的尾数为0或阶码为最小值时，计算机通常把该数当作零，因此程序中进行浮点运算时，判断某数是否为零，通常可以用小于某个极小值来代替。
三、实例
【例1】设X=0.0110×23 ,用补码、浮点数形式表示阶码为X j=011，尾数为00110，这时由于X 尾数不符合01XXXX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
这个数具体在计算机中如何表示要看计算机中规定的阶码和尾数的位数，若阶码和尾数均为16位，则上面的数X在计算机内部表示就是00000000000000100110000000000000 ，不足
均用零填充。
浮点数计算方式
浮点数计算方式浮点数是计算机中用来表示实数的一种数据类型。
它由一个小数部分和一个指数部分组成，可以表示非常大或非常小的数值范围。
浮点数的计算方式是基于浮点数的表示规范和运算规则进行的。
本文将介绍浮点数的计算方式，并探讨其中的一些注意事项。
一、浮点数的表示方式在计算机中，浮点数通常采用IEEE 754标准进行表示。
根据该标准，浮点数由三部分组成：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位用于表示浮点数的正负性，指数位用于表示浮点数的指数部分，尾数位用于表示浮点数的小数部分。
通过这种方式，计算机可以表示非常大或非常小的实数。
二、浮点数的四则运算浮点数的四则运算（加法、减法、乘法和除法）是基于IEEE 754标准进行的。
在进行浮点数的四则运算时，需要注意以下几点：1. 精度丢失：由于浮点数的表示方式是有限的，所以在进行浮点数的运算时，可能会出现精度丢失的情况。
这是因为某些实数无法准确表示为有限位数的浮点数。
因此，在进行浮点数计算时，应注意精度丢失可能会产生的误差。
2. 舍入误差：由于浮点数的表示方式是基于二进制的，而实数是十进制的，所以在进行浮点数计算时，可能会出现舍入误差。
这是因为某些十进制数无法准确表示为二进制数。
因此，在进行浮点数计算时，应注意舍入误差可能会对计算结果产生影响。
3. 无穷大和NaN：浮点数的运算结果可能会出现无穷大（Infinity）或不确定值（NaN）。
无穷大表示计算结果超出了浮点数的表示范围，而NaN表示计算结果无法确定。
在进行浮点数计算时，应注意处理这些特殊情况，以避免出现错误结果。
三、浮点数计算中的问题和解决方法在进行浮点数计算时，可能会遇到一些问题，如计算结果不准确、计算速度较慢等。
为了解决这些问题，可以采取以下方法：1. 增加计算精度：可以增加浮点数的位数，从而提高计算精度。
例如，可以使用双精度浮点数（64位）替代单精度浮点数（32位），以提高计算精度。
2. 使用精确计算：可以使用精确计算方法，如使用有理数进行计算，从而避免浮点数计算中的精度丢失和舍入误差。
计算机组成原理：浮点数表示及运算
6
计算机组成原理
例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基 数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。
解：12310=11110112= 0.11110110002×27 [7]移=10000+00111 = 10111 [0.1111011000]补=0.1111011000 [123]浮= 1011 1 0 11 1101 1000 = BBD8H
对阶： [△E]补= [ Ex]补－[Ey]补=00 10+ 11 11= 00 01
y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。 [y]补=00 10，00.0101 求和： 00.1101 + 00.0101 01.0010 [x+y]补=00 10，01.0010 右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。 [x+y]补= 00 11，00.1001
0.0000001 --- 0.1111111 1/128 --- 127/128 可表示2-11*0.0001 --- 211*0.1111
设阶码2位，尾数4位
0.0000001 --- 111.1
可表示2-111*0.001 --- 2111*0.111
设阶码3位，尾数3位
0.0000000001 --- 1110000
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(4) 结果规格化 求和之后得到的数可能不是规格化了的数 , 为了增加有效数 字的位数, 提高运算精度,必须将求和的结果规格化。 ①规格化的定义:
浮点数的表示方法规格化处理
01………11
4标准表示法
为便于软件的移植，浮点数的表示格式应该有统一标准。1985年IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）提出了IEEE754标准。该标准规定基数为2，阶码E用移码表示，尾数M用原码表示，根据原码的规格化方法，最高数字位总是1，该标准将这个1缺省存储，使得尾数表示范围比实际存储的一位。实数的IEEE754标准的浮点数格式为：
[例4.1]：
26.0
十进制26.0转换成二进制
11010.0
规格化二进ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
1.10100*2^4
计算指数
4+127=131
符号位指数部分尾数部分
0 10000011 10100000000000000000000
1浮点数的一般表示方法
在数学中，表示一个浮点数需要三要素：尾数（mantissa）、指数（exponent，又称阶码）和基数（base），都用其第一个字母来表示的话，那么任意一个浮点数N可以表示成下列形式：N=M×BE，例如N1=1.234×10-6，N2= -0.001011×2011等，同样的数字对于不同的基数是不相同的，移动小数点的位置，其指数相应地跟着变化。在计算机中，表示一个浮点数，同样需要以上三要素，只是阶码与尾数一同存储，基数常有2、8、16等数值，下面的讨论以2为基数进行。
图1浮点数的一般表示形式
在这种表示方法中，阶码的二进制编码（binary code）一般是原码（sign magnitude）、补码（twos complement）或移码（bias），尾数的编码一般是原码或补码。
2浮点数的规格化处理
在浮点数系统中，小数点的浮动使数值的表示不能惟一，从而给数据处理带来困难，因此有必要使浮点数的表示与存储有一定的标准，考虑到阶码、尾数之间的关系，常将尾数的最高数字位是有效值的数值称为规格化（normalization），由于尾数可以是原码或补码，所以有两种规格化的形式，如表1所示。
浮点数表示及运算
Emax=2046, f=1.1111…,1.111…1×22046-1023 =21023×(2-2-52)
负下溢出 零
负上溢出 可表示负数范围
正下溢出 可表示正数范围 正上溢出
ห้องสมุดไป่ตู้-(1-2-23) 2127
计算机组成原理
-0.52-128 0 0.52-128
(1-2-23) 2127
数轴
指数e＝阶码－127＝10000010－01111111 ＝00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数： 1.M＝1.011 0110 0000 0000 0000 0000＝1.011011 于是有 x＝(－1)s×1.M×2e
＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011＝(11.375)10
计算机组成原理
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单精度浮点数编码格式
符号位 0/1 0/1 0 1 0/1 0/1 0/1
阶码 255 255 255 255 1~254
0 0
尾数 非零1xxxx 非零0xxxx
0 0
f f (非零)
0
表示
NaN Not a Number sNaN Signaling NaN +∞ -∞ (-1)S× (1.f) 2 × (e-127) (-1)S× (0.f) 2 × (-126) +0/-0
正数 0.1xxxxxx 负数 1.0xxxxxx
计算机组成原理
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例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基 数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。
解：12310=11110112= 0.11110110002×27 [7]移=10000+00111 = 10111 [0.1111011000]补=0.1111011000 [123]浮= 1011 1 0 11 1101 1000
浮点数的表示和基本运算
浮点数的表示和基本运算1 浮点数的表示通常，我们可以用下面的格式来表示浮点数S P M其中S是符号位，P是阶码，M是尾数对于IBM-PC而言，单精度浮点数是32位（即4字节）的，双精度浮点数是64位（即8字节）的。
两者的S，P，M所占的位数以及表示方法由下表可知S P M 表示公式偏移量1 8 23 (-1)S*2(P-127)*1.M 1271 11 52 (-1)S*2(P-1023)*1.M 1023以单精度浮点数为例，可以得到其二进制的表示格式如下S(第31位) P(30位到23位) M(22位到0位)其中S是符号位，只有0和1，分别表示正负；P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。
对于正数而言，原码，反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1.）为了简单起见，本文都只讨论单精度浮点数，双精度浮点数也是用一样的方式存储和表示的。
2 浮点数的表示约定单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE754标准定义的，其中有一些特殊约定。
（1）当P = 0, M = 0时，表示0。
（2）当P = 255, M = 0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
（3）当P = 255, M != 0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。
当我们使用.Net Framework的时候，我们通常会用到下面三个常量Console.WriteLine(float.MaxValue); // 3.402823E+38Console.WriteLine(float.MinValue); //-3.402823E+38Console.WriteLine(float.Epsilon); // 1.401298E-45//如果我们把它们转换成双精度类型，它们的值如下Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue)); // 3.40282346638529E+38Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue)); //-3.40282346638529E+38Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon)); // 1.40129846432482E-45那么这些值是如何求出来的呢？根据上面的约定，我们可以知道阶码P的最大值是11111110（这个值是254，因为255用于特殊的约定，那么对于可以精确表示的数来说，254就是最大的阶码了）。
浮点数表示及运算
计算机组成原理
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完成浮点加减运算的操作过程大体分为： (1) 0 操作数的检查；
(2) 比较阶码大小并完成对阶； (3) 尾数进行加或减运算； (4) 结果规格化。 (5) 舍入处理。 (6) 溢出处理。
计算机组成原理
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(1) 0 操作数检查 (2) 对阶
使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶。 • 先求两数阶码 Ex 和 Ey之差，即△E = Ex－Ey 若△E = 0，表示 Ex=Ey 若△E > 0, Ex>Ey 若△E < 0, Ex<Ey 通过尾数的移动来改变Ex或Ey，使其相等。
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(4) 结果规格化 求和之后得到的数可能不是规格化了的数, 为了增加有效数 字的位数, 提高运算精度,必须将求和的结果规格化。 ①规格化的定义:
采用原码： 正数: S=0.1 ×××…× 负数： S=1.1 ×××…× 采用双符号位的补码：
对正数: 对负数:
1 S 1 2
(二进制)
S=00.1×××…× S=11.0×××…×
格式 单精度 最小值 Emin=1, M=0, 1-127 -126 1.0×2 =2 最大值 Emax=254, 254-127 f=1.1111…, 1.111…1×2 127 -23 = 2 ×(2-2 ) Emax=2046, 2046-1023 f=1.1111…,1.111…1×2 1023 -52 =2 ×(2-2 )
8位定点小数可表示的范围
0.0000001 --- 0.1111111 1/128 --- 127/128 可表示2-11*0.0001 --- 211*0.1111
设阶码2位，尾数4位
ieee 浮点数运算
ieee 浮点数运算IEEE（电气电子工程师协会）浮点数标准定义了浮点数的表示方法和运算规则。
在IEEE 754标准中，浮点数分为单精度（32位）和双精度（64位）两种类型。
在IEEE 754标准中，浮点数的表示格式如下：1.符号位：1位，用于表示浮点数的正负。
2.指数位：对于单精度浮点数，为8位；对于双精度浮点数，为11位。
3.尾数位：对于单精度浮点数，为23位；对于双精度浮点数，为52位。
在IEEE 754标准中，浮点数的表示方法如下：1.正数表示：符号位为0，指数位和尾数位按照规定的格式表示。
2.负数表示：符号位为1，其余部分按照规定的格式表示。
在IEEE 754标准中，浮点数的运算规则如下：1.加法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相加即可。
如果相加结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
2.减法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相减即可。
如果相减结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
3.乘法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相乘即可。
如果相乘结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
4.除法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相除即可。
如果相除结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
5.舍入：当浮点数运算结果超过规定的表示范围时，需要进行舍入处理。
具体舍入方式有三种：向最接近的偶数舍入、向最接近的整数舍入、向最接近的可表示的浮点数舍入。
6.溢出：当浮点数运算结果超过了最大可表示的数值时，会发生溢出。
此时需要将结果设为最大可表示的数值或无穷大。
浮点数的四则运算
8
由于补码和移码的数值位相同，符号位相反，因 此可以将移码和补码混合使用，即利用X的移码和Y的 补码之和来表示X+Y的移码。
移码加减运算的溢出判断方法是： Sf1 Sf2＝00，结果为负，无溢出； Sf1 Sf2＝01，结果为正，无溢出； Sf1 Sf2＝10，结果上溢； Sf1 Sf2＝11，结果下溢；
10
例 设不含阶符的阶码位数n＝4，Ex=－1010，Ey=＋ 0111,求[Ex±Ey]移。
解： [Ex]移 ＝000110，[Ey]补 ＝000111， [－Ey]补 ＝111001
2
浮点加减运算（续）
右规和对阶操作时尾数右移，需要进行舍入处理。 计算机中的舍入方法： ❖ 截断法：
将移出的数据一律舍去。该方法简单，但影响精度;
❖ 0舍1入法：
移掉的是1，则尾数末位加1，移掉的是0，则不加。
❖ 末位恒置1法：
将欲保留的末位数据恒置1，无论右移掉的是1还是0，也 无论此时末位是1还是0。
[Ex＋ Ey ]移＝[Ex]移 ＋ [Ey]补 ＝000110＋000111＝ 001101，Ex＋ Ey＝－0011；
[Ex－ Ey ]移＝[Ex]移 ＋ [－Ey]补 ＝000110＋111001＝ 111111，结果出现下溢出.
11
2.7.2 浮点乘除运算
一、浮点乘法运算 设两个浮点数为：X=Mx·2Ex,Y=My·2Ey 则：X·Y=(Mx·My)·2(Ex+Ey) 浮点乘法运算的步骤： 1.乘数判0，若有一乘数为0 ，则积为0，无需运算； 2.阶码相加并判溢出；
float 加减
float 加减在计算机编程中，float是一种数据类型，用来表示带有小数点的数字。
在编写程序时，经常需要进行浮点数的加减运算，本文将详细介绍float的加减运算及其注意事项。
在进行float的加减运算时，我们需要注意以下几点：1. 浮点数的表示方式浮点数的表示方式是通过科学计数法来表示的，即用一个尾数和一个指数来表示一个浮点数。
例如，3.14可以表示为3.14×10^0，而0.001可以表示为1×10^-3。
2. 浮点数的精度问题由于计算机内部表示浮点数时存在精度问题，因此在进行浮点数的加减运算时，可能会出现一定的误差。
这是由于浮点数的内部表示方式决定的，而不是编程语言本身的问题。
因此，在进行浮点数的加减运算时，需要注意精度问题，并且尽量避免进行多次浮点数的加减运算。
3. 浮点数的加法运算浮点数的加法运算是通过将两个浮点数的尾数相加，然后根据指数的差值来调整尾数的大小。
具体步骤如下：- 比较两个浮点数的指数大小，将指数较小的浮点数的尾数乘以10的差值次方，使两个浮点数的指数相等。
- 将两个浮点数的尾数相加，得到新的尾数。
- 对得到的尾数进行规格化，即将尾数的整数部分保留一个非零位，其余位数舍去或进位，得到最终的尾数。
4. 浮点数的减法运算浮点数的减法运算是通过将两个浮点数的尾数相减，然后根据指数的差值来调整尾数的大小。
具体步骤如下：- 比较两个浮点数的指数大小，将指数较小的浮点数的尾数乘以10的差值次方，使两个浮点数的指数相等。
- 将两个浮点数的尾数相减，得到新的尾数。
- 对得到的尾数进行规格化，即将尾数的整数部分保留一个非零位，其余位数舍去或进位，得到最终的尾数。
总结起来，float的加减运算需要注意浮点数的精度问题，并且需要进行指数的调整和尾数的规格化。
在实际编程中，可以使用编程语言提供的浮点数运算函数来进行浮点数的加减运算，这样可以避免一些精度问题。
以上是关于float加减的介绍，希望对大家有所帮助。
浮点数加减法运算
浮点数加减法运算浮点数加减法是计算机中常见的运算方式之一，它可以用于处理浮点数的加法和减法运算。
在计算机科学和数学中，浮点数是一种用于表示实数近似值的数据类型。
浮点数加减法运算是基于浮点数的特定规则进行的，下面将介绍浮点数加减法的原理和应用。
一、浮点数的表示方法在计算机中，浮点数以科学计数法的形式进行表示。
通常采用IEEE 754标准来表示浮点数，其中包括单精度浮点数和双精度浮点数两种形式。
单精度浮点数使用32位来表示，双精度浮点数使用64位来表示。
浮点数的表示形式包括符号位、指数位和尾数位。
二、浮点数加法运算浮点数加法运算的基本原理是将两个浮点数的尾数进行对齐，然后根据指数的差值进行尾数的移位，最后将尾数相加得到结果。
在进行浮点数加法运算时，需要考虑溢出、舍入和规格化等特殊情况。
1. 对齐尾数在进行浮点数加法运算时，首先需要将两个浮点数的尾数进行对齐。
对齐的原则是将尾数中小数点后的位数相等，即将尾数进行右移或左移，直到小数点后的位数相等为止。
2. 指数调整在对齐尾数后，需要根据两个浮点数的指数差值进行尾数的移位。
如果两个浮点数的指数相等，则无需移位；如果两个浮点数的指数不相等，则需要将尾数进行左移或右移，移位的位数为两个指数的差值。
3. 尾数相加在进行尾数移位后，将两个浮点数的尾数进行相加。
相加时要考虑进位的情况，如果相加后的结果超过了尾数的表示范围，则需要进行舍入操作。
4. 舍入在进行浮点数加法运算时，需要进行舍入操作。
舍入操作是根据舍入规则来确定结果的最终值。
常用的舍入规则有四舍五入、向上舍入和向下舍入等。
5. 规格化在得到相加结果后，需要对结果进行规格化处理。
规格化是将结果表示为科学计数法的形式，即将尾数进行左移或右移，直到最高位为1，然后将指数进行相应的调整。
三、浮点数减法运算浮点数减法运算可以转化为浮点数加法运算。
具体而言，将减法转化为加法时，需要将减数取相反数，然后进行相加运算。
1. 取相反数在进行浮点数减法运算时，需要将减数取相反数。
计算机基础知识了解计算机中的浮点数表示和运算
计算机基础知识了解计算机中的浮点数表示和运算计算机基础知识：了解计算机中的浮点数表示和运算计算机科学中的浮点数是非常重要的一部分。
在许多计算机应用中，浮点数被用来表示和计算具有小数点的数值。
了解浮点数的表示方法和运算规则，对于理解计算机中数字处理的原理和特性非常有帮助。
本文将介绍计算机中浮点数的表示和运算规则。
一、浮点数表示方法在计算机中，浮点数采用科学记数法的方式进行表示。
它由两部分组成：尾数和指数。
尾数部分是一个二进制小数，通常将其规范化为1.xxxxxx的形式。
这个小数点的位置可以通过指数进行调整。
指数部分是一个带符号的整数，用于表示小数点在尾数中的位置。
正指数表示小数点向右移动，负指数表示小数点向左移动。
通过将尾数和指数组合起来，就可以表示任意大小和精度的浮点数。
二、浮点数运算规则在计算机中，浮点数的运算遵循一定的规则，包括加法、减法、乘法和除法等。
1. 加法和减法当进行浮点数加法或减法时，首先需要将两个浮点数的指数进行比较，并将较小的指数调整为与较大指数相等，同时也需要相应地调整尾数。
接下来，将调整后的尾数进行相加或相减，并根据结果进行规范化和舍入。
2. 乘法在浮点数乘法中，首先将两个浮点数的尾数进行相乘，并将结果进行规范化。
然后将两个浮点数的指数相加，得到最终结果的指数。
最后，根据指数的差异进行舍入和溢出的处理。
3. 除法在浮点数除法中，首先将两个浮点数的尾数进行相除，并将结果进行规范化。
然后将两个浮点数的指数相减，得到最终结果的指数。
最后，根据指数的差异进行舍入和溢出的处理。
三、浮点数的精度问题由于计算机中浮点数的表示是有限的，所以在进行运算时会存在精度的损失。
这是由于计算机在表示小数时只能采用有限的二进制位数。
例如，当两个非常接近的浮点数进行相减时，可能会因为精度限制而得到一个极小的非零值，这种情况被称为舍入误差。
此外，在进行大数和小数的运算时，可能会出现溢出或下溢的问题。
溢出是指计算结果超出了浮点数的表示范围，而下溢是指计算结果过小而无法表示。
浮点数的表示与运算
浮点数的表示与运算
浮点数的表示和运算涉及到计算机内部对实数的二进制表示以及相关的运算规则。
在计算机中，浮点数一般采用 IEEE 754 浮点数标准进行表示。
这个标准规定了浮点数的二进制表示、舍入规则以及基本运算规则。
1. 浮点数的表示：
IEEE 754 浮点数标准规定了浮点数的二进制表示形式，主要包括三个部分：符号位、指数位和尾数位。
一个浮点数表示为：(127)(1) 1.2S E M −−⨯⨯
• S 是符号位，1位，0 表示正数，1 表示负数。
• M 是尾数（也称为尾数部分或尾数位），通常为23位。
• E 是指数，8位。
2. 浮点数的运算：
浮点数的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行浮点数运算时，需要注意以下几点：
• 舍入误差： 浮点数的表示范围是有限的，因此在运算中可能会出现舍入误差，导致最终结果的精度不准确。
• 溢出和下溢： 运算可能导致结果超出浮点数表示范围，这称为溢出；结果太接近零而无法表示，称为下溢。
• 运算顺序： 浮点数运算的顺序可能影响结果。
由于浮点数的有限精度，运算的顺序可能导致不同的舍入误差。
•特殊值处理：浮点数标准定义了特殊值，如正无穷大、负无穷大、NaN（Not a Number），在运算中需要适当处理这些特殊值。
在实际应用中，为了减小舍入误差，可能需要使用高精度库或者一些优化技巧，同时在编写代码时需要注意规避可能导致溢出和下溢的情况。
另外，对于一些对精度要求较高的场景，可能需要谨慎选择算法和数据结构。
c语言浮点数运算规则
c语言浮点数运算规则在C语言中，浮点数运算遵循IEEE 754标准，提供了一套规则和约定来处理浮点数的运算。
1. 浮点数表示：在C语言中，浮点数使用单精度（float）和双精度（double）两种类型进行表示。
float类型占用4个字节（32位），double类型占用8个字节（64位）。
2. 运算规则：- 加法和减法：将两个浮点数进行对齐，然后按照位相加或相减。
在相加或相减之前，会将其中一个操作数舍入到较小的精度。
例如，将一个double类型的操作数和一个float类型的操作数相加，结果将会是一个double类型的浮点数。
- 乘法：将两个浮点数相乘，然后舍入结果到与操作数相同的精度。
如果两个操作数中有一个是double类型，那么结果也是一个double类型的浮点数。
- 除法：将两个浮点数相除，然后舍入结果到与操作数相同的精度。
与乘法类似，如果有一个操作数是double类型，那么结果也是double类型的浮点数。
3. 舍入规则：在浮点数运算中，由于浮点数的精度是有限的，所以需要进行舍入。
IEEE 754标准定义了四种舍入模式：- 趋零舍入（round to zero）：直接截取小数部分，不做舍入。
- 向上舍入（round up）：向离零更远的方向舍入。
- 向下舍入（round down）：向离零更近的方向舍入。
- 最近舍入（round to nearest）：将浮点数四舍五入到最接近的可表示值。
如果两个值相等距离都相同，会选择偶数表示。
4. 特殊值：- NaN（Not a Number）：表示一个不是数值的结果，例如0除以0。
- Infinity（无穷大）：表示一个超出浮点数范围的值，例如除以0或大于最大表示值。
需要注意的是，在浮点数运算中可能会出现精度丢失的问题。
因为浮点数的表示方式是用有限位数来逼近实际的无限位数，所以在进行复杂的浮点数计算时，结果可能会有一定的误差。
因此，在需要精确计算的场合，建议使用定点数运算或者使用特殊的浮点数运算库来处理。
浮点数的表达与运算
浮点数的表示与运算一、选择1、在规格化浮点数运算中，若浮点数为25X1.10101,其中尾数为补码表示，则该数需将尾数左移一位规格化2、浮点数格式如下：1位阶符，6位阶码，1位数符，8位尾数。
若阶码用移码，尾数用补码表示，则浮点数所能表示数的范围是-263 ~ （1-2-8）X 2633、某浮点机，采用规格化浮点数表示，阶码用移码表示（最高位代表符号位），尾数用原码表示。
下列哪个数的表示不是规格化浮点数？（ B ）阶码尾数A.,1.1000 ••• 00B.,1.0111 ••• 01C.,0.1111 •••01D.,0.1000 ••• 104、设浮点数阶的基数为8,尾数用模4补码表示。
试指出下列浮点数中哪个是规格化数？（ C ）A.11.B.00.C.11.D.11.5、按照IEEE654标准规定的32位浮点数（41A4c000）16对应的十进制数是（D ）A.4.59375B.-20.59375C.-4.59375D.20.593756、如果某单精度浮点数、某原码、某补码、某移码的32位机器数为0xF。
这些数从大到小的顺序是移〉补＞原＞浮7、假定采用IEEE754标准中的单精度浮点数格式表示一个数为H,则该数的值是（+1.125）10X2118、设浮点数共12位。
其中阶码含1位阶符共4位，以2为底，补码表示：尾数含1位数符共8位，补码表示，规格化。
则该浮点数所能表示的最大正数是27-19、如果浮点数的尾数用补码表示，则下列（D ）中的尾数是规格化数形式。
A. 1.11000B. 0.01110C. 0.01010D.1.0001010、设浮点数的基数为4,尾数用原码表示，则以下（C ）是规格化的数。
A. 1.B.0.C.1.D.0.11、已知X=00.875X21, Y=0.625X22,设浮点数格式为阶符1位，阶码2位，数符1位，尾数3位，通过补码求出Z=X-Y 的二进制浮点数规格化结果是―0111 011—12、IEEE754标准中的舍入模式可以用于二进制数也可以用于十进制数，在采用舍入到最接近且可表示的值时，若要舍入两个有效数字形式，（12.5）D应该舍入为1213、下列关于舍入的说法，正确的是（E ）A.不仅仅只有浮点数需要舍入，定点数在运算时也可能要舍入B.在浮点数舍入中，只有左规格化时可能要舍入C.在浮点数舍入中，只有右规格化时可能要舍入D.在浮点数舍入中，左、右规格化均可能要舍入E.舍入不一定产生误差二、综合应用题1、什么是浮点数的溢出？什么情况下发生上溢出？什么情况下发生下溢出？2、现有一计算机字长32位（D3rD0），数符位是第31位。
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在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数，典型的比如定点数。
在定点数表达方式中，小数点位置固定，而计算机字长有限，所以定点数无法表达很大和很小的实数。
最终，计算机科学发展出了表达范围更大的表达方式——浮点数，浮点数也是对实数的一种近似表达。
1.浮点数表达方式我们知道任何一个R 进制数N 均可用下面的形式表示：N R =±S ×R ±e其中，S—尾数，代表N 的有效数字；R—基值，通常取2、8、16；e—阶码，代表N 的小数点的实际位置(相当于数学中的指数)。
比如一个十进制数的浮点表达1.2345×102，其中1.2345为尾数，10为基数，2为阶码。
一个二进制数的浮点表达0.001001×25，0.001001为尾数，2为基数，5为阶码；同时0.001001×25也可以表示成0.100100×23，0.100100为尾数，2为基数，3为阶码。
浮点数就是利用阶码e 的变化达到浮动小数点的效果，从而灵活地表达更大范围的实数。
2.浮点数的规格化一个数用浮点表示时，存在两个问题：一是如何尽可能多得保留有效数字；二是如何保证浮点表示的唯一。
对于数0.001001×25，可以表示成0.100100×23、0.00001001×27等等，所以对于同一个数，浮点有多种表示(也就是不能唯一表示)。
另外，如果规定尾数的位数为6位，则0.00001001×27会丢掉有效数字，变成0.000010×27。
因此在计算机中，浮点数通常采用规格化表示方法。
当浮点数的基数R 为2，即采用二进制数时，规格化尾数的定义为：1/2<=|S|<1。
若尾数采用原码(1位符号位+n 位数值)表示，[S]原=S f S 1S 2S 3…S n (S f 为符号位的数符)，则满足S 1=1的数称为规格化数。
即当尾数的最高有效位S 1=1，[S]原=S f 1S 2S 3…S n ,表示该浮点数为规格化数。
对0.001001×25进行规格化后，表示为0.100100×23。
3.浮点数的表示范围求浮点数的表示范围，实质是求浮点数所能表示的最小负数、最大负数、最小正数和最大正数。
图1浮点数的表示范围由图可见，0以及处于最大负数到最小负数之间(负数区)、最小正数到最大正数之间(正数区)的数为浮点数所能正确表达的数；处于最大负数和最小正数之间(下溢区)的浮点数，由于其绝对值小于机器可表示的数值，在计算机中通常作为0来处理，称为机器0；大于最大正数或小于最小负数(上溢区)的浮点数由于其绝对值大于机器所能表示的数值，因此计算机将进行溢出处理。
4.IEEE754浮点数标准由于不同机器所选用的基数、尾数位和阶码位长度不同，因此对浮点数的表示有很大的差别，这不利于软件在不同计算机之间的移植。
为此，美国IEEE提出了一个从系统结构角度支持浮点数的表示方法，称为IEEE754标准，当今流行的计算机几乎都采用了这一标准。
在IEEE754标准中，每个浮点数均由三部分组成：符号位S、指数部分E 和尾数部分M。
如下图所示。
图2IEEE754标准IEEE754浮点数据编码标准中，32位单精度浮点数表示格式如下图所示。
图3IEEE75标准中32位单精度浮点数表示格式各部分规定如下。
S：数符，0表示正，1表示负。
E：指数，即阶码部分。
其中包括1位阶符+7位数值。
采用移127码，移码值为127。
M：尾数共23位，用规格化表示。
由于尾数采用规格化表示，所以IEEE754标准约定在小数点左边有一位隐含位1，从而使尾数的实际有效位为24位，即尾数的有效值为1.M。
根据上述规定可知，32位的单精度浮点数所表示的数值N为：N=−1S×1.M×2E−127IEEE754标准32位单精度浮点数N的解释如下：若E=0，且M=0，则N为0。
若E=0，且M!=0，则N=(-1)S×2-126×(0.M)，为非规格化数。
若1<=E<=254，则N=(-1)S×2E-127×(1.M)，为规格化数。
若E=255，且M!=0，则N=NaN(非数值)。
若E=255，且M=0，则N=(-1)S×∞(无穷大)。
IEEE754标准使0有了精确表示，同时也明确地表示了无穷大。
当a/0(a!=0)时得到的结果为+/-∞；当0/0时得到的结果为NaN。
对于绝对值较小的数，为了避免下溢而损失精度，允许采用比最小规格化数还要小的非规格化数来表示。
应该注意的是，非规格化数和正、负0的尾数M的前隐含位的值是0，不是1。
5.浮点数的精度问题单精度浮点数以有限的32bit长度来反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近似值。
我们知道单精度浮点数的尾数是24位(包括其中的一位隐藏位)存储的。
lg224=7.22由上计算，单精浮点数可以保证7位十进制有效数字。
6.浮点加减运算设有两个浮点数x和y，它们的规格化表示分别为：x=M x×2Exy=M y×2Ey其中E x和E y分别为x和y的阶码，M x、M y分别为x和y的尾数，则浮点数的加减运算可表示为：x±y=2Ex×M x±2Ey×M y=M x×2Ex−Ey±M y×2Ey Ex≤EyM x±M y×2Ey−Ex×2Ex(Ex＞Ey)之所以要这样分类，是因为要遵循“小阶向大阶靠拢”的对阶原则，下面会有详细的解释。
根据公式，可总结出浮点数运算的几个步骤：1）0操作数检查浮点数的运算过程比较复杂，如果能判断出两个操作数中有一个为0，那么运算结果马上可知，而不必进行后续的一系列操作，以节省运算时间。
2）对阶两个浮点数相加减，首先要看它们的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。
如果阶码相同，则表示小数点位置是对齐的，尾数就可以直接进行加减运算；反之若两数阶码不同，则表示小数点位置没有对齐，不能直接进行加减运算。
此时，必须通过“对阶”过程使两数的阶码相同，也就是使两数的小数点位置对齐。
要对阶就要改变两数中一个数的阶码，表面上看来改变哪一个都可以。
由于随着阶码的改变，尾数也要做相应的移动才能使浮点数据的值保持不变，所以如果阶码变大，尾数要右移；阶码变小，尾数要左移。
尾数的左右移都会造成有效数据的移出与丢失，但是右移丢失的是最低有效位，而左移丢失的却是最高有效位。
显然，右移更能减小数据误差。
所以，对阶必须遵循“小阶向大阶靠拢”的原则。
两数中阶码较小的那个数的阶码要变大，变成和另一个数的阶码一样，而这个数的尾数要作相应的右移，右移多少取决于阶码变大多少。
阶码每增加1，尾数要相应右移1位，相当于小数点左移1位。
对阶时，一般首先求出两数阶码之差，即△E=Ex–Ey如果△E=0，说明两数阶码相等，无需对阶；如果△E>0，表示Ex>Ey，Ey 要向Ex靠拢，其尾数M y要做相应右移；如果△E<0，表示Ex<Ey，Ex要向Ey 靠拢，其尾数M x要做相应右移。
3）尾数相加对阶完成后，表示两数的小数点已经对齐，可以直接进行尾数的加减运算。
无论加法运算还是减法运算，都与定点数补码运算一样，按加法进行操作。
要注意的是，相加过程中没有溢出，也就是对于定点数来说是溢出的结果，对于浮点数尾数相加来说是很正常的事情，所以我们常用双符号位表示尾数。
4）结果规格化尾数相加完成之后，还需要进行规格化的判定，如果不满足规格化要求，则要对结果作规格化处理。
尾数的规格化处理有两种情况：如果尾数相加结果的两个符号位数据不相等，表明运算结果的尾数的绝对值大于1，因此要“向右规格化”。
由于尾数相加的绝对值不可能超过2，因此向右规格化肯定是尾数右移1位，阶码加1。
如果尾数相加结果的符号位与数据最高位相等，表示数据没有规格化，尾数要“向左规格化”，即尾数左移n位，阶码相应减n。
5）舍入处理在对阶和向右规格化的过程中，尾数都要向右移位，这样尾数的低位部分可能会丢失，从而造成一定的误差。
为了减少误差，要进行舍入处理，常用的舍入方法有两种：(1)0舍1入“0舍1入”，就是指尾数右移时被丢掉的数据的最高位如果是0，那就舍去；如果是1，就在尾数的最低位加上“1”。
这种方法，实际上类似于我们平时所说的“四舍五入”。
这种方法的优点是每次舍入产生的误差小，误差控制在2-(n+1)范围内，而且也不会造成误差的累积；但缺点是要进行一次“加1”运算，特殊情况下还有可能造成再次“向右规格化”的现象。
(2)恒置1“恒置1”，就是指尾数右移时，只要发生低位数据的丢失，尾数的最低位就被设定为1。
这种方法每次舍入所产生的误差比“0舍1入”要大一点，误差控制在2-n 范围内，而且也不会造成误差的累积。
其关键特点是舍入处理时无需进行加法运算，所以速度快，也不会造成再次“向右规格化”的现象。
6）溢出处理尾数相加的溢出不是真正的溢出，可以借由向右规格化作出调整。
那么，浮点数的运算会不会产生溢出？什么时候才是真正的溢出呢？当浮点数在做向左或向右规格化的过程中，阶码也会做相应的调整，也就是说，阶码可能要加上1(向右规格化)或者减去n(向左规格化，n为尾数左移的位数)。
显然，这些时候都有可能产生阶码溢出现象。
如果阶码减去n发生阶码溢出，也就是发生阶码的下溢，表示运算结果的精度超出了该浮点数可以表示的范围，也就是运算结果趋近于0。
在这种情况下，机器一般认为运算结果就是0；如果阶码加上1发生阶码溢出，也就是发生阶码的上溢，表示数据超出了浮点数可表示的范围，一般认为是+∞或-∞(依赖于尾数的正负)。
这种情况才是真正的溢出，机器的溢出标志会被置“1”。
综上所述，浮点数运算真正的溢出，是指在尾数相加的时候发生尾数上溢，并在向右规格化的时候使阶码也发生上溢。
7.浮点乘除法运算设有两个浮点数x和y，它们的规格化表示分别为：x=M x×2Exy=M y×2Ey其中Ex和Ey分别为x和y的阶码，Mx、My分别为x和y的尾数。
则，两数相乘为：x×y=M x×2Ex×M y×2Ey=2Ex+Ey×M x×M y 也就是说，两个浮点数相乘的结果就是它们的阶码相加，尾数相乘。
同理，两数相除的结果为：x/y=M x×2Ex/M y×2Ey=2Ex−Ey×M x/M y也就是说，两个浮点数相除的结果就是它们的阶码相减，尾数相除。
这样，浮点数的乘除运算就可以转化成定点数的加、减、乘、除运算。