浮点数表示方法与运算

在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数，典型的比如定点数。在定点数表达方式中，小数点位置固定，而计算机字长有限，所以定点数无法表达很大和很小的实数。最终，计算机科学发展出了表达范围更大的表达方式——浮点数，浮点数也是对实数的一种近似表达。

1.浮点数表达方式

我们知道任何一个R 进制数N 均可用下面的形式表示：N R =±S ×R ±e

其中，S—尾数，代表N 的有效数字；

R—基值，通常取2、8、16；e—阶码，代表N 的小数点的实际位置(相当于数学中的指数)。

比如一个十进制数的浮点表达1.2345×102，其中1.2345为尾数，10为基数，2为阶码。一个二进制数的浮点表达0.001001×25，0.001001为尾数，2为基数，5为阶码；同时0.001001×25也可以表示成0.100100×23，0.100100为尾数，2为基数，3为阶码。浮点数就是利用阶码e 的变化达到浮动小数点的效果，从而灵活地表达更大范围的实数。

2.浮点数的规格化

一个数用浮点表示时，存在两个问题：一是如何尽可能多得保留有效数字；二是如何保证浮点表示的唯一。

对于数0.001001×25，可以表示成0.100100×23、0.00001001×27等等，所以对于同一个数，浮点有多种表示(也就是不能唯一表示)。另外，如果规定尾数的位数为6位，则0.00001001×27会丢掉有效数字，变成0.000010×27。因此在计算机中，浮点数通常采用规格化表示方法。

当浮点数的基数R 为2，即采用二进制数时，规格化尾数的定义为：1/2<=|S|<1。若尾数采用原码(1位符号位+n 位数值)表示，[S]原=S f S 1S 2S 3…S n (S f 为符号位的数符)，则满足S 1=1的数称为规格化数。即当尾数的最高有效位S 1=1，[S]原=S f 1S 2S 3…S n ,表示该浮点数为规格化数。对0.001001×25进行规格化后，表示为0.100100×23。

3.浮点数的表示范围

求浮点数的表示范围，实质是求浮点数所能表示的最小负数、最大负数、最小正数和最大正数。

图1浮点数的表示范围

由图可见，0以及处于最大负数到最小负数之间(负数区)、最小正数到最大正数之间(正数区)的数为浮点数所能正确表达的数；处于最大负数和最小正数之间(下溢区)的浮点数，由于其绝对值小于机器可表示的数值，在计算机中通常作为0来处理，称为机器0；大于最大正数或小于最小负数(上溢区)的浮点数由于其绝对值大于机器所能表示的数值，因此计算机将进行溢出处理。

4.IEEE754浮点数标准

由于不同机器所选用的基数、尾数位和阶码位长度不同，因此对浮点数的表示有很大的差别，这不利于软件在不同计算机之间的移植。为此，美国IEEE提出了一个从系统结构角度支持浮点数的表示方法，称为IEEE754标准，当今流行的计算机几乎都采用了这一标准。

在IEEE754标准中，每个浮点数均由三部分组成：符号位S、指数部分E 和尾数部分M。如下图所示。

图2IEEE754标准

IEEE754浮点数据编码标准中，32位单精度浮点数表示格式如下图所示。

图3IEEE75标准中32位单精度浮点数表示格式

各部分规定如下。

S：数符，0表示正，1表示负。

E：指数，即阶码部分。其中包括1位阶符+7位数值。采用移127码，移码值为127。

M：尾数共23位，用规格化表示。由于尾数采用规格化表示，所以IEEE754标准约定在小数点左边有一位隐含位1，从而使尾数的实际有效位为24位，即尾数的有效值为1.M。

根据上述规定可知，32位的单精度浮点数所表示的数值N为：

N=−1S×1.M×2E−127

IEEE754标准32位单精度浮点数N的解释如下：

若E=0，且M=0，则N为0。

若E=0，且M!=0，则N=(-1)S×2-126×(0.M)，为非规格化数。

若1<=E<=254，则N=(-1)S×2E-127×(1.M)，为规格化数。

若E=255，且M!=0，则N=NaN(非数值)。

若E=255，且M=0，则N=(-1)S×∞(无穷大)。

IEEE754标准使0有了精确表示，同时也明确地表示了无穷大。当a/0(a!=0)时得到的结果为+/-∞；当0/0时得到的结果为NaN。对于绝对值较小的数，为了避免下溢而损失精度，允许采用比最小规格化数还要小的非规格化数来表示。应该注意的是，非规格化数和正、负0的尾数M的前隐含位的值是0，不是1。

5.浮点数的精度问题

单精度浮点数以有限的32bit长度来反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近似值。

我们知道单精度浮点数的尾数是24位(包括其中的一位隐藏位)存储的。

lg224=7.22

由上计算，单精浮点数可以保证7位十进制有效数字。

6.浮点加减运算

设有两个浮点数x和y，它们的规格化表示分别为：

x=M x×2Ex

y=M y×2Ey

其中E x和E y分别为x和y的阶码，M x、M y分别为x和y的尾数，则浮点数的加减运算可表示为：

x±y=2Ex×M x±2Ey×M y=M x×2Ex−Ey±M y×2Ey Ex≤Ey

M x±M y×2Ey−Ex×2Ex(Ex＞Ey)之所以要这样分类，是因为要遵循“小阶向大阶靠拢”的对阶原则，下面会有详细的解释。根据公式，可总结出浮点数运算的几个步骤：

1）0操作数检查

浮点数的运算过程比较复杂，如果能判断出两个操作数中有一个为0，那么运算结果马上可知，而不必进行后续的一系列操作，以节省运算时间。

2）对阶

两个浮点数相加减，首先要看它们的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。如果阶码相同，则表示小数点位置是对齐的，尾数就可以直接进行加减运算；反之若两数阶码不同，则表示小数点位置没有对齐，不能直接进行加减运算。此时，必须通过“对阶”过程使两数的阶码相同，也就是使两数的小数点位置对齐。

要对阶就要改变两数中一个数的阶码，表面上看来改变哪一个都可以。由于随着阶码的改变，尾数也要做相应的移动才能使浮点数据的值保持不变，所以如果阶码变大，尾数要右移；阶码变小，尾数要左移。尾数的左右移都会造成有效数据的移出与丢失，但是右移丢失的是最低有效位，而左移丢失的却是最高有效位。显然，右移更能减小数据误差。所以，对阶必须遵循“小阶向大阶靠拢”的原则。两数中阶码较小的那个数的阶码要变大，变成和另一个数的阶码一样，而这个数的尾数要作相应的右移，右移多少取决于阶码变大多少。阶码每增加1，尾数要相应右移1位，相当于小数点左移1位。

对阶时，一般首先求出两数阶码之差，即

△E=Ex–Ey

如果△E=0，说明两数阶码相等，无需对阶；如果△E>0，表示Ex>Ey，Ey 要向Ex靠拢，其尾数M y要做相应右移；如果△E<0，表示Ex

3）尾数相加

对阶完成后，表示两数的小数点已经对齐，可以直接进行尾数的加减运算。无论加法运算还是减法运算，都与定点数补码运算一样，按加法进行操作。要注意的是，相加过程中没有溢出，也就是对于定点数来说是溢出的结果，对于浮点数尾数相加来说是很正常的事情，所以我们常用双符号位表示尾数。

4）结果规格化