等差数列经典例题

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江苏省盐城中学等差数列经典例题

江苏省盐城中学等差数列经典例题

一、等差数列选择题1.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .22.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .163.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .54.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为( ) A .89B .910C .1011D .11125.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29B .38C .40D .586.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .647.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .858.设n S 是等差数列{}n a (*n N ∈)的前n 项和,且141,16a S ==,则7a =( ) A .7B .10C .13D .169.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .1610.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸B .一丈八尺五寸C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸11.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .5513.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .1914.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2415.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46516.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2217.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1018.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .920.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60B .120C .160D .240二、多选题21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22.题目文件丢失!23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =24.等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( ) A .0d <B .10a <C .当5n =时n S 最小D .0n S >时n 的最小值为825.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S >D .110S >26.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤ D .当且仅当0nS <时,26n ≥28.定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .2020202320202S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列29.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列30.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得. 【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=,故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 2.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=,所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 3.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 4.C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选:C 5.A 【分析】根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A. 6.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 7.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C . 8.C 【分析】由题建立关系求出公差,即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,141,16a S ==,41464616S a d d ∴=+=+=,2d ∴=, 71613a a d ∴=+=.故选:C 9.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 10.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x+-=33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.D 【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =, 所以()1111161111552a a S a +===.故选:D. 13.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 14.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.15.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 16.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1n n a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d , 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B.关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 17.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ,则423634222a a d --===--, 所以5433322a a d =+=-=. 故选:A 20.B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B.二、多选题21.ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.22.无23.BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC 24.BD 【分析】由题意可知0d >,由已知条件753a a =可得出13a d =-,可判断出AB 选项的正误,求出n S 关于d 的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列,则0d >,A 选项错误;753a a =,则()11634a d a d +=+,可得130a d =-<,B 选项正确;()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当3n =或4时,n S 最小,C 选项错误; 令0n S >,可得270n n ->,解得0n <或7n >.n N *∈,所以,满足0n S >时n 的最小值为8,D 选项正确.故选:BD. 25.ABD 【分析】转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确; 所以6S 最大,故B 正确; 所以()113137131302a a S a+⨯==<,故C 错误; 所以()111116111102a a S a+⨯==>,故D 正确.故选:ABD. 26.AC令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222n n n na dS d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断. 27.AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =, 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=,又10a >,所以12130,0a a ><,所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()2502a a S a +==<,故D 错误,【点睛】关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.28.AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==,即112222n n n a a a n -+++=⋅,则2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n nn a a a H n-+++==,得112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()32n n n S +=,所以2020202320202S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,故D 错,故选:AC . 【点睛】本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 29.AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式,所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列, 因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误, 故选:AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题 30.AC 【分析】由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232n n n S n n --==-.故选:AC. 【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力.。

等差数列典型例题(含答案)

等差数列典型例题(含答案)

等差数列试题精选一、选择题:(每小题5分,计50分)1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=则432,3,1S a a ==( ) (A )12 (B )10 (C )8 (D )62.已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( )A .8B .7C .6D .54.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d=( ) A .7 B. 6 C. 3 D. 2 5.等差数列{}n a 中,已知31a 1=,4a a 52=+,33a n =,则n 为( ) (A )48 (B )49 (C )50 (D )516.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则( ) A .1 B .-1 C .2 D .21 8.已知等差数列{a n }满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )A .α1+α101>0B .α2+α100<0C .α3+α99=0D .α51=51 9.如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A )1a 8a >45a a (B )8a 1a <45a a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项 二、填空题:(每小题5分,计20分)11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足,则=+++1721a a a _____________.12.已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分)14.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a (Ⅰ)求通项n a ; (Ⅱ)若S n =242,求n.15.已知数列{}n a 是一个等差数列,且21a =,55a =-。

等差数列经典例题百度文库

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一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .642.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .1394.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .215.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .56.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .37.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .148.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列9.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24012.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .15113.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 14.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸15.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .42 16.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1617.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6419.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .920.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-,则13525a a a a ++++=( )A .350B .351C .674D .675二、多选题21.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>022.已知数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .323.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若81535a a = 且10a >,则下列关于数列的描述正确的是( ) A .2490a a += B .数列{}n S 中最大值的项是25S C .公差0d >D .数列{}na 也是等差数列24.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .a 8=34 B .S 8=54C .S 2020=a 2022-1D .a 1+a 3+a 5+…+a 2021=a 202225.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数C .2020201820223a a a =+D .123a a a +++…20202022a a +=26.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .67n S S S 与均为的最大值27.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D .数列{}n a 为递减数列28.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2229.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( )A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C .0n S <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项30.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8,故选:A. 3.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 4.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 5.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 6.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =,又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 7.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 8.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D.9.无10.B 【分析】设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断D . 【详解】设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ⨯+≥⨯+,所以2d ≤-,A 正确;所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=,B 错误;1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得101n d≤-+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d≥-, 所以10101n d d-≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =⨯+⨯-=,当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =⨯+⨯-=,C 正确. 又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得.11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B 13.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.故选:D . 【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 14.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 15.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.16.A 【分析】由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 17.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15, 故选:A 19.A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ,则423634222a a d --===--, 所以5433322a a d =+=-=. 故选:A 20.A【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时,21112112a S ==+⨯-=;当2n ≥时,()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式,2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此,()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=;故选:A. 【点睛】易错点睛:利用前n 项和n S 求通项n a ,一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.二、多选题21.AC 【分析】由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()5()02a a S a a +==+>,11111611()1102a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC 22.BD 【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD . 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题. 23.AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项. 【详解】依题意,等差数列{}n a 中81535a a =,即()()1137514a d a d +=+,1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项,24912490a a a d +=+=,所以A 选项正确. 对于C 选项,1492a d =-,10a >,所以0d <,所以C 选项错误. 对于B 选项,()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭,令0n a ≥得51510,22n n -≤≤,由于n 是正整数,所以25n ≤,所以数列{}n S 中最大值的项是25S ,所以B 选项正确. 对于D 选项,由上述分析可知,125n ≤≤时,0n a ≥,当26n ≥时,0n a <,且0d <.所以数列{}na 的前25项递减,第26项后面递增,不是等差数列,所以D 选项错误.故选:AB 【点睛】等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值,可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 24.BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,81+1+2+3+5+8+13+2154S ==,故B 正确; 对于C ,可得()112n n n a a a n +-=-≥, 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-,∴202020221S a =-,故C 正确; 对于D ,由()112n n n a a a n +-=-≥可得,()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,解题的关键是得出数列的递推关系,()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,能根据数列性质利用累加法求解. 25.AC 【分析】由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=,各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++, 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 26.ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥,判断6780,0,0a a a >=<,再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>,677670S S S S a =⇒-==,788780S S S S a >⇒-=<,所以数列{}n a 是递减数列,故0d <,AB 正确;()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确;由以上可知数列{}n a 是单调递减数列,因为6780,0,0a a a >=<可知,67n S S S 与均为的最大值,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值,重点考查等差数列的性质,属于基础题型. 27.ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=,从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.【详解】对选项A ,因为121nn n a a a +=+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确. 对选项B ,由A 知:112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212nn n S n +-==,故B 正确. 对选项C ,因为121n n a =-,所以121n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为121n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题. 28.AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 29.ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n nN ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d=-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n n N ,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确;由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 30.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=<所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.。

等差数列前n项和典型例题

等差数列前n项和典型例题
„„„„„„„„12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下:
【即时训练】在等差数列{an}中,a1=50,d=-0.6. (1)从第几项起以后各项均小于零? (2)求此数列前n项和的最大值. 【解题提示】(1)实质上是解一个不等式,但要注意 n为正整数;(2)转化为求二次函数的最大值的问题.
数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ 10 9 ·D=S100=10
2
D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22)=-120. ∴S110=-120+S100=-110. 练习:1、等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S8=132,Sm=690, Sm-8=270(m>8),则m为( ) 2、等差数列{ n}的前m项和为30,前2m项和为100,前3m项和为(210)
a
知识点:等差数列前n项和的性质的应用 (1)项数(下标)的“等和”性质: Sn= n(a1 a n) n(a m a n m 1)
2 2
(2)项的个数的“奇偶”性质: 等差数列{an}中,公差为d:
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);
S偶-S奇=nd;S偶∶S奇= an+1∶an;
故此数列的前110项之和为-110. 方法二:设Sn=An2+Bn 100A+10B=100 10000A+100B=10,解得A=-11/100,B=111/10,S110=-110
方法三:Sn=
n(a1 a n) n(a m a n m 1) . 2 2
方法四:数列S10,S20-S10,S30-S20,„,S100-S90,S110-S100成等差

等差数列经典例题 百度文库

等差数列经典例题 百度文库
22.无
23.无
24.BC
【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前 项和公式
【详解】
解:设等差数列 的公差为 ,
因为 , ,
所以 ,解得 ,
所以 ,

故选:BC
25.BD
【分析】
由题意可知 ,由已知条件 可得出 ,可判断出AB选项的正误,求出 关于 的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
15.D
【分析】
由 得到 ,再分n为奇数和偶数得到 , ,然后再联立递推逐项判断.
【详解】
因为 ,
所以 ,
所以 , ,
联立得: ,
所以 ,
故 ,
从而 ,
, ,
则 ,故 ,


故①②③正确.
故选:D
16.C
【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 , ,a, , ,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.
【详解】
解:设递减的等差数列 的公差为 ( ),
因为 ,所以 ,化简得 ,
所以 ,
对称轴为 ,
因为 , ,
所以当 或 时, 取最大值,
故选:A
13.A
【分析】
设等差数列 的公差为 ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出 和 的值,
,即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ,
则 ,即 解得: ,
所以 ,
【详解】
对于A,函数 上的点列{xn,yn},有yn= ,由于{xn}是等比数列,所以 为常数,
因此 = 这是一个与n有关的数,故{yn}不是等差数列;

6.2等差数列典型例题及详细解答

6.2等差数列典型例题及详细解答

精心整理1.等差数列的定义一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,往常用字母__d__表示.2.等差数列的通项公式假如等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是a n=a1+(n-1)d. 3.等差中项假如A=,那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推行:a n=a m+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+*5.等差数列的前n项和公式设等差数列{a n}的公差为d,其前n项和S n=或S nna1+d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系S n=n2+n.数列{a n}是等差数列?S n=An2+Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,则Sn存在最__小__值.【思虑辨析】判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(√)(3)等差数列{an}的单一性是由公差d决定的.(√)(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(×)(5)数列{an}知足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(此中p,q为常数),则数列{an}必定是等差数列.(√)1.(2015重·庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于()A.-1B.0C.1D.6答案B分析由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-精心整理4=0,选B.2.(2014福·建)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14答案C分析由题意知a1=2,由S3=3a1+×d=12,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,应选C.3.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于()A.58B.88C.143D.176答案B分析S11===88.4.设数列{a n}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2++a7等于()精心整理A.14B.21C.28D.35答案C分析∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,a1+a2++a7=7a4=28.5.(2014·京北)若等差数列{a n}知足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{a n}的前n项和最大.答案8分析{a n}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8因为数列>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.故当n=8时,其前n项和最大.题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n}中,若a1=-2,且对随意的n∈N*有2a n+1=1+2a n,则数列{a n}前10项的和为()精心整理A.2B.10C.D.(2)已知在等差数列{a n}中,a2=7,a4=15,则前10项和S10等于()A.100B.210C.380D.400答案(1)C(2)B分析(1)由2a n+1=1+2a n得a n+1-a n=,所以数列{a n}是首项为-2,公差为的等差数列,所以S10=10×(-2)+×=.(2)因为a2=7,a4=15,所以d=4,a1=3,故S10=10×3+×10×9×4=210.思想升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,而后由通项公式或前n项和公式转变成方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及精心整理前n项和公式,共波及五个量a1,a n,d,n,S n,知此中三个就能求此外两个,表现了方程的思想.(1)(2015课·标全国Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于()A.5B.7C.9D.11(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且知足-=1,则数列{a n}的公差是().1C.2D.3答案(1)A(2)C分析(1)∵{a n}为等差数列,∴a1+a5=2a3,a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,S5==5a3=5.应选A.(2)∵S n=,∴=,又-=1,得-=1,即a3-a2=2,∴数列{a n}的公差为2.精心整理题型二等差数列的判断与证明例2已知数列{a n}中,a1=,a n=2-(n≥2,n∈N*),数列{b n}知足b n=(n∈N*).(1)求证:数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明原因.(1)证明因为a n=2-(n≥2,n∈N*),b n=(n∈N*),所以b n+1-b n=-=-=-=1.又b1==-.所以数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n=n-,则a n=1+=1+.精心整理设f(x)=1+,则f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)上为减函数.所以当n=3时,a n获得最小值-1,当n=4时,a n 获得最大值3.引申研究例2中,若条件变成a1=,na n+1=(n+1)a n+n(n 1),研究数列{a n}的通项公式.解由已知可得=+1,即-=1,又a1=,∴是以=为首项,1为公差的等差数列,∴=+(n-1)·1=n-,∴a n=n2-n.思想升华等差数列的四个判断方法精心整理(1)定义法:证明对随意正整数n都有a n+1-a n等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对随意正整数n都有2a n+1=a n+a n+2后,可递推得出a n+2-a n+1=a n+1-a n=a na n-1=a n-1-a n-2==a2-a1,依据定义得出数列{a n}为等差数列.(3)通项公式法:得出a n=pn+q后,得a n+1-a n=p对随意正整数 n恒建立,依据定义判断数列{a n}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出S n =An2+Bn后,依据S n,a n的关系,得出a n,再使用定义法证明数列{a n}为等差数列.(1)若{a n}是公差为1的等差数列,则{a2n-1精心整理+2a2n}是()A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列(2)在数列{a n}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则该数列的通项为()A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=答案(1)C(2)A分析(1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2)(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2)2+2×2=6,∴{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.(2)由已知式=+可得-=-,知{}是首项为=1,公差为-=2-1=1的精心整理等差数列,所以=n,即a n=.精心整理题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广·东)在等差数列{a n}中,若a3+a4a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30=________.答案(1)10(2)60分析(1)因为{a n}是等差数列,所以a3+a7=a4+a6a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.(2)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,S30-30=10+2×10=30,∴S30=60.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列{a n}中,已知a1=20,前n项和为精心整理S n,且S10=S15,求当n取何值时,S n获得最大值,并求出它的最大值.解∵a1=20,S10=S15,10×20+d=15×20+d,d=-.方法一由a n=20+(n-1)×=-n+.得a13=0.即当n≤12时,a n>0,当n≥14时,a n<0.∴当n=12或13时,S n获得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+×=130.方法二S n=20n+·=-n2+n精心整理=-2+.∵n∈N*,∴当n=12或13时,S n有最大值,且最大值为S12=S13=130.方法三由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0,即a13=0.∴当n=12或13时,S n有最大值,且最大值为S12 S13=130.引申研究例4中,若条件“a1=20”改为a1=-20,其余条件不变,求当n取何值时,S n获得最小值,并求出最小值.解由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0,∴a13=0.又a1=-20,∴a12<0,a14>0,精心整理∴当n=12或13时,S n获得最小值,最小值S12=S13==-130.思想升华(1)等差数列的性质:①项的性质:在等差数列{a n}中,a m-a n=(m-n)d?d(m≠n),其几何意义是点(n,a n),(m,a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差.②和的性质:在等差数列{a n}中,S n为其前n项和,则a.S2n=n(a1+a2n)==n(a n+a n+1);b.S2n-1=(2n-1)a n.(2)求等差数列前n项和S n最值的两种方法:①函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式S n精心整理an2+bn,经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.②邻项变号法:a.当a1>0,d<0时,知足的项数m使得S n获得最大值S m;b.当a1<0,d>0时,知足的项数m使得S n获得最小值S m.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当S n取最大值时,n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)设数列{a n}是公差d<0的等差数列,S n为前n项和,若S6=5a1+10d,则S n取最大值时,n的值为()精心整理A.5B.6C.5或6D.11(3)已知等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和S n的最大值为________.答案(1)B (2)C(3)110分析(1)依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又数列{a n}是等差数列,所以在该数列中,前6项均为正数,自第7项起此后各项均为负数,于是当S n取最大值时,n=6,选B.(2)由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,所以a6=0,故当n=5或6时,S n最大,选C.(3)因为等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,代入乞降公式得,S n=na1+d=20n-×2精心整理=-n2+21n=-2+2,又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,S n获得最大值,最大值为110.6.等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列{a n}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前10项的和S10等于()A.45B.60C.75D.90(2)在等差数列{a n}中,S10=100,S100=10,则S110 ________.(3)等差数列{a n}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{a n}的前n项和S n的最大值为()A.S4B.S5C.S6D.S7思想点拨(1)求等差数列前n项和,能够经过求解基本量a1,d,代入前n项和公式计算,也能够利用精心整理等差数列的性质:a1+a n=a2+a n-1=;(2)求等差数列前 n项和的最值,能够将S n化为对于的二次函数,求二次函数的最值,也能够察看等差数列的符号变化趋向,找最后的非负项或非正项.分析(1)由题意得a3+a8=9,所以S10====45.(2)方法一设数列{a n}的公差为d,首项为a1,则解得所以S110=110a1+d=-110.方法二因为S100-S10==-90,所以a11+a100=-2,所以S110===-110.精心整理(3)因为所以所以S n的最大值为S5.答案(1)A (2)-110(3)B温馨提示(1)利用函数思想求等差数列前n项和S n的最值时,要注意到n∈N*;(2)利用等差数列的性质求S n,突出了整体思想,减少了运算量.[方法与技巧]1.在解相关等差数列的基本量问题时,可经过列关于a1,d的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义;此外还能够用等差中项法,通项公式法,前n项和公式法判断一个数列是否为等差数列.精心整理3.等差数列性质灵巧使用,能够大大减少运算量.4.在碰到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d;(3)a-d,a +d,a+3d等,可视详细状况而定.[失误与防备]1.当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,当公差d=0时,a n为常数.2.公差不为0的等差数列的前 n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.A组专项基础训练(时间:35分钟)1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6精心整理=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27答案B分析由{a n}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),获得S9-S6=2S6-3S3=45,应选B. 2.(2015·京北)设{a n}是等差数列,以下结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0答案C精心整理分析设等差数列{a n}的公差为d,若a1+a2>0,a2a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,因为d正负不确立,因此a2+a3符号不确立,应选项A错;若a1a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,因为d正负不确立,因此a1+a2符号不确立,应选项B错;若0<a1<a2,可知a1>0,d>0,a2>0,a3>0,所以a-a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,所以a2>,应选项C正确;若a1<0,则(a2-a1)·(a2-a3)=d·(-d)=-d2≤0,应选项D错.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6答案C精心整理分析∵数列{a n}为等差数列,且前n项和为S n,∴数列也为等差数列.∴+=,即+=0,解得m=5,经查验为原方程的解,应选 C.4.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于()A.0B.3C.8D.11答案B设{b n}的公差为d,∵分析∵∵-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2.∵b10∵∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6.精心整理b1+b2++b7=7b1+d7×(-6)+21×2=0.又b1+b2++b7=(a2-a1)+(a3-a2)++(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0,a8=3.应选B.5.已知数列{a n}知足a n+1=a n-,且a1=5,设{a n}的前n项和为S n,则使得S n获得最大值的序号n的值为()A.7B.8C.7或8D.8或9答案C分析由题意可知数列{a n}是首项为5,公差为-的等差数列,所以a n=5-(n-1)=,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所精心整理以S n获得最大值时,n=7或8,应选C.6.已知数列{a n}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10 ________.答案分析由已知得=+(10-1)×=1+3=4,故a10=.7.已知递加的等差数列{a n}知足a1=1,a3=a-4,则a n=________.答案2n-1分析设等差数列的公差为d,a3=a-4,∴1+2d=(1+d)2-4,解得d2=4,即d=±2.因为该数列为递加数列,故d=2.∴a n=1+(n-1)×2=2n-1.精心整理8.设数列{a n}的通项公式为a n=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|++|a15|=________.答案130分析由a=-∈N*知是以-为首项,n2n10(n)n8 {a}为公差的等差数列,又由a n=2n-10≥0得n≥5,∴n≤5时,a n≤0,当n>5时,a n>0,∴|a1|+|a2|++|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6++a15)20+110=130.9.若数列{a n}的前n项和为S n,且知足a n+2S n S n 1=0(n≥2),a1=.(1)求证:成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明当n≥2时,由an+2S nn-1=0,S得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以-=2,精心整理又==2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得=2n,∴S n=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-==-.当n=1时,a1=不合适上式.故a n=10.等差数列{a n}中,设S n为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,S n最大?解方法一由S3=S11得3a1+d=11a1+d,则d=-a1.进而S n=n2+n=-(n-7)2+a1,又a1>0,所以-<0.故当n=7时,S n最大.方法二因为S n=an2+bn是对于n的二次函数,由S3=S11,可知S n=an2+bn的图象对于n==7精心整理对称.由方法一可知a=-<0,故当n=7时,S n 最大.方法三由方法一可知,d=-a1.要使S n最大,则有即解得≤n≤,故当n=7时,S n最大.方法四由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,S n最大.B组专项能力提高(时间:20分钟)11.设S n为等差数列{a n}的前n项和,(n+1)S n<精心整理nS n+1(n∈N*).若<-1,则()A.S n的最大值是S8B.S n的最小值是S8C.S n的最大值是S7D.S n的最小值是S7答案D分析由条件得<,即<,所以a n<a n+1,所以等差数列{a n}为递加数列.又<-1,所以a8>0,a7<0,即数列{a n}前7项均小于0,第8项大于零,所以S n的最小值为S7,应选D.12.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-3,a k+1=,S k=-12,则正整数k=________.答案13分析S k+1=S k+a k+1=-12+=-,又S k+1=精心整理==-,解得k=13.13.设等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对随意自然数n都有=,则+的值为________.答案分析∵{a n},{b n}为等差数列,∴+=+==.∵====,∴=.14.已知数列{a n}是首项为a,公差为1的等差数列,b n=,若对随意的n∈N*,都有b n≥b8建立,则实数a的取值范围为________.精心整理答案(-8,-7)分析依题意得b n=1+,对随意的n∈N*,都有b n≥b8,即数列{b n}的最小项是第8项,于是有≥.又数列{a n}是公差为1的等差数列,所以有即由此解得-8<a<-7,即实数a的取值范围是(-8,-7).15.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且知足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项a n;(2)求S n的最小值;(3)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数 c.解(1)因为数列{a n}为等差数列,所以a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根,又公差d>0,所以a3<a4,精心整理所以a3=9,a4=13,所以所以所以通项a n=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,所以S n=na1+×d=2n2-n=22-.所以当n=1时,S n最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知S n=2n2-n,所以b n==,所以b1=,b2=,b3=.因为数列{b n}是等差数列,精心整理所以2b2=b1+b3,即×2=+,所以2c2+c=0,所以c=-或c=0(舍去),经考证c=-时,{b n}是等差数列,故c=-.。

高考数学-等差数列典型例题

高考数学-等差数列典型例题

高考数学-等差数列典型例题【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a 1=7,d =7,a n =98.代入a n =a 1+(n -1)d 中,有98=7+(n -1)·7解得n =14答 100以内有14个能被7整除的自然数.【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a ,b ,b 使这五个数成等差数列,求此数列.解 设这五个数组成的等差数列为{a n }由已知:a 1=-1,a 5=7∴7=-1+(5-1)d 解出d =2所求数列为:-1,1,3,5,7.【例3】 53122在等差数列-,-,-,-,…的相邻两项之间12插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.解 d =312 (5) d =d =34原数列的公差-=,所以新数列的公差′,期通项为--3212a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n【例4】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个? 解 设a n =3n ,b m =4m -3,n ,m ∈N令,则=-=为使为整数,令=,a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-433m得n =4k -1(k ∈N),得{a n },{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n =12n -3(n ∈N).则在[1000,2000]内{c n }的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3 ∴n =166-84+1=83 ∴共有83个数.【例5】 三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数. 解 设三个数分别为x -d ,x ,x +d .则-+++-+++(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83222⎧⎨⎩ 解得x =5,d =±2∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列,求证:b +c ,c +a ,a +b 也成等差数列. 证 ∵a 、b 、c 成等差数列∴2b=a +c∴(b +c)+(a +b)=a +2b +c=a +(a +c)+c=2(a +c)∴b +c 、c +a 、a +b 成等差数列.说明 如果a 、b 、c 成等差数列,常化成2b =a +c 的形式去运用;反之,如果求证a 、b 、c 成等差数列,常改证2b=a +c .本例的意图即在让读者体会这一点.【例7】 a b a b 若、、成等差数列,且≠,求证:、、、不111a b cc 可能是等差数列.分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.证 假设a 、b 、c 是等差数列,则2b=a +c又∵、、成等差数列,∴,即=+.111211a b c b a c=+2ac b(a c) ∴2ac =b(a +c)=2b 2,b 2=ac .又∵ a 、b 、c 不为0,∴ a 、b 、c 为等比数列,又∴ a 、b 、c 为等差数列,∴ a 、b 、c 为常数列,与a ≠b 矛盾,∴ 假设是错误的.∴ a 、b 、c 不可能成等差数列.【例8】 解答下列各题:(1)已知等差数列{a n },a n ≠0,公差d ≠0,求证:①对任意k ∈N ,关于x 的方程a k x 2+2a k+1x +a k+2=0有一公共根;②若方程的另一根为,求证数列是等差数列;在△中,已知三边、、成等差数列,求证:、、也成等差数列.x (2)ABC a b c k {}cot cot cot 11222+x A B C k分析与解答(1)a k x 2+2a k+1x +a k+2=0∵{a n }为等差数列,∴2a k+1=a k +a k+2∴a k x 2+(a k +a k+2)x +a k+2=0∴(a k x +a k+2)(x +1)=0,a k ≠0∴=-或=- x 1x k a a x a a a a a a d k kk k kk k k k ++++=-=-=-22211112 ∵{a n }为等差数列,d 为不等于零的常数∴方程有一公共根-,数列是等差数列1{}11+x k(2)由条件得 2b=a +c∴4RsinB =2RsinA +2RsinC ,2sinB =sinA +sinC∴∵++=π∴∴4sin B 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2A B C sin A +C 2=cos B 22sin B 2=cos A 2--C 分析至此,变形目标需明确,即要证2cot B 2=cot A 2cot C 2+ 由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin (cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A C A C A C A C A C B B B B 222222222212222222222+=+=+=+-+--=--=将条件代入 ∴、、成等差数列.cot A 2cot B 2cot C 2【例9】 若正数a 1,a 2,a 3,…a n+1成等差数列,求证:1111223111a a a a a a n a a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a d n n n n n n n n +=--=--++++ 证明 设该数列的公差为d ,则a 1-a 2=a 2-a 3=…=a n -a n+1=-d∴a 1-a n+1=-nd∴-左式…d =a =a 11---+--++--+++a n a a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311 =--=--=+=++++a a d a a a a nn a a n n n n 11111111右式 ∴ 原等式成立.【例10】 设x ≠y ,且两数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x ,b b y b 234,,,均为等差数列,求.b b a a 4321-- 分析解 d =y x51(1)=y x52(2)可采用=由a a m na ab b m n----------21433264 (2)(1)÷,得b b a a 432183--=。

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得代入已知条件,得到解得。

因此,前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式,得到化简得因此,前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$,其中 $a_1=1$,公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$,$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$,$k\in\mathbb{N}$,求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的:考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案:(1) $a_5=5d+1$,$a_{10}=10d+1$;(2) $k=13$,前$k$ 项和为 $819$。

解析:(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$,可得 $a_5=1+4d$,$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$,则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组:begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得:frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得:$k^2+kd-400=0$。

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【分析】
利用等差数列的求和公式,化简求解即可
【详解】
= = = = = .
故选C
5.B
【分析】
设公差为 ,利用等差数列的前 项和公式, ,得 ,由前 项和公式,得 ,同时可得 的最大值, , 或 时取得,结合递减数列判断D.
【详解】
设公差为 ,由已知 , ,得 ,所以 ,A正确;
所以 ,B错误;
,解得 , ,解得 ,
A.3斤B.6斤C.9斤D.12斤
4.等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则 的值为()
A. B. C. D.
5.已知等差数列 的前 项和为 ,且 , ,下列四个命题:①公差 的最大值为 ;② ;③记 的最大值为 ,则 的最大值为30;④ .其真命题的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.已知数列 为等差数列, , ,则 ()
A. B.
C. D.
15.记 为等差数列 的前 项和,若 , ,则 等于()
A.6B.7C.8D.10
16.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为()
A.3、8、13、18、23B.4、8、12、16、20
C.5、9、13、17、21D.6、10、14、18、22
17.已知数列{xn}满足x1=1,x2= ,且 (n≥2),则xn等于()
A.( )n-1B.( )nC. D.
18.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为()
A.132项B.133项C.134项D.135项
12.已知递减的等差数列 满足 ,则数列 的前n项和取最大值时n=()
A.4或5B.5或6C.4D.5
13.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则必定有()
A. ,且 B. ,且
C. ,且 D. ,且
14.已知数列 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前 项和为 .若 且 ,则下列判断正确的是()
A. B. C. D.
7.设 , ,数列 的前 项和 , ,则存在数列 和 使得()
A. ,其中 和 都为等比数列
B. ,其中 为等差数列, 为等比数列
C. ,其中 和 都为等比数列
D. ,其中 为等差数列, 为等比数列
8.已知等差数列 ,其前 项的和为 , ,则 ()
A.24B.36C.48D.64
A.
B. 且
C.
D.
22.在等差数列 中,公差 ,前 项和为 ,则()
A. B. , ,则
C.若 ,则 中的最大值是 D.若 ,则
23.若数列 满足 , ,则数列 中的项的值可能为()
A. B. C. D.
24.设等差数列 的前 项和为 .若 , ,则()
A. B.
C. D.
25.已知等差数列 的前n项和为 且 则( )
A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱
19.已知数列 中, , ,对 都有 , ,则 ()
A.20B.17C.18D.19
二、多选题
21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为 ,则 的通项公式为()
3.C
【分析】
根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求 .
【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为 ,粗的一端的重量为 ,可知 , ,
根据等差数列的性质可知 ,
中间三尺为 .
故选:C
【点睛】
本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型.
4.C
所以 ,当 时, ,
当 时,有最大值,此时 ,
A. B. C. D.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、等差数列选择题
1.A
【分析】
由题意可得 ,再由 可求出 的值
【详解】
解:根据题意, ,则 ,
故选:A.
2.C
【分析】
判断出 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得 .
【详解】
∵ ,∴ ,∴数列 为等差数列.
∵ ,∴ ,∴ .
故选:C
D.当数列 为等比数列时,
28.记 为等差数列 的前 项和.已知 , ,则()
A. B.
C. D.
29.无穷数列 的前 项和 ,其中 , , 为实数,则()
A. 可能为等差数列
B. 可能为等比数列
C. 中一定存在连续三项构成等差数列
D. 中一定存在连续三项构成等比数列
30.设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ,若 ,则下列各式的值为0的是()
一、等差数列选择题
1.若等差数列{an}满足a2=20,a5=8,则a1=()
A.24B.23C.17D.16
2.已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ,则 ()
A.7B.12C.14D.21
3.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为()
9.已知各项不为 的等差数列 满足 ,数列 是等比数列,且 ,则 ()
A.1B.8C.4D.2
10.已知数列 满足 且 ,则 时,使得不等式 恒成立的实数a的最大值是()
A.19B.20C.21D.22
11.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列 则该数列共有()
A. B.当且仅当n= 7时, 取得最大值
C. D.满足 的n的最大值为12
26. 是等差数列,公差为d,前项和为 ,若 , ,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
27.已知数列 的前 项和为 ,前 项积为 ,且 ,则()
A.当数列 为等差数列时,
B.当数列 为等差数列时,
C.当数列 为等比数列时,
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