等差数列经典例题
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所以 ，当 时， ，
当 时，有最大值，此时 ，
一、等差数列选择题
1．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（）
A．24B．23C．17D．16
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （）
A．7B．12C．14D．21
3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）
A． B． C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
由题意可得 ，再由 可求出 的值
【详解】
解：根据题意， ，则 ，
故选：A.
2．C
【分析】
判断出 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得 .
【详解】
∵ ，∴ ，∴数列 为等差数列.
∵ ，∴ ，∴ .
故选：C
D．当Байду номын сангаас列 为等比数列时，
28．记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则（）
A． B．
C． D．
29．无穷数列 的前 项和 ，其中 ， ， 为实数，则（）
A． 可能为等差数列
B． 可能为等比数列
C． 中一定存在连续三项构成等差数列
D． 中一定存在连续三项构成等比数列
30．设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列各式的值为0的是（）
【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可
【详解】
＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
故选C
5．B
【分析】
设公差为 ，利用等差数列的前 项和公式， ，得 ，由前 项和公式，得 ，同时可得 的最大值， ， 或 时取得，结合递减数列判断D．
【详解】
设公差为 ，由已知 ， ，得 ，所以 ，A正确；
所以 ，B错误；
，解得 ， ，解得 ，
A．
B． 且
C．
D．
22．在等差数列 中，公差 ，前 项和为 ，则（）
A． B． ， ，则
C．若 ，则 中的最大值是 D．若 ，则
23．若数列 满足 ， ，则数列 中的项的值可能为（）
A． B． C． D．
24．设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（）
A． B．
C． D．
25．已知等差数列 的前n项和为 且 则（ ）
A．( )n－1B．( )nC． D．
18．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）
9．已知各项不为 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，且 ，则 （)
A．1B．8C．4D．2
10．已知数列 满足 且 ，则 时，使得不等式 恒成立的实数a的最大值是（）
A．19B．20C．21D．22
11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 则该数列共有（）
A． B． C． D．
7．设 ， ，数列 的前 项和 ， ，则存在数列 和 使得（）
A． ，其中 和 都为等比数列
B． ，其中 为等差数列， 为等比数列
C． ，其中 和 都为等比数列
D． ，其中 为等差数列， 为等比数列
8．已知等差数列 ，其前 项的和为 ， ，则 （）
A．24B．36C．48D．64
A． B．当且仅当n= 7时， 取得最大值
C． D．满足 的n的最大值为12
26． 是等差数列，公差为d，前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
27．已知数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，则（）
A．当数列 为等差数列时，
B．当数列 为等差数列时，
C．当数列 为等比数列时，
A． 钱B． 钱C． 钱D． 钱
19．已知数列 中， ， ，对 都有 ，则 等于（）
A． B． C． D．
20．已知数列 的前项和 ， ，则 （）
A．20B．17C．18D．19
二、多选题
21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 ，则 的通项公式为（）
A．132项B．133项C．134项D．135项
12．已知递减的等差数列 满足 ，则数列 的前n项和取最大值时n=（）
A．4或5B．5或6C．4D．5
13．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则必定有（）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
14．已知数列 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前 项和为 .若 且 ，则下列判断正确的是（）
A．3斤B．6斤C．9斤D．12斤
4．等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，下列四个命题：①公差 的最大值为 ；② ；③记 的最大值为 ，则 的最大值为30；④ .其真命题的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．已知数列 为等差数列， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
15．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 等于（）
A．6B．7C．8D．10
16．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）
A．3、8、13、18、23B．4、8、12、16、20
C．5、9、13、17、21D．6、10、14、18、22
17．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝ ，且 (n≥2)，则xn等于（）
3．C
【分析】
根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求 .
【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为 ，粗的一端的重量为 ，可知 ， ，
根据等差数列的性质可知 ，
中间三尺为 .
故选：C
【点睛】
本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.
4．C
当 时，有最大值，此时 ，
一、等差数列选择题
1．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（）
A．24B．23C．17D．16
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （）
A．7B．12C．14D．21
3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）
A． B． C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
由题意可得 ，再由 可求出 的值
【详解】
解：根据题意， ，则 ，
故选：A.
2．C
【分析】
判断出 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得 .
【详解】
∵ ，∴ ，∴数列 为等差数列.
∵ ，∴ ，∴ .
故选：C
D．当Байду номын сангаас列 为等比数列时，
28．记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则（）
A． B．
C． D．
29．无穷数列 的前 项和 ，其中 ， ， 为实数，则（）
A． 可能为等差数列
B． 可能为等比数列
C． 中一定存在连续三项构成等差数列
D． 中一定存在连续三项构成等比数列
30．设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列各式的值为0的是（）
【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可
【详解】
＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
故选C
5．B
【分析】
设公差为 ，利用等差数列的前 项和公式， ，得 ，由前 项和公式，得 ，同时可得 的最大值， ， 或 时取得，结合递减数列判断D．
【详解】
设公差为 ，由已知 ， ，得 ，所以 ，A正确；
所以 ，B错误；
，解得 ， ，解得 ，
A．
B． 且
C．
D．
22．在等差数列 中，公差 ，前 项和为 ，则（）
A． B． ， ，则
C．若 ，则 中的最大值是 D．若 ，则
23．若数列 满足 ， ，则数列 中的项的值可能为（）
A． B． C． D．
24．设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（）
A． B．
C． D．
25．已知等差数列 的前n项和为 且 则（ ）
A．( )n－1B．( )nC． D．
18．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）
9．已知各项不为 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，且 ，则 （)
A．1B．8C．4D．2
10．已知数列 满足 且 ，则 时，使得不等式 恒成立的实数a的最大值是（）
A．19B．20C．21D．22
11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 则该数列共有（）
A． B． C． D．
7．设 ， ，数列 的前 项和 ， ，则存在数列 和 使得（）
A． ，其中 和 都为等比数列
B． ，其中 为等差数列， 为等比数列
C． ，其中 和 都为等比数列
D． ，其中 为等差数列， 为等比数列
8．已知等差数列 ，其前 项的和为 ， ，则 （）
A．24B．36C．48D．64
A． B．当且仅当n= 7时， 取得最大值
C． D．满足 的n的最大值为12
26． 是等差数列，公差为d，前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
27．已知数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，则（）
A．当数列 为等差数列时，
B．当数列 为等差数列时，
C．当数列 为等比数列时，
A． 钱B． 钱C． 钱D． 钱
19．已知数列 中， ， ，对 都有 ，则 等于（）
A． B． C． D．
20．已知数列 的前项和 ， ，则 （）
A．20B．17C．18D．19
二、多选题
21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 ，则 的通项公式为（）
A．132项B．133项C．134项D．135项
12．已知递减的等差数列 满足 ，则数列 的前n项和取最大值时n=（）
A．4或5B．5或6C．4D．5
13．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则必定有（）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
14．已知数列 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前 项和为 .若 且 ，则下列判断正确的是（）
A．3斤B．6斤C．9斤D．12斤
4．等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，下列四个命题：①公差 的最大值为 ；② ；③记 的最大值为 ，则 的最大值为30；④ .其真命题的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．已知数列 为等差数列， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
15．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 等于（）
A．6B．7C．8D．10
16．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）
A．3、8、13、18、23B．4、8、12、16、20
C．5、9、13、17、21D．6、10、14、18、22
17．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝ ，且 (n≥2)，则xn等于（）
3．C
【分析】
根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求 .
【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为 ，粗的一端的重量为 ，可知 ， ，
根据等差数列的性质可知 ，
中间三尺为 .
故选：C
【点睛】
本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.
4．C