GT1.1.1算法的概念用的
1.1.1算法的概念
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
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知 能 巩 固 提 升
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题 精 析
典 型 例 题 精 析
（A）第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步, 第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步, 泡面.第五步,吃饭.第六步, 泡面.第五步,吃饭.第六步,听广播 （B）第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡 第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,
能 巩 固 提 升
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题
选项共用了31 【解析】选C.因为A选项共用了36 min,B选项共用了31 min, 解析】 C.因为A选项共用了36 min,B选项共用了 因为 C选项共用了23 min,D选项的算法步骤不符合常理.故选C. 选项的算法步骤不符合常理. 选项共用了23 min,D选项的算法步骤不符合常理 故选C.
思路点拨：解答本题的关键是准确把握算法的基本特征, 思路点拨：解答本题的关键是准确把握算法的基本特征,然后 对每个表述逐一判断得出结论. 对每个表述逐一判断得出结论.
题 精 析
知 能 巩 固 提 升
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
知 能 巩 固 提 升 典 型 例 题 精 析
5.写出解方程3x+5=0的算法步骤: 5.写出解方程3x+5=0的算法步骤: 写出解方程3x+5=0的算法步骤
河北省石家庄市第一中学高中数学必修三《1.1.1 算法的概念》教案
教材章节：§1.1.1课题：算法的概念教学目标：1．学问与力量：（1）体会算法思想，感悟算法含义．（2）了解算法的主要特点：有限性、确定性、程序性、普适性．（3）能用自然语言写出简洁问题的算法．（4）培育同学严密的规律思维力量，建立数学与算法思想的联系，提升同学的数学素养和算法意识．2．过程与方法：本节课突出重点突破难点的关键是重在对案例的算法的分析，案例的选择也主要从算法的典型性、与已往学问的连续性和可接受性的角度动身，使同学能够通过案例的学习理解算法的本质．依据本课时内容特点，教学中接受：小组争辩，合作探究的方式，促进学问的“动态生成”．3．情态与价值：培育同学独立思考、合作沟通的意识；增加同学算法意识．重点：体会算法思想，感悟算法含义，把握算法的主要特点．难点：用自然语言写出算法过程．教学过程：一、本意引言算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．算法在科学技术、社会进展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的很多方面，算法思想也正在成为一般公民的常识，成为现代人应具备的一种基本数学素养．中国古代数学在世界数学史上一度居于领先地位．它留意实际问题的解决，以算法为中心，寓理于算，其中蕴涵了丰富的算法思想．计算机是20世纪最宏大的创造，它把人类社会带进了信息技术时代，而算法是计算机科学的重要基础，有算法计算机才能正常工作．要想了解计算机的工作原理，算法的学习是一个开头．二、导入新课同学们肯定都会使用计算机吧？会．会用计算机干什么？上网、玩玩耍、查资料、听音乐、看电影……这些只是计算机的使用．那么计算机是依据什么工作的？我们是怎样和计算机沟通的？依据计算机程序运行的．真正会用计算机是要会编写计算机程序来把握、指挥计算机工作．如设计玩耍软件．如何编写计算机程序？算法正是编程的初步和基础．从今日开头我们就来学习第一章算法初步．通过这一章的学习我们将学会用自然语言描述算法、画出程序框图、进一步编写出计算机程序．三、算法的概念实际问题：一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请你分步写出一个渡河方案．第一步，两个小孩同船过河去；其次步，一个小孩划船回来；第三步，一个大人划船过河去；第四步，对岸的小孩划船回来；第五步，两个小孩同船渡过河去．1．算法概念的探究一：探究1：解下面的二元一次方程组2121x yx y-=-⎧⎨+=⎩需要什么样的步骤？解：第一步，①+②×2，得51x=③；其次步，解③得15x=；第三步，②-①×2，得53y=④；第四步，解④，得35y=．第五步，得到方程组的解为1535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩同学也可能使用加减消元法、代入消元法，也有可能先用加减消元法后用代入消元法．不管使用那一种方法，只需强调依据肯定规章解决问题的这些步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”．思考：写出解一般的二元一次方程组()1111221222(1)(2)a xb y ca b a ba xb y c+=⎧-≠⎨+=⎩的具体步骤．这五个步骤就构成了解一般的二元一次方程组的一个“算法”．我们再依据这一算法编制计算机程序，就可以让计算机来解全部满足条件1221a b a b-≠的二元一次方程组（只需转变其中的111222,,,,,a b c a b c值）了．这样的算法就具有了肯定得普遍适用性，不是为解决一个问题而设计算法，而是为了解决一类问题，这才是算法的真正价值．小结：在数学中，依据肯定规章解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法．现代意义上的算法是可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤．老师：你能举一个用算法解决问题的例子吗？对于好的例子可以作为后续学习、争辩的课题．老师：其实算法并不奇特，就在我们的身边，生活中处处体现算法的思想，算法使我们的生活更高效、更有条理．2．算法概念的探究二：探究2：设计一个算法，推断7是否为质数． 第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7； 其次步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7； 第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7； 第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7； 第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7； 因此，7是质数．变式一：设计一个算法，推断1997是否为质数．分析：用2～1996逐一去除1997求余数，需要1995个步骤，这些步骤基本是重复操作，我们可以按下面的思路优化这个算法，削减算法的步骤．（1）用i 表示2～1996中的任意一个整数，并从2开头取数；（2）用i 除1997，得到余数r ．若r=0，则1997不是质数；若r≠0，将i 的值增加1，再执行同样的操作；（3）这个操作始终进行到i 取1996为止．老师可以在同学相互补充的基础上做点睛的指导优化算法，着重解决如下难点： （1）重复的操作应当怎样处理？ （2）给一个什么样的条件结束算法？变式二：推断一个大于2的整数n 是否为质数的算法步骤如何设计？ 第一步，给定一个n ；其次步，令i=2． 大于2的整数n ． 第三步，用i 除n ，得到余数r ．第四步，推断“0r =”是否成立．若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 增加1，仍用i 表示； 第五步，推断“(1)i n >-”是否成立．若是，则n 是质数，结束算法；否则返回第三步．老师：对于反复操作的问题只需给一个循环操作的条件，不管多么简单都可以交给计算机去完成，这样的一类问题都得到了解决，意义是不行估量的如：数列求和问题、筛选问题、排序问题等等．算法的普适性，数学的强大工具性得到了完善体现．小结：算法最重要的特征是什么？普适性：能解决一类问题，具有普遍适用的特点．明确性：算法中的每一个步骤必需是有明确的定义的，不允许有模棱两可的解析，也不允许有多义性．有限性：算法必需能在有限步完成．程序性：算法是有肯定规律次序的步骤序列，编制成计算机程序后是可以执行的． 3．应用举例例1．（见教材P3 例1（2））例2．（见教材P4 例2）写出用“二分法”求方程220x -=(0)x >的近似解的算法． 解：详见教材例3．写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
【高中数学必修三】1.1.1 算法的概念
b2c1 b1c2 第二步：解(3)得：x a1b2 a2b1
(2) a1 (1) a2 : (a1b2 a2b1 ) y a1c2 a2c1 (4) 第三步：
a1c2 a2c1 第四步： 解(4)得：y a1b2 a2b1
b2 c1 b1c2 x a1b2 a 2 b1 a c a 2 c1 y 1 2 a1b2 a 2 b1
第三步：取区间中点 m
含零点的区间为 [m, b]. 将新得到的含零点的区间仍记为 [a, b]. 第五步：判断 [a, b] 的长度是否小于d或f(m)是否等于0． 若是，则m是方程的近似值；否则，返回第三步．
【例2】 x 2 2 0( x 0) 写出用“二分法”求方程 法． 取d=0.005，可以得到以下表格：
【例1】(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
(2)设计一个算法，判断35是否为质数．
第一步：用2除35，得余数为1，所以2不能整除35． 第二步：用3除35，得余数为2，所以3不能整除35． 第三步：用4除35，得余数为3，所以4不能整除35． 第四步：用5除35，得余数为0，所以5能整除35． 因此，35不是质数．
简单地说，算法就是解决 问题的程序或步骤。
问题创设
小品“钟点工”片段
问： 要把大象装冰箱，分几步？
答：分三步：
第一步：打开冰箱门 第二步：把大象装冰箱 第三步：关上冰箱门
算法：就是解决一个问题的程序与步骤．
问题创设
x 2 y 1 ① 解二元一次方程组 ， 2 x y 1 ② 并写出具体求解步骤
算法分析：按照逐一相加的程序进行. 算法1 第一步:计算1+2,得3;
1.1.1 算法的概念
§1.1.1 算法的概念【学习目标】：（1） 了解算法的含义，体会算法的思想. （2） 能够用自然语言叙述算法.（3） 掌握正确的算法应满足的要求. （4） 会写出解线性方程（组）的算法.（5） 会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法.【学习重点】算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计.. 【学习难点】把自然语言转化为算法语言.. 【学法与学习用具】：学法：1.写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用.2.要使算法尽量简单、步骤尽量少.3.要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的. 学习用具:计算机，TI-voyage200图形计算器【课堂过程】一、本章章头图说明章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”. 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念.但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法.如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现.广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序.菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法.在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序.古代的计算工具：算筹与算盘.20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具. 例1 解二元一次方程组： ⎩⎨⎧=+-=-②y x ①y x 1212分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.解：第一步：② - ①×2，得5y=3； ③第二步：解③得 53=y ；第三步：将53=y 代入①，得 51=x .探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法.下面写出求方程组的解的算法.例2 写出求方程组()01221222111≠-⎩⎨⎧=+=+b a b a ②c y b x a ①c y b x a 的解的算法.解：第一步，②×a 1 - ①×a 2，得()12211221c a c a y b a b a -=-. ③ 第二步，解③得 12211221b a b a c a c a y --=；第三步，将12211221b a b a c a c a y --=代入①，得111c b y x a -=.利用TI-voyage200图形计算器演示：运行结果：算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.说明：1.“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明.2. 算法的特点: (1)有限性：（其中输入a1=1,b1=-2,m1=-1,a2=2 b2=1,m2=1，当然可输入其它数值)一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.例题讲评：例3 任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判断. 分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.（2）要判断一个大于1的整数n 是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n ，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.解：算法：第一步，判断n 是否等于2.若n=2，则n 是质数；若n ＞2，则执行第二步.第二步，依次从2~（n-1）检验是不是n 的因数，即整除n 的数.若有这样的数，则n 不是质数；若没有这样的数，则n 是质数.说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求： （1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用. （2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.（3）要保证算法正确，且计算机能够执行. 利用TI-voyage200图形计算器演示：例4 用二分法设计一个求方程022=-x 的近似根的算法. 分析：该算法实质是求2的近似值的一个最基本的方法. 解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法： 第一步，令()22-=x x f .因为()()02,01><f f ，所以设x 1=1，x 2=2. 第二步，令221x x m +=，判断f （m ）是否为0.若是，则m 为所求；若否，则继续判断运行()()m f x f ⋅1大于0还是小于0.第三步，若()()01>⋅m f x f ，则x 1=m ；否则，令x 2=m.第四步，判断005.021<-x x 是否成立？若是，则x 1、x 2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.说明：按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图 1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都满足假设条件的原方程是近似根.利用TI-voyage200图形计算器演示：运行结果：练习1：写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法. 解：算法1：第一步，移项，得x 2－2x －3＝0； ① 第二步，①式两边同加1并配方，得（x －1）2＝4； ② 第三步，②式两边开方，得x －1＝±2； ③ 第四步，解③得x ＝3或x ＝－1. 算法2：第一步，计算方程的判别式判断其符号△＝22＋4×3＝16＞0； 第二步，将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac2，得x 1＝3，x 2＝－1评析：比较两种算法，算法2更简单，步骤少，所以利用公式解决问题是最理想、合算的算法.因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式.下面设计一个求一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的算法如下： 第一步，计算△＝b 2＋4ac ； 第二步，若△＜0； 第三步，输出方程无实根； 第四步，若△≥0；第五步，计算并输出方程根x 1,2＝－b ±b 2－4ac2.练习2 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法. 第一步，先求1×3，得到结果3；第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15； 第三步，再将15乘以7，得到结果105； 第四步，再将105乘以9，得到945；第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果.评析：求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果.练习3有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换.解：算法步骤如下：第一步，取一只空的墨水瓶，设其为白色； 第二步，将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中； 第三步，将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中； 第四步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中； 第五步，交换结束.评析：对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法.小结1. 算法概念和算法的基本思想（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别； （2）算法的五个特征.2. 利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法3. 两类算法问题（1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断性的问题，累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可.（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述.4. 利用TI-voyage200图形计算器演示时，开始学生看，想，探究，然后模范、创新.图形计算器为学生创建一个自我发挥的平台.作业：（课本第5页练习）1. 任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.解：算法步骤：第一步，输入任意一个正实数r；第二步，计算以r为半径的圆的面积：2r=π；S⋅第三步，输出圆的面积S.2. 任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所有因数.解：算法步骤：第一步，依次以2～（n-1）为除数去除n，检查余数是否为0.若是，则是n的因数；若不是，则不是n的因数；第二步，在n的因数中加入1和n；第三步，输出n的所有因数.利用TI-voyage200图形计算器演示：运行结果：（即32的公因数为1，2，4，8，16，32）。
1.1.1《算法的概念》课件
例6. 利用二分法求函数y=f(x) (x在定义区 间D) 上的一个变号零点x0的近似值x，使 它与零点的误差不超过正数ε ，即使|x－ x0|<ε ，写出它的一个算法. S1 在D内取一个闭区间[a，b]，使f(a)与 f(b)异号，即f(a)f(b)<0； S2 令x0=
ab 2
，计算f(x0)；
S4 ⑥代入⑤.得
a 2 2 b1 a 1 2 b 2 x 1 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 x a 1 1 b 2 a 2 1 b1 2 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 ⑦
⑧
S5 输出结果x1，x2， S6 若a11b2－a21b1≠0. 则执行下一步；否
数的最大公因数的算法等。因此，
算法其实是重要的数学对象。
一、算法的概念
算法(algorithm)一词源于算术(algorism), 即算术方法，是指一个由已知推求未知的 运算过程。后来，人们把它推广到一般，
把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步 骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣 机的使用说明书是操作洗衣机的算法， 歌谱是一首歌曲的算法。 在数学中，主要研究计算机能实现的 算法，即按照某种机械程序步骤一定可 以得到结果的解决问题的程序。比如解 方程的算法、函数求值的算法、作图的 算法，等等。
S3 如果c>max, 则max=c.
S4 max就是a, b, c中的最大值。
例3 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。 解：算法1： S1 计算1+2得到3； S2 将第一步中的运算结果3与3相加得到6 S3 将第二步中的运算结果6与4相加得到10
高一数学人教A版必修3课件：1.1.1 算法的概念 三
以视为“算法”.
典 例 剖 析 题型一 算法的概念
例1:下列描述不能看作算法的是(
A.洗衣机的使用说明书 B.解方程x2+2x-1=0
)
C.做米饭需要刷锅､淘米､添水､加热这些步骤 D.利用公式s=πr2计算半径为3的圆的面积,就是计算
π×32
答案:B
解析:A,C,D都描述了解决问题的过程,可以看作算法,而B只描述
5.下列语句表达中是算法的有(
)
①从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐飞机抵达;
1 ②利用公式 S ah 计算底为1､高为2的三角形的面积; 2 1
③
2 x 2 x 4;
④求M(1,2)与N(-3,-5)两点连线的方程,可先求MN的斜率,再利用 点斜式方程求得.
A.1个
B.2个
C.3个
题型二 含有重要步骤的算法
n( n 1) 例2:写出求1+2+3+4+5+6的一个算法. 2
分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1+2+„+n 进行,也可以根据加法运算律简化运算过程.
解:算法1:第一步,计算1+2得到3.
第二步,将第一步中的运算结果3与3相加得到6.
第三步,将第二步中的运算结果6与4相加得到10. 第四步,将第三步中的运算结果10与5相加得到15. 第五步,将第四步中的运算结果15与6相加得到21. 第六步,输出运算结果.
这一问题. 解:算法步骤如下: 第一步,取一只空的墨水瓶,设其为白色. 第二步,将黑墨水瓶中的红墨水装入白瓶中. 第三步,将红墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中. 第四步,将白瓶中的红墨水装入红瓶中. 第五步,交换结束.
人教版高中数学必修三第一章第1节 1.1.1 算法的概念 课件(共65张PPT)
1.写出求方程 x 2 + bx + c = 0 的解的 一个算法 ，并画出算法流程图。
开始
计算△＝b2 – 4 c
N
△≥0？
Y
输出无解
输出 x b
2a
结束
四、练习
2.任意给定3个正实数,设计一个算法,判断以这3个数为三 边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图.
算法步骤如下：
第一步:输入3个正实数 a,b,c;
计算机的问世可谓是20 世纪最伟大的科学 技术发明。它把人类社会带进了信息技术时代。 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要 求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
现算法代的研科究和学应用研正是究本课的程的三主题大！支柱
算法（2） 第一步，用2除35，得到余数1。因为余数 不为0，所以2不能整除35。
第二步，用3除35，得到余数2。因为余数 不为0，所以3不能整除35。
第三步，用4除35，得到余数3。因为余数 不为0，所以4不能整除35。
第四步，用5除35，得到余数0。因为余数 为0，所以5能整除35。因此，35不是质数
语句A
左图中,语句Ａ和语句Ｂ是依次执 行的,只有在执行完语句Ａ指定的
操作后,才能接着执行语句Ｂ所指
语句B
定的操作．
四、练习 2.设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图。
2. 算法：
框图：
第一步：输入x的值；
第二步：若x≥0，则输出x； 若否，则输出-x；
开始 输入x
x≥0?
是
输出x
数学：1.1.1《算法的概念(约2课时)》课件(新人教B版必修3)
S3：输出x 或无实数解的信息. S3：输出x1, x2或无实数解的信息.
2011-3-22
四、应用举例
x − 2 y = −1 3.解二元一次方程组 例3.解二元一次方程组 2 x + y = 1
分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想， 分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代 入消元和加减消元两种消元的方法， 入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写 出它的求解过程 解：S1：② - ①×2，得： 5y=3； ①×2 5y=3； S1： S2： S2：解③得 ③
2011-3-22
S2:农夫独自回来; S2:农夫独自回来; 农夫独自回来 S4:农夫带羊回来; S4:农夫带羊回来; 农夫带羊回来 S6:农夫独自回来; S6:农夫独自回来; 农夫独自回来
三、概念形成
概念1.算法（algorithm） 概念1.算法（algorithm） 1.算法 算法通常指可以用来解决的某一类问题的步 骤或程序， 骤或程序，这些步骤或程序必须是明确的和有效 而且能够在有限步之内完成的。 的，而且能够在有限步之内完成的。 一般来说，“用算法解决问题” 可以利用计 一般来说， 用算法解决问题” 算机帮助完成。 算机帮助完成。
3 1 S3： 代入① S3：将 y = 代入①，得 x = 5 5
S4：结论： S4：结论：
2011-3-22
3 y= 5
1 x= 5 y = 3 5
本题的算法是由加减消元法求解 的，这个算法也适合一般的二元 一次方程组的解法。 一次方程组的解法。
四、应用举例
加减消元法解二元一次方程组的算法(利用计算机) 加减消元法解二元一次方程组的算法(利用计算机)
2020-2021学年高中数学必修3人教A版课件：1.1.1 算法的概念
其中正确的顺序是( )
A．①②③
B．②③①
(2)设计算法时注意的问题 ①算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成 一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解． ②一个具体问题的算法不唯一，如解二元一次方程组的算法就有消元法、代 入法两种．由于传统数学问题解法的不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯 一． ③不同的算法有简繁、优劣之分，但每一种都会使问题有一个最终的结果．对 于一个具体的问题，我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算 法，即最优算法．
4．已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求直线 AB 的斜率的一个算法如下： (1)输入 x1、y1、x2、y2 的值． (2)计算 Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1. (3)若 Δx＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx≠0)，k＝__①__.
(4)输出斜率 k.
则①处应填________． 解析： 由斜率的计算公式应填ΔΔyx.
[自主练习] 1．下列叙述不能称为算法的是( ) A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海 B．解方程 4x＋1＝0 的过程是先移项再把 x 的系数化成 1 C．利用公式 S＝πr2 计算半径为 2 的圆的面积得 π×22 D．解方程 x2－2x＋1＝0
解析：
A× A，B 两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法
题型二 算法的设计 写出解方程 x2－2x－3＝0 的一个算法． [思路探究] 解一元二次方程的方法很多，此处，我们用因式分解法、配方 法、公式法写出算法． , 解析： 法一：算法如下． (1)将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.① (2)由①得 x－3＝0，②或 x＋1＝0.③ (3)解②得 x＝3，解③得 x＝－1.
高一数学人教A版必修3课件：1.1.1 算法的概念 一
必须是明确和有效的，而且能够在有限步内
完成．
例1 下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋ 1＝4，„，99＋1＝100； ③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广 州市观看亚运会开幕式；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，„.
把较大数放在前面，依次类推，由大到小排列
这三个数．
变式训练2
写出能找出a、b、c三个数中最小
值的一个算法．
解：第一步：输入a、b、c，并且假定min＝a;
第二步：若b<min成立，则用b的值替换min；
否则直接执行下一步；
第三步：若c<min成立，则用c的值替换min， 否则直接执行下一步； 第四步：输出min的值，结束．
【解析】
第一步，若a<b，交换a，b的值后,
则是大数在前，小数在后．
第二步，比较a与c，若a<c，则c在a的前面．
第三步，则c在b的前面．
这样得出的结论是由大到小的顺序．
【答案】
B
【思维总结】
这是一个比较大小的算法，必
须先任意取出两个数进行比较，并把两者中的
较大数找出，然后再将它与第三个数比较，并
第二步，令i＝1，S＝1.
第三步，判断“i≤n”是否成立，若不是，输出
S，结束算法；若是，执行下一步．
第四步，令S的值乘i，仍用S表示，令i的值增加 1，仍用i表示，返回第三步．
【思维总结】
法一称为累乘法，将步骤一
直写下去，便得到任意有限个数相乘的算法. 法二具有代表性，重复做同一种动作时，可 以用这种算法来解决，能节约大量的程序步 骤．同时它还体现了算法的本质：对一类问 题的机械的、统一的求解方法，其中S称为累 乘变量，i称为计数变量．
人教版高中数学必修三课件：1.1.1 算法的概念
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
解:方法一,算法如下: 第一步,将等号左边因式分解,得(x-3)(x+1)=0①; 第二步,由①式得x-3=0或x+1=0; 第三步,解x-3=0得x=3,解x+1=0得x=-1,即x=3或x=-1.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 解:方法二,算法如下: 第一步,移项,得x2-2x=3①; 第二步,①式等号两边同时加1并配方,得(x-1)2=4②; 第三步,②式等号两边同时开方,得x-1=±2③; 第四步,解③式得x=3或x=-1.
预习探究
(4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,也可以有不同 的算法,这些算法有繁简、优劣之分. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以通过设计合理的算法去解决.
预习探究
知识点三
算法的设计要求
设计算法的要求主要有以下几点: (1)写出的算法必须能解决一类问题,并且能够重复使用; (2)要使算法尽量简单、步骤尽量少; (3)要保证算法的各个步骤有效,计算机能够执行,且在有限步骤后能得到结果.
备课素材
累加、累乘问题的算法 解决一个问题的算法一般不是唯一的,不同的算法有优劣之别,保证得到正 确的结果是对每个算法的最基本的要求.另外,还要求算法的每个步骤都要 易于实现、易于理解,效率要高,通用性要好等.
备课素材
备课素材
[例2] 求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法.
解:算法如下:
备课素材
[小结]
知识 1.算法的概念; 2.算法的特性; 3.算法的设计
方法
易错
1.根据具体的问题进行判断,是 给出问题,在书写步骤时,不能
第1章 1.1.1 算法的概念 教师配套用书课件(共30张ppt)
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.1
探究点二：算法的步骤设计
思考3 要判断整数89是否为质数，按照例1的思路需用2～88逐一去除89求余数，需要 87个步骤，这些步骤基本是重复操作，如何改进这个算法，减少算法的步骤呢？
答 (1)用i表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数；
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.1
探究点二：算法的步骤设计
例2 写出用“二分法”求方程x2－2＝0(x>0)的近似解的算法．
解 第一步，令f(x)＝x2－2，给定精确度d.
第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)f(b)<0. a＋b 第三步，取区间中点m＝ . 2
第四步，若f(a)f(m)<0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得 到的含零点的区间仍记为[a，b]．
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.1
[情境导学]
赵本山和宋丹丹的小品《钟点工》中有这样一个问题：宋丹丹：要把
大象装入冰箱，总共分几步？哈哈哈哈，三步．第一步，把冰箱门打开；第二步， 把大象装进去；第三步，把冰箱门带上．
1.1.1算法的概念
第二步：在n的因数中加入1和n.
第三步：输出n的所有因数.
什么是算法呢？ 1、 计算： 5 (4 2) 6
第一步：去括号 第二步：乘除 第三步：加减,得出结果
什么是算法呢？
2.一位商人有9枚金币，其中有一枚略轻的假币， 你能用天平（无砝码）将假币找出来吗？
第一步：把9枚金币平均分成三组，每组三枚。
第二步： 先将其中的两组放在天平的两边，如果天平不 平衡，那么假金币就在轻的那一组；如果天平 左右平衡，则假金币就在未称量的那一组里。 第三步：取出含假币的那一组，从中任取两枚金币放在天 平两边进行称量，如果天平不平衡，则假金币在 轻的那一边；若平衡，则未称的那一枚就是假币。
1.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个 数为半径的圆的面积算圆的面积: S=πr2; 第三步:输出圆的面积S.
2.任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算 法求出n的所有因数. (P4 练习2)
第一步：依次以2~(n-1)为除数去除n,检 查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不 是,则不是n的因数.
n(n 1) 1 2 3 4 n 2 第一步:取 n =6;
第二步:计算
n( n 1) 2
;
第三步:输出计算结果. 点评:解法1繁琐,步骤较多; 解法2简单，步 骤较少. 找出好的算法是我们的追求目标.
3.设计一个算法，判断7是否为质数。 质数：只能被1和自身整除的大于1的整数。 答案参考课本P3 例1 4.有人对歌德巴赫猜想“任何大于4的偶数都 能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步 骤： 第一步：检验6=3+3
什么是算法呢？
一般地, 按照一定规则解决某一类 问题的明确和有限的步骤称为算法 (algorithm)。
1.1.1算法的概念1
2.算法的要求
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任 意一个二元一次方程组),并且能重复使用; (2) 算法过程要能一步一步执行,每一步执行的 操作,必须确切,不能含混不清,而且在有限步之 内完成后能得出结果.
例题
变式: 任意给定一个大于2的整数n,
试设计一个程序或步骤对n是否为质数 做出判断。
第一步：给定大于2的整数n. 第二步：令i=2 第三步：用i除n，得到余数r. 第四步：判断”r=0”是否成立，若是， 则n不是质数，结束算法；否则，将i的 值增加1，仍用i表示,即：i=i+1. 第五步：判断”i>(n-1)”是否成立，若 是，则n是质数，结束算法；否则，将 返回第3步.
D. 加减乘除运算法则
5．下列语句表达中是算法的有（ C ）. ① 从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐 飞机抵达； ②利用公式 S = ah÷2 计算底为1高为2的 1 三角形的面积； ③ x>2x +4； 2 ④求M(1，2)与N(3，5)两点连线的方程可 先求MN的斜率再利用点斜式方程求得． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
算法步骤：
第一步, 令 f ( x) x 2 ,给定精确度d.
2
第二步, 给定区间［a,b］,满足f(a) · f(b )＜ 0 ． ab 第三步, 取中间点 m ． 2 第四步, 若f(a) · f(m) < 0,则含零点的区间为 ［a,m］；否则，含零点的区间为［m, b］. 将新得到的含零点的仍然记为［a,b］. 第五步,判断f(m)是否等于０或者［a,b］的长 度是否小于d，若是，则m是方程的近似解;否 则，返回第三步．
数学：1.1.1《算法的概念》PPT课件(新人教A版必修3)
法上的一大成就。此外,在社会上得到广泛使用
的珠算口诀就可以看做是典型的算法,它把复杂
的计算(例如除法)描述为一系列按口诀执行的简
单的算珠拨动操作。 中国古代数学以算法为主要特征，其中最具代表 性的就是《九章算术》。
《九章算术》是战国、秦、汉时期数学发展的 总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。其 内容按类分章，以数学问题的形式出现，包括分数四 则运算、开平方与开立方（包括二次方程数值解法）、 盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、 正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定 理和求勾股数的方法）等。其中方程组解法和正负数 加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点 来说，它形成了一个以筹算为中心，与古希腊数学完 全不同的独立体系。
（2）确定性(definiteness）
算法的确定性，是指算法中的每一个步骤都必须
是有明确定义的，不允许有模棱两可的解释，也不允许
有多义性。这一特征也反映了算法与数学公式的明显差
异。在解决实际问题时，可能会出现这样的情况：针对
某种特特殊问题，数学公式是正确的，但按此数学公式 设计的计算过程可能会使计算机系统无所适从，这是因 为，根据数学公式设计的计算过程只考虑了正常使用的 情况，而当出现异常情况时，该计算过程就不能适应了。
一种计算公式，而根据精度要求确定的计算过
程才是有穷的算法。
算法的有穷性还应包括合理的执行时间的含义。
如果一个算法的执行时间是有穷的，但却需要
执行千万年．显然这就失去了算法的实用价值。
例如，克莱姆(Cramer )规则是求解线性代数
方程组的一种数学方法，但不能以此为算法，
这是因为，虽然总可以根据克莱姆规则设计出 一个计算过程用于计算所有可能出现的行列式， 但这样的计算过程所需的时间实际上是不能容 忍的。
1.1.1算法的概念
x1 x2 第二步：令m (因方程的根在区间（x1，x2 ）内). 2 判断f ( m )是否为0。若f ( m ) 0, 则m为所求； 若否，则进行第三步.
第三步：若f ( x1 ) f ( m ) 0, 则令x1＝m; 若f ( x1 ) f ( m ) 0, 则令x2＝m .
1.写出你在家里烧开水过程的一个算法. 2.已知平面直角坐标系的两点A(－1，0)， B(3，2)，写出求直线AB的方程的一个算 法.
章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系， 它们的基础都是“算法”. 算法对于我们来说并不陌生. 从小学我们就开始接触算 法，熟悉许多问题的算法. 如，做四则运算要先乘除后加减， 从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠 算口诀更是算法的具体体现. 广义地说，算法就是做某一件 事的步骤或程序. 菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明 书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法.在数学中， 主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一 定可以得到结果的解决问题的程序.
第四步：判断 x1－x2 0.05是否成立？ 若是，则x1，x2之间的任意取值均为满足条件的近似根； 若否，则返回第二步.
练习
任意给定一个正实数a，试设计一个算法 求以a为直径的圆的面积. 解 第一步：输入a的值.
第二步：________________________. 第三步：________________________.
一般来说，“用算法解决问题” 可以利用 计算机帮助完成.
思考
一位商人有9枚银元，其中有1枚略 轻的是假银元.你能用天平（不用砝码） 将假银元找出来吗？
例题
用二分法求方程 x 2 2 0
的近似正根，精确度0.05.
1.1 算法的概念
张喜林制1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念教材知识检索考点知识清单1．算法可以理解为或者看成____，并且这样的能够解决一类问题．2．描述算法可以有，例如，可以用加以叙述，也可以借助给出精确的说明，也可以用显示算法的全貌．3．教材中阐述的这种求解方程组的方法称为．4．我们学习的算法不同于一个具体问题的求解方法，它有如下要求：(1)写出的算法，必须能（例如解任意一个二元一次方程组），并且能使用．(2)算法过程要能____，每一步执行的操作，必须，不能____，而且经过有限步后能．要点核心解读1．算法的含义算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．2．算法的要求我们现在学习的算法不同于求解一个具体问题的方法，它有如下的要求：(1)写出的算法，必须能解决一类问题（例如解任意一个二元一次方程组），并且能重复使用；(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且能在有限步后得出结果.总之，算法虽然没有一个明确的概念，但其特点还是很鲜明的．不仅要注意理解算法的程序性、有限性、构造性、精确性的特点，还应充分理解算法的问题指向性即算法往往指向解决某一个或某一类问题．泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定要以问题为载体， 3．高斯消去法(1)高斯消去法，例如：解方程组⎩⎨⎧=+=+,4842,17y x y x记(I)⎩⎨⎧=+=+.4842,17y x y x将方程组(I)中的第一个方程的两边同乘-2加到第二个方程中去，得⎩⎨⎧⨯-=-=+∏,21748)24(,17)(y y x 解方程组(Ⅱ)中的第二个方程，得.72421748=-⨯-=y利用方程组(I)中的第一个方程来消去第二个方程中的未知数x ，从而使该方程组(I)化为与其等价的方程组(Ⅱ)，进而通过(Ⅱ)的第二个方程确定y ，再通过第一个方程确定x ，这种求解方程组的方法称为高斯消去法．(2)用高斯消去法解一般的二元一次方程组的算法．用高斯消去法解一般的二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=+②①22221211212111,b x a x a b x a x a 的算法描述如下： 因为是二元一次方程组，所以方程组中的2111,a a 不能同时为0．第一步：假定011=/a （如果,011=a 可将第一个方程与第二个方程互换），,)(1121②①+-⨯a a得,)(111212211122122a b a b x a a a a -=-即方程组可化为⎩⎨⎧⋅-=-=+④③1212112122122111212111)(,b a b a x a a a a b x a x a第二步：如果,012212211=/-a a a a 解方程④得到：122122111212112a a a a b a b a x --= ⑤第三步：将⑤代入③，整理得122122112121221a a a a ba b a x --= ⑥第四步：输出结果⋅21,x x如果,012212211=-a a a a 则从④可以看出，方程组无解或有无穷多组解，以后，我们在描述算法时，用英文Stepl ，Step2，…来表示第一步，第二步，……也可以简写为：Sl ，S2，…4．解二元一次方程组的公式算法算法步骤如下：Sl 计算;12212211a a a a D -=S2如果D=O ，则原方程组无解或者有无穷多组解；如果D ≠0,;,21111221222211Dab a b x D a b a b x -=-=则S3 输出计算的结果21,x x 或无法求解信息．5．算法的描述描述算法可以有不同的．方式，常用的有自然语言、框图、程序设计语言、伪代码等． (1)自然语言．自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等，用自然语言描述算法的优点通俗易懂，当算法中的操作步骤都是按顺序执行时比较容易理解，缺点是如果算法中包含判断和转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了．(2)框图（下一节研究）． (3)程序设计语言．典例分类剖析考点1算法的概念[例1] 指出下列哪个不是算法( )．A ．解方程062=-x 的过程是移项和系数化为1B ．从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机C ．解方程0122=-+x xD ．利用公式2r S π=计算半径为3的圆的面积就是计算23⨯π [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由算法的含义可知选C ． [答案]C[点拨] 正确理解算法的含义是解决此类问题的关键． 1．下列语句中是算法的有().①从广州到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程012=-x 有两个实根；④求4321+++的值，先计算,321=+再由1046,633=+=+得最终结果是10.A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个考点2 高斯消去法和解二元一次方程组的公式算法[例2] 给出求解方程组⎩⎨⎧=+=+②①1154,72y x y x 的一个算法．[答案] 算法分析一：用高斯消去法求解． 解法-:Sl ,2⨯-①②得③;33-=y S2 解③得④;1-=y S3 将④代入①，得.4=x算法分析二：用公式法求解． 解法二：Sl 计算;61452=⨯-⨯=D S2 因为,06=/=D 所以,4611157=⨯-⨯=x;1647211-=⨯-⨯=yS3 输出.1,4-==y x[点拨] 本题的算法一是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法，下面写出求方程组)0()2.........(0A )1.(..........0y 1221222111≠-⎩⎨⎧=++=++B A B A C y B x C B x A 的解的算法：第一步：③①②;0)(,1221122121=-+-⨯-⨯C A C A y B A B A r A A r第二步：解③，得;12212112B A B A C A C A y --=第三步：将lB A B AC A C A y 2212112--=代入①，得 ⋅-+-=12212112B A B A C B C B x此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公式可得到例2的另一个算法：第一步：取;11,5,4,7,1,2222111-===-===C B A C B A 第二步：计算 ;122121121222112B A B A C A C A y B A B A C B C B x l --=-+-=与第三步：输出运算结果．可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作． 2．写出二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-2,1423y x y x 的两种算法.考点3算法的描述[例3] (1)写出一个求解任意二次函数++=bx ax y 2)0(=/a c 的最值的算法． (2)设计一个算法，对任意3个数a ，b ，c ，求出其中的最小数．[答案] (1)由二次函数的性质知，当0>a 时，函数有最小值;442ab ac -当a<0时，函数有最大值 ab ac 442- 算法步骤用自然语言叙述如下：Sl 计算;442ab ac m -=S2 若a>0，则函数的最小值是m ；否则，执行S3； S3 函数的最大值是m ． (2)算法步骤如下：;min 1a S =S2 如果min,<b 则;min b =S3 如果min,<c 则⋅=c mm S4 min 就是a ，b ，c 中的最小数．[点拨] (1)第(1)题用的是自然语言，第(2)题用的是数学语言，至于用哪种语言结合具体的问题而定． (2)任给有限个数，求其中的最大数、最小数的算法，在数不是很多的情况下，就可以采用这种逐一比较的办法．3．写出解方程0322=--x x 的一个算法， 考点4算法的应用[例4] -位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元，你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？设计一个算法，解决这一问题．[解析] 最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一排，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．上述算法，最少要称量1次最多需称量7次，我们还可以对这种算法进行改进，使得称量的次数尽量少一些．[答案] 解法一：算法步骤如下：Sl任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则执行S2；S2取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．解法二：算法步骤如下：Sl把银元分成3组，每组3枚；S2先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在偏轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里；S3取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平平衡．则未称的那一枚就是假银元.4．-个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，它就会吃掉羚羊．请你设计安全渡河的算法，优化分层测训学业水平测试1．下列关于算法的说法中，正确的是( )． A ．算法就是某个问题的解题过程 B ．算法执行后可以不产生确定的结果 C ．解决某类问题的算法不是唯一的 D ．算法可以无限地操作下去不停止 2．假设家中生火泡茶有下列步骤：a.生火 b ．将水倒入锅中 c ．找茶叶 d ．洗涤茶壶茶碗 e ．用开水冲茶 则最优算法为( )．A. abcdeB.bacdeC.cdabeD.dcabe 3．下列算法的说法中，正确的有 ． ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的； ④算法执行后一定产生确定的结果．4．对于像“喝一碗水”这类含有动作性的语言能否出现在算法的一个步骤中，下列说法中正确的是——： ①能；②不能；③有些题目能，有些不能；④以上说法均不对． 5．写出一个能找出a ，b ，c ，d 最大数的算法.高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列对算法描述正确的一项是( )． A ．算法只能用自然语言来描述 B ．算法只能用图形方式来表示 C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，必然结果不同 2．算法的有穷性是指( )． A ．算法必须包含输出B ．算法中的每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上说法均不正确3.下列语句表达中是算法的有( )．①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；②利用公式ah S 21=计算底为1，高为2的三角形的面积；;4221+>x x ③④求M(l ，2)与Ⅳ（-3，-5）两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得．A ．1个B ．2个C ．3个 D.4个 4．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，下列选项中最好的一种算法是( )． A ．洗脸刷牙、刷水壶、烧水、泡面、吃饭、听广播B ．刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、吃饭、听广播C ．刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、吃饭同时听广播D ．吃饭同时听广播、泡面、烧水同时洗脸刷牙、刷水壶 5．下面四句话中不是解决问题的算法的是( )．A ．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机B ．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C ．方程012=-x 有两个实根D ．求54321++++的值，先计算,321=+再由,633=+,15510,1046=+=+最终结果为15 6．计算下列各式中的s 的值，能设计算法求解的是( )．;100321++++= s ① ;100321 +++++=s ②⋅∈≥++++=),1(321N n n n s 且③①②.A .B ①③ ②③.C ①②③.D7．对于算法：Sl 输入n ；S2 判断n 是否等于2，若,2=n 则n 满足条件；若n>2，则执行S3；S3 依次从2到n-1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行S4；若能整除n ，则执行Sl ； S4 输出n ．满足条件的n 是( )．A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．约数 8．-个算法步骤如下：第一步：S 取值0，i 取值1；第二步：如果i≤10，则执行第三步，否则执行第六步； 第三步：计算S+i 并将结果代替S ； 第四步：用i+2的值代替i ； 第五步：转去执行第二步； 第六步：输出S ．运行以上步骤输出的结果为( )． A ．25 B ．20 C ．15 D ．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置） 9．可设计一个计算分段函数．⎩⎨⎧≤+>-=)0(5),0(12)(2x x x x x x f 的函数值的算法，该算法最后输出的结果是6时，输入的x 的值为10．已知数字序列：.8,52,12,18,32,15,8,7,5,2写出从该序列中搜索18的一个算法： 第一步：输入实数a ．第二步： 第三步：输出.18=a11．求1197531⨯⨯⨯⨯⨯的值的一个算法是：第一步：求lx3得到结果3．第二步：将第一步所得的结果3乘5，得到结果15. 第三步： 第四步：再将105乘9得到945.第五步：再将945乘11，得到10395，即为最后结果．12. -个求解任意二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 的最值的算法是：第一步：计算;442ab ac m -=第二步： ， 第三步：三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 13．写出任意给出的4个数a ，b ，c ，d 的平均数的一种算法．14.某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，此船仅可载此人和狼、此人和羊或此人和青菜，没有此人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜，请设计一个安全过河的算法．15.下面给出了一个问题的算法：第一步：输入a ．第二步：若,4≥a 则执行第三步，否则执行第四步． 第三步：输出.12-a 第四步：输出.322+-a a问题：(1)这个算法解决的问题是什么？(2)当输入a 的值为多大时，输出的数值最小？16．如图1 -1 -1 -1，已知直线-+=+-y x l y x l 23:0123:21和,06=求1l 和2l 与y 轴所围成的三角形的面积，写出解决本题的一个算法.11 / 11。
1.1.1算法的概念
§1.1.1算法的概念 算法的概念
讲授新课 想一想.任意给定一个大于1的整数n, 想一想.任意给定一个大于1的整数 ,试设计 一个程序或步骤对n是否为质数做出判定 是否为质数做出判定. 一个程序或步骤对 是否为质数做出判定. 第一步：判断 是否等于2.若 =2 是否等于2. =2， 是质数 是质数； 第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数； 若n>2，则执行第二步. 2 则执行第二步. 第二步:依次从2～（n－1）检验是不是 的因 第二步:依次从2 ）检验是不是n的因 即整除n的数 若有这样的数， 不是质 的数, 数，即整除 的数,若有这样的数，则n不是质 若没有这样的数， 是质数 是质数. 数；若没有这样的数，则n是质数. 评析:这是判断一个大于1的整数 是否为质 评析:这是判断一个大于1的整数n是否为质 数的最基本算法. 数的最基本算法.
§1.1.1算法的概念 算法的概念
4.一个农夫带着一条狼 、 一头山羊和一篮蔬 一个农夫带着一条狼、 一个农夫带着一条狼 菜要过河,但只有一条小船 乘船时,农夫只能带 但只有一条小船.乘船时 菜要过河 但只有一条小船 乘船时 农夫只能带 一样东西.当农夫在场的时候 当农夫在场的时候,这三样东西相安无 一样东西 当农夫在场的时候 这三样东西相安无 一旦农夫不在,狼会吃羊 羊会吃菜.请设计一 事.一旦农夫不在 狼会吃羊 羊会吃菜 请设计一 一旦农夫不在 狼会吃羊,羊会吃菜 个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过河 个算法 使农夫能安全地将这三样东西带过河. 使农夫能安全地将这三样东西带过河 第一步:农夫带羊过河; 第一步:农夫带羊过河; 第二步:农夫独自回来; 第二步:农夫独自回来; 第三步:农夫带狼过河; 第三步:农夫带狼过河; 第四步:农夫带羊回来; 第四步:农夫带羊回来; 第五步:农夫带蔬菜过河; 第五步:农夫带蔬菜过河; 第六步:农夫独自回来; 第六步:农夫独自回来; 第七步:农夫带羊过河. 第七步:农夫带羊过河.
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x2
1
| x1 x 2 |
0.5 0.25 0.125 0.0625
1.40625
1.40625 1.4140625 1.4140625
1.4375
1.421875 1.421875 1.41796875
0.03125
0.015625 0.0078125 0.00390625
练习
任意给定一个正实数a，试设计一个算法求 以a为半径的圆的面积。
(2)的算法如下: 第一步,用2除35,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除35. 第二步,用3除35,得到余数2.因为余数不为0, 所以3不能整除35. 第三步,用4除35,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除35. 第四步,用5除35,得到余数0.因为余数为0, 所以5能整除35.因此,35不是质数.
例2.任意给定一个大于2的整数n，试设计一个 算法对n 是否为质数做出判断。
例
用二分法设计一个求方程 x 2 2 0
的近似正根的算法，精确度0.05。
例2.用二分法设计一个求方程x2 2 0的近似根的算法。
x1
1 1 1.25 1.375 1.375 2 1.5 1.5 1.5 1.4375
例：解方程组 -① 2 第一步： ②
x 2 y 1
பைடு நூலகம்
2x y 1
① ②
得 5y 3 ③
第二步：解 ③
第三步：将
得y 5
y3 5
3
代入①， 得 x 1 5 1 x 5 第四步:得到方程组的解 y 3 5
思考：对于一般的二元一次方程组
代入①， 得 x
第三步：将
y
a1c 2 a 2c1 a1b2 a 2b1
b2 c1 b1c2 a1b2 a2b1
x
第四步:得到方程组的解
b2 c1 b1c2 a1b2 a2b1 a1c2 a2c1
y
a1b2 a 2b1
算法的概念：
定义:在数学中，现代意义上的“算法”通常是指 可以 用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤， 这些程序和步骤必须是明确和有效的，而且能 够在有限步之内完成。
• 算法的特征:
明确性
有效性
有限性
一般来说，“用算法解决问题” 可以利用 计算机帮助完成。
例1、(1)设计一个算法,判断7是否为质数. (2)设计一个算法,判断35是否为质数
解：(1)的算法如下: 第一步,用2除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除7. 第二步,用3除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以3不能整除7 第三步,用4除7,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除7 第四步,用5除7,得到余数2.因为余数不为0, 所以5不能整除7 第五步,用6除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以6不能整除7
a1x b1y c1
a2 x b2 y c2
(a1b2 a2b1 0)
①
②
上述解题步骤应该怎样进一步完善？请写出你的算法。 算法：
第一步： ② a1 - ① a2 第二步：解 ③ 得 得 (a1b2 a2b1 ) y a1c2 a2c1
③
y
a1c2 a2c1 a1b2 a 2b1
解 第一步：输入a的值.
第二步：计算以a为半径的圆的面积 S
a
2
第三步：输出圆的面积S的值.
练习: 任意给定一个大于1的正整数n,设计一个 算法求出n的所有因数 算法:
第一步:给定一个大于1的正整数n. 第二步:依次以2～(n-1)的整数d为除数去 除n,检查余数是否为0.若是,则d是n的因数; 若不是,则d不是n的因数. 第三步:在n的因数中加入1和n. 第四步:得到n 的所有因数.
必修③ 第一章 算法初步
情
景
切
入
• 一名农夫要将一只狼、一只羊和一袋白菜 运到河对岸。但农夫的船很小，每次只能 载下农夫本人和一样动物（蔬菜），但他 不能把羊和白菜留在岸边，因为羊会吃掉 白菜；也不能把狼和羊留在岸边，因为狼 会吃掉羊，那么农夫要怎么做才能将这三 样东西送过河？ • 思考：我们要按照什么顺序去做？