《概率论与数理统计》第1章§4概率的公理化定义及其性质
1-4概率的公理化定义及性质
因而
P(B A)
P(B)
P( AB)
1 2
1 8
3. 8
A AB B S
三、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例1 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列 32
三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
(2) 若A1, A2, , An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
所以 1 P(S) P( A A)
P( A) P( A).
P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
概率论与数理统计：1-3概率的公理化体系及性质
率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
1. 概率的公理化定义 设E是随机试验, 是它的样本空间.对于E的
每一事件A赋予一个实数,记为P( A), 称为事件 A的概率.如果集合函数P()满足下列条件 : (1)有 界性 : 对于每一个事件 A, 有 0 P( A) 1; (2) 规范性: 对于必然事件 ,有 P( ) 1;
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
概率的有限可加性 (3) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A). 一般情形：P(B A) P(B) P(AB). (4) 设 A 是 A 的 对 立 事 件, 则 P ( A) 1 P( A).
由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同
的概率等于1－0.294=0.706, 这个值大于70%！
例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
C
n N
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
fn H
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
fn (H )
n的增大
1. 2
二、概率的统计定义
1.定义1.2.2 在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随
着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 p 1 则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p . 性质
(1) 对任一事件A ,有 0 P( A) 1;
(3)某指定的一间房中恰有 m(m n) 人。
解 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 N n 种分法，
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
24/29
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
概率论与数理统计-第1章-第3讲-概率的公理化定义与运算性质
解法一 设A表示至少有一件不合格品，Ai表示恰好有i件不合格品，则
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3)
性质1
P( Ai
)
C3iC447i C540
P( A1) P( A2 ) P( A3) 0.2255
13
02 概率的运算性质ຫໍສະໝຸດ 解法二 因为A表示全是合格品，则
（2）规范性 P(S ) 1
（3）可列加性 对任意个两两互不相容事件
A1, A2 ,
, An ,
,
有P
Ai
P( Ai ).
i1 i1
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为
建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.
5
本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
02 概率的运算性质
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本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
01 概率的公理化定义
1.概率的公理化定义
什么是概率？
研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出 现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.
① 古典定义
概率的最初定义
历史上概率 的三次定义
② 统计定义
下一讲我们将学习一种新的概率——条件概率.
18
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
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P( A) 1 P( A)
性质2
P( A )
C447 C540
1
C447 C540
0.2255
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时， 可以利用性质2。
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02 概率的运算性质
概率的公理化定义及概率的性质
设P（A） P（B） P（C） 1/ 4，P（AB） 0，P（AC） P（BC） 1/ 16
则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率 是多少？
例2 生日问题
1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？ 2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？
n 10
15
20
23
50 55
p 0.12 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99
例3 从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字
的乘积能被10整除的概率.
例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率： A1 : 至少有一张A。 A2 : 至多有两张A
例5（配对问题）
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每 个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随 机地抽取一件，问 1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？ 2）恰好有r 个人拿到自己礼物的概率是多少？
定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调
不减(增）的事件序列 {A均n}成立:
lim P( An ) P( lim An ) (8)
n
n
则称函数为下（上）连续的.
性质：若P是F上的非负、规范的集函数，则P具有可列可
加性的充要条件是 1) P是有限可加的；
2）P在F上是下连续的.
六、应用概率性质计算概率
解 设Ai 表示i 号球与抽取顺序相同. 利用公式
n
n
P（ Ai） P（Ai）
P（Ai Aj）
P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i <j n
1i<j<k N
1.4概率的公理化定义及概率的性质
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
01.3概率的公理化定义及概率的性质
P
i1
Ai
i 1
P( Ai
)
其中 A1, A2 , 为任意互不相容事件。
概率函数（或者称为规范测度函数）是定 义在事件域上的非负、 规范、可列可加的集 合函数。
A F,称P(A)为事件A的概率。
概率空间：
设E为随机试验， S--样本空间 ，
F—事件域，
P—概率，
称三元总体（S , F , ）为概率空间.
概率空间举例。
概率的性质 P() 0
证：S S ，
P(S) P(S) P() P()
故 P() 0；
有限可加性: 设 A1, A2, An为两两互斥事件，
P n
i1
Ai
n i1
P( Ai )
证明： 取 An1 An2 ,
i
则称F为事件域。
事件域举例。
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 戈洛夫(A.H.Колмогоров)于1933年所建立.
定义 设P是定义在事件域F上的实值函 数，称P为概率函数，如果满足：
非负性：A F,0 P(A) 1 规范性： P(S) 1
可列可加性：
2题答案1 (5)4 , 1 (35)24 。
6
36
3题答案1
A162 126
。
例4：一批产品共50件，其中5件是次品，另外45件是正品。 从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。
解： 法1： 设Ai 第i次取到次品，i 1,2,3. B 取出的3件中有次品 则B A1 A2 A3
概率论与数理统计—第一章概率论的基本概念
例如在E 4中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件.由于在一次投掷中,当且仅当掷出的点数是1，3,5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5=A 。
同样地,若用B 表示事件“掷出偶点数"，那么B 也是一个随机事件,{}2,4,6B =。
对于一个试验E ，在每次试验中必然发生的事件，称为E 的必然事件；在每次试验中都不发生的事件,称为E 的不可能事件.例如在3E 中，“掷出的点数不超过6"就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}31,2,3,4,5,6S =。
而事件“掷出的点数大于6"是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集φ表示。
对于一个试验E ，它的样本空间S 是E 的必然事件；空集φ是不可能事件。
必然事件与不可能事件虽已无随机性可言,但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。
（三）事件间的关系与运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的.下面给出这些关系和运算在概率中的提法。
并根据“事件发生"的含义，给出它们在概率中的含义。
设试验E 的样本空间为S ，而),2,1(,, =k A B A k 是S 的子集。
1°事件的包含与相等 事件“若事件A 发生必然导致事件B 发生”称事件B 包含事件A ，记为A B ⊃或者B A ⊂。
若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等,记B A =.2°事件的和 事件“A 与B 至少有一个发生”称为事件A 与事件B 的和，记为B A .事件B A 发生意味着:或事件A 发生，或事件B 发生,或事件A 与事件B 都发生。
事件的和可以推广到多个事件的情景。
设有n 个事件n A A A ,,,21 ,定义它们的和事件{n A A A ,,,21 中至少有一个发生｝为k nk A 1= 。
概率论第一章总结
概率论与数理统计第一章总结1.随机事件在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。
在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。
相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。
2.样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。
任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
3.事件的关系及运算（1）事件的包含与相等： （2）事件的和(或并)： （3）事件的积(或交)： （4）事件的差： （5）互不相容事件： （6）对立事件： （7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律4.随机事件的频率与概率的定义及性质设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n 称为随机事件A 发生的频率。
概率的公理化定义：（1） 非负性（2） 规范性（3） 有限可加性（4） 可列可加性概率的重要性质：（1） （2）P (Φ)=0（3）若A 、B 互斥， 则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )（4）A ⊂ B ，则 P (B －A )＝P (B )－P (A )（5）加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P(AB )5.古典概型两个特征：有限性，等可能性。
设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N（生日模型，抽签模型，分配模型）6. 几何概型两个特征：无限性，等可能性。
（蒙特卡罗法）7. 条件概率与乘法公式A B 或B A⊂⊃ A B A B或+ AB A B 或A B-ΦAB = A A 与()1()P A P A =-条件概率若P(B)>0,乘法公式:P (AB )=P (B )P (A |B )P (A 1A 2…An )= P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) …P (An | A 1A 2…An -1)(波利亚罐模型)8. 全概率公式与贝叶斯公式(1) 全概率公式：(全概率公式用来求较复杂事件的概率.)(敏感性问题调查)(2) 贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)9.随机事件的独立性两两独立与相互独立的关系：相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立多个事件相互独立的必要条件：10.伯努利概型若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件 且每次试验中 我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。
概率论与数理统计1
第一章事件与概率§1.1 随机事件与样本空间教学目的要求：掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解.教材分析：1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,了解事件之间的关系和事件之间的一些运算.2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关系和事件之间的一些运算.3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明.教学过程：我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意.一、几个基本概念：1．随机试验：一个试验如果满足下述条件：⑪试验可以在相同的情形下重复进行；⑫试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个；⑬每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现那一个结果.就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验.2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件.3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示.4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示.[例]1.1在前述试验中,令ω1={取得白球}, ω2={取得黑球}则Ω={ω1,ω2}[例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球,令i ={取得球的号码为i}则Ω={1,2, (10)·３·[例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令i={收到的呼唤次数为i}则Ω={1,2,…}[例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为t℃}则Ω=[0,100]5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性,所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母A,B,C等表示事件.在试验中,如果出现A中所包含的某一个基本事件ω,则称作A发生,并记作ω∈A.我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已.又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算.二、事件之间的关系和运算：1．如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款,并记作A⊂B或B⊃A.如图1.1.因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定Φ⊂A.2．如果有A⊂B,B⊂A同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2.3．“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并记作A∪B.如图1.3.4．“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).如图1.4.5．“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差,记作A－B.如图1.5.6．若事件A与B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=Φ,则称事件A与B互不相容.如图1.6.7．若A是一个事件,令A=Ω－A,称A是A的对立事件或逆事件.如图1.7.·４··５·显然有： A A =Φ, A ∪A =Ω, A =A8．若有n 个事件：A 1,A 2,…,A n ,则“A 1,A 2,…,A n 中至少发生其中的一个”这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的并,并记作A 1∪A 2∪…∪A n 或n i i A 1=；若“A 1,A 2,…,A n 同时发生”,这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的交,记作A 1A 2…A n 或 n i iA 1=.大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们.[例] 1.5 设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,则·６·1) 事件“A 与B 发生,C 不发生”可以表示成：C AB 或AB －C 或AB －ABC.2) 事件“A 、B 、C 中至少有二个发生”可以表示成：AB ∪AC ∪BC 或ABC BC A C B A C AB .3) 事件“A 、B 、C 中恰好发生二个”可以表示成： BC A C B A C AB .4) 事件“A 、B 、C 中有不多于一个事件发生”可以表示成：C B A C B A C B A C B A .5) 事件“A 发生而B 与C 都不发生”可以表示成：C B A 或A －B －C 或A －(B ∪C).6) 事件“A 、B 、C 恰好发生一个”可以表示成：C B A C B A C B A .7) 事件“A 、B 、C 中至少发生一个”可以表示成：C B A 或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A .三、事件的运算规则：1. 交换律：A ∪B=B ∪A AB=BA2. 结合律：(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (AB)C=A(BC)3. 分配律：(A ∪B)C=AC ∪BC (AB)∪C=(A ∪C)(B ∪C)4. 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)：n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11=== 四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一个类,记作ℱ,称作事件域,即ℱ={A ：A ⊂Ω,Ω是事件}在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈ℱ,Φ∈ℱ.又讨论了事件间的运算“∪” 、·７·“∩”和“－”,如果A 与B 都是事件,即A ∈ℱ,B ∈ℱ,非常自然地要求A ∪B 、AB 、A －B 也是事件.因此,如果有A ∈ℱ、B ∈ℱ,就要求A ∪B ∈ℱ、AB ∈ℱ、A －B ∈ℱ用集合论的语言来说,就是事件域ℱ关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过归纳与整理,事件域ℱ应该满足下述要求：⑪ Ω∈ℱ；⑫ 若A ∈ℱ,则A ∈ℱ；⑬ 若i A ∈ℱ,i=1,2, …,n,则 ni iA 1 ∈ℱ. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔代数.对于样本空间Ω,如果ℱ是Ω的一切子集的全体,那么显然ℱ是一个布尔代数.§1.2 概率和频率教学目的要求：通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ：1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义.2．教学重点：概率的性质及公理化定义.3．教学难点：概率的公理化定义.教 学 过 程 ：回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其中ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可·８·以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是½,因为我们知道盒子中白球数和黑球数都是5个.现在引入一个定义如下：一、频率和概率的定义：定义1.1 随机事件A 发生可能性大小的度量(数值),称为A 发生的概率,记作P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》,人民出版社,1972年,第38页)．人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正面的频率,,其结果如下:又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母. 在进行了更深入的研究之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是十分有用的．对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存在的．就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性．一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能性大小的度量—一概率,究竟是多大呢？在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球和黑球都是5个,才得以断定)(1 p =1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢？在引言中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数n 的增大,比值n n 白会逐渐稳定到1/2(n 白表示出现白球的次数),记·９· nn 白=试验总次数的次数出现1ω=)(1ωn f 称)(1ωn f 为事件ω1在n 次试验中出现的频率．频率当然也在一定程度上反映了发生可能性的大小．尽管每作—串(n 次)试验,所得到的频率)(1ωn f 可以各不相同,但是只要n 相当大,)(1ωn f 与)(1ωp 是会非常“靠近”的．因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似．在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率)(1ωn f 逐渐稳定到1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步即可得到)(1ωp =1／2这个结论.这件事情其实质与测量长度和面积—样的平常,给定一根木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”．这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释．二、频率和概率的性质：1.频率的性质:现在让我们比较仔细地考察一下频率．如果随机事件A 在n 次反复试验中发生了n 白次,称 )(A f n =n n 白为A 的频率．易知频率具有下述性质．(1)．非负性：即)(A f n ≥0； (2)．规范性,即若Ω是必然事件,则)(Ωn f ＝1；(3)．有限可加性：即若A 、B 互不相容(即AB=Φ),则)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n这三条性质的论证是很直观的,因为(1). A n ≥0,所以nn A ≥0；·１０·(2). Ω是必然事件,所以n n =Ω,从而nn Ω=1； (3). 若A ∪B 发生,意味着A 、B 中至少发生其中之一,又因为A 与B 互不相容(即不能同时发生),所以A ∪B 发生的次数一定是A 发生次数与B 发生次数之和,即B A B A n n n += ,从而有)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n成立．频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推出．作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质：(1) 不可能事件的频率为零,即)(Φn f =0；(2) 若A ⊂B,则)(A f n ≤)(B f n ,由此还可推得对任一事件A,有)(A f n ≤1；(3) 对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若A i A j =Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n A f A f 112. 概率的性质:因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有的．因为对每一个随机事件A,都有一个概率P(A)与之对应,而在§1中我们已经知道事件域ℱ是一个布尔代数,所以概P 实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数(因为ℱ中的元素是集合),它应该具有下述性质：(1)．非负性：P(A)≥0,对A ∈ℱ；(2)．规范性：P(Ω)＝1；(3)．有限可加性：若A i ∈ℱ,i ＝1,2,…,n,且A i A j ＝Φ(i ≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i A f A P 11由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域ℱ和概率P,其中ℱ是一个布尔代数,P 是定义在ℱ上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了．§1.3 古典概型教学目的要求：通过本节的学习,使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公式,并能灵活运用它们解决实际问题.教材分析：1．概括分析：古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的.2．教学重点：古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法.3．教学难点：古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用.教学过程：在§2中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域ℱ和概率P来描述的．对一个随机事件A,如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本的课题. 我们先讨论一类最简单的随机试验.一、古典概型的定义与计算公式:1.古典概型的定义:有一类最简单的随机试验,它具有下述特征：(1) 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为n个,并记它们为ω1、ω2、…、ωn.(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 P(ω1)=P(ω2)=…P(ωn)这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用.2.古典概型的计算公式:对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域ℱ为Ω的所有子集的全体．这时,连同Φ、Ω在内,ℱ中含有2n个事件,并且从概率的有限可加性知:1＝P(Ω)＝P(ω1)+P(ω2)+…+P(ωn)于是 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)=1/n·１１··１２· 对任意一个随机事件A ∈ℱ,如果A 是k 个基本事件的和,即A ＝k i i i ωωω 21,则基本事件总数的有利事件数基本事件总数中所含的基本事件数A A n k A P ===)( (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A 的有利事件数),不难验证,上述的概率P(·)的确具有非负性、规范性和有限可加性.事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此.前节例1.1及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事件的概率计算都这么容易．事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目．在这些计算中,经常要用到一些排列与组合公式．二、基本的组合分析公式1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理与加法原理．为说明这两条原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏.王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火车,还可以坐船；从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法？图 2.1的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道,王经理共有6种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法．把上海—天津,再从天津—北京看作相继进行的两个过程,分别记为A 1与A 2．一般地,假设完成过程A 1共有n 1种方法(在我们的游戏中n 1＝3),完成A 2共有n 2种方法(本例中n 2＝2),那末,完成整个过程一共有n 1×n 2种方法(这里3×2＝6)．这就是所谓的乘法原理．现在把游戏的条件稍微改变一下．假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的一地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种呢？直接采用类似图2.1(b)的表示方法,便知此时共有5种走法,如图2.2所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法．这样,进行过程A 1或A 2的方法一共有n 1+n 2种.这就是加法原理．容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况．利用上述原理,可以导出排列与组合的公式.2．排列：所谓排列,是从共有n 个元素的总体中取出r 个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地取出r 个元素).这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中；另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有r ≤n ．(1)在有放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有n r 种．(2)在不放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,其总数为rn A ＝n(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)这种排列称为选排列.特别当r ＝n 时,称为全排列．(3)n 个元素的全排列数为P n ＝n(n －1)…3·2·1＝n ！3．组合:(1)从n 个元素中取出r 个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:)!(!!!)1()1(!r n r n r r n n n r A r n C r n r n-=+--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 是二项展开式的系数,(a+b)n =∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n r r n r b a r n 0 (2)若r 1＋r 2＋…＋r k ＝n,把n 个不同的元素分成k 个部分,第一部分r 1个,第二部分r 2个,……,第k 部分r k 个,则不同的分法有:!!!!21k r r r n 种,上式中的数称为多项系数,因为它是(x 1＋x 2＋…＋x k )n 展开式中k rk r r x x x 2121的系数,当k ＝2时,即为组合数．(3)若n 个元素中有n 1个带足标“1”,n 2个带足标“2”,……,n k 个带足标“k ”,且n 1＋n 2＋…＋n k =n,从这n 个元素中取出r 个,使得带有足标“i ”的元素有r i 个(1≤i ≤k),而r 1＋r 2＋…＋r k =r,这时不同取法的总数为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k r n r n r n 2211这里当然要求r i ≤n i .4．一些常用等式:把排列公式推广到r 是正整数而n 是任意实数x 的场合,有时是需要的,这时记r x A ＝x(x-1)(x-2)…(x-r ＋1)同样定义!)1()2)(1(!r r x x x x r A r x r x +---==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 及 0!=1, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0x =1. 对于正整数n,若r>n,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n =0.这样一来二项系数有性质: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k n , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k a k a k 1)1( 由于 ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r n x r n x 0)1(故 n n n n n n 2210=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 利用幂级数乘法又可以证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110 特别地 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n 210222 现在举一些求A ∈ℱ的概率P(A)的例子.在下面的讨论中,如无特别需要,常常把事件域ℱ略去.三、概率直接计算的例子：[例1]一部四本头的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?[解] 若以a,b,c,d,分别表示自左向右排列的书的卷号,则上述文集放置的方式可与向量(a,b,c,d)建立一一对应,因为a,b,c,d 取值于1,2,3,4,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数4!=24,由于文集按“任意的”次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为：2/24=1/12[例2] 有10个电阻,其电阻值分别为1Ω,2Ω,…,10Ω,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于5Ω,一个等于5Ω,另一个大于5Ω,问取一次就能达到要求的概率．[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310310C ,有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114. 故所求概率为P=61310151114=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛[例3]某城有N 部卡车,车牌号从1到N,有一个外地人到该城去,把遇到的n 部车子的牌号抄下(可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码正好为k 的概率．(1≤k ≤N)[解]这种抄法可以看作是对N 个车牌号进行n 次有放回的抽样．所有可能的抽法共有N n 种,以它为样本点全体．由于每部卡车被遇到的机会可以认为相同,因此这是一个古典概型概率的计算问题,有利场合数可以这样考虑：先考虑最大车牌号不大于k 的取法,这样取法共有k n 种,再考虑最大车牌号不大于k-1的取法,其数目有(k-1)n 种,因此有k n -(k-1)n 种取法其最大车牌号正好为k,这就是有利场合的数目,因而所求概率为 P=n nn Nk k )1(-- [例4]设有n 个球,每个都能以同样的概率1/N 落到N 个格子(N ≥n)的每一个格子中,试求:(1)某指定的n 个格子中各有一个球的概率;(2)任何n 个格子中各有一个球的概率．[解]这是一个古典概型问题,由于每个球可落入N 个格子中的任一个,所以n 个球在N个格子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列,故共有N n 种可能分布.在第一个问题中,有利场合相当于n 个球在那指定的n 个格子中全排列,总数为n!,因而所求概率为 P 1=n!/N n .在第二个问题中,n 个房间可以任意,即可以从N 个房间中任意选出n 个来,这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种,对于每种选定的n 个房间,有利场合正如第一个问题一样为n!,故所求概率为nN n n N P !2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这个例子是古典概型中一个很典型的问题,不少实际问题可以归结为它．例如,若把球解释为粒子,把格子解释为相空间中的小区域,则这个问题便相应于统计物理学中的马克斯威尔—波尔茨曼(MaxWell-Boltzmann)统计．概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n 个人看作上面问题中的n 个球,而把一年的365天作为格子,则N=365,这时P 2就给出所求的概率.例如当n=40时,P 2=0.109,这个概率是意外的小.[例5] (抽签问题)袋中有a 只黑球,b 只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只摸出来,求第k 次摸出的一只球是黑球的概率(1≤k ≤a+b).[第一种解法] 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,则可能的排列法相当于把a+b 个元素进行全排列,总数为(a+b)!,把它们作为样本点全体．有利场合数为a ×(a+b-1)!,这是因为第k 次摸得黑球有a 种取法,而另外(a+b-1)次摸球相当于a+b-1只球进行全排列,有(a+b-1)!种构成法,故所求概率为ba ab a b a a P k +=+-+⨯=)!()!1( 这个结果与k 无关．回想—下,就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.[第二种解法] 把a 只黑球看作是没有区别的,把b 只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球,而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a 种放法,以这种放法作为样本点.这时有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a ,这是由于第k 次取得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任取a-1个位置,因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为 b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11 两种不同的解法答案相同,注意考察一下两种解法的不同,就会发现主要在于选取的样本空间不同．在前—种解法中把球看作是“有个性的”,而在后一种解法中则对同色球不加区别,因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列,第二种解法则不注意顺序而用组合,但最后还是得出了相同的答案.这种情况的产生并不奇怪,这说明对于同一随机现象,可以用不同的模型来描述,只要方法正确,结论总是一致的.在这个例子中,第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的a!·b!个样本点合并而成的．这个例子告诉我们,在计算样本点总数及有利场合数时,必须对同一个确定的样本空间考虑,因此其中一个考虑顺序,另一个也必须考虑顺序,否则结果一定不正确．既然同一个随机现象可用不同的样本空间来描述,因此对同一个概率也常常有多种不同的求法,我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题,为此熟悉同一问题的多种不同解法是重要的.例如,对例5就存在着多种不同的解法,上面提供的只是比较自然的两种.注意到在这两种解法中,我们对不同的k 用的是同一个样本空间,也就是说：我们构造了一个可以描述a 十b 次摸球的样本空间,并利用它一举解决了“第k(1≤k ≤a+b)次摸得黑球”这一概率的计算．假如允许对不同的k 用不同的样本空间,则我们完全可以构造一个只包含前k 次试验,甚至只包含第k 次试验的样本空间,这时也能求得有关概率.特别是选用最后一种样本空间简直马上可以看出正确答案,不过这种做法对初学者或许不那么容易理解． 四、古典概率的计算方法:求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现豹可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题.二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n,事件A 包含的样本点数(即A 的有利场合的数目)为k,那么事件A 的概率是 P(A)=nk =样本点总数包含的样本点数事件A =样本点总数的有利场合数A 三是根据公式要求,确定n 和k 的数值.这是解题的关键性一步,计算方法灵活多变,没有一个固定的模式.古典概率一种解法,大体都是围绕n 和k 的计算而展开的.五、几类基本问题:抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.。
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
p
k
；
对于分布 二项分布
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
P( A)
（10）加法 公式 （11）减法 公式 （12）条件 概率
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
P(a X b) F (b) F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°
0 F ( x) 1,
x ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x2) ；
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4 / 27
（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
概率1-4概率定义
P AB P AC P AD P BC P BD P CD
P ABC P ABD P BCD P ACD P ABCD
P Ai P Ai P Ai A j P Ai A j Ak 1 i j k n i 1 i 1 1 i j n
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
证 因为
A1 A2
P A1 A2
An A1 A2
An
An
所以由可列可加性及性 质 1 ,有
An P A1 A2
解 P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
1 1 1 5 3 0 . 2 4 8 8
性质6：概率的连续性
性质 5 设 A, B 为任意两个事件 , 则
一般加法公式
P A B P A P B P AB
证
而且
所以
A B A B AB
P A B P A P B AB P A P B P AB .
(1) P B A P B P AB
（2）若 A B ,则 P B A P B P A
并且 PB P A .
注：对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
性质 4 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
解 1由于 A、B 互斥 , 所以
4 概率的公理化定义及性质
公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的 事件序列，这些事件至少有一个发生的概 率正好等于它们各自概率之和.
6
由概率的三条公理，我们可以推导 出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.
7
性质1
P( ) 0
即不可能事件的概率为0 .
8
性质2 对于两两互不相容的事件
概率的公理化定义及性质
1
统计概率
古典概率 几几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 的进一步的内容.
3
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
A1,A2,……An(即当i≠j时,有AiAj=Φ),有
n n P Ai P( Ai ) i 1 i 1
有限可加性
9
性质3 对任一事件A，有
P A 1 P( A)
性质3在概率的计算上很有用，如果 正面计算事件A的概率不容易，而计算其 对立事件A 的概率较易时，可以先计算 P ( A ) ，再计算P(A).
n
19
例4 袋中装有红,白,黑球各一个,每次从袋 中人取一个球,记录颜色以后再放回袋中, 这样连取3次,求三次都没有取到红球或三 次都没有取到白求的概率? A={三次没有取到红球}, B={三次没有取 到白球}
20
我们介绍了 概率的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.
(１) 对于每一事件A有: 0 p( A) 1 ( 2 ) p ( ) 1
( 3 ) 可列可加性：
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§4 概率的公理化定义及其性质 1.阅读课本P17-P22, P41-P42 2.作业 课本习题一 P46 T16 T17 T18 T21
设试验为从装有三个白球（记为1,2,3 号）与两个黑球（记为4,5号）的袋中任取
两球．（1）如果观察取出的两球的颜色；
（2）如果观察取出的两球的编号．试写出 （1）和（2）两种情形的样本空间．
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 例1 已知
P( A ,)
1 1 P ( B ) , ,求 3 2
P( AB) 1 6
（1）P( AB ,（ ) 2）
解（1）由性质4
,P （ 3） ( AB )
1 5 6 6
P( A B)
P( AB)
1 P ( AB ) 1
第一章
随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 对于 n 个事件，有
P( A1
n i 1
1i j n
减二
A2 An ) P( Ai ) P( Ai A j )
全加
P( Ai A j Ak ) 1 i j k n
加三 减四
P( Ai A j Ak Al ) 1 i j k l n
第一章 随机事件及其概率
2 3 6 3
§4 概率的公理化定义及其性质
设A为事件：“甲答出第一道题” 设B为事件：“甲答出第二道题” P( A) ，P( B) . P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.8 0.2 0.6 1 P( AB) 1 0.2 0.8 P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB) 1 0.8 0.3 0.2 0.1
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
P( ) 0 P( ) P( ) P( )
因为概率为实数,故 P( ) 0 若 A1, A2 , An 是两两不相容的事件,则
P(
n k 1
n
k 1
Ak ) P( Ak )
k 1
n
有限可加性
Ak A1
An
故由可列可加性，有
P(
n k 1
Ak ) P( A1) P( An ) P( ) P( ) 0
P( A1) P( An )
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
（2）P( B) P( A) 再由概率非负性得 P( ) P( A)
事件解释 为区域
S
B
A
第一章
概率解释为 区域面积 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
0 P( A) 1
P( A) 1 P( A) 由定义 A S 对任何事件 有 (加法公式) B1 P( A) P( SA ) ,
§4 概率的公理化定义及其性质
1.概率的统计定义、概率的古典定义和几何概率。 2. 这些定义的共性和缺陷
第一章
随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
在概率论发展的历史上，曾经有过概率的古典定义、概 设S是试验E的样本空间， A S, 若存在实数 P( A) 率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这 与之对应, 且满足 事件的概率实质就是定义以 些定义各适合一类随机现象，那么如何给出适合一切随 非负性：P( A) 0 样本空间的任一子集为自变 机现象的概率的最一般的定义呢？ 1900年数学家希尔伯 特（1862-1943 ）提出要建立概率的公理化定义以解决这 规范性： P( S ) 1 量的实数值函数，即A→P(A). 其值域为[0,1]. 个问题，即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概 可列可加性：对两两不相容的事件列{ Ak } k 1有 念。1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（ 1903-1987）首 P( Ak ) P( Ak ) σ可加性 次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上 k 1 k 1 几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和 则称 P( A) 为事件 A 的 概率。 含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条 公理，才能说它是概率。
推论 若 A B, 则 （ 1）P( ) P( B) P( AB) P( B) P( A)
（2）P( B) P( A) 0 P( A) 1
P( A) 1 P( A)
(加法公式) 对任何事件 A, B 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
A AB AB AB AB B 因 AB, AB 互不相容,故由有限可加性有 A P( ) P( AB ) P( AB) S 所以 P( AB) P( A) P( AB) 推论 若 A B, 则 （ 1）P( ) P( B) P( AB) P( B) P( A)
（2）因 A A(B B，且 ) AB AB 由性质3， ，故有 P( A) P( AB ) P( AB)
1 1 1 P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 2 6 3
( AB)( AB)
（3）由性质4、6得
P( A B) 1 P( A B) 1 [ P( A) P( B) P( AB)] 1 1 1 1 1 第一章 随机事件及其概率
A SA , A S B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( S ) P( A)
P( A 对于三事件 A1, A2, A3 有
挖
A3 BA1 A2 AB
A
A2
挖
S A 1
挖
P( A1
A1 A2 A3
A1 A2
A2 A3
S
A2
补
A3) P( A1) P( A2 ) P( A3) P( A1A2 ) P( A2 A3) P( A1A3) P( A1A2 A3)
(1)n 1 P( A1 A2 An )
挖补规律: 加奇减偶
第一章
随机事件及其概率
§4 ห้องสมุดไป่ตู้率的公理化定义及其性质
P( ) 0
若 A1, A2 , An 是两两不相容的事件,则
P(
n k 1
Ak ) P( Ak )
k 1
n
P( A B) P( AB) P( A) P( AB)