培优专题4 无理数的整、小数部分的应用(含解答)-
培优专题4 无理数的整、小数部分的应用
实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数．
解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题．
例1 a b a-b的值．
分析．即从而有：a=4，
．
．
即：
∴a=4，-4．
故a-b=4--4）．
练习1
1，b是a的小数部分，试用b的代数式表示a，并求a-b的值．
2的小数部分为b，求（4+b）b的值．
3a b，则a-b=_______．
例2 若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值是多少
分析无理数和是无限不循环小数，利用9<11<16，即<4这一点，是解这类题的突破口．
解：∵<4．
∴的整数部分为8，
1．
则-3，
．
∴=1．
练习2
1．若a与b，则（a+3）（b-4）=________．
2．已知与的小数部分分别为x、y，试求3x+2y的值．
3．已知m、n，试求（m+n）3的值．
例3
a ，小数部分是
b ，则a 2
+（）ab=________．
分析 先作分母有理化，将原式转化为a 的形式，再分别确定其整数、?小数部分的取值，最后代入求值．
1
2
（）
∵<3．
∴<6．
∴<
1
2
（）<3． 即a=2．
b=
1
2（-2
=1
2
-1）
则：a 2
+（）ab
=22
+（）×
1
2
）×2=10． 练习3 1．设x
x 2004-2x 2003+x 2002
=________． 2
a ，小数部分为
b ，则b a
=________．
3．设m
的小数部分，则36m 2
=________．
例4 a ，小数部分为b ，试计算：a+b+
2
b
=________．
分析 将被开方数配方，构造成完全平方式（）2
，再化简根式，?然后分析整数部分和小数部分．
.
∵<2
∴a=1，．
∴a+b+
2
b
=5． 练习4
1a ，小数部分是b ，则b a
=_______．
2a ，小数部分是b ，求a 2+ab+b 2
的值．
3．若[a]表示实数a 的整数部分，则
]等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例5 设，那么m+1
m 的整数部分是________．
分析 将代入式子m+1
m
进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注意无
理数的取值范围．
解：∵，
∴
1
m =14
）．
∴m+
1
m
14．
∵<5<
故<
∴
5 2.234?+<5 2.33
4
?+
即144 4 ． 因此m+1 m 的整数部分是3． 练习5 1．设a b 的小数部分，则 21 b a -的值为（ ） A +1 B -1 C -1 D +1 2．恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数是（） A．17 B．18 C．35 D．36 3a，小数部分为b，求a b a b - + - a b a b + - 的值． 答案: 练习1 1．解：∵， 4． 即a=4+b， 故a-b=4． 2 即<3． 的整数部分为2． ∴-2． ∴（4+b）b=（-2-2）=+2）=3． 3 ∴． 即a=5． << ∴． 即b=5． 故a-b=5-4=1． 练习2 1．解：∵， ∴12， 5． ∴． 故（a+3）（b-4）=）（）=-13． 2．解：∵<3， ∴的整数部分是11， 的整数部分是6． ∴的小数部分-2， 的小数部分． 故3x+2y=3-2）+2（）． 3．解：∵ ∴9 4 则 故（m+n ）3 =3 =1． 练习3 1 1 3 ）， 而<3， ∴+2<5． ∴ 43<13）<53 ． ∴x=1． 故x 2004 -2x 2003 +x 2002 =0． 2 1 2 -3）， 而 <4， ∴-3<1， ∴0<12-3）<12 ． 则a=0，b=1 2 -3）． 故b a =1． 3 =1 6 ）， 而， ∴． ∴1<1 6 ）< 7 6 ． ∴m=1 6 ）-1= 1 6 ）． 故36m 2 练习4 1 ∴a=2， ．∴b a=（ 2 2 == ， ∴<6． a=5，小数部分 -2． 故a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（ -2）2-5 -2） ． 3 3 2 == 又∵<3， ∴<6． 即< 1 2 （ ）<3． 故 ]等于2． 练习5 1. ， ． 即-1． ， -2． 即-2． 故 21 b a -+1． 故选A ． 2.解：设其中最小的正整数为n 2 ，则其算术平方根的整数部分为n ，? 即最大整数一定为（n+1）2-1． 依题意可得：（n+1）2 -1-n 2=34． 即n 2 +2n+1-1-n 2 =34 ∴n=17． 故选A ． 3. = ． ∴a=2． ． 故a b a b -+-a b a b +-=2222()()a b a b a b --+-=224ab a b --=3-4．