排队论-四川大学课程中心

四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案(A卷)课程名称：运筹学考试时间：120分钟年级：xxx级专业： xxx题目部分，（卷面共有85题，0分，各大题标有题量和总分）一、判断（20小题，共0分）1、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统。

( )答案：对2、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7、…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布。

( )答案：错3、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（）答案：错4、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1,3，5，7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（）答案：错5、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（）答案：对6、假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布。

( )答案：对7、在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（）答案：对8、在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。

( )答案：错9、假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（）答案：对10、在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长。

( )答案：对11、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（）答案：错12、若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（）答案：对13、在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。

（）答案：错14、对//1M M 或//M M C 的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流。

( ) 答案：对15、对M/M/ 1或M/M/C 的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流；（ ） 答案：对16、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理。

( ) 答案：错17、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（ ） 答案：错18、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态。

( ) 答案：错19、若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布。

( ) 答案：对20、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响。

( ) 答案：错二、填空（1小题，共0分）1、 M/M ／c （其中2c ≥)等待制排队系统的服务台的平均繁忙数c 为________，系统的实际利用率为______；而等待空间有限的M/M/c/k 系统的平均繁忙台数为______，系统的实际利用率为_______． 答案：解,,(1),(1)c k c k p p c λλρρρρμμ==--． 三、计算解答（50小题，共0分）1、某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录，经统计分析算出每小时病人平均到达率为人/h ，为泊松分布。

每次手术平均时间人，即平均服务率是人/h ，服从负指数分布。

求：(1)病房中病人的平均数(L)。

(2)排队等待手术病人的平均数(q L )。

(3)病人在病房中平均逗留时间(W)。

(4)病人排队等待时间(期望值队q W )。

答案： 2.1λ=人/h ， 2.5μ=人/h 2.10.842.5λρμ=== 该手术室为//1/M M ∞系统 (1)病房中病人的平均数： 2.12.5 2.1L λμλ⎛⎫== ⎪--⎝⎭人=人 (2)排队等待手术病人的平均数： 5.250.84 4.14q L L ρ==⨯=人人 (3)病人在病房中平均逗留的时间：11 2.52.5 2.1W h h μλ⎛⎫=== ⎪--⎝⎭(4)病人排队等待时间： 2.50.84 2.1q W W h h ρ==⨯=2、某公司打字室平均每天接到22份要求打字文件，一个打字员完成一个文件打字平均需时20 min ，以上分别服从普阿松分布和负指数分布。

为减轻打字员负担，有两个方案：一是增加一名打字员，每天费用为40元，其工作效率同原打字员；二为购一台自动打字机，以提高打字效率，已知有三种类型打字机，其费用及提高打字的效率如表所示。

表据公司估测，每个文件若晚发出1h 将平均损失元。

设打字员每天工作8 h ,试确定该公司应采用的方案。

答案：该系统总费用(0.8)(8)s TC C L =+⋅，式中C 为每天固定费用。

对4个方案的计算见表故结论为购买一台2型的自动打字机。

3、一个有2名服务员的排队系统各自独立为顾客服务，服务时间均为平均值15 min 的负指数分布。

设顾客甲到达时两名服务员均空闲,5min 后顾客已到达，这时甲未服务完，再过10 min 第三名顾客丙到达，这时甲和乙均正被服务中。

试回答出现下列情况的概率：(a)甲在乙之前结束服务；(b)丙在甲之前结束服务；（c ）丙在乙之前结束服务。

答案：（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/44、一个有一套洗车设备的洗车店，要求洗车的车辆平均每4 min 到达一辆，洗每辆车平均需3 min,以上均服从负指数分布。

该店现有2个车位，当店内无车时，到达车辆全部进入；当有一辆车时，有80%进入；2个车位均有车时，到达车辆全部离去。

要求：(a)画出此排队系统的生死过程发生率图；(b)求洗车设备平均利用率及一辆进入该店车辆的平均停留时间;s W （c ）为减少顾客损失，该店拟租用第3个车位，这样当店内已有2辆车时，新到车辆有60%进入，有3辆车时，新到车辆全部离去。

若该车店每天营业12h ,新车位租金为100元/d ,洗一辆车的净盈利为5元，则第3个车位是否值得租用 答案：（a ）生死过程发生率图见图（b ）由图列出状态平衡方程并求解得到0120.4545,0.3409,0.2046,p p p ===洗车设备平均利用率为2020.75(1)0.5455.0.0629() 3.77(min)(1)11.931nsn s effnpL p W h p λλ=-======-∑(c)当租用第3个车位时，可用与上述相同步骤求得01230.416,0.312,0.187,0.085p p p p ====。

有2个车位时每天损失顾客为12150.204636.8⨯⨯=辆，增加到3个车位时损顾客12150.08515.3⨯⨯=辆，即每天少损失21.5辆，可增加收入21.55107.5⨯=（元），大于租金100元，故值得租用。

5、某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。

设申诉以4λ=件/d 的普阿松流到达，该协会处理申诉的定额为5件／d ，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。

试求：（a ）一年内有多少天无一件申诉；(b)一年内多少天处理不完当天的申诉。

答案：(a)7d （b ）79d6、某场篮球比赛前来到体育馆某售票口买票的观众按普阿松分布到达，平均1人／min ，设该口售票速度服从负指数分布，平均售每张票时间为20s ，试回答：(a)如有一个球迷于比赛前2 min 到达售票口，并设买到票后需 min 才能找到座位坐下，求该球迷在比赛开始前找到座位坐下的概率；(b)如该球迷希望有99%的把握在比赛开始前找到座位坐下，则他最迟应提前多少min 到达售票口。

答案：（a ）(1)0.51{0.5}110.632s P W ee μρ--⨯-≤=-=-= （b ）设提前时间为 1.5,t t t '=+为买票时间(1)2{}0.010.01, 2.3t s tP W t e et μρ--->====得3.8t '=分，即球迷至少提前到达。

7、某服务系统有两名服务员，顾客到达服从泊松分布，平均每小时到达两名。

服务时间服从负指数分布，平均服务时间为30min 。

又知系统内最多只能有3名顾客等待服务，当顾客到达时，若系统已满，则自动离开，不再进入系统。

求：(1)系统空闲时间。

(2)顾客损失率。

(3)服务系统内等待服务的平均顾客数。

(4)在服务系统内的平均顾客数。

(5)顾客在系统内的平均逗留时间。

(6)顾客在系统内的平均等待时间。

(7)被占用的服务员的平均数。

答案：将此系统看成一个//2/5M M 排队系统，其中2,0.5,/4,2,5n k λμρλμ======(1)系统空闲时间：1252104(1(4/2))140.0082(14/2)P --+⎛⎫-=++= ⎪-⎝⎭。

(2)顾客损失率：555240.0080.5122!2P -⨯==⨯。

(3)服务系统内等待服务的平均顾客数：52152220.0084(4/2)44411(521)2!(14/2)222q L -+-⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(4)在服务系统内的平均顾客数：5(1) 2.184(10.512) 4.13q L L p ρ=+-=+⨯-=人。

(5)顾客在系统内的平均逗留时间：5 4.134.23min (1)2(10.512)L W p λ===-⨯-。

(6)顾客在系统内的平均等待时间：1/ 4.232 2.23min q W W μ=-=-=。

(7)被占用的服务员的平均数。

4.13 2.18 1.95q n L L =-=-=个8、考虑一个顾客到达服从普阿松分布的排队系统。

服务员必须对每名顾客依次完成两项不同的服务工作，即对每名顾客的总的服务时间是上述两项服务时间的总和（彼此统计独立）。

(a)假定第一项服务时间为1/1min μ=的负指数分布，第二项服务时间为爱尔朗分布，平均为3 min ，3k =，问应该用哪一种排队理论模型代表上述系统；（b ）如(a)中第一项服务时间变为3k =的爱尔朗分布，平均服务时间仍为 1 min ，又应该用哪一种排队理论模型来代表这个系统 答案：（a ）用//1k M E 模型，k E 参数为1,44k μ==； （b ）用//1M G 模型，G 分布的期望值为4；222111013(1)33()3σ=+=9、图书馆出借室每小时平均有50个读者到达借书，为泊松流，管理员查出和办理好出借手续平均需要2min 。